任意角、弧度制及任意角的三角函数 讲义-2026届高三数学一轮复习（含解析）

任意角、弧度制及任意角的三角函数
课前学习任务
一、课标解读
1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性.
2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,并能利用三角函数的定义解决相关问题.
二、必备知识
1.任意角的概念
定义 平面内一条射线绕着　　　　从一个位置旋转到另一个位置所成的图形
分类 按旋转方向 　　　　、　　　　、　　　　
按终边位置 　　　　　　、轴线角
终边相 同的角 所有与角α终边相同的角,可构成一个集合S={β|β=α+2kπ,k∈Z}
2.弧度制
定义 长度等于　　　　　　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号 rad表示,读作弧度
公式 角α的弧度数公式 |α|=　　
角度与弧度的换算 1°=　　　 rad; 1 rad=　　
弧长公式 弧长l=　　
扇形面积公式 利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度 S=lr=　　
[教材知识深化]
有关弧度制的注意点:(1)角度制与弧度制可利用180°=π rad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.(2)注意扇形圆心角弧度数的取值范围是0<θ<2π,实际问题中注意根据这一范围进行取舍.
3.任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
定义的 推广 设α是一个任意角,它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y),点P与原点O的距离为r
sin α= cos α= tan α= (x≠0)
各象 限符 号 Ⅰ + + +
Ⅱ + - -
Ⅲ - - +
Ⅳ - + -
三角 函数线 有向线段MP 为正弦线 有向线段OM 为余弦线 有向线段AT 为正切线
[教材知识深化]
当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线都变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角α的余弦值为0,正切值不存在.
三、自主诊断
一、基础自测
1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)第二象限角必大于第一象限角. (　　)
(2)终边相同的角的三角函数值相等. (　　)
(3)若sin α>0,则α是第一或第二象限角. (　　)
(4)若α为第一象限角,则sin α+cos α>1. (　　)
2.(人教A版必修第一册习题5.1第7题(2))已知α是第一象限角,那么是(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第一或第二象限角 D.第一或第三象限角
3.(人教A版必修第一册习题5.1第4题改编)一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角等于　　　 弧度.
4.(人教A版必修第一册5.2.1节练习第3题改编)若角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-1,2),则sin α-cos α+tan α=　　　　.
课堂核心考点
考点一 象限角与终边相同的角
1.(1)若α是第二象限角,则(　　)
A.-α是第一象限角
B.是第三象限角
C.+α是第二象限角
D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上
(2)终边在直线y=x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为　　　　　　　　.
　(2)转化法:先将已知角化为2kπ+α(α∈[0,2π),k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
3.判断角或nα(n∈N*)所在象限的方法步骤
(1)将角α的范围用不等式表示(含有k,k∈Z);
(2)在不等式两边同除以n或乘n(n∈N*);
(3)对k进行分类讨论,确定或nα的终边所在象限.
[提醒]注意“顺转减,逆转加”的应用,如角α的终边逆时针旋转180°可得角α+180°的终边,类推可知α+k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角.
　　　　　　　　　　　　　
[对点训练1](1)集合αkπ+≤α≤kπ+,k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
A　B　C　D
(2)与-2 025°终边相同的最小正角是　　　　.
考点二 弧度制及其应用
2.已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l,
(1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长l;
(2)若扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大
[对点训练2]
(1)如图,曲线段AB是一段半径为R的圆弧,若圆弧的长度为,则A,B两点间的距离为(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.R B.R C.R D.2R
(2)(2024·北京房山开学考试)我们学过度量角有角度制与弧度制,最近,有学者提出用“面度制”度量角,因为在半径不同的同心圆中,同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数,从而称这个常数为该角的面度数,这种度量角的制度,叫做面度制.在面度制下,若角α的面度数为,则角α的正弦值是(　　)
A.- B. C.- D.
考点三 三角函数的概念及其应用
考向1　三角函数定义的应用
3.(1)(2024·江西抚州期末)若角α的终边经过点P(-3,4),则sin α+tan α等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.- B. C.- D.-
(2)(2024·广东揭阳模拟)在平面直角坐标系中,点M(3,m)在角α的终边上,若sin α=,则m=(　　)
A.-6或1 B.-1或6
C.6 D.1
[对点训练3](1)(2024·北京丰台期末)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以x轴的非负半轴为始边,终边关于原点O对称.若角α的终边与单位圆☉O交于点P,-,则cos β= (　　)
A. B.- C. D.-
(2)(2024·江西抚州期中)已知角α的终边经过点(-3,m),若tan α=,则sin α=(　　)
A.- B. C.- D.
考向2　三角函数值符号的判断
4.(1)(2024·江西新余模拟)已知点M(cos α,tan α)在第二象限,则角α的终边在第(　　)象限.
A.一 B.二 C.三 D.四
(2)(2024·江西九江模拟)设角α的终边不在坐标轴上,那么函数y=的值域为　　　　.
[对点训练4](1)(2024·安徽期末)若>0,则θ为(　　)
A.第一、二象限角 B.第二、三象限角
C.第一、三象限角 D.第一、四象限角
(2)已知角α的终边落在y=-3x(x<0)上,则=　　　　.
答案解析
[知识梳理]
1.端点　正角　负角　零角　象限角
微思考1　提示 锐角一定是第一象限角,但第一象限角不一定是锐角.
微思考2　提示 相等的角其终边一定相同,但终边相同的角不一定相等,它们之间相差360°的整数倍.
2.半径长　　°　|α|r　|α|r2
[自主诊断]　1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.D　解析 因为k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z,所以k·180°<<45°+k·180°,k∈Z.当k为奇数时,是第三象限角;当k为偶数时,是第一象限角.
3　解析 由题意,这条弦与圆的相应的两条半径组成等边三角形,所对的圆心角是60°,即弧度.
4　解析 由已知得r=,所以sin α-cos α+tan α=-2=
5.D　解析 由题意可知x=-4,y=3,则点(-4,3)到原点的距离r=5,所以cos α==-
研考点·精准突破
考点一
例1　(1)D　(2)-,-
解析 (1)由α是第二象限角,可得+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z.对于A,可得-π-2kπ<-α<--2kπ,k∈Z,此时-α是第三象限角,所以A错误;对于B,可得+kπ<+kπ,k∈Z,当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角,所以B错误;对于C,可得2π+2kπ<+α<+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<+α<+2(k+1)π,k∈Z,所以+α是第一象限角,所以C错误;对于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上,所以D正确.故选D.
(2)如图,在平面直角坐标系中作出直线y=x,其倾斜角为,在[0,2π)内,终边在直线y=x上的角有两个,分别为;在[-2π,0)内满足条件的角有两个,分别为-,-故满足条件的角α的集合为-,-.
对点训练1　(1)C　(2)135°　解析 (1)当k=2n(n∈Z)时,2nπ+2nπ+(n∈Z),此时α的终边和的终边一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+2nπ+π+(n∈Z),此时α的终边和的终边一样.故选C.
(2)因为-2 025°=(-6)×360°+135°,所以135°与-2 025°终边相同,又终边相同的两个角相差360°的整数倍,所以在0°~360°中只有135°与-2 025°终边相同,故与-2 025°终边相同的最小正角是135°.
考点二
例2　解 (1)∵α=60°= rad,R=10 cm,
∴扇形的弧长l=αR=10=(cm).
(2)由题意,得l+2R=20,
∴l=20-2R.
∴S扇=lR=(20-2R)R=-R2+10R=-(R-5)2+25.
∴当R=5 cm时,S扇有最大值25 cm2.
此时l=20-2×5=10(cm),α==2 rad.
∴当α=2 rad时,扇形的面积最大.
对点训练2　(1)C　(2)D　解析 (1)设所对的圆心角为α.
则由题意,得αR=R.所以α=,
所以AB=2Rsin=2Rsin=2RR,故选C.
(2)设角α所在的扇形的半径为r,面积为S,则由题意可得,解得α=,所以sin α=sin,故选D.
考点三
例3　(1)A　(2)C　解析 (1)因为角α的终边经过点P(-3,4),则r==5,所以sin α=,tan α=-,所以sin α+tan α==-故选A.
(2)因为点M(3,m)在角α的终边上,则sin α=,故m>0,解得m=6.故选C.
对点训练3　(1)B　(2)A　解析 (1)因为角α与角β终边关于原点O对称,且角α的终边与单位圆☉O交于点P,-,所以角β的终边与单位圆☉O交于点P'-,故cos β=-故选B.
(2)因为角α的终边经过点(-3,m),且tan α=,所以tan α=-,解得m=-2,所以sin α==-故选A.
例4　(1)C　(2){1,-3}　解析 (1)因为点M(cos α,tan α)在第二象限,所以cos α<0,tan α>0,所以α的终边在第三象限.故选C.
(2)当α为第一象限角时,y=1-1+1=1,
当α为第二象限角时,y=1+1-1=1,
当α为第三象限角时,y=-1+1+1=1,
当α为第四象限角时,y=-1-1-1=-3.
所以函数的值域为{1,-3}.
对点训练4　(1)D　(2)2　解析 (1)因为>0,所以sin θ,tan θ同号,
在第一象限时sin θ>0,tan θ>0,
在第四象限时sin θ<0,tan θ<0,
所以θ是第一、四象限角.故选D.
(2)由题知角α的终边位于第二象限,
可得cos α<0,sin α>0,所以=1-(-1)=2.