同角三角函数基本关系式与诱导公式 讲义-2026届高三数学一轮复习（含解析）

同角三角函数基本关系式与诱导公式
课前学习任务
一、课标解读
1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,tan α=α≠+kπ,k∈Z,能够利用该公式解决求值与化简问题.
2.能借助单位圆的对称性,利用三角函数定义推导出诱导公式,能够运用诱导公式解决相关问题.
二、必备知识
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=　　　;
(2)商数关系:tan α=　　 α≠+kπ,k∈Z.
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α π-α -α +α
正弦 sin α 　　 -sin α sin α 　　 　　
余弦 cos α -cos α 　　 -cos α 　　 　　
口诀 奇变偶不变,符号看象限
正切 tan α 　　 -tan α 　　 — —
三、自主诊断
一、基础自测
1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1. (　　)
(2)sin2(α-β)+cos2(α-β)=1. (　　)
(3)若α∈R,则tan α=恒成立. (　　)
(4)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角. (　　)
2.(人教A版必修第一册5.2.2节练习第1题改编)已知cos α=-,且α为第三象限角,则sin α=　　　　,tan α=　　　.
3.(人教A版必修第一册5.3节例4改编)化简=　　　.
4.(人教A版必修第一册5.3节例5)已知sin(53°-α)=,且-270°<α<-90°,求sin(37°+α)的值.
二、连线高考
5.(2021·新高考Ⅰ,6)若tan θ=-2,则=(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.- B.- C. D.
6.(2023·全国乙,文14)若θ∈0,,tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　　.
课堂核心考点
考点一 同角三角函数基本关系式的应用
考向1　“知一求二”问题
1.(1)(2024·河南南阳模拟)已知α是第二象限角,且sin α=,则tan α=(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.- B.- C.- D.-
(2)(2024·四川乐山三模)已知tan α=-,且α为第二象限角,则cos α=(　　)
A.- B. C.- D.
[对点训练1](2024·山东期末)若sin θ=-,tan θ>0,则cos θ=(　　)
A. B.- C. D.-
考向2　“弦切互化”问题
2.(1)(2024·江苏高三学业考试)已知tan α=-3,则=(　　)
A. B. C.- D.-
(2)(2024·广东惠州模拟)在平面直角坐标系xOy中,角θ的终边经过点(1,2),则cos2θ+sin 2θ=　　　　.
[对点训练2](1)(2024·四川模拟)已知tan α=2,则sin2α+cos 2α=(　　)
A.- B. C. D.
(2)已知,则tan α=　　　　.
考向3　“sin α±cos α,sin αcos α”之间的关系的应用
3.(多选题)(2024·山东潍坊模拟)设α∈(0,π),sin α+cos α=,则下列等式正确的是(　　)
A.sin αcos α=- B.sin α-cos α=
C.tan α= D.cos2α-sin2α=-
[对点训练3](多选题)(2024·云南昭通期末)已知θ∈0,,sin θ-cos θ=,则下列结论正确的是(　　)
A.sin θ=
B.sin θ+cos θ=
C.tan θ=
D.sin θcos θ=
考点二 诱导公式的应用
4.(1)化简:=　　　　　.
(2)已知cos(75°+α)=,α是第三象限角,则sin(195°-α)+cos(α-15°)的值为　　　　.
[对点训练4](1)(多选题)(2024·河北沧州模拟)下列化简正确的是(　　)
A.sin(2 023π-α)=sin α
B.tan(α-2 023π)=-tan α
C.sin+α=-cos α
D.cos-α=sin α
(2)已知sinα-=,则sinα+=　　　,cos-αcosα-=　　　　.
考点三 诱导公式与同角三角函数基本关系式的综合应用
5.(2024·河北衡水模拟)利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°~90°之间角的三角函数值,而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到.下表为部分锐角的正弦值,则tan 1 600°的值为(小数点后保留两位有效数字)(　　)
α 10° 20° 30° 40°
sin α 0.173 6 0.342 0 0.500 0 0.642 8
α 50° 60° 70° 80°
sin α 0.766 0 0.866 0 0.939 7 0.984 8
　　　　　　　　　　　　　
A.-0.42 B.-0.36 C.0.36 D.0.42
[对点训练5]已知角α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+β+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α=(　　)
A. B. C. D.
答案解析
[知识梳理]
1.(1)1　(2)
2.-sin α　cos α　cos α　cos α　sin α　-sin α　tan α　-tan α
微思考　提示 ①“奇”“偶”指的是“k+α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数;“变”“不变”指的是函数名称的变化,如果k是奇数,函数名称就要变化,正弦变余弦、余弦变正弦;如果k是偶数,函数名称不变.
②“符号看象限”中的“象限”指的是将α看作锐角时,角k+α(k∈Z)的终边所在的象限.
[自主诊断]　1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.-
3.-tan α　解析 原式=
=
=-=-tan α.
4.解 因为(53°-α)+(37°+α)=90°,所以由诱导公式,得sin(37°+α)=sin[90°-(53°-α)]=cos(53°-α),因为-270°<α<-90°,所以143°<53°-α<323°.
由sin(53°-α)=>0,得143°<53°-α<180°.
所以cos(53°-α)=-=-=-,
所以sin(37°+α)=-
5.C　解析 =sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θcos θ=故选C.
6.-　解析 因为θ∈0,,tan θ=,所以sin θ=,cos θ=,所以sin θ-cos θ=-
研考点·精准突破
考点一
例1　(1)B　(2)A　解析 (1)因为α是第二象限角,且sin α=,故cos α=-=-,则tan α==-故选B.
(2)因为α为第二象限角,所以cos α=-=-故选A.
对点训练1　B　解析 因为sin θ=-<0,tan θ>0,所以cos θ=-=-故选B.
例2　(1)B　(2)1　解析 (1)由题意tan α=-3,可知cos α≠0,则
(2)(方法一)由三角函数的定义可知sin θ=,cos θ=,所以cos2θ+sin 2θ=cos2θ+2sin θcos θ=2+2=1.
(方法二)因为角θ的终边经过点(1,2),所以tan θ==2,所以cos2θ+sin 2θ==1.
对点训练2　(1)D　(2)-3　解析 (1)因为sin2α+cos 2α=故选D.
(2)由题意得,化简得3tan α=-9,所以tan α=-3.
例3　BD　解析 因为sin α+cos α=,所以(sin α+cos α)2=sin2α+2sin αcos α+cos2α=,即1+2sin αcos α=,所以sin αcos α=-,故A错误;又α∈(0,π),sin α>0,所以cos α<0,则α∈,π,则tan α<0,所以sin α-cos α=,故B正确,C错误;cos2α-sin2α=(cos α+sin α)·(cos α-sin α)=-=-,故D正确.故选BD.
对点训练3　BD　解析 ∵θ∈0,,sin θ>0,cos θ>0,
(舍去),
∴sin θ+cos θ=,sin θcos θ=,tan θ=故选BD.
考点二
例4　(1)cos α　(2)-　解析 (1)
=
=cos α.
(2)因为cos(75°+α)=>0,α是第三象限角,所以75°+α是第四象限角,sin(75°+α)=-=-
所以sin(195°-α)+cos(α-15°)=sin[180°+(15°-α)]+cos(15°-α)=-sin(15°-α)+cos(15°-α)=-sin[90°-(75°+α)]+cos[90°-(75°+α)]=-cos(75°+α)+sin(75°+α)=-=-
对点训练4　(1)AC　(2)-
解析 (1)sin(2 023π-α)=sin(2 022π+π-α)=sin(π-α)=sin α,故A正确;tan(α-2 023π)=tan α,故B错误;sin+α=sin6π-+α=sin-+α=-sin-α=-cos α,故C正确;cos-α=cos-α=-sin α,故D错误.故选AC.
(2)因为sinα+=sinα-+π=-sinα-=-,cos-αcosα-=cos-α-·cosα--2π=cos2α-=1-sin2α-=
考点三
例5　B　解析 tan 1 600°=tan(4×360°+160°)=tan 160°=-tan 20°=-=-=--0.36.故选B.
对点训练5　C　解析 由已知得消去sin β,得tan α=3,所以sin α=3cos α,代入sin2α+cos2α=1,化简得sin2α=,因为α为锐角,所以sin α=