4.1.1 条件概率 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

4.1.1条件概率
学习目标
通过对具体情境的分析，了解条件概率的定义
掌握条件概率的计算公式
能运用条件概率公式解决简单概率问题
重难点
重点：条件概率的定义，条件概率的准确运用
难点：运用条件概率公式解决简单概率问题
新知识导入
已知某班级中，有女生16人，男生14人，而且女生中喜欢长跑的有10人，男生中喜欢长跑的有8人，现从这个班级中随机抽出一名学生：
(1)求所抽到的学生喜欢长跑的概率；
(2)若已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率.
(1)中样本空间Ω：班级所有学生，共包含14+16=30个样本点.设事件A：所抽到的学生喜欢长跑，则A包含10+8=18个样本点.
(2)中设事件B：抽到的是男生，则B包含14个样本点.因为事件B已发生，相当于从男生中任意抽取了一人.要使得事件A发生，必须抽取AB(即A∩B)中的样本点，因此所求概率为
三、知识梳理
1.条件概率：一般地，当事件 B 发生的概率大于0（即 ）时，已知事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，称为 ，记作 ，而且 .
注意的是，与的意义不一样，一般情况下，它们也不相等.
2.条件概率也可从基本事件计算，如图，若事件B包含样本点个数为n(B)，AB同时包含样本点个数为，则事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率为___________。
四、例题讲解
例1 抛掷红、蓝两个骰子，设
A:蓝色骰子的点数为5或6；
B:两骰子的点数之和大于7.
求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率P(B|A).
例2 已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20%与18%，而且两地同时下雨的概率为12%.求春季的一天里：
(1)已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率；
(2)已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率.
例3 某地区内狗的寿命超过15岁的概率为0.8，超过20岁的概率为0.2，那么该地区内，已知寿命超过15岁的狗，寿命能超过20岁的概率为多少？
五、课堂练习
1.甲，乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”，“张氏帅府”，“九一八纪念馆”三个景点中选择一处游玩，记事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择九一八纪念馆”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”，则概率( )
A. B. C. D.
2.某地天气预报资料显示，近段时间中一天下雨的概率是0.8，连续两天都下雨的概率是0.6.已知某天下雨，则随后一天也下雨的概率是( )
A.0.75 B.0.48 C.0.8 D.0.6
3.记试验的样本空间，事件，，则( )
A. B. C. D.
4.根据历年气象统计资料，某地四月份某日刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为，则在下雨条件下刮东风的概率为( )
A. B. C. D.
5.设，且，，则( )
A.1 B. C. D.
6.已知事件A，B，设，且，，则的值是( )
A.0.294 B.0.42 C.0.5 D.0.6
7.在杭州亚运会射击项目多向飞碟比赛中，已知某选手第一发命中的概率为，第一发和第二发均命中的概率为.则在他第一发命中的前提下，第二发未命中的概率为( )
A. B. C. D.
8.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.4 B.0.6 C.0.75 D.0.8
9.设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为( )
A. B. C. D.
10.设随机事件A，B，已知，，，则__________.
六、课后练习
1.已知某班级中，喜欢科幻小说的学生占，喜欢科幻小说且喜欢推理小说的学生占，若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢科幻小说的条件下，该学生也喜欢推理小说的概率为( )
A. B. C. D.
2.已知随机事件M，N满足，，，则( )
A. B. C. D.
3.在一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有1个红球，2个蓝球，3个黄球，4个绿球，现从中任取一球后（不放回），再取一球，则已知第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率为( )
A. B. C. D.
4.现有4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为( )
A. B. C. D.
5.某班为响应校团委发起的“青年大学习”号召组织了有奖知识竞答活动，第一环节是一道必答题，由甲乙两位同学作答，每人答对的概率均为，两人都答对的概率为，则甲答对的前提下乙也答对的概率是( )
A. B. C. D.
6.已知，若，，则___________.
7.根据气象统计，某地3月份吹西北风的概率为0.7，既吹西北风又下雨的概率为0.5，则该地3月在吹西北风的条件下下雨的概率为________.
8.春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是，感冒发作的概率是，鼻炎发作且感冒发作的概率是，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是
_______.
9.小王喜爱逛街和吃火锅.在周末，她下午去逛街的概率为.若她下午去逛街，则晚上一定去吃火锅;若下午不去逛街，则晚上去吃火锅的概率为.
已知小王在某个周末晚间去吃火锅，则下午逛街的概率为_______________.
10.已知，，则__________.
答案及解析
三、知识梳理
1.条件概率
2.
四、例题讲解
例题1
解：用数对(x，y)来表示抛掷结果，其中x表示红色骰子的点数，y表示蓝色骰子的点数，则样本空间可记为Ω={(x，y)|x，y=1，2，3，4，5，6}
样本空间可用图直观表示，图中每一个点代表一个样本点.样本空间中，共包含36个样本点.
A包含的样本点即图中绿色矩形框中的点，共12个，因此，B包含的样本点即为图中紫色三角框中的点，B∩A共包含9个样本点，从而，因此。
由图可得A中的样本点个数为12，B∩A 中的样本点个数为9，即
例题2
解：记 A：甲地下雨，B：乙地下雨，则由已知可得
P(A)=20%，P(B)=18% ，P(B∩A)=12%.
(1)需要求的是P(B|A) ，因此
(2)需要求的是 P(A|B)， 因此
例题3
解：设A：狗的寿命超过15岁，B：狗的寿命超过20岁，则所要求的就是P(B|A).
依题意有P(A)=0.8，P(B)=0.2 ，又因为B A，所以B∩A=B.
从而P(B∩A)=P(B)=0.2.
因此
五、课堂练习
1.答案：A
解析：事件A包含的基本事件有：
甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“沈阳故宫”，
甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“张氏帅府”，
乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“沈阳故宫”，
乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“张氏帅府”，
乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“九一八纪念馆”，共有5个，
其中，事件B包含的基本事件有：
甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“沈阳故宫”，
甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“张氏帅府”，
乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“沈阳故宫”，
乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“张氏帅府”， 共有4个，
概率.
故选：A.
2.答案：A
解析：设某天下雨的事件是A，随后一天也下雨的事件是B，则，，
所以某天下雨，则随后一天也下雨的概率.
故选：A.
3.答案：A
解析：由题意有，，，，
所有，
故选：A.
4.答案：C
解析：记某地四月份某日刮东风为事件A，某地四月份某日下雨为事件B，则所求概率为=
故选：C.
5.答案：B
解析：因为，
所以，
所以，
故选：B
6.答案：D
解析：因为，所以，
则.
故选：D.
7.答案：C
解析：设该选手“第一发命中”为事件A，“第二发命中”为事件B，
则，
所以.
故选：C.
8.答案：D
解析：设“某一天的空气质量为优良”为事件A，
“随后一天的空气质量为优良”为事件B，
由题有：，，则某天的空气质量为优良，
随后一天的空气质量为优良的概率是：.
故选：D
9.答案：A
解析：由题意得，，
根据条件概率的公式得：，解得.
所以事件A发生的概率为.
故选：A.
10.答案：
解析：
故答案为：.
六、课后练习
1.答案：D
解析：根据题意，从这个班级的学生中任意抽取一人，
记事件“抽到的学生喜欢科幻小说”，“抽到的学生喜欢推理小说”，
则，，
故.
故选：D.
2.答案：A
解析：，；
，，.
故选：A.
3.答案：A
解析：设第一次取出的是红球为事件A，
第二次取到黄球为事件B．则由题意知，，已知第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率为．
故选：A．
4.答案：D
解析：记男生甲被选中为事件A，女生乙被选中为事件B，
则，，所以.
故选：D.
5.答案：D
解析：记事件A：甲答对，事件B：乙答对，
则有：，，所以．
故选：D.
6.答案：
解析：由，得，，
故答案为：.
7.答案：
解析：设事件A：某地3月份吹西北风，事件B：某地3月份下雨，
根据题意，可得，，
则该地3月在吹西北风的条件下下雨的概率为.
故答案为：.
8.答案：
解析：记事件“某人在春季里鼻炎发作”，事件“某人在春季里感冒发作”，
由题意可知，，，
此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率为，
故答案为：.
9.答案：
解析：设其周末晚间去吃火锅的概率为，下午去逛街的概率为，
则，，则.
故答案为：.
10.答案：
解析：由题意得，
而，得，
而，解得.