4.2.1 随机变量及其与事件的联系 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

4.2.1随机变量及其与事件的联系
学习目标
了解随机变量的概念
理解随机变量与随机事件的关系
理解随机变量之间的关系
重难点
重点：随机变量与随机事件的关系
难点：随机变量的概念理解和取值
新知识导入
为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在31个省(自治区、直辖市)和新疆生产建设兵团中，随机抽取6个进行突击检查，抽得的结果只要有一个不同就认为是不同的试验结果，记样本空间为Ω.
(1)Ω中包含的样本点数目是多少？
(2)设抽得的结果中直辖市个数为X，那么对于Ω中每一个样本点，X都有唯一确定的值吗？X的取值是固定不变的吗？如果不是，X可取的值有哪些？
因为我国只有北京市、上海市、天津市、重庆市这4个直辖市，而且是随机选取，因此对样本空间Ω中的每一个样本点，变量X都有唯一的取值.
但对于不同的样本点，X的取值可能不同，其值可以是0，1，2，3，4中任意一个.
数学中，X这样的变量称为随机变量.
三、知识梳理
1.一般地，如果随机试验的样本空间为 ，而且对于 中的每一个样本点，变量 X 都有唯一确定的实数值与之对应，就称 X 为一个 . 随机变量一般用大写英文字母 X，Y，Z，或小写希腊字母 表示.随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的 .
2.一般地，如果 X 是一个随机变量，都是任意实数，那么 ，， 等都表示事件，而且：
当 时，事件 与 ；
事件 与 相互对立，因此 .
3.随机变量之间的关系：一般地，如果 X 是一个随机变量， 都是实数且 ，则 也是一个随机变量. 由于 的充要条件是 ，因此 .
四、例题讲解
例1 先后抛两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为X，样本空间为Ω.
（1）借助合适的符号，用列举法写出样本空间Ω；
（2）求出随机变量X的取值范围.
例2为了调动员工的积极性，某厂某月实行超额奖励制度，具体措施是：每超额完成1件产品，奖励100元.假设这个月中，该厂的每名员工都完成了定额，而且超额完成的产品数都不超过50.从该厂员工中随机抽出一名，记抽出的员工该月超额完成的产品数为X，获得的超额奖励为Y元，则X与Y均为随机变量.
（1）当X=3时，Y的值是多少？总结X与Y之间的关系.
（2）分别写出X，Y的取值范围.
例3 某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000元，每工作一小时获取30元.从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X小时，获取的税前月工资为Y元.
（1）当X=110时，求Y的值；
（2）写出X与Y之间的关系式；
（3）若P（X≤120）=0.6，求P（Y>4600）的值.
五、课堂练习
1.袋中有10个球，其中7个红球，3个白球，任意取出3个，则其中所含白球的个数是( )
A.0，1，2 B.1，2，3 C.2，3，4 D.0，1，2，3
2.一个袋中有4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为( )
A.所取球的个数 B.其中含红球的个数
C.所取白球与红球的总数 D.袋中球的总数
3.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( )
A.两次掷得的点数 B.两次掷得的点数之和
C.两次掷得的最大点数 D.第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差
4.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是( )
A.5 B.9 C.10 D.25
5.先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，那么不能作为随机变量的是( )
A.出现7点的次数 B.出现偶数点的次数
C.出现2点的次数 D.出现的点数大于2小于6的次数
6.某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为X，则表示的试验结果是( )
A.第4次投篮命中 B.第4次投篮未命中
C.前3次投篮均未命中 D.投篮命中4次
7.袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，不放回，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A.1，2，…，6 B.1，2，…，7 C.1，2，…，11 D.1，2，3，…
8.从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是( )
A.至多取到1个黑球 B.至少取到1个白球
C.取到白球的个数 D.取到的球的个数
9.在一次考试中，某位同学需回答三个问题，考试规则如下：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分.则这名同学回答这三个问题的总得分的所有可能取值是___________.
10.在一次对抗赛的某一轮中有3道抢答题，甲、乙两队进行抢答，比赛规定：对于每一道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分（即得
-1分），若每道抢答题都有队伍抢答，X是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则X的所有可能取值是________.
六、课后练习
1.袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X，则表示“放回4个球”的事件为( )
A. B. C. D.
2.甲、乙两班进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，共进行三场.用表示甲的得分，则表示( )
A.甲赢三场 B.甲赢一场、输两场
C.甲、乙平局三次 D.甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次
3.抛掷两枚骰子，如果将其正面向上的点数之和记为X，那么表示的随机试验结果是( ).
A.一枚是3点，另一枚是1点
B.一枚是3点，另一枚是1点或两枚都是2点
C.两枚都是4点
D.两枚都是2点
4.已知4支钢笔的单价分别为10元、20元、30元、40元，从中任取2支，若以Y表示取到的钢笔的较高单价（单位：元），则Y的所有可能取值为( )
A.10，20，30，40，50，60，70，80 B.10，20，30，40，50，60，70
C.10，20，30，40 D.20，30，40
5.下列变量中不是随机变量的是( )
A.某人投篮6次投中的次数 B.某日上证收盘指数
C.标准状态下，水在100℃时会沸腾 D.某人早晨在车站等出租车的时间
6.（多选）下列说法正确的是( )
A.随机变量的取值只能是有限个
B.抛掷一枚质地均匀的硬币一次，“出现正面的次数”为随机变量
C.随机变量是用来表示不同试验结果的量
D.体积为的球的半径是随机变量
7.（多选）一副扑克牌共有54张牌，其中52张是正牌，另2张是副牌（大王和小王），从中任取4张，则随机变量可能为( )
A.所取牌的个数 B.所取正牌和大王的总数
C.这副牌中正牌的个数 D.取出的副牌的个数
8.（多选）下列变量是随机变量的是( )
A.在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数
B.一台机器在一段时间内出现故障的次数
C.某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数
D.方程的实根个数
9.（多选）如果是一个随机变量，那么下列命题中的真命题有( )
A.的每一个可能值的概率都是非负数 B.的所有可能值的概率之和是1
C.的取值与自然数一一对应 D.的取值是实数
10.下列对于随机变量的说法正确的是___________________(填写出所有正确的序号).
①随机事件个数与随机变量一一对应；
②随机变量与自然数一一对应；
③随机变量的取值是实数.
答案及解析
三、知识梳理
1.随机变量 取值范围
2.互斥
3.
四、例题讲解
例题1
解：(1)用FZ表示第1枚硬币反面朝上，第二枚硬币正面朝上，其他事件用相同方法表示，则样本空间Ω={FF，FZ，ZF，ZZ}
(2)因为有可能没有硬币正面朝上，也有可能恰有一枚硬币正面朝上，还有可能两枚硬币都正面朝上，因此X的取值范围是{0，1，2}.
例题2
（1）因为 X=3 表示超额完成了3件产品，
所以按照奖励制度可知 Y= 100×3=300. 依照题意可知 Y=100X.
（2）由于 X 的取值范围是 {0，1，2，3， ，50}，
因此 Y 的取值范围是{0，100，200，300， ，5000}.
例题3
解：（1）当X=110时，表示工作了110个小时，
所以Y=110×3+1000=4300.
根据题意有Y=30X+1000.
（3）∵X≤120 30X≤3600 30X+1000≤4600 Y≤4600，
∴P(Y≤4600)=P(X≤120) = 0.6，
从而P(Y>4600) = 0.4.
五、课堂练习
1.答案：D
解析：因为10个球中有3个白球，7个红球
所以从中任意取3个出来，取出的白球数量可能为0个、1个、2个、3个，
故选：D.
2.答案：B
解析：对于A：所取球的个数为2个，是定值，故不是随机变量，故选项A不正确；
对于B：从中任取2个其中含红球的个数为0，1，2是随机变量，故选项B正确；
对于C：所取白球与红球的总数为2个，是定值，故不是随机变量，故选项C不正确；
对于D：袋中球的总数为7个，是定值，故不是随机变量，故选项D不正确；
故选：B.
3.答案：A
解析：因为随机变量为一个变量，
而A中两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数，
所以不能作为随机变量，
故选：A.
4.答案：B
解析：由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中某个，故两次抽取球号码之和X的可能取值是2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个.
故选：B.
5.答案：A
解析：∵抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件，∴出现7点的次数不能作为随机变量.
6.答案：C
解析：根据变量X的意义可知：表示前3次投篮均未命中，
可以进行第四次投篮，则投篮次数为4次.
故选：C.
7.答案：B
解析：从袋中每次取出一个球，不放回，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出白球，也有可能取完6个红球后才取出白球.
8.答案：C
解析：根据随机变量的定义可知，随机变量的结果都可以数量化，是不确定的，由试验结果决定，满足条件的只有取到白球的个数，可以是0，1，2.
故选：C.
9.答案：300，100，-100，-300
解析：可能有全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，-100分，-300分.
10.答案：-1，0，1，2，3
解析：表示甲队抢到1道题且答错，乙队抢到2道题且均答错.表示甲队没有抢到题，乙队抢到3道题且至少答错其中的2道题，或甲队抢到2道题且答对1道题，答错1道题，乙队抢到1道题且答错.表示甲队抢到1道题且答对，乙队抢到2道题且至少答错其中的1道题，或甲队抢到3道题且答对其中的2道题，乙队没有抢到题.表示甲队抢到2道题且均答对.表示甲队抢到3道题且均答对.则X的可能取值是-1，0，1，2，3.
六、课后练习
1.答案：B
解析：根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故.
故选：B.
2.答案：D
解析：由于赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，所以可以分成两种情况，即或，即甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次.
故选：D.
3.答案：B
解析：由题意知表示的随机试验结果为一枚是3点，另一枚是1点或两枚都是2点.
4.答案：D
解析：任取2支钢笔的单价（单位：元）的所有可能情况为，，，，，，故取到的钢笔的较高单价为20元，30元，40元，即Y的所有可能取值为20，30，40.
5.答案：C
解析：由随机变量的概念可知，标准状态下，水在100℃时会沸腾不是随机变量.
6.答案：BC
解析：因为随机变量的每一个取值均代表一个试验结果，试验结果有有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个，因此A错误；
因为抛掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准，如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量，的取值是0，1，因此B正确；
由随机变量的定义可知选项C正确；
球的体积为时，球的半径为定值，不是随机变量.D错误.
故选：BC.
7.答案：BD
解析：对于A，所取牌的个数为4，是一个常数，不是随机变量，所以A错误；
对于B，4张牌中所取正牌和大王的总数可能为3，4，所以是随机变量，所以B正确；
对于C，这副牌中正牌的个数为52，是一个常数，不是随机变量，所以C错误；
对于D，4张牌中所取出的副牌的个数可能为0，1，2，所以是随机变量，所以D正确.
故选：BD.
8.答案：ABC
解析：随机变量的定义：做一次试验，其结果有多种可能；选项ABC都符合随机变量的定义，故ABC都正确；方程的实根个数是2，是确定的，不是随机变量，故D错误.故选：ABC.
9.答案：ABD
解析：根据概率性质可得取每一个可能值的概率都是非负数，所以A正确；取所有可能值的概率之和是1，所以B正确；的取值是实数，不一定是自然数，所以C错误，D正确.
故选：ABD.
10.答案：③
解析：引入随机变量，使我们可以研究一个随机试验中的所有可能结果，所以随机变量的取值是实数，故③正确.