三次函数专题练习-2026届高三数学一轮复习（含解析）

三次函数专题练习
1、三次函数的图象与性质
三次函数f (x)=ax +bx +cx+d(a≠0)的图象有六种，如图：
对函数f (x)=ax +bx +cx+d(a≠0)进行求导：f '(x)=3ax +2bx+c 是二次函数，原函数的极值点与单调性与导函数的正负有关，所以容易发现导函数中的参数a 与△的符号起决定性作用.
(1)a的影响分类：
当 a 为正时，原函数的图象应为上图中的(1)、(3)、(5)三种情况；
当a 为负时，原函数的图象则为(2)、(4)、(6)三种情况.
(2)判别式的影响分类：
当△>0时，二次方程f '(x)=0有两相异实根x ,x , 且在x ,x 的两边f '(x)的符号相反，故函数f (x)存在两个极值点，图象为上图中的(3)、(4)两种；
当△=0时，二次方程f '(x)=0有两相等实根，且在根的两边f '(x)=0的符号相同，这时函数f (x)只存在驻点(但不是极值点),函数的图象为上图中(1)、(2)两种，
当△<0时；方程f '(x)=0无实根，f '(x)的值恒为正(或负),函数的图象为上图中的(5)、(6)两种.
2、三次函数的对称中心：
三次函数是中心对称曲线，且对称中心为
解读：(1)仔细观察图象，我们还不难发现三次函数是中心对称曲线，这一点可以得到进一步的验证：设 f(m-x)+f(m+x)=2n,得[a(m-x) +b(m-x) +c(m-x)+d]+[a(m+x) +b(m+x) +c(m+x)+d]=2n，整理得，
(6ma+2b)x +(2am +2bm +2mc+2d)=2n.
据多项式恒等对应系数相等，可得且n=am +bm +mc+d, 从而三次函数是中心对称曲线，且由n=f(m)知其对称中心(m,f(m)) 仍然在曲线上，
(2) 的特殊意义：对函数f(x)进行两次求导，f"(x)=6ax+2b再令等于0,得 ,恰好是对称中心的横坐标，这可不是巧合，因为满足f"(m)=0 的 m 正是函数拐点的横坐标，这一性质刚好与图象吻合.
3、三次函数的切线：
(1)曲线上的点的切线：过三次曲线的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除 对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有二条.
由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为 f(x)=ax +bx.
若M（x1,y1）是三次曲线f(x)=ax +bx上的任一点，设过M的切线与曲线y=f(x)相切于（x0,y0），则切线方程为y-y0=f'(x0)（x-x0），因点M上在此切线上，故y1-y0=f '(x0)（x1-x0），又y0=ax0 +bx0，y1=ax1 +bx1，所以ax1 +bx1-(ax0 +bx0)=(3ax02+b)（x1-x0）,
整理得：(x0-x1)2(2x0+x1)=0，解得，x0=x1或x0=.
综上所述，
当点M 是对称中心即x =0时，过点M 作曲线的切线切点是惟一的，且为M,故只有一条切线；
当点M 不是对称中心即x ≠0时，过点M 作曲线的切线可产生两个不同的切点，故必有两条切线，其中一条就是以 M 为切点(亦即曲线在点M 处)的切线.
(2)过曲线外一点的切线：
过1、4区域内的点作函数曲线的切线，有且仅有3条；
过2、3区域内的点作函数曲线的切线，有且仅有1条；
一、单调性问题：
例题1:已知函数f(x)=-x +ax -x-1 在(-∞,+∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
变式1:已知函数f(x)=2x -mx +2(m>0) 的单调递减区间为(a,b), 若b-a ≤ 2, 则 m 的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.6
变式2:如果函数在区间(1,4)内为减函数，在(6,+∞)上为增函数，则实数a的取值范围是( )
A.a≤5 B.5≤a≤7 C.a≥7 D.a≤5或a≥7
变式3:已知函数在区间(0,1)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )
A.(0,2) B.(0,1) C.(0,+∞) D.(2,+∞)
二、极值(最值)问题：
例题1:若函数在区间上有极值点，则实数a 的取值范围是( )
A. B. C. D.
例题2:(多选题) 已知函数f(x)=2x -a +b 若f(x)区间[0.1]的最小值为-1且最大值为1，则a的值可以是( )
A.0 B.4 C. D.
例题3:已知函数f(x)=x -3x +5,g(x)=m(x+1)(m∈R), 若存在唯一的正整数x0,使得f(x0)A. B. C. D.
变式1:已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.[2,+∞) C. D.
变式2:函数在(0,4)上无极值，则m= ·
变式3：已知函数，则下列命题正确的有： ·
①
②
③
④
变式4:设函数f(x)=x -3x -ax-a+5,若存在唯一的正整数x0,使得f(x0)<0,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
三、零点问题：
例题1:已知函数 ,则方程3[f(x)] -2f(x)-1=0 实根的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
例题2:已知函数,若函数g(x)=2f(x)-ax恰有2个不同的零点则实数a的取值范围是 ·
变式1已知函数f(x)=x +(a+2)x +bx+c(a,b,c∈R) 若存在异于a 的实数m,n(m≠n) 使得f(m)=f(n)=f(a), 则b的取值范围为( )
A.(-∞,1) B.(-∞,1] C. D.
变式2:已知函数的两个极值点(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)分别为x 、 x2, 且 x (1)证明：函数f(x) 有三个零点；
( 2 ) 当x∈[m,+∞)时，对任意的实数a,f(x )总是函数f(x)的最小值，求整数m的最小值.
四、切线问题：
例题1:已知函数
(1)求曲线y=f(x)在点P 处的切线与x轴和y 轴围成的三角形面积；
(2)若过点(2,a)可作三条不同直线与曲线y=f(x)相切，求实数a 的取值范围.
例题2:过原点向曲线y=x +2x +a可作三条切线，则实数a的取值范围是 ·
变式1:已知函数f(x)=x -3x, 若过点M(2,t)可作曲线y=f(x)的两条切线，且点M 不在函数f(x)的图象上，则实数t的值为 ·
变式2:已知函数f(x)=-x +2x -3x, 若过点P(-1,m)(其中m是整数)可作曲线y=f(x) 的三条切线，则m 的所有可能取值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
变式3:已知函数，f(x)满足f(x)+f(-x)=4，已知点M 是曲线y=f(x)上任意一点，曲线在M 处的切线为l.
(1)求切线l的倾斜角α的取值范围；
(2)若过点P(1,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围.