人教A版选择性必修一单元测试卷1.1空间向量及其运算滚动测试卷一 （含解析）

1.1空间向量及其运算滚动测试卷一
一、单选题
1．如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知平行六面体（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四面体ABCD中,,点M在AB上，且，点N是CD的中点,则 =
A． B．
C． D．
4．已知是空间的一个基底，若，，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
5．已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法正确的是（ ）
A．与AC所成角的余弦值为 B．
C．向量与的夹角是60° D．
7．在四棱柱中，四边形是边长为2的菱形，，，，则下列结论中正确的个数为（ ）
①；②；③平面；④四棱柱的体积为.
A．4 B．3 C．2 D．1
8．在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是平四边形，设，，，则可表示为（ ）
A． B．2 C． D．2
二、多选题
9．（多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知正方体的中心为，，则满足的可以是（ ）
A． B． C． D．
11．在棱长为的正四面体中，过点且与平行的平面分别与棱交于点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当分别为线段中点时，与所成角的余弦值为
C．线段的最小值为
D．空间四边形的周长的最小值为
三、填空题
12．已知向量，，且满足，则的值为 ．
13．如图，已知四棱柱的底面是边长为1的正方形，且，，则 ．
14．已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 .
四、解答题
15．已知，与、的夹角都是，并且，，．计算：
(1)；
(2)．
.
16．平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，.

(1)用向量，，表示向量；
(2)求线段的长度．
17．如图，四边形ABCD ABEF都是平行四边形且不共面，M N分别是AC BF的中点，判断与是否共线？
18．已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，．
(1)求，为邻边的平行四边形的面积S；
(2)求，夹角的余弦值．
19．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值试卷第2页，共4页
试卷第1页，共4页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D C B D A D BCD AC
题号 11
答案 ABD
1．D
【详解】由题意可得
.
故选：D
2．C
【详解】在平行六面体中，==.
故选：C
3．D
【详解】解：点在上，且，点是的中点，
，，
，
又，
，
故选D．
【点睛】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，向量的线性运算，难度中档．
4．C
【详解】，，
因为，所以，解得，
所以.
故选：C
5．B
【详解】设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，
所以，，
所以，
又点Р在正方体表面上运动，
所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为；
所以，
所以的取值范围为，
故选：B
6．D
【详解】依题意以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以、、、是等边三角形，
在菱形中，，设，
A选项，在三角形中，，
所以，所以A选项错误.
B选项，，
，
所以，B选项错误.
C选项，由于，所以向量与的夹角即向量与的夹角，
而是等边三角形，所以与的夹角为，C选项错误.
D选项，在等边中，是的中点，所以，
由于平面，
所以平面，由于平面，
所以，所以D选项正确.
故选：D
7．A
【详解】因为，所以在底面内的射影落在直线上，所以，又，，所以平面，且平面，所以，故①正确；因为，所以
，所以，故②正确；因为，根据勾股定理，得，从而，因为，可得平面，故③正确；在中，，即为四棱柱的高，所以,故④正确；
故选：A.
8．D
【详解】如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，则，
在中，，
在中，，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的加法的几何意义，其中解答中熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
9．BCD
【详解】对于A，，
结果不一定为零向量，故A错误；
对于B，
，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选：BCD.
10．AC
【详解】由，正方体如下图示，
根据向量数量积的几何意义有，，
，
综上，满足的可以是、.

故选：AC
11．ABD
【详解】
由题知，//平面，而平面平面，平面，根据线面平行的性质定理可知，//，
又，
即，故，A选项正确；
连接，易得，又，于是（三线合一），故，
取中点，连接，由中位线可知，在中由余弦定理，，即，
由//，与所成角即为（或其补角），在中根据余弦定理，，B选项正确；
根据B选项分析，当分别为线段中点时，，C选项错误；
由//，由于为正三角形，则也是正三角形，故，故四边形的周长为：，当为中点，即时，有最小值.
即空间四边形的周长的最小值为，D选项正确.
故选：ABD
12．
【详解】依题意，由于，所以，即，解得.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查空间向量垂直的坐标表示，考查空间向量的线性运算，属于基础题.
13．
【详解】设 ，，， 则 ，
底面是边长为1的正方形，且，，
则有，，，，，，
则 ，
所以.
故答案为：
14．
【详解】

设的中点为，因为动点满足，所以，
即点在以为球心，以为半径的球面上.
因为，所以.
因为正四面体的棱长为4，所以，
在三角形中，，.
取的中点为，，
所以在上的投影向量的模为，所以.
设，夹角为，
所以.
因为，
所以，即的最大值为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，与、的夹角都是，并且，，，
故
；
（2）
.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为为中点，为中点， ，，，
所以
（2）因为平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，
所以，，，
所以
所以，即线段PM长为
17．共线.
【详解】因为M N分别是AC BF的中点，而四边形ABCD ABEF都是平行四边形，
所以.
又，
所以.
所以，
即，即与共线.
18．【详解】（1）根据条件，，∴；
∴；
（2）
；
，
；
∴..
19．(1)；
(2).
【分析】（1）由点为的中点，可得，而，代入前面的式子化简可得结果；
（2）由（1）可知，由于，再利用数量积的运算律结合已知条件可求得结果.
【详解】（1）因为点为的中点，所以，
因为，所以，
所以，
所以；
（2）由（1）得，
因为，，
所以
.
答案第2页，共9页
答案第1页，共9页