5.1.1 任意角 人教版高一上学期数学必修第一册教学设计（表格式）

《任意角》教学设计
课题 任意角 课型 新授课
授课对象 高一学生 课时安排 1课时
教 学 内 容 分 析 本课时是《普通高中教科书·数学（必修第一册）》（人民教育出版社A版）第五章《三角函数》第1节“任意角与弧度制”第1课时的内容，是高中《三角函数》章节的起始课。 三角函数作为研究周期性现象的变化规律的基本数学模型，其研究的基本量是“角”。学生在初中时对角已有了一定的认识，但有局限，本课时既是对初中所学角相关知识的承接，也是铺垫了接下来对三角函数的研究，起着统领整个章节教学的功能。 本课时在概念建立过程中隐含概括、归纳、抽象、类比等思想方法和思维方法，注重结合现实背景材料，利用图像的直观性来研究问题的方法，引导学生利用数形结合的思想，从更广阔的角度（旋转方向、旋转量（超出360°）思考并对角的概念进行扩充，并在此基础上学习象限角和终边相同的角的集合表示，在该过程中，学生发展抽象思维、提高类比学习、逻辑推理等能力，提升数学素养。
学 情 分 析 1.学生的学习情况分析： ①学生在初中时对角已经有了一定的认识，熟悉了角的概念、角的表示、角的分类、角的范围、角的计算等等，但具有一定的局限性，比如没有强调角的旋转方向，旋转量的认知限制在0°~360°之间。 ②学生具有一定的概括归纳、类比、逻辑推理等能力，学习了实数的相关知识，能够在此基础上通过数轴上的实数去类比学习零角、正角、负角的概念，并能够判断任意角的正负，从而完成对角的概念进行扩充的学习。进一步的，学生也能够在教师的引导下，通过类比实数的加减运算，学习角的计算。 ③学生可能较难理解在直角坐标系内讨论角的优势，在学习终边相同角的集合表示时可能觉得抽象 2.学生的心理状态分析： 高一学生正处于经验性抽象思维到理论性抽象思维的过渡期，思维活跃、活泼好动，学生容易注意力不集中，因此需要管理好课堂，充分调动学生的积极性，创设出更有利于学生理解的教学活动，帮助学生更好地理解知识。
教 学 目 标 ①经历对现实情境的观察，了解任意角的概念，能够区分正角、负角与零角。 ②经历在直角坐标系中讨论角的过程，理解象限角的概念，能判断给出角是否是象限角以及是第几象限角，发展分类探究思想。 ③理解并掌握终边相同的角的概念和集合表示方法，80%的学生能熟练写出终边相同的角所组成的集合，体验从特殊到一般归纳的数学方法。
教学重点 将0°~360°的角扩充到任意角，理解什么是象限角并能判断。
教学难点 用集合来表示终边相同的角。
教 学 策 略 教学工具设计 “几何画板”的使用 比如，可以利用多媒体演示画图，把“终边相同的角相差360°的整数倍”这一特征展现出来，把抽象内容直观化、具体化；又比如在研究象限角和轴线角时，可以利用几何画板展示终边在直角坐标系中的位置变化，用不同的颜色，加深学生对知识的理解。 教学策略设计 根据“有意义接受学习“理念，考虑教学实效性，通过结合实际，问题驱动思考，适当辅之以自主探索。 抛锚式的教学策略 教师给出“研究摩天轮位置变化”的实际问题，来进行“抛锚”，在实例驱动下既聚焦本课时的学习重点，还锻炼了学生将实际问题转化为数学问题研究的能力，发展数学“三会”。 类比与旧知衔接 在扩充角的概念，学习角的计算等时，教师通过类比实数，引导学生在旧知基础上，结合自主探索学习概念。在衔接之前学习角的形成过程，强调研究角则可固定始边研究终边位置变化，为过渡到将角放在直角坐标系中研究铺垫。 启发式学习 比如希望学生主动发现理解在直角坐标系中讨论角的优势，可以结合多媒体展示直角坐标系中始边固定时，角的形成、旋转，可以逐渐引导学生发现角的终边位置随着角的变化而变化，方便后续问题研究。 问题式教学策略 通过一系列环环相扣的问题，一方面可以激发学生的学习兴趣，另一方面良好的问题链设置，在追问过程中，学生可以越来越集中地去思考，去构建知识框架。
教学过程
教学环节 师生活动 设计意图
章 节 引 入 教师： 展示PPT，向同学们展示现实中的周期性现象（月有阴晴圆缺，钱塘江大潮的潮汐变化）并给出周期性变化的文字描述。 教师： 函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，之前我们学习过幂函数、指数函数和对数函数，这些函数刻画现实问题中不同的变化规律。那么，在数学中又如何刻画客观事物中的周期性变化规律呢？这就是我们本章学习的重点——三角函数。 学生：体会并理解，展开思考。 从现实世界出发，联系之前学习过的函数，引出本章节的学习主要目标，介绍三角函数学习的必要性。同时能够回忆先前研究函数的一般方法：因为研究函数需要研究函数的定义域。则学习三角函数要先研究角，就要对角进行扩充，能让学生更理解教材为什么要在章节起始先学习任意角，强调了角的概念扩充的必要性，可以激发学生的探知兴趣以及提高其对《任意角》学习的重视程度。
聚 焦 重 点 教师：现实生活中还有哪些周期性现象呢？ 学生：有时钟指针的摆动、游乐场的摩天轮等等...... 教师活动：展示时钟、摩天轮模型教具，并询问学生：老师在坐摩天轮的时候，想研究自己（所在座舱）的位置变化，可以如何研究呢？ 学生：思考并尝试回答问题。 教师：同学们，我们可以用数学的方法来研究问题，也就是说，我们可以把这个实际问题抽象为数学问题，即可以转化成研究圆上一点的位置变化。同时，为了方便进一步的研究，可以将其转化为在单位圆上一点的位置变化。 教师：圆周上如何刻画一个点的运动呢？大家来看以下这个图，我们如何来刻画点P的位置变化？大家可以先看看，在这个图上，P点有什么特别的地方？ 学生：P点是射线OP和圆的交点。 教师：很好，那我们再来观察一下，我们会发现还有另一条射线OA，那么这两条射线有什么关系呢？ 学生：思考但不一定能给出回答。 教师：大家来看一下，射线OA和射线OP之间形成了一个角，所以我们是不是可以这样解释这个图：射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角，如果这个角确定了，角的终边位置OP也就确定了？ 学生：是的，OP确定了，OP与圆的交点P也确定了。 教师：也就是说，我们可以借助这个角的大小来刻画点P的位置变化。结合这个图，由初中知识可知，射线OA绕点O逆时针旋转一周回到起始位置，得到0°~360°的角 。假如继续旋转，这个角是不是就超出这个范围？那么，我们现在已有的知识不能解释这个实例。为了借助角的大小变化刻画圆周运动，我们势必要扩大角的范围。这就是本节课的一个学习重点——《任意角》。 通过讨论现实中的问题，首先引导学生能将实际问题抽象为数学问题，强调数学在观察、思考、表达中的重要性，发展数学“三会”。同时，设置问题链驱动，学生通过思考，步步剖析，发现要解决研究位置变化这个问题就要去研究角，提高发现数学问题本质的能力。最后，结合实例与已有认知的冲突，学生又再次理解任意角学习的必要性，激发学习兴趣，引起重视。
情 境 结 合 教师活动：展示 教师：现实中有很多超出0°~360°范围的角，这个范围数学中叫旋转量，如第一个图中芭蕾舞舞者旋转2圈，即旋转量是720°；第2张图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮与主动轮有相反的旋转方向，即OA绕点O旋转所成的角与O'B绕点O'旋转所成的角就会有不同的旋转方向.因此，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就是我们扩充角的概念的维度。 借助对图像的观察分析，让学生从直观的展示中碰撞知识局限，充分调动学生参与课堂教学活动，引导学生从旋转量和旋转方向两个方面去对角的概念进行扩充，不仅可以让学生更好地接受新知，同时也能让学生明白，新概念的学习，可以在旧知识的基础上，结合现实突破知识局限，发散思维从不同维度研究，从而学习新概念。
概 念 构 建 教师：根据刚才分析，今天我们学习的角要在初中学习的角的基础上，从旋转量和旋转方向两个维度对角的概念进行扩充。那我们先来考虑角的旋转方向：旋转方向有逆时针旋转和顺时针旋转两个方向，那大家可以类比一下之前学习的实数，在数轴上，以0为原点，在原点右方向的为正数，在原点左方向的为负数，并用正负号区分。那么，我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角。同样的，正负角也可以用正负号区分表示。这样，我们就把角的概念推广到了任意角。 （接下来，同样可以类比实数，学习任意角的相反角、角的加减计算） 教师：有时候，为了方便研究，会在直角坐标系内讨论角：，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，为什么这样做？会带来什么便利？ 师生互动：引导学生发现在直角坐标系中讨论角的好处（始边统一性、终边位置变化直观性，） 教师：现在我们来观察在直角坐标系中研究的角，当始边确定、角确定后，其终边所在位置会随角的变化而处在不同的象限，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.（同时这里还要继续引导学生注意特殊情况：轴线角）。于是通过角的终边位置可以将角进行分类。 教师：在直角坐标系中给定一个角，有唯一的一条终边与之对应，那么反过来，对于直角坐标系内任意一条射线OB（如图），以它为终边的角是否唯一？ 学生：终边是OB的角并不唯一。 教师：如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？比如-32°和-392°，-32°和328°？（这里可以动手画一下示意） 学生：它们相差一周360° 教师：是的，再转一周是不是依然可以回到这个位置？所以，在这里，与-32角终边相同的这些角都可以表示成-32°的角与k个(k∈Z)周角的和，如 328°=-32°十360°(这里k=？)， -392°=-32°-360°(这里k=？). 学生：回答 师生活动：结合上述探究，归纳出当某个角确定，与其终边相同的角可以用一个集合来表示，并让学生尝试将该集合写出来。并回到一开始的情境：摩天轮的位置变化，提问：如果老师在最高点，那么，与老师所在线上终边相同的角用集合如何表示？ 通过问题链和问题情境的设置，学生开始了角的概念扩充的本质思考。接下来，通过类比实数，去研究关于角的计算等知识点，在这个概念形成的过程，发展类比数学思想； 在对数学问题研究的过程中，进行严格的数学刻画，学生通过角放在直角坐标系中图像启发，感受在直角坐标系中研究角的优势，经历通过终边位置对角进行分类，培养学生分类探究的思想；通过数与形结合的方式，由直观到抽象，由特殊到一般，将终边相同的角用集合表示，从而进一步解决问题。 最后，呼应开头情境，解决问题。
课 堂 小 结 同学们,通过本节课的学习，你们有哪些收获？ 学生总结, 提高学生的归纳概括能力，重视思想方法的总结，提高学生的数学核心素养。
布 置 作 业 师生互动：引导回顾本节课重点学习的概念，并完成： 例1：大家可以指出图中给出的角是正角还是负角？能不能把未给出具体角度的角表示出来？ 例2：-150°+30°=？请计算出来并在直角坐标系内画图表示一下这个结果通过旋转如何得到？ 例3：755°是第几象限角？可以把与它终边相同的角用集合表示出来吗？ 例4：如何把终边在x轴或y轴上的角用集合表示出来？ 通过解决具体问题，来真正理解本节课所学概念的本质，在对概念的辨析和运用中，回顾概念的来龙去脉，在发展学生学习主体性的同时，通过一定的训练加深对概念的理解，结合思维训练，提高数学认知水平，并且有利于提升一定的数学能力。
板 书 设 计
教 学 反 思 成功经验：用摩天轮等生活实例引入概念，学生比较容易过渡到本节课学习重点；通过类比实数，学生更容易学习并接受“正角、负角、零角”的概念；之后的习题设置有“阶梯性”，能联系学习顺序起到巩固概念学习，加深理解；情境引入能激发学习兴趣。 不足之处：可以增加一些概念辨析的题目更好地深入理解；可以差异化指导：针对学困生设计“角的旋转”动手操作（如使用量角器模拟）；增加开放性任务（如“用任意角描述一种周期性现象”）。