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2.4.1有理数的乘方
学科 数学 年级 七年级上册 课型 新授课 单元 第二单元
课题 有理数的乘除运算 课时 2.4.1
课标要求 义务教育数学课程标准中，要求学生理解乘方的意义，掌握有理数乘方的运算及符号规律，体会乘方是相同因数乘法的简便运算，发展数感与符号意识，为后续有理数混合运算、幂的运算等内容奠基。
教材分析 本节课是有理数运算的拓展，教材以细胞分裂的实际情境引入，将实际问题抽象为乘方运算，既体现数学的实际应用价值，又自然引出乘方的定义、各部分名称与运算，是从乘法到更高次运算的过渡，为整式运算、幂的性质等后续知识提供基础。
学情分析 学生已掌握有理数乘法运算，具备一定观察归纳能力，但对 “多个相同因数相乘的简便表示” 的必要性及乘方（尤其是负数乘方）的符号规律理解较浅，需通过实例与操作突破认知难点。
教学目标 1.理解乘方意义，能正确读写、运算乘方 2.经实际情境抽象乘方概念，培养抽象概括与运算能力
教学重点 乘方的意义及有理数乘方的运算，包括正确识别底数、指数，掌握正、负数的乘方运算方法。
教学难点 负数的乘方与乘方的相反数的区别，以及乘方运算中（尤其是底数为负数时）符号的确定规律。
教法与学法分析 教法采用情境教学法（以细胞分裂等情境引入）、讲授法（讲解定义与规则）、探究法（归纳符号规律）；学法倡导自主探究（通过运算实例总结方法）、合作交流（辨析负数乘方等易错点），深化对乘方的理解，提升运算与思维能力。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 古代有位国王想赏赐国际象棋的发明者。发明者请求：‘请在棋盘的第1格放1粒米，第2格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒……依此类推，每一格的米数都是前一格的2倍，放满64格即可。’国王觉得这要求微不足道，爽快答应，结果却发现，全国的米都不够放满棋盘！ 请学生以小组为单位，计算“前5格的米数”，并尝试推测“第64格的米数”： 第1格：粒； 第2格：粒； 第3格：粒； 第4格：粒； 第5格：粒； …… 大家发现了吗？从第2格开始，米数都是多个2相乘。比如第3格是个相乘，第4格是个相乘……那第64格，会是多少个相乘呢？ 如果要把‘63个2相乘’写出来，式子会是什么样？（学生：，写63个）这么长的式子，写起来是不是很麻烦？有没有更简便的表示方法呢？ 教师讲述 “棋盘放米” 故事，布置计算前 5 格米数、推测第 64 格米数的任务，引导学生观察米数与 “2 的相乘次数” 的关联，进而思考长乘法式子的简便记法。 学生以小组为单位合作计算前 5 格米数，发现米数是 “多个 2 相乘” 的规律，尝试用乘法式子描述第 64 格米数，感受长乘法式子书写的不便。 通过趣味故事激发学生学习兴趣，让学生在合作探究中初步感知 “多个相同因数相乘” 的场景，为后续引出乘方定义做铺垫。
环节二：新知讲解 乘方的引入（细胞分裂）： 如图2-11，某种细胞每过 便由1个 分裂成2个。经过 ，这种细胞能由1个分裂 成多少个？ 图2-11 1个细胞经过 分裂成2个，经过1h分裂成 个，经过 分裂成 2个…… 经过 分裂10次，分裂成 （个）。 为了简便，可将 记为 。 一般地， 个相同的因数 相乘，记作 ，即 乘方的定义： 这种求 个相同因数 的积的运算叫作乘方（power），乘方的结果叫作幂（power）， 叫作底数（base number）， 叫作指数（exponent）， 读作” 的 次幂”（或“ 的 次方”）。 拓展题目：某种特殊细胞每过20分钟便由1个分裂成3个。经过4小时，这种细胞能由1个分裂成多少个？请用乘方表示并计算结果。 解题思路： 计算分裂次数：4小时 = 240分钟，每20分钟分裂一次，因此分裂次数为 240÷20=12 次。 分析分裂规律：1个细胞分裂1次后变为 3 个（即个）；分裂2次后变为 3×3= 个；……以此类推，分裂12次后，细胞个数为 12个3相乘，用乘方表示为。 计算乘方结果：=3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3=531441。 答案：经过4小时，这种细胞能由1个分裂成 个，即 531441 个。 教师展示细胞分裂示意图，结合 “每 30 分钟分裂一次” 的条件引导学生计算 5 小时内的分裂次数与细胞个数表达式，讲解乘方的定义、底数、指数、幂的概念及读写方法，再呈现特殊细胞分裂拓展题并引导分析分裂次数与乘方的关系。 学生跟随教师分析细胞分裂的数量变化，理解 “10 个 2 相乘记为 2 ” 的简便性，识记乘方各部分名称及读写规则，尝试用乘方表示特殊细胞分裂 12 次后的个数。 以细胞分裂的实际情境为载体，将抽象的乘方概念与具体实例结合，帮助学生理解 “乘方是相同因数乘法的简便运算”，初步学会运用乘方解决同类实际问题。
环节三：延申探究 3.思考·交流（乘方实例）： 你能举出有关乘方运算的实例吗？与同伴进行交流 回答：例如正方形面积是边长的平方（如边长为，面积为）；正方体体积是边长的立方（如边长为，体积为） 例题1 计算： (1） ： (2）(-3) ； (3） （20 (4)-(-2)
解： （1）
4.尝试·思考 有一张厚度为 的纸，将它对折1次后，厚度为 。 （1）将这张纸对折2次后，厚度为多少毫米？ 厚度为。 （2）假设可以将这张纸对折20次，那么对折20次后厚度为多少毫米？ 厚度计算：。由于，故，因此厚度为。 （3）每层楼的平均高度为3m,这张纸对折20次后大约有多少层楼高？ 楼层估算：，每层楼平均高，故层数约为层（保留整数）。 引导学生列举生活中乘方的实例，讲解例题 1 时示范不同类型乘方的计算过程并强调符号规律，提出折纸厚度问题并引导学生分步骤计算对折 2 次、20 次的厚度及对应楼层数。 学生思考并分享生活中的乘方实例（如正方形面积、正方体体积），学习正数、负数、分数的乘方运算方法，独立或合作完成折纸问题的计算与楼层估算。 让学生感受乘方的实际应用价值，突破 “负数乘方符号判断” 的难点，提升运用数学知识解决实际问题的能力，培养数感与单位换算能力。
环节四：巩固内化，拓展延伸 1.计算下列各题的结果： （1）；（2）；（3）；（4）。 解： （1）； （2）（负数的奇次幂为负）； （3）（负数的奇次幂为负）； （4）（注意：底数是4，不是-4）。 下列各组数的结果是否相等？若不相等，请说明理由： （1）与；（2）与。 解： （1）不相等。理由：（底数为-5，偶次幂为正）；（底数为5，先算乘方再添负号），故结果不相等。 （2）相等。理由：；，故结果相等。 教师呈现基础计算题和两组数结果比较题，巡视学生解题情况，针对 “-4 与 (-4) 的区别” 等易错点进行专项点拨，组织学生核对答案并交流解题思路。 学生独立完成计算题和比较题，区分 “负数的乘方” 与 “乘方的相反数”，完成后与同伴核对答案、分享解题思路，订正错误。 巩固学生对乘方定义、运算规则及符号规律的掌握，及时纠正认知误区，提升运算的准确性和熟练度，为后续混合运算做好准备。
课堂小结 1.通过本节课的学习你收获了什么？ 乘方: n 个相同因数相乘的简便运算”，明确了乘方的各部分名称（底数 a、指数 n、结果幂），能正确读写 a 乘方的应用：将实际问题（如细胞分裂、折纸厚度计算）转化为乘方运算来解决 2.本课主要学习方法或数学思想 “情境抽象思想”“归纳总结法” 与 “转化思想 教师引导学生回顾本节课内容，梳理补充学生的发言，明确乘方的核心知识及数学思想方法。 学生回顾所学，分享在乘方知识上的收获，总结本节课用到的学习方法。 帮助学生构建完整的知识体系，提炼数学思想方法，培养归纳总结能力，促进知识的内化与迁移。
板书设计 有理数的乘方 一、情境引入（右侧留白，可贴细胞分裂示意图） 问题：1个细胞每30分钟分裂成2个，经过5小时分裂成多少个？ 分析： 5小时 = 10个30分钟 → 分裂10次 分裂1次：2个（） 分裂2次：个 …… 分裂10次：个个 简化需求：10个2相乘写起来繁琐，需简便记法 → 引出“乘方” 二、乘方的定义（居中突出，关键信息标红） 定义：求个相同因数的积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂。 表示方法： 个 各部分名称（公式下方标注）： ：底数（相同的因数） ：指数（相同因数的个数，正整数） ：读作“的次幂”或“的次方” 举例：（10个2相乘），底数是2，指数是10，读作“2的10次幂”。 三、乘方的符号规律（左侧分点，配简单示例） 底数符号指数奇偶性幂的符号示例正数任意正负数奇数负负数偶数正特殊数任意（1的任何次幂为1；0的正整数次幂为0）-，
易错提醒：区分“负数的乘方”与“乘方的相反数” （底数-4）： （底数4）： 本节课板书设计以“逻辑递进、重点突出、贴合教学流程”为核心，通过“细胞分裂情境引入铺垫、居中突出乘方定义抓重点、左侧梳理符号规律与易错提醒破难点、右侧‘左题右解’示范例题、左下角折纸问题体现应用价值、右下角留白设练习区”的布局，遵循“情境感知—概念理解—规律掌握—例题示范—应用巩固”的学生认知逻辑，辅助学生高效理解并掌握有理数乘方知识，助力教学目标达成。
作业设计 1.下列关于的说法中，正确的是（ ） A. 底数是-3，指数是4，读作“-3的4次方” B. 底数是3，指数是4，读作“3的4次方的相反数” C. 底数是-3，指数是4，读作“-3的4次幂” D. 底数是3，指数是-4，读作“3的-4次方” 2.下列各组数中，结果不相等的是（ ） A. 与B. 与C. 与 D. 与 3.计算下列各式，结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 4.若，，则的值可能是（ ） A. 2 B. -6 C. 2或-6 D. 以上都不对 5.把个用乘方表示为______，读作______。 6.计算：，。 7.若，则，。 8.一张纸对折1次后有2层，对折2次后有层，对折3次后有______层，对折次后有______层。 9.（1）；（2）；（3）；（4） 10.计算下列各题： （1）；（2）；（3）；（4） 11.计算下列各题： （1）；（2）；（3）；（4） 12.一个正方体的棱长为，若将棱长扩大到原来的倍，求扩大后正方体的体积（正方体体积公式：棱长）。
教学反思 本节课围绕“有理数的乘方”，以情境引入、新知讲解、延伸探究、巩固内化为主线展开教学，从教学效果来看，通过“棋盘放米”和“细胞分裂”两个情境有效激发了学生学习兴趣，帮助学生理解“乘方是相同因数乘法的简便运算”这一核心，学生基本掌握乘方的概念、读写方法及运算规则，多数能区分“负数的乘方”与“乘方的相反数”，“折纸厚度”问题也让学生将知识与生活实际结合，达成了教学目标；但教学中存在对学生个体差异关注不足（练习难度统一导致两极分化）、易错点强化欠缺（部分学生因底数判断或运算顺序混淆出错）、学生自主探究深度不足（举乘方实例依赖教师提示）的问题；针对这些不足，后续教学可设计分层练习满足不同层次学生需求，通过“对比计算表”强化易错点理解，提前布置“寻找生活中的乘方”预习任务并以小组竞赛形式优化探究任务，提升自主探究的深度与广度。
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第二章 有理数及其运算
2.4.1有理数的乘方
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解乘方意义，能正确读写、运算乘方
01
经实际情境抽象乘方概念，培养抽象概括与运算能力
02
02
新知导入
古代有位国王想赏赐国际象棋的发明者。发明者请求：“请在棋盘的第1格放1粒米，第2格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒……依此类推，每一格的米数都是前一格的2倍，放满64格即可。”国王觉得这要求微不足道，爽快答应，结果却发现，全国的米都不够放满棋盘！
请同学们以小组为单位，计算“前5格的米数”，并尝试推测“第64格的米数
02
新知导入
第1格：粒；
第2格：粒；
第3格：粒；
第4格：粒；
第5格：粒；
……
从第2格开始，米数都是多个2相乘。比如第3格是个相乘，第4格是个相乘……那第64格，会是多少个相乘呢？
这么长的式子，写起来是不是很麻烦？有没有更简便的表示方法呢？
1个细胞经过 分裂成2个，经过1h分裂成 个，经过 分裂成 2个……
经过 分裂10次，分裂成
（个）。
03
新知讲解
如图2-11，某种细胞每过 30min 便由1个 分裂成2个。经过 5h ，这种细胞能由1个分裂 成多少个？
为了简便，可将 记为 。
一般地， 个相同的因数 相乘，记作 ，即
03
新知讲解
03
新知讲解
乘方的定义
这种求 个相同因数 的积的运算叫作________（power），乘方的结果叫作_______（power），
叫作_______（base number），
叫作________（exponent），
读作” 的 次幂”（或“ 的 次方”）。
幂
底数
指数
乘方
拓展题目：某种特殊细胞每过20分钟便由1个分裂成3个。经过4小时，这种细胞能由1个分裂成多少个？请用乘方表示并计算结果。
03
新知讲解
03
新知讲解
解析：
4小时 = 240分钟，每20分钟分裂一次，因此分裂次数为 240÷20=12 次。
1个细胞分裂1次后变为 3 个（即个）；分裂2次后变为 3×3= 个；……以此类推，分裂12次后，细胞个数为 12个3相乘，用乘方表示为
=3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3=531441。
答案：经过4小时，这种细胞能由1个分裂成 个，即 531441 个。
思考·交流
你能举出有关乘方运算的实例吗？与同伴进行交流
回答：
例如正方形面积是边长的平方（如边长为，面积为）；
正方体体积是边长的立方（如边长为，体积为）
03
新知讲解
例题1
计算：
(1） ； (2）(-3)4； (3） (4)-(-2)
解：
（1）
03
新知讲解
尝试·思考
有一张厚度为 的纸，将它对折1次后，厚度为 。
（1）将这张纸对折2次后，厚度为多少毫米？
厚度为。
（2）假设可以将这张纸对折20次，那么对折20次后厚度为多少毫米？
厚度计算：。由于，
故，
因此厚度为。
03
新知讲解
楼层估算：，
每层楼平均高，故层数约为层（保留整数）。
（3）每层楼的平均高度为3m,这张纸对折20次后大约有多少层楼高
03
新知讲解
1.计算下列各题的结果：（1）（2）.（3）.（4）
解：
（1）；
（2）
（负数的奇次幂为负）；
（3）（负数的奇次幂为负）；
（4）（注意：底数是4，不是-4）。
04
课堂练习
2.下列各组数的结果是否相等？若不相等，请说明理由：
（1）与；（2）与。
解：
（1）不相等。
理由：（底数为-5，偶次幂为正）；（底数为5，先算乘方再添负号），故结果不相等。
（2）相等。理由：；，故结果相等。
04
课堂练习
05
课堂小结
有理数乘方
n 个相同因数相乘的简便运算”，明确了乘方的各部分名称（底数 a、指数 n、结果幂），能正确读写 a
乘方
将实际问题（如细胞分裂、折纸厚度计算）转化为乘方运算来解决
乘方的应用
1.下列关于的说法中，正确的是（ ）
A. 底数是-3，指数是4，读作“-3的4次方”
B. 底数是3，指数是4，读作“3的4次方的相反数”
C. 底数是-3，指数是4，读作“-3的4次幂”
D. 底数是3，指数是-4，读作“3的-4次方”
06
作业布置
C
2.下列各组数中，结果不相等的是（ ）
A. 与B. 与C. 与 D. 与
3.计算下列各式，结果为负数的是（ ）
A. B. C. D.
4.若，，则的值可能是（ ）
A. 2 B. -6 C. 2或-6 D. 以上都不对
06
作业布置
C
C
A
5.把个用乘方表示为______，读作________________。
6.计算：，。
7.若，则________，。
8.一张纸对折1次后有2层，对折2次后有层，对折3次后有_______________层，对折次后有______层。
06
作业布置
8
-4
64
“-5的6次幂”
（或8）
06
作业布置
9.（1）；（2）；（3）；（4）
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
06
作业布置
10.计算下列各题：（1）；（2）；
（3）； （4）
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
06
作业布置
11.计算下列各题：
（1）； （2）；
（3）； （4）
06
作业布置
解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
06
作业布置
12.一个正方体的棱长为，若将棱长扩大到原来的倍，求扩大后正方体的体积（正方体体积公式：棱长）。
解：
原棱长，扩大倍数为，扩大后棱长为；
扩大后体积。
答：扩大后正方体的体积是512cm
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分课时学案
课题 2.4.1有理数的乘方 单元 第二单元 学科 数学 年级 七年级上册
学习 目标 1.理解乘方意义，能正确读写、运算乘方 2.经实际情境抽象乘方概念，培养抽象概括与运算能力
重点 乘方的意义及有理数乘方的运算，包括正确识别底数、指数，掌握正、负数的乘方运算方法。
难点 负数的乘方与乘方的相反数的区别，以及乘方运算中（尤其是底数为负数时）符号的确定规律。
教学过程
导入新课 古代有位国王想赏赐国际象棋的发明者。发明者请求：‘请在棋盘的第1格放1粒米，第2格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒……依此类推，每一格的米数都是前一格的2倍，放满64格即可。’国王觉得这要求微不足道，爽快答应，结果却发现，全国的米都不够放满棋盘！ 请学生以小组为单位，计算“前5格的米数”，并尝试推测“第64格的米数”： 第1格：粒； 第2格：粒； 第3格：粒； 第4格：粒； 第5格：粒； …… 大家发现了吗？从第2格开始，米数都是多个2相乘。比如第3格是个相乘，第4格是个相乘……那第64格，会是多少个相乘呢？ 回答： 这么长的式子，写起来是不是很麻烦？有没有更简便的表示方法呢？
新知讲解 乘方的引入（细胞分裂）： 如图2-11，某种细胞每过 便由1个 分裂成2个。经过 ，这种细胞能由1个分裂 成多少个？ 图2-11 填空： 1个细胞经过 分裂成2个，经过1h分裂成 个，经过 分裂成 2个…… 经过 分裂10次，分裂成 （个）。 为了简便，可将 记为 。 一般地， 个相同的因数 相乘，记作 ，即 乘方的定义： 这种求 个相同因数 的积的运算叫作_______（power），乘方的结果叫作_______（power）， 叫作________（base number）， 叫作_________（exponent）， 读作_______________________________（或_____________________________）。 拓展题目：某种特殊细胞每过20分钟便由1个分裂成3个。经过4小时，这种细胞能由1个分裂成多少个？请用乘方表示并计算结果。 回答： 3.思考·交流（乘方实例）： 你能举出有关乘方运算的实例吗？与同伴进行交流 回答： 例题1 计算： (1） ： (2）(-3) ； (3） （20 (4)-(-2)
解： 4.尝试·思考 有一张厚度为 的纸，将它对折1次后，厚度为 。 （1）将这张纸对折2次后，厚度为多少毫米？ （2）假设可以将这张纸对折20次，那么对折20次后厚度为多少毫米？ （3）每层楼的平均高度为3m,这张纸对折20次后大约有多少层楼高
课堂练习 1.计算下列各题的结果： （1）；（2）；（3）；（4）。 解： 下列各组数的结果是否相等？若不相等，请说明理由： （1）与；（2）与。
课堂小结 1.本节课你认为自己解决的最好的问题是什么 2.本节课你有哪些收获 有什么体会 请你和同学分享交流。 3.你想进一步探究的问题是什么
课后作业 1.下列关于的说法中，正确的是（ ） A. 底数是-3，指数是4，读作“-3的4次方” B. 底数是3，指数是4，读作“3的4次方的相反数” C. 底数是-3，指数是4，读作“-3的4次幂” D. 底数是3，指数是-4，读作“3的-4次方” 2.下列各组数中，结果不相等的是（ ） A. 与B. 与C. 与 D. 与 3.计算下列各式，结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 4.若，，则的值可能是（ ） A. 2 B. -6 C. 2或-6 D. 以上都不对 5.把个用乘方表示为_________，读作_____________。 6.计算：，。 7.若，则________，。 8.一张纸对折1次后有2层，对折2次后有层，对折3次后有______层，对折次后有______层。 9.计算（1）； （2）； （3）； （4） 10.计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4） 11.计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4） 12.一个正方体的棱长为，若将棱长扩大到原来的倍，求扩大后正方体的体积（正方体体积公式：棱长）。
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