人教A版选择性必修第三册《第六章 计数原理》2025年单元检测（含解析）

人教A版选择性必修第三册《第六章计数原理》 2025年单元检测
一、单选题：本题共11小题，每小题5分，共55分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，称该数为“驼峰数”比如：“”、“”为“驼峰数”，由数字，，，，这五个数字可构成多少个无重复数字的“驼峰数”( )
A. B. C. D.
2.若的展开式中的系数是，则实数的值是( )
A. B. C. D.
3.若等式对任意成立，则的值为( )
A. B. C. D.
4.为了落实中央提出的精准扶贫政策，某市人力资源和社会保障局派人到仙水县大马镇西坡村包扶户贫困户，要求每户都有且只有人包扶，每人至少包扶户，则不同的包扶方案种数为( )
A. B. C. D.
5.的展开式中，常数项是( )
A. B. C. D.
6.某高校大一新生中的名同学打算参加学校组织的“演讲团”“雅荷文学社”“青春风街舞社”“羽乒协会”“吉他协会”五个社团，若每位同学必须参加且只能参加个社团且每个社团至多两人参加，则这个人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法种数为( )
A. B. C. D.
7.若实数，则等于( )
A. B. C. D.
8.用种不同颜色给图中、、、四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )
A. B. C. D.
9.分配名水暖工去个不同的居民家里检查暖气管道．要求名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
10.设，那么的值为( )
A. B. C. D.
11.如图，一环形花坛分成，，，四块，现有种不同的花供选种，要求在每块里种种花，且相邻的块种不同的花，则不同的种法总数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
12.若，则的值可能为( )
A. B. C. D.
13.下列说法正确的是( )
A. 某班位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中各任选一类，不同的结果共有种
B. 用，，三个数字可以组成个三位奇数
C. 从集合中任取个元素组成集合，则集合中含有元素的概率为
D. 两个男生和两个女生随机排成一列，则两个女生不相邻的概率是
14.若，且，则实数( )
A. B. C. D.
15.甲，乙，丙，丁，戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：
甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，；
乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；
丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；
丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；
戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，．
下列结论正确的是( )
A. 最高处的树枝为、当中的一个 B. 最低处的树枝一定是
C. 这九根树枝从高到低不同的顺序共有种 D. 这九根树枝从高到低不同的顺序共有种
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
16.从，，，，，中任取个数字组成无重复数字的三位数，其中若同时含有和时，必须放在的前面，若含有或其中之一时，则应该将其排在其他数字的前面，这样的不同三位数的个数为______个
17.某人某天运动的总时长需要大于等于，现有如下表所示的五项运动可以选择，则共有______种运动组合方式．
运动 运动 运动 运动 运动
点点 点点 点点 点点 点点
18.某学校计划在学校公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏棵银杏树，要求棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有______种
19.早在世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作释锁算数中就给出了二、三、四、五，六次幂的二项式系数表，已知，的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为______用数字作答
20.在的展开式中，的所有奇次幂的系数和为，则其展开式中的常数项为______．
21.用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为______．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.本小题分
某职业中学外贸专业高二班有学生人，高二班有学生人，高二班有学生人参加技能兴趣选拔赛．
如果选一人当组长，那么有多少种选法？
如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？
如果推选两名学生参加市技能大赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？
23.本小题分
用、、、、这五个数字组成无重复数字的自然数．
在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如、等都是“凹数”，试求“凹数”的个数．
24.本小题分
设，若，，成等差数列．
求展开式的中间项；
求展开式中所有含奇次幂的系数和．
25.本小题分
若的展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列．
求的值；
此展开式中是否有常数项，为什么？
答案和解析
1.【答案】
【解析】十位上的数为时，有个
十位上的数为时，有个
十位上的数为时，有个
共有个，
故选：．
十2.【答案】
【解析】的展开式的通项公式：，令，
则的系数是，解得．
故选：．
3.【答案】
【解析】等式对任意成立，
令，则；
故选：．
4.【答案】
【解析】根据题意，分步进行分析：
、将户贫困户分成组，若分成、、的三组，有种分组方法，
若分成、、的三组，有种分组方法，
则有种分组方法，
、将分好的三组全排列，对应派出的人，有种情况，
则有种不同的包扶方案，
故选：．
5.【答案】
【解析】，
第项为：，，
的第项为：，，
展开式中的常数项．
故选：．
6.【答案】
【解析】根据题意，个人中没有人参加“演讲团”，即个人参加除“演讲团”之外的个社团，每名同学必须参加且只能参加个社团且每个社团至多两人参加，
分种情况讨论：
、若剩下个社团都有人参加，分步进行分析：
将人分成组，个组人，个组人，有种分组方法；
将分好的组全排列，对应除“演讲团”之外的个社团，有种情况，
则此时有种参加方法数；
、若人参加个社团，
将人分成组，有种分组方法，
在个社团中任选个，与分好的三个组对应，有种情况，
则此时有种参加方法数；
则则个人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法数为种；
故选：．
7.【答案】
【解析】实数，则，
故选：．
8.【答案】
【解析】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，
区域有种涂法，有种涂法，
，不同色，有种，有种涂法，有种，
，同色，有种涂法，有种，
共有种不同的涂色方案．
故选：．
9.【答案】
【解析】根据题意，分配名水暖工去个不同的居民家里，要求名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查；
则必有名水暖工去同一居民家检查，
即要先从名水暖工中抽取人，有种方法，
再将这人当做一个元素，与其他人，共个元素，分别分配到个不同的居民家里，有种情况，
由分步计数原理，可得共种不同分配方案，
故选C．
10.【答案】
【解析】令，可得 ，
再令可得，
两式相加除以可得，
两式相减除以可得，
结合，故，
故选B．
11.【答案】
【解析】分三类：种两种花有种种法；
种三种花有种种法；
种四种花有种种法．
共有．
故选：．
12.【答案】
【解析】若，
则，
整理得，
即，
因为，解得，
所以，
因为为整数，
故或．
故选：．
13.【答案】
【解析】对于，第一个同学可以参加三个课外兴趣小组任意一个，有种报名方法，
同理其他的三名学生也都有种报名方法，则不同的报名方法有种，故A错误；
对于：先确定个位可从，中任选个数有各种取法，十位可从个数中任选个数有种选法，
同理百位也有种选法，故共有个奇数，故B错误；
对于：从集合中任取个元素有种取法，
含有元素的取法有，集合中含有元素的概率为，故C正确．
对于，两位女生和两位男生站成一排一列，基本事件总数，
两位女生不相邻包含的基本事件个数，
两位女生不相邻的概率，故D正确．
故选：．
14.【答案】
【解析】，且，
可得，可得或．
故选：．
15.【答案】
【解析】由题可判断出树枝部分顺序，还剩下，，不能确定，但树枝在之前，而树枝在之间，在之后，故A正确，不正确；
分种情况讨论：
若在之间，有种可能：
其中若在之间，有种可能，
若在之间，有种可能，
若在之间，有种可能．
若不在之间，则有种可能，此时有种可能，可能在之间，有种可能，可能在之间，有种可能，
综上共有，故C正确，不正确．
故选：．
16.【答案】
【解析】由题意分三类，第一类，不含有和时，有个，
第二类，同时含有和时，必须放在的前面，再从其余个数字中选一个数字插入到和当中即可，有个，
第三类，含有或其中之一时，则应该将其排在其他数字的前面，有个，
根据分类计数原理可得，这样的不同三位数的个数为个．
故答案为：．
17.【答案】
【解析】由题意知，至少要选种运动，并且选种运动的情况中，、、的组合不符合题意；
所以满足条件的运动组合方式为：种．
故答案为：种．
18.【答案】
【解析】在学校公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏棵银杏树，要求棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有：种．
故答案为：．
19.【答案】
【解析】令，得展开式各项系数和为，所以正实数，
由通项公式，得的系数为；
故答案为：．
20.【答案】
【解析】设，
令得：；令得：；
两式作差得：，，；
令得：，即展开式的常数项为．
故答案为：．
21.【答案】
【解析】根据题意，分种情况讨论：
，个格子全染黑色，有种方法，
，第一个格子染黑色，另外五个格子中有个格染白色，剩余的都染黑色，有种方法，
，第一个格子染黑色，另外五个格子中有个格染白色，剩余的都染黑色，有种方法，
，第一个格子染黑色，另外五个格子中有个格染白色，剩余的都染黑色，有种方法，
则有种不同的染色方法；
故答案为：．
22.【解析】一共人，从中选一人当组长，共有选法．
每班选一名副组长为一步，故有种，
分三类，班和班，或班和班，或班和班，
故推选两名学生参加市技能大赛，要求这两人来自不同的班级，有种．
23.【解析】偶数分为二类：
若个位数，则共有个；
若个位数是或，则首位数不能为，则共有个；
所以，符合条件的三位偶数的个数为；
“凹数”分三类：
若十位是，则有个；
若十位是，则有个；
若十位是，则有个；
所以，符合条件的“凹数”的个数为．
24.【解析】依题意，，，由，求得舍去，或．
所以展开式的中间项是第五项为：．
，
即，
令，则，
，则，
所以，
所以展开式中含的奇次幂的系数和为．
25.【解析】由，得：；
化简得：，解得：，或舍，
因此，---------分
由，，且
当时，，
所以此展开式中不存在常数项．---------分
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