2025年高三《第一单元 集合与常用逻辑用语》测试卷（含解析）

2025年高三《第一单元集合与常用逻辑用语》测试卷
一、单选题
1.设，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知集合，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
4.已知集合，，则
A. B. C. D.
5.锐角的内角，的对边分别为，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.下列全称量词命题与存在量词命题中：
设、为两个集合，若，则对任意，都有；
设、为两个集合，若，则存在，使得；
是无理数，是有理数；
是无理数，是无理数．
其中真命题的个数是( )
A. B. C. D.
7.有三支股票，，，位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的倍．在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多在只持有一支股票的人中，有一半持有股票．则只持有股票的股民人数是( )
A. B. C. D.
8.已知非空集合，设集合，分别用、、表示集合、、中元素的个数，则下列说法不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则可能为 D. 若，则不可能为
9.已知命题，的否定是，；命题的一个充分不必要条件是，则下列命题为真命题的是
A. B. C. D.
10.命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
11.定义集合，若，，且集合有个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为( )
A. B. C. D.
12.已知集合，若，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
13.表示实数集，集合，，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
二、多选题
14.下列四个命题中正确的是( )
A. 由所确定的实数集合为
B. 同时满足的整数解的集合为
C. 与集合，，相等的是，，
D. 中含有三个元素
15.下列说法中错误的有( )
A. 命题，，则命题的否定是，
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 命题“，”是真命题
D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
16.通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族若以集合的子集为元素的族，满足下列三个条件：和在中中的有限个元素取交后得到的集合在中中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合上的一个拓扑已知全集，，为的非空真子集，且，则( )
A. 族为集合上的一个拓扑
B. 族为集合上的一个拓扑
C. 族为集合上的一个拓扑
D. 若族为集合上的一个拓扑，将的每个元素的补集放在一起构成族，则也是集合上的一个拓扑
三、填空题
17.设全集，集合，，则 ．
18.已知集合，，若，则的范围是 ．
19.若，，，，表示从左到右依次排列的盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：
对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作
灯在任何情况下都可以进行一次操作对任意的，要求灯的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作．
如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯关闭最少需要 次操作
如果除灯外，其余盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次操作．
四、解答题
20.已知全集，，，求
．
21.设全集，集合，集合．
当时，求，；
若命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
22.已知集合．
若，求；
求实数的取值范围，使___成立．
从，，中选择一个填入横线处求解．
23.设是实数集的非空子集，称集合，且为集合的生成集．
Ⅰ当时，写出集合的生成集；
Ⅱ若是由个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值；
Ⅲ判断是否存在个正实数构成的集合，使其生成集，并说明理由．
24.对于给定集合，，若存在非负实数，，对任意的满足：成立，则称集合具有性质
证明：集合，具有性质
若集合，，具有性质，求的最小值
若集合，，具有性质，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
由题意可知，，
，
故
故选A．
2.【答案】
【解析】
命题的否定是：变量词，否结论，可得命题的否定为：
，
故选A．
3.【答案】
【解析】
，，
，
中元素个数为．
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
直接利用交集的运算法则求解即可．
【解答】
解：集合，，
则．
故选：．
5.【答案】
【解析】因为是锐角三角形，所以，
若，则，即，
又在上单调递增，所以成立
若，且，则，所以成立．
所以“”是“”的充要条件．
故选C．
6.【答案】
【解析】
根据的定义可知，任意，都有，故正确；
若，则存在，使得，故正确；
对于，，是无理数，而是无理数，是有理数，故错误．
故选B．
7.【答案】
【解析】
解：设只持有股票的人数为如图所示，
则持有股票同时还持有其它股票的人数为图中的和，
因为只持有一支股票的人中，有一半没持有或股票，
则只持有或股票的人数和为，即
假设只同时持有或股票的人数为，
那么，
即，
则的取值可能是，，，，，，，，，
与之对应的值为，，，，，，，，．
因为不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的倍，
得，
即，故时满足题意，
故，故只持股票的股民人数是．
故选A．
8.【答案】
【解析】考虑集合元素个数减小的情况，若存在的情况使减小，不妨假设，
中，与同时成立，且，故中有两对相等，即减小，
因此，集合中出现会使得减小
考虑集合元素个数减小的情况，有两类情况：
第一类情况：出现且不等的情况，同上可得减小
第二类情况：出现的情况即三数等差的情况，此时不能保证中出现的
情况，故减小．
对选项A、，当时，最多的和情况有种，故，选项B正确：
又集合中只有个元素时，最多只存在一对，故，
同时中至少有，，共个不同元素，即
因此，，故选项 A正确
对选项C、，当时，同可知，
若存在至少一对，则，
故要使或，则一定不能出现的情况，只能有这样等差的情况，
要使，则只能一组三数等差，比如，，，，，只有一组等差，且，D错误：
要使，则只能两组三数等差，比如，，，，，只有两组等差，且，C正确．
综上所述，
本题选D．
9.【答案】
【解析】 “，”的否定是“，，或”，故命题是假命题；
所以是真命题．
因为，则，但，不能推出，如．
故命题是真命题．
故 是真命题．
故选D．
10.【答案】
【解析】因为，，
则，
所以，
所以，为真命题的充分不必要条件是．
故选C．
11.【答案】
【解析】根据题意：
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，
又因为有个元素，且，
当时，，则满足条件；
当时，，又因为，根据元素互异性，
则，不符合题意，
当时，，又因为，根据元素互异性，
则，不符合题意，
当时，，
当时，满足条件；
当时，满足条件；
所以实数所有取值组成的集合为，
所以实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为，
故选B．
12.【答案】
【解析】因
又因为
即，
所以，
解之得．
故选C．
13.【答案】
【解析】，
而，
，
，
故选D．
14.【答案】
【解析】分别取，同正、同负和一正一负时，
可以得到的值分别为，，，故A正确；
由得，
所以符合条件的整数解的集合为，故B正确；
由，，，
可以得到符合条件的数对有，，，故C正确；
当时，；
当时，，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
所以集合含有四个元素，，，，故D错误，
故选ABC．
15.【答案】
【解析】对于，由存在量词命题的否定是全称量词命题，可知命题的否定是：
，，故A错误
对于，由“”不能推出“”，例如，但
由“”也不能推出“”，例如，而；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误
对于，当时，，故C错误
对于，关于的方程有一正一负根
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确．
故选：．
16.【答案】
【解析】对于，族明显满足条件，
，，满足条件，
故族为集合上的一个拓扑，A正确；
对于，同理可得族满足条件，为集合上的一个拓扑，B正确；
对于，当，，，明显不在中，
则族不为集合上的一个拓扑，C错误
对于，因为，，所以，
设为的任意子集，则，
，
因为，故，
，
因为，故，
故若族为集合上的一个拓扑，将的每个元素的补集放在一起构成族，
则也是集合上的一个拓扑，故D正确．
故选：．
17.【答案】
【解析】由题意得，
，
则，
所以．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】因为，则，
则分两种情况考虑：
若不为空集，可得，解得：，
，，
，且，
解得：，
此时的范围为；
若为空集，符合题意，可得，
解得：，
综上，实数的范围为．
19.【答案】
【解析】因为要把灯关闭，
所以灯，关闭，开灯才能操作，
则根据题意有首先将关闭，再将关闭，最后将关闭即可，所以需要次．
因为除灯外，其余盏灯都处于开灯状态，
所以要将灯打开，需要将灯，，关闭，开灯才能操作，
则根据题意有首先将关闭，即可将关闭，
再将打开，则可将关闭，然后将关闭，即可将打开，
下面将灯，，打开，
首先将打开，则可将打开，然后将关闭，即可将打开，再将打开，
此时所有的灯都打开了，一共进行了次．
故答案为：；．
20.【解析】依题意知，，，，故有．
由，，故有 ．

21.【解析】当时，；
，；
若是的充分不必要条件，则；
且等号不同时成立，解得：，
所以实数的取值范围是：．
22.【解析】，，
，，
当 时，，
．
，可化为，
，
即 ，
选择，或 ，
又 ，
若，则或 ，
即 或 故 的取值范围为 或 ．
选择，或 ，
又 ，则或 ，
即 或 ，
故 的取值范围为 或 ．
选择，
或 ，
，又，则 且 ，
即 ，
故 的取值范围为 ．
23.【解析】Ⅰ，，
Ⅱ设，不妨设，
因为，
所以中元素个数大于等于个，
又，，
此时中元素个数大于等于个，
所以生成集中元素个数的最小值为．
Ⅲ不存在，理由如下：
假设存在个正实数构成的集合，使其生成集，
不妨设，则集合的生成集，
则必有，，其个正实数的乘积；
也可以有，，其个正实数的乘积，矛盾；
所以假设不成立，故不存在个正实数构成的集合，使其生成集．
24.即证明，都有，
因为，所以，
因为，
所以，
所以集合，具有性质；
因为，，，
，
令，因为，所以，
于是，有成立，
即，
也就是，有成立，
令，，
因为在上单调递减，所以，
从而，
所以，当且仅当时取等，
，当且仅当或时取等，
，所以的最小值为；
由题意，
注意到，
所以，
又，，
所以，当且仅当取等满足，
所以的最小值为，
因为，，，
所以，于是，
又，
令，，则，即，
又，所以，解得，
所以
，
令，，
则，
于是在上单调递增，
又，
所以，
当且仅当，或，时等号成立，
所以的最大值为，
又的最小值为，
所以的最大值为．
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