(共8张PPT)
2.1.2 代数式
填空:
(1)一块橡皮0.5元,买了a块,共花费 元;
(2)某社区计划用n天完成建筑面积为1 000 m2的居民住房节能改造任务,则每天应完成 m2的改造任务;
(3)一个苹果的质量是a g,一个梨的质量是b g,那么2个苹果和3个梨的质量和是 g.
0.5a
1000n
(2a+3b)
1.代数式是由数和表示数的字母用 连接所成的式子.单独一个数或一个字母也是代数式.
注意:代数式中的运算符号是指加、减、乘、除、乘方等运算符号;代数式中不能含“=”“>”“<”“≠”等表示相等或不等关系的符号.
2.用代数式可以表示数量关系、图形的面积、体积等.
运算符号
在式子-3x、6-a=2、4ab2、0、、、>、x中,是代数式的有( )
A.7个 B.6个 C.5个 D.4个
B
1.(2025·成都育才)下列式子中:①0;②a;③x+y=2;④x-5;⑤2a;⑥a2+1;⑦a≠1;⑧x≤3.属于代数式的有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
2.下列各式:①1xy2;②3(a+b);③20%x;④-b÷c;⑤;⑥m-3 ℃.其中符合代数式书写要求的有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
3.在下列各式:0、、-x、x<-1、3a+b=0、4x-3y、c、x2-4xy+y中,不属于代数式的有 个.
B
C
2
某种商品进价为a元/件,在销售旺季,商品售价较进价高30%;销售旺季过后,商品又以7折(即原售价的70%)的价格开展促销活动,这时一件该商品的售价为( )
A.a元 B.0.7a元
C.0.91a元 D.1.03a元
[方法总结] 正确理解文字语言中的关键词,比如该题中的“较进价高30%”“原售价的70%”,从而明确其中的运算关系,是列代数式的关键.
C
4.某服装店新开张,第一天销售服装a件,第二天的销售件数比第一天销售件数的3倍还多10件,则第二天销售了( )
A.(a+10)件 B.(3a+13)件 C.(10a+3)件 D.(3a+10)件
5.下列能用代数式2a+4表示的是( )
A.点P在数轴上以2个单位/秒的速度向左移动a秒后表示的数
B.组合图形的面积
C.底面积为a,高为4的圆柱的体积
D.长方形的周长
D
D
6.为了节约用水,某市规定三口之家每月标准用水量为15立方米,单价为1.5元/立方米,超过部分单价为3元/立方米.某三口之家某月用水a立方米(a>15且为整数),请用代数式表示用水a立方米的费用.
解:根据题意,得
15×1.5+3(a-15)=[22.5+3(a-15)]元.
故用水a立方米的费用为[22.5+3(a-15)]元.(共9张PPT)
2.4.2 合并同类项
合并同类项的法则:把同类项的系数 ,所得的结果作为系数,字母和 保持不变.
注意:合并同类项的根据是乘法分配律的逆用,运用时应注意:
(1)不是同类项的不能合并,无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄;
(2)系数相加(减),字母部分不变(指数也不变),不能把字母的指数也相加(减).
相加
字母的指数
合并下列多项式中的同类项:
(1)2ax2-3ax2-7ax2;
解:原式=(2-3-7)ax2
=-8ax2.
(2)4x2y-8xy2+7-4x2y+12xy2-4;
解:原式=(4x2y-4x2y)+(-8xy2+12xy2)+(7-4)
=4xy2+3.
(3)a2b-ab2-a2b+ab2-a3.
解:原式=+-a3
=ab2-a3.
[方法总结] 合并多项式中的同类项,可以用 “一找二合”法.一找是指找出多项式中的同类项,把各组同类项用不同的记号标记;二合就是把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变.
1.(2025·重庆巴蜀)下列各式中,运算正确的是( )
A.3a+4b=5ab B.2a3-a3=a3
C.a2b-ab=a D.a2+a2=a4
2.合并下列多项式中的同类项:
(1)3a2+2a-4a2-7a;
解:原式=(3a2-4a2)+(2a-7a)=-a2-5a.
(2)4xy-3x2-3xy-2y+2x2;
解:原式=(4xy-3xy)+(-3x2+2x2)-2y=xy-x2-2y.
(3)3x2y-5xy2+6xy2-7x2y.
解:原式=(3x2y-7x2y)+(6xy2-5xy2)=-4x2y+xy2.
B
先化简,再求值:
(1)x2+2xy-3y2-2x2-2yx+4y2,其中x=-1,y=2;
解:(1)原式=(x2-2x2)+(2xy-2yx)+(-3y2+4y2)=-x2+y2.
当x=-1,y=2时,原式=-(-1)2+22=3.
(2)原式=(x3+x3)+(-2x2y+3x2y)+(12xy2-4xy2)+7=x3+x2y+8xy2+7.
因为+(y-)2=0,所以x=-3,y=.
所以原式=-12+-6+7=-.
[误区点拨] 此类问题一定要按要求先化到最简再代值计算,不能直接代值计算.合并同类项时要注意符号.
(2)x3-2x2y+x3+3x2y+12xy2+7-4xy2,其中x、y满足条件+(y-)2=0.
[分析] 先合并同类项化简,然后再把x、y的值代入求值.
3.先化简,再求值:3a2-5a+2-6a2+6a-3,其中a=-1.
解:原式=-3a2+a-1.当a=-1时,
原式=-3-1-1=-5.
4.已知(a+1)2+=0,求代数式-a2b+3ab2-a2b-4ab2+2a2b的值.
解:原式=(-1-1+2)a2b+(3-4)ab2=-ab2.
因为(a+1)2+=0,
且(a+1)2≥0,≥0,
所以a=-1,b=-2.
所以原式=-(-1)×(-2)2=4.
(1)当k= 时,多项式x2+(3k-2)xy-3y2-9xy+1不含xy项;
(2)(2025·重庆一中)若关于x、y的多项式mx2+nxy+2x-2xy-3x2+y+4中不含二次项,则nm的值为 .
8
5.已知代数式3x2+2bx-y+4-ax2+8x+5y的值与字母x的取值无关,求ba的值.
解:3x2+2bx-y+4-ax2+8x+5y=(3-a)x2+(2b+8)x+(5-1)y+4.
因为代数式3x2+2bx-y+4-ax2+8x+5y的值与字母x的取值无关,
所以3-a=0,2b+8=0,解得a=3,b=-4,
所以ba=(-4)3=-64.(共8张PPT)
第2课时 添括号
添括号法则:
(1)所添括号前面是“+”号,括到括号里的各项都 正负号;
(2)所添括号前面是“-”号,括到括号里的各项都 正负号.
注意:(1)添括号是添上括号和括号前面的符号;
(2)添括号的过程与去括号的过程正好相反,添括号是否正确,可用去括号检验.
不改变
改变
在-3x2+2xy+y2-2x+y-1中,不改变代数式的值,把含字母x的项放在前面带“+”号的括号里,同时把不含字母x的项放在前面带“-”号的括号里.
[分析] 先把含字母x的项和不含字母x的项分别放在一起,然后根据添括号的法则进行添括号即可.
解:-3x2+2xy+y2-2x+y-1
=(-3x2+2xy-2x)+(y2+y-1)
=+(-3x2+2xy-2x)-(-y2-y+1).
[误区点拨] 添括号时,若括号前是“-”号,添括号后,括号里的各项都要改变符号.
1.在等式1-a2+2ab-b2=1-( )中,括号里应填( )
A.a2-2ab+b2 B.a2-2ab-b2
C.-a2-2ab+b2 D.-a2+2ab-b2
2.在下列各式中,添括号正确的是( )
A.-a+b-c=-a+(b+c)
B.-a+b-c=-(a-b-c)
C.-a+b-c=-a+(b-c)
D.-a+b-c=-(a+b-c)
A
C
3.在下列各式的括号内填上适当的项:
(1)3x2-2xy2+2y2=3x2-( );
(2)3x2y2-2x3+y3=3x2y2-( );
(3)-a3+2a2-a+1=-( )-( ).
4.按要求把多项式5a3b-2ab+3ab3-2b2添上括号:
(1)把前两项括到带有“+”号的括号里,把后两项括到带有“-”号的括号里;
解:(1)5a3b-2ab+3ab3-2b2=+(5a3b-2ab)-(-3ab3+2b2).
2xy2-2y2
2x3-y3
a3-2a2
a-1
(2)把后三项括到带有“-”号的括号里;
(2)5a3b-2ab+3ab3-2b2=5a3b-(2ab-3ab3+2b2).
(3)把四次项括到带有“+”号的括号里,把二次项括到带有“-”号的括号里.
(3)5a3b-2ab+3ab3-2b2=+(5a3b+3ab3)-(2ab+2b2).
(1)已知2x+3y=8,则14-6x-9y= ;
(2)已知x2+xy=3,xy+y2=2,求2x2-xy-3y2的值.
解:(2)原式=2(x2+xy)-3xy-3y2
=2(x2+xy)-3(xy+y2).
将x2+xy=3,xy+y2=2代入,得
原式=2×3-3×2=0.
-10
5.定义一种新运算“※”,规定:a※b=a-4b,例如:2※(-1)=2-4×(-1)=6.若m+2n=2,则(m-2n)※(m+n)的值为 .
6.已知a+b=-2,ab=3,求2[ab+(-3a)]-3(2b-ab)的值.
解:原式=2ab-6a-6b+3ab=5ab-6(a+b).
将a+b=-2,ab=3代入,得
原式=5×3-6×(-2)=27.
-6(共10张PPT)
2.2 代数式的值
1.一般地,用 代替代数式里的字母,按照代数式中的运算计算得出的结果,叫做代数式的值.
注意:(1)求代数式的值是一个由一般到特殊的过程,代数式的值一般不是一个固定不变的量,它的值是由代数式中字母所取的值确定的;(2)代数式中的字母取值有条件限制:①不能使代数式本身失去意义;②不能使代表的实际问题失去意义.
2.求代数式的值的一般步骤
(1)“代入”:用具体的数值代替代数式中的字母;
(2)“计算”:按照代数式中给出的运算关系计算出结果.
注意:①代入数值时要“对号入座”,避免带错字母;
②有时代入后要恢复省略的括号,比如负数、分数的平方、立方运算.
数值
(1)当x=1,y=-6时,求下列代数式的值.
①x2+y2; ②(x+y)2; ③x2-2xy+y2.
解:(1)当x=1,y=-6时,
①x2+y2=12+(-6)2=1+36=37.
②(x+y)2=(1-6)2=(-5)2=25.
③x2-2xy+y2=12-2×1×(-6)+(-6)2
=1+12+36=49.
(2)(2025·重庆一中)按图中的程序运算,如果第一次输入x的值是8,则第2 025次输出的结果是 ;
(3)已知a、b是有理数,且ab<0,若x=++,则代数式x2+2x+1的值为 .
4
0
1.已知有理数a、b满足(a+1)2+=0,则ab的值为( )
A.1 B.-1 C.2 025 D.-2 025
2.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,根据如图的程序进行计算,若输入x的值为10,则输出的值为( )
A.5 B.6
C.7 D.8
B
D
(1)如果代数式x2-2x+5的值等于7,则代数式3x2-6x-1的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
(2)当x=1时,代数式px3+qx+1的值为2 025,则当x=-1时,代数式px3+qx+1的值为 .
[分析] (1)由于代数式x2-2x+5的值等于7,那么x2-2x=2,将代数式3x2-6x-1化为3(x2-2x)-1,将x2-2x=2整体代入即可求出代数式的值.(2)把x=1代入代数式px3+qx+1,可得p+q+1=2 025,即p+q=2 024;把x=-1代入代数式px3+qx+1=-p-q+1=-(p+q)+1,将p+q的值代入可求解.
[技巧点拨] 运用整体代入求值,常常需要将所求代数式进行适当变形,然后再整体代入.
A
-2 023
3.(2025·重庆巴蜀)若x+y=5,xy=2,则3x-5xy+3y的值为( )
A.-9 B.5 C.3 D.-19
4.(1)已知x-3=2,则代数式(x-3)2-2(x-3)+1的值为 ;
(2)(2025·重庆巴蜀)当x=1时,代数式ax3-3bx+2的值是-4,则当x=-1时,代数式ax3-3bx-5的值为 .
B
1
1
书店卖课本和笔记本,课本每本定价20元,笔记本每本定价2元.书店开展促销活动,向客户提供两种优惠方案:①买一本课本送一本笔记本;②课本和笔记本都按定价的95%付款.现某班要到该书店购买课本50本,笔记本x本(x>50).
(1)若该客户按方案①购买,需付款 元;若该客户按方案②购买,需付款 元;
(2)若x=300,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算.
解:(2)当x=300时,
按方案①购买需付款:1 000+2(x-50)=1 000+2×(300-50)=1 500(元);
按方案②购买需付款:950+1.9x=950+1.9×300=1 520(元).
因为1 500<1 520,
所以当x=300时,按方案①购买较为合算.
[1 000+2(x-50)]
(950+1.9x)
5.某市居民生活用电已实行阶梯电价:第一档为月用电量170度以内(含170度),执行电价标准每度电0.525元;第二档为月用电量171度~260度,用电量超过第一档的部分按规定每度电0.575元;第三档为月用电量260度以上,用电量超过第二档的部分按规定每度电0.825元.
(1)小明家5月份的用电量为160度,求小明家5月份应缴的电费;
解:(1)0.525×160=84(元).
所以小明家5月份应缴的电费为84元.
(2)若小明家月用电量为x度,请分别求x在第二档、第三档时小明家应缴的电费;(用含x的代数式表示)
(2)x在第二档时小明家应缴的电费为
0.525×170+0.575(x-170)=[89.25+0.575(x-170)]元;
x在第三档时小明家应缴的电费为
0.525×170+0.575×(260-170)+0.825(x-260)=[141+0.825(x-260)]元.
(3)小明家11月份的用电量为240度,求小明家11月份应缴的电费.
(3)当x=240时,89.25+0.575×(240-170)=129.5(元).
所以小明家11月份应缴的电费为129.5元.(共10张PPT)
2.4.1 同类项
1.同类项的定义:所含字母相同,并且相同字母的 都相等的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项,例如:4m3n与-m3n是同类项,2与-8是同类项.
注意:同类项的对象是单项式,而不是多项式,但可以是多项式中的单项式.
2.判断同类项的方法
(1)同类项必须同时满足“两个相同”:①所含字母相同;②相同字母的指数都相同.两者缺一不可.
(2)判断是不是同类项有“两个无关”:①与系数无关;②与字母的排列顺序无关.如3mn与-nm是同类项.
(3)同类项可以有两项,也可以有三项、四项或更多项,但至少有两项.
指数
判断下列各组中的两项是不是同类项.
(1)2a2b与2ab2; (2)3a与3b; (3)-7与; (4)-x2y3与6y3x2.
[分析] 根据同类项的定义依次进行判断.
解:(1)2a2b与2ab2中字母相同,但a、b的指数不同,故不是同类项.
(2)3a与3b中所含字母不同,故不是同类项.
(3)-7与是同类项.
(4)-x2y3与6y3x2中所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,故是同类项.
[方法总结] 判断同类项的标准是根据同类项定义中的两个“相同”:一是所含字母相同,二是相同字母的指数都相同.只有符合这两个条件的项才是同类项.
1.(2025·重庆大渡口区)下列单项式中,与2ab2是同类项的是( )
A.ab B.a2b C.a2b2 D.ab2
2.下列几组单项式为同类项的是( )
A.3x2y与-xy2 B.2a与b
C.-m3与m2n D.-2a2b3与a2b3
3.下列各组代数式:
①3x2y与-2xy2;②m4n与0.2nm4;③-1与0;④πb2ca3与-2a3b2c;⑤33与a3.
其中是同类项的是 .(填序号)
D
D
②③④
(1)(2025·重庆南开)若3a2m-5b4与2ab3n-2是同类项,则( )
A.m=2,n=3 B.m=3,n=2
C.m=3,n=3 D.m=2,n=-2
(2)若xm+1y3与x2yn+1是同类项,则(m-n)2 025= ;
B
-1
(3)如果-b与a是同类项,m的相反数与n互为倒数,求3m+16n2-mn的值.
解:(3)因为-b与a是同类项,
所以=1,=1.
所以m=4或2,n=±.
又因为m的相反数与n互为倒数,
所以m=4,n=-.
所以3m+16n2-mn=3×4+16×(-)2-4×(-)=14.
[方法总结] 解决此类问题的方法是运用同类项的定义,有相同字母且相同字母的指数相同,建立方程求出相应字母的值,再代入代数式求解.
4.如果3ab2m-1与9abm+1是同类项,那么m等于( )
A.2 B.1 C.-1 D.0
5.已知2axb3与-a2b1-y是同类项,则xy的值为( )
A.4 B.-4 C.-3 D.6
6.若2amb4和-3a3bn+1是同类项,则2m-n= .
A
B
3
7.(2025·成都树德)已知单项式xbya+1与单项式-5x6-by2是同类项,c是多项式2mn-5m-n-3的次数.
(1)a= ,b= ,c= ;
解:(1)∵单项式xbya+1与单项式-5x6-by2是同类项,
∴a+1=2,6-b=b,
解得a=1,b=3.
∵c是多项式2mn-5m-n-3的次数,
∴c=2.
故答案为 1,3,2.
(2)若关于x的二次三项式ax2+bx+c的值是3,求代数式2 025-2x2-6x的值.
(2)由(1)可得,x2+3x+2=3,
∴x2+3x=1,
∴2 025-2x2-6x=2 025-2(x2+3x)=2 025-2=2 023.(共11张PPT)
2.1.1 用字母表示数
1.用字母表示数的意义
一般地,用字母表示数,就是用 代表一个确定的数,或确定范围中的一批数,甚至所有的数.表示数的字母可以作为数的“替身”参与运算,建立 之间的关系,表达 的性质,等等.这样,关于数的结论更加具有普适性,数学的研究和应用也变得更加方便、简洁.
注意:用字母表示数,字母和数一样可以参与运算,可以用式子把________
简明地表示出来.
字母
数与数
数及其运算
数量关系
2.含有字母的式子的书写规则
(1)数与字母、字母与字母相乘,乘号可以省略不写,或用“·”来代替;数和字母相乘,在省略乘号时,要把数字写在字母的前面.如n×2写成2·n或2n,又如v×t应写成v·t或vt.
注意:数与数相乘不能省略乘号“×”.
(2)式子中有加减运算,且后面有单位时,式子要加上括号.如(x+y)元,(a-5)km.
(3)在除法算式中,要写成分数的形式,被除数作分子,除数作分母,“÷”号转化为分数线.如4÷(a-1)应写成,又如s÷t应写成.
(4)字母与字母相乘时一般按英文字母顺序书写.如b×a通常写成ab.
(5)字母与字母相乘时,相同字母写成幂的形式.如a×a×a应写成a3.
(6)带分数与字母相乘时,带分数要写成假分数的形式.如1×b不能写成1b,要写成b.
(7)当1或-1与字母相乘时,“1”省略不写.如1×a直接写成a.
(1)某服装原价为a元,降价10%后的价格为 元;
(2)随着计算机技术的迅猛发展,电脑价格不断降低,某种品牌电脑原售价为n元,现按原售价降低m元后,又降低10%,那么该电脑的现售价为 元;
(3)有a名男生和b名女生在社区做义工,他们为建花坛搬砖.男生每人搬了40块,女生每人搬了30块.这a名男生和b名女生一共搬了 块砖;
(4)长方形窗户上的装饰物如图所示,它是由半径均为b的两个四分之一圆组成,则能射进阳光部分的面积是 .
0.9a
0.9(n-m)
(40a+30b)
2ab-πb2
1.(2025·重庆外语校)用字母表示的式子是具有一定意义的,下列赋予6a实际意义的例子中,错误的是( )
A.若汽车行驶的速度是a千米/时,则6a表示这辆汽车行驶6小时的路程
B.若某水果的价格是6元/千克,则6a表示买a 千克该水果的金额
C.若一个两位数十位上的数字是6,个位上的数字是a,则6a表示这个两位数
D.若一个圆柱的底面积为a,高为6,则6a表示这个圆柱的体积
C
2.如图是一个长方形足球场,其中半圆形进球区以外的地方都是草地.已知足球场的长为a,宽为2b,半圆形的直径是足球场的宽,则草地的面积为 .(用含a、b的式子表示)
2ab-πb2
(1)有黑白两种颜色的正方形纸片按如图所示的规律拼成若干个图案,则第n个图案有白纸片 张;
(3n+1)
(2)一组按规律排列的式子:a2,,,,…,则第n个式子是 (n为正整数);
(3)观察下面一组数:a1=,a2=,a3=,a4=,a5=,…,它们是按一定规律
排列的,利用其中的规律,写出第n个数an= .(用含n的式子表示)
3.如图是由一些大小相同的小棒搭成的图案,第1个图案用了5根小棒,第2个图案用了9根小棒,第3个图案用了13根小棒,…,按照这种方式摆下去,第n个图案需用小棒的根数是( )
A.5n B.4n C.4n+1 D.5n+1
C
4.一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐.现把n张这样的餐桌按如图方式拼接起来,四周可坐用餐的人数为 .(用含n的式子表示)
5.按一定规律排列的一组数依次为-,,-,,…,按此规律排列下去,这
组数中的第n个数是 (a≠0,n为正整数).
4n+2
(-1)n·(共6张PPT)
2.3.2 多项式
1.把一个多项式的各项按某一个字母的指数 的顺序排列,叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列.例如:5m2+4m-1.
2.把一个多项式的各项按某一个字母的指数 的顺序排列,叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列.例如:-1+4m+5m2.
注意:重新排列多项式时,每一项一定要连同它的 一起移动;含有两个或两个以上字母的多项式,通常按照其中某 的升幂或降幂排列.
从大到小
从小到大
正负号
一个字母
把多项式3mn2-2m2n3+5-8m3n按下列要求重新排列:
(1)按m的降幂排列;
(2)按n的升幂排列.
[分析] 按照m的降幂排列,则将字母n看成常数;按照n的升幂排列,则将字母m看成常数.
解:(1)按m的降幂排列为-8m3n-2m2n3+3mn2+5.
(2)按n的升幂排列为5-8m3n+3mn2-2m2n3.
[误区点拨] 注意在排列多项式各项时,要保持其原有的符号.在做题时要读清楚题干,分清是按哪个字母的降幂还是升幂排列.
已知多项式2x2y3+x3y2+xy-5x4-,将这个多项式按x的降幂重新排列,并写出该多项式的次数及它的二次项.
解:按x的降幂排列为-5x4+x3y2+2x2y3+xy-.
该多项式的次数是5,二次项是xy.
1.(2025·重庆一中)多项式2y2-2x3y-6x+3x2y3按x的降幂排列正确的是( )
A.3x2y3-2x3y+2y2-6x
B.2y2-6x+3x2y3-2x3y
C.-2x3y+3x2y3-6x+2y2
D.2x3y+3x2y3-6x+2y2
2.把多项式x2+1+4x3-2x按x的降幂排列为 .
C
4x3+x2-2x+1
3.把多项式-7xy3+3x2y2+6x4y4+5x3y+19按下列要求重新排列:
(1)按x的降幂排列;
(2)按y的升幂排列.
解:(1)6x4y4+5x3y+3x2y2-7xy3+19.
4.多项式6x4y3+3xya+2x2y7-3y8是按y的升幂排列的,那么(a-2)(a-4)的值可能是多少
解:由题知a=4或5或6.
当a=4时,原式=(4-2)×(4-4)=0;
当a=5时,原式=(5-2)×(5-4)=3;
当a=6时,原式=(6-2)×(6-4)=8.
故(a-2)(a-4)的值可能是0,3,8.
(2)19+5x3y+3x2y2-7xy3+6x4y4.(共9张PPT)
2.3.2 多项式
1.多项式的有关概念
几个单项式的和叫做 .其中,每个单项式叫做多项式的 ,不含
的项叫做常数项.多项式中, 的次数,就是这个多项式的次数.
注意:(1)多项式的每一项都包括它前面的符号.
(2)一个多项式含有几项,就叫做几项式,特别地,只含有一项就是单项式.如:6x2-2x-7是一个三项式.
(3)多项式的次数不是所有项的次数之和,而是多项式中次数最高的单项式的次数.
(4)一个多项式中的最高次项有时不止一个,在确定最高次项时,都应写出.
2.整式的概念
与 统称为整式.
多项式
项
字母
次数最高项
单项式
多项式
指出下列多项式的项和次数,并说明它们是几次几项式.
(1)x5-2x2-1;
(2)-3a3-3b3+3;
(3)-x6+2x5y-x3y4+2xy3-1.
解:(1)x5-2x2-1的项是x5、-2x2、-1,次数是5,是五次三项式.
(2)-3a3-3b3+3的项是-3a3、-3b3、3,次数是3,是三次三项式.
(3)-x6+2x5y-x3y4+2xy3-1的项是-x6、2x5y、-x3y4、2xy3、-1,次数是7,是七次五项式.
[方法提炼] (1)确定多项式的次数:比较多项式中各项次数的大小,最大的即为多项式的次数.(2)多项式的命名:多项式有几项,就叫做几项式,多项式的次数是几,就叫做几次多项式,合称为几次几项式.(3)多项式中某一项的次数是几,这一项就叫做几次项,不含字母的项叫做常数项.
1.(1)多项式4x2y-5x3y2+7xy3-7的次数是 ,最高次项是 ,常数项是 ;
(2)多项式0.3xy-2x3y-5xy2+1是 次 项式.
2.(1)(2025·重庆巴蜀)若多项式6am-(n-2)a+4是关于a的二次二项式,则m+2n= ;
(2)(2025·重庆一中)若多项式-(m-4)x+7是关于x的四次三项式,则m的值是 .
5
-5x3y2
-7
四
四
6
-4
在代数式①-ab;②;③;④-a2bc;⑤1;⑥x3-2x+3;⑦;⑧+1中,是单项式的有 ,是多项式的有 ,是整式的有 .(填序号)
[知识总结] (1)单项式与多项式的区别:①单项式不含加、减运算,多项式必含加、减运算;②单项式次数是所有字母指数的和,多项式次数是次数最高项的次数.
(2)单项式与多项式的联系:①多项式的每一项都是单项式;②单项式与多项式的分母都不含字母;③单项式与多项式统称为整式.
(3)一个式子既不是单项式又不是多项式,那么它一定不是整式.
①②④⑤
③⑥
①②③④⑤⑥
3.下列各式中不是整式的是( )
A.-3 B. C.x D.3x-2y
4.有下列代数式:①-1;②-;③ab3;④;⑤2x+;⑥x2y2-2x3y+y3,其中是单项式的是 ,是多项式的是 .(填序号)
B
①②③
④⑥
一个花坛的形状如图所示,它的两端是半径相等的半圆,求:
(1)花坛的周长;
解:(1)周长为2a+2πr.
(2)花坛的面积;
(2)面积为πr2+2ar.
(3)当a=8,r=2时,周长和面积分别是多少 (本小题π取3.14,精确到0.1)
(3)当a=8,r=2时,
周长:2a+2πr=2×8+2×3.14×2=28.56≈28.6.
面积:πr2+2ar=3.14×22+2×8×2=44.56≈44.6.
5.如图是一个长方形草坪,长50 m,宽30 m,若在草坪中修两条长方形的小路,小路的宽均为a m.
(1)用含a的式子表示两条小路的面积;
(2)写出(1)中多项式的项和次数,这是几次几项式
解:(1)小路的面积:
50a+30a-a2=(80a-a2)m2.
(2)80a-a2中的项为80a、-a2,次数为2,是一个二次二项式.(共14张PPT)
第1课时 去括号
去括号法则
括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都
正负号;
括号前面是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项都
正负号.
注意:(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论.当括号前为“+”号时,可以看作+1与括号内的各项相乘;当括号前为“-”号时,可以看作-1与括号内的各项相乘.
不改变
改变
(2)去括号时,首先要弄清括号前面是“+”号,还是“-”号,然后再根据法则去掉括号及前面的符号.
(3)对于多重括号,去括号时可以先去小括号,再去中括号,也可以先去中括号,再去小括号.但是一定要注意括号前的符号.
(4)去括号只是改变式子形式,不改变式子的值,它属于多项式的恒等变形.
(1)下列去括号正确的是( )
A.a+(b-c)=a-b-c B.a+(b-c)=a-b+c
C.a-(b-c)=a-b+c D.a-(b-c)=a-b-c
(2)代数式-2(x-1)去括号的结果是 ;代数式3a2-2(2a-b+5c)去括号的结果是 .
[误区点拨] (1)当括号前是“-”号时,去括号时要改变符号;(2)当括号前的数字不是1时,去括号时不要漏乘.
C
-2x+2
3a2-4a+2b-10c
1.下列各式一定成立的是( )
A.3(x+8)=3x+8 B.(6x+5)=2x+5
C.-(a-b)=-a+b D.-(x-6)=-x-6
2.填空:
(1)-(a-b+c)去括号的结果是 ;
(2)化简2xy-(x+3y)的结果是 ;
(3)-[a-(b-c)]去括号的结果是 .
C
-a+b-c
2xy-x-3y
-a+b-c
化简下列各式:
(1)-(4a2-3ab+b2)+(-3a2+4ab-2b2);
解:原式=-4a2+3ab-b2-3a2+4ab-2b2
=-7a2+7ab-3b2.
(2)(8xy-3x2)-5xy-3(xy-2x2+3);
解:原式=8xy-3x2-5xy-3xy+6x2-9
=3x2-9.
(3)-2a+;
解:原式=-2a+
=-2a+a2-a+3=a2-3a+3.
(4)3x2y-[2xy2-2(xy-x2y)+xy]+3xy2.
解:原式=3x2y-(2xy2-2xy+3x2y+xy)+3xy2
=3x2y-(2xy2-xy+3x2y)+3xy2
=3x2y-2xy2+xy-3x2y+3xy2
=xy2+xy.
[方法提炼] (1)去括号法则可以从乘法分配律的角度来理解,即用括号前的系数去乘括号内的每一项;(2)去括号法则可以简记为以下口诀:去掉“正括号”,各项不变号;去掉“负括号”,各项都变号.
3.先去括号,再合并同类项:
(1)(4a2-3a+1)-3(-a3+2a2);
解:原式=4a2-3a+1+3a3-6a2
=3a3-2a2-3a+1.
(2)3x-[(y-x)-2x-y].
解:原式=3x-(y-x-2x-y)
=3x+3x
=6x.
4.求多项式x-3(x+y2)-(-x+y2)值,其中+(y-1)2=0.
解:原式=-x-y2.
因为+(y-1)2=0,
且≥0,(y-1)2≥0,
所以x=-2,y=1.
当x=-2,y=1时,原式=2-=.
已知甲数比x的3倍多5,乙数比-x的4倍少6,试用含x的式子表示甲、乙两数的和与差.
解:由题意,得
甲数为3x+5,乙数为-4x-6.
甲、乙两数之和为
(3x+5)+(-4x-6)=-x-1;
甲、乙两数之差为
(3x+5)-(-4x-6)=7x+11.
5.用一段铁丝围成一个长方形,一边长为2a+b,另一边比它长a-b,则此长方形的周长为( )
A.5a+b B.6a
C.10a+2b D.10a+4b
6.(2025·成都七中)多项式2(x2-3xy-y2)-(x2+2mxy+2y2)中不含xy项,则m= .
C
-3
按下列要求化简:
(1)已知2
解:(1)因为2所以3x-6>0,5x-15<0.
所以+=3x-6+15-5x=-2x+9.
(2)已知a、b、c在数轴上的位置如图所示,试化简:---.
(2)由a、b、c在数轴上的位置,
得a+b<0,b-2<0,c-a>0,2-c>0.
所以---
=-(a+b)-(2-b)-(c-a)-(2-c)
=-4.
7.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,试化简:
-+2-3.
解:由a、b、c在数轴上的位置,可得
a-b<0,b-c<0,-a+c>0,a+b<0.
所以原式=(b-a)+(b-c)+2(c-a)+3(a+b)
=b-a+b-c+2c-2a+3a+3b
=5b+c.(共7张PPT)
2.3.1 单项式
1.单项式的定义
由数与字母的 组成的代数式叫做单项式.单独一个数或一个字母也是 .
注意:(1)单项式包括三种类型:①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子;②单独的一个数;③单独的一个字母.(2)单项式中不能含有加减运算,但可以含有除法运算,如:可以写成st.但若分母中含有字母就不是单项式,因为它无法写成数字与字母的乘积.
乘积
单项式
2.单项式的系数与次数
单项式中的 叫做这个单项式的系数.一个单项式中,所有
叫做这个单项式的次数.
注意:(1)当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写.
(2)圆周率π是常数,单项式中出现π时,应看作系数.
(3)单项式的系数是带分数时,通常写成假分数的形式.
(4)计算单项式的次数时要注意以下两点:
①没有写指数的字母,实际上其指数是1,计算时不能将其遗漏;②不能将数字的指数一同计算.
数因数
字母的指数的和
在式子3、4+a、a2-b2、-、中,是单项式的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
A
1. 按一定规律排列的单项式:x3,-x5,x7,-x9,x11,…,则第n个单项式是( )
A.(-1)n+1x2n-1 B.(-1)nx2n-1
C.(-1)n+1x2n+1 D.(-1)nx2n+1
2.(2025·重庆巴蜀)下列各式:2a,,2x(x-1),πr2,,,,-中,是单项式的有 .
2a,πr2,,-
C
指出以下单项式的系数与次数:
(1)5ab2; (2)-a2b2;(3)abc; (4)-32x2y2; (5)-; (6)-a.
解:(1)系数是5,次数是3.
(2)系数是-1,次数是4.
(3)系数是1,次数是3.
(4)系数是-9,次数是4.
(5)系数是-π,次数是3.
(6)系数是-1,次数是1.
[误区点拨] (1)单项式的系数包括前面的符号,且只与数因数有关,而次数只与字母(π除外)有关;(2)确定一个单项式的次数时,不要漏掉指数为1的字母,也不要把系数的指数当作字母的指数.
3.下列说法中,正确的是( )
A.0不是单项式
B.-a2b3的系数是-1,次数是5
C.6πx3的系数是6
D.-的系数是-4,次数是3
4.(1)单项式-的次数是 ,系数是 ;
(2)已知(m-3)x|m+1|是关于x的四次单项式,则m的值是 .
B
7
-
-5(共9张PPT)
2.1.3 列代数式
列代数式的关键是弄清楚问题中的数量关系,并用代数式表示出来.
注意:列代数式时首先要认真读题,弄清楚问题中涉及哪些量,以及各数量之间的关系;其次要确定用什么运算,以及运算的顺序;最后要按代数式的书写格式规范地写出代数式.
用代数式表示:
(1)a的平方的3倍与5的差;
(2)比a的倒数与b的倒数的和大1的数;
(3)a、b两数的平方和减去它们乘积的2倍;
(4)a、b两数的平方的差除以a、b两数的和的平方.
解:(1)3a2-5.
(2)++1.
(3)a2+b2-2ab.
(4).
[方法总结] 列代数式时,要明确题中的关键字、词和运算顺序,遵循“先读先写,后读后写”的原则.
1.用代数式表示“x与y的2倍的差”应是( )
A.x-2y B.2x-y C.2(x-y) D.2y-x
2.用代数式表示:
(1)x的2倍与y的差: ;
(2)如图,由一块正方形地和一块长方形地组成的花园,分别以正方形的边长为半径画圆弧,以长方形的长为直径画圆弧,园艺师准备在图中阴影部分种花,则种植面积
为 m2(结果保留π);
(3)某商品原价每件b元,第一次降价是打7折(按原价的70%出售),第二次降价每件又减15元,这时的售价用含b的代数式表示是 元.
A
2x-y
(0.7b-15)
某市为鼓励市民节约用水,对自来水用户按如下标准收费:若每月用户用水不超过15 m3,则按每立方米a元收费;若超过15 m3,则超过部分按每立方米2a元收费.
(1)某户居民在一个月内用水n(n≥15)m3,那么这户居民该月应交水费多少元
解:(1)该户居民在一个月内用水n(n≥15)m3,那么他该月应交的水费为[15a+(n-15)·2a]元.
(2)该户居民在10月份用水35 m3,11月份用水28 m3,12月份用水40 m3,他在这三个月中各应交水费多少元
(2)当n=35时,代入得15a+(35-15)·2a=55a(元);
当n=28时,代入得15a+(28-15)·2a=41a(元);
当n=40时,代入得15a+(40-15)·2a=65a(元).
答:他在10月份应交水费55a元,在11月份应交水费41a元,在12月份应交水费65a元.
[误区点拨] 列代数式时要审清题意,要注意括号的运用.
3.小宜跟同学在某餐厅吃饭,如图为此餐厅的菜单.若他们所点的餐总共为10份意大利面,x杯饮料,y份沙拉,则他们点A餐的份数是( )
A.10-x B.10-y C.10-x+y D.10-x-y
A
4.甲、乙两个商家对标价相同的同一件商品进行价格调整,甲的方案是先提价10%,再打九折;乙的方案是先打九折,再提价10%.则甲、乙两个商家对这件商品的最终定价( )
A.甲比乙多 B.乙比甲多
C.甲、乙一样多 D.无法确定
5.小明房间窗户的装饰物如图1所示,它由两个四分之一圆组成.
(1)用代数式表示图1窗户能射进阳光的部分的面积(窗框面积忽略不计);
解:(1)由图可得,能射进阳光的部分的面积为
ab-π××2=ab-πb2.
C
(2)为了更加美观,小明重新设计了房间窗户的装饰物,如图2所示(由两个四分之一圆和一个半圆组成),请用代数式表示图2窗户能射进阳光的部分的面积(窗框面积忽略不计);
(3)比较(1)和(2)中哪种设计射进阳光的部分的面积更大
(2)由图可得,能射进阳光的部分的面积为
ab-π×=ab-πb2.
(3)分析可知ab-πb2故图2的设计射进阳光的部分的面积更大.(共11张PPT)
2.4.4 整式的加减
整式的加减法则
一般地,几个整式相加减,如果有括号就先 ,
然后再 .
注意:(1)整式加减运算的一般步骤是先去括号,再合并同类项.
(2)两个整式相减时,减数一定先要用括号括起来.
(3)整式加减的最后结果的要求:①不能含有同类项,即要合并到不能再合并为止;②一般按照某一字母的降幂或升幂排列;③不能出现带分数,带分数要化成假分数.
去括号
合并同类项
(2025·重庆一中)先化简,再求值:
5x2-+15,其中(x+2)2+=0.
解:原式=5x2-(2xy-xy+15+6x2)+15
=5x2-xy-15-6x2+15=-x2-xy.
∵(x+2)2+=0,(x+2)2≥0,≥0,
∴(x+2)2=0,=0,∴x=-2,y=.
当x=-2,y=时,原式=-(-2)2-(-2)×=-3.
1.先化简,再求值:
(1)-3(2m+3n)-3(6n-12m),其中m=5,n=-1;
解:原式=-6m-9n-18n+36m=30m-27n.
当m=5,n=-1时,
原式=30×5-27×(-1)=177.
(2)6xy-[(x2+8xy-y2)-2(x2+3xy-y2)],其中(x+2)2+3∣y-1∣=0.
解:原式=6xy-x2-8xy+y2+2x2+6xy-y2=x2+4xy.
因为(x+2)2+3=0,
所以x+2=0,y-1=0,所以x=-2,y=1,
所以原式=(-2)2+4×(-2)×1=4-8=-4.
一个四边形的周长是 38 cm,已知第一条边的长为a cm,第二条边比第一条边的2倍长3 cm,第三条边的长等于第一条边的长与第二条边的长之和,写出表示第四条边的长的代数式.
解:根据题意,得第四条边的长为
38-a-(2a+3)-(a+2a+3)= 38-a-2a-3-a-2a-3=(32-6a)cm.
所以第四条边的长为(32-6a)cm.
2.做大小两个长方体纸盒,尺寸如下(单位:cm):
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
(1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米
解:小纸盒的表面积是(2ab+2bc+2ac)cm2,
大纸盒的表面积是(6ab+8bc+6ac)cm2.
(1)做这两个纸盒共用料:
(2ab+2bc+2ac)+(6ab+8bc+6ac)
=2ab+2bc+2ac+6ab+8bc+6ac
=(8ab+10bc+8ac)cm2.
(2)做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米
(2)做大纸盒比做小纸盒多用料:
(6ab+8bc+6ac)-(2ab+2bc+2ac)
=6ab+8bc+6ac-2ab-2bc-2ac
=(4ab+6bc+4ac)cm2.
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
已知多项式A=3x2-bx+6,B=2ax2-4x-1.
(1)若(a-3)2+=0,求代数式2A-B的值;
解:(1)由题意得,a-3=0,b-2=0,∴a=3,b=2,
∴A=3x2-2x+6,B=6x2-4x-1,
∴2A-B=2(3x2-2x+6)-(6x2-4x-1)
=6x2-4x+12-6x2+4x+1=13.
(2)若代数式2A+B的值与x无关,求5a+2b的值.
(2)由题意,得
2A+B=2(3x2-bx+6)+2ax2-4x-1
=6x2-2bx+12+2ax2-4x-1
=(6+2a)x2-(2b+4)x+11.
∵代数式2A+B的值与x无关,
∴6+2a=0,2b+4=0,∴a=-3,b=-2,
∴5a+2b=5×(-3)+2×(-2)=-19.
[思维点拨] 整式的值与整式中字母的取值有关.当整式经过化简后,若含某个字母的项的系数等于0,则这个整式的值与该字母的取值无关;反之,当某个整式的值与某个字母的取值无关时,则整式中含该字母的项的系数等于0.
3.若关于a、b的多项式b2+3a2b-5ab+1减去-2ab+ka2b+5b2的差不含三次项,则k的值为( )
A.- B. C.-9 D.9
4.已知A=3x+xy-2y,小明在计算2A-B时,误将其按2A+B计算,结果得到7x+4xy-y.
(1)求多项式B;
解:(1)B=(2A+B)-2A=(7x+4xy-y)-2(3x+xy-2y)
=7x+4xy-y-6x-2xy+4y=x+2xy+3y.
(2)求2A-B的正确结果是多少
(2)2A-B=2(3x+xy-2y)-(x+2xy+3y)=6x+2xy-4y-x-2xy-3y=5x-7y.
D
5.已知代数式A=2x2+3xy+2y,B=x2-xy+x.
(1)当x=y=-2时,求A-2B的值;
解:A-2B=2x2+3xy+2y-2(x2-xy+x)=5xy-2x+2y.
(1)当x=y=-2时,
A-2B=5×(-2)×(-2)-2×(-2)+2×(-2)=20.
(2)若A-2B的值与x的取值无关,求y的值.
(2)A-2B=5xy-2x+2y=(5y-2)x+2y.
因为A-2B的值与x的取值无关,
所以5y-2=0,解得y=0.4.