(共16张PPT)
3.5.1 点和线
1.图形由 、 、 构成.
2.面与面相交得到 ,线与线相交得到 .
3.线段、射线、直线的概念
线段是一个原始的概念,它没有定义,只能描述,线段有 个端点;
把线段向一端无限延伸所形成的图形叫做射线,射线有 个端点;
把线段向两端无限延伸所形成的图形叫做直线,直线 端点.
注:线段是无数排成行的点的聚集.
点
线
面
线
点
两
一
没有
4.射线和线段都是直线的一部分,它们有如下区别:
名称 图例 延伸性 端点 个数 表示
方法
直线 向两端 无限延伸 0 直线AB
或直线BA
或直线l
射线 向一端 无限延伸 1 射线AB
或射线l
线段 不向任何 一端延伸 2 线段AB
或线段BA
或线段a
注意:用两个大写字母表示直线与线段时,两个字母可以交换位置,而表示射线的两个大写字母不能交换位置,必须把端点字母放在前面.
5.基本事实
(1)两点之间 最短;
(2)经过两点有 条直线,并且只有 条直线,即两点 一条直线.
6.两点间的距离:两点间 的长度,就是两点间的距离.
线段
一
一
确定
线段
(1)如图1,在直线l上依次有A、B、C三点,则图中线段共有 ( )
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
B
(2)如图2,小高同学根据图形写出了四个结论:①直线BD与直线CD是同一条直线;②图中共有7条射线;③图中共有6条线段;④图中射线BC与射线CD是同一条射线.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
1.如图,点A、B、C在同一直线上,下列说法错误的是 ( )
A.线段AB和线段BA是同一条线段
B.直线AB和直线BA是同一条直线
C.射线BC和射线CB是同一条射线
D.射线AB和射线AC是同一条射线
2.如图,记以点A为端点的射线条数为x,以点D为其中一个端点的线段条数为y,则x-y的值为 .
C
-2
(1)有下列生活、生产现象:①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上;②从A地到B地架设电线,总是尽可能沿着线段AB架设;③植树时,只要确定两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线;④把弯曲的公路改直,就能缩短路程.其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象有 ( )
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
C
(2)如图,直线MN表示一条铁路,铁路两旁各有一点A和B,表示两个工厂.要在铁路上建一货站,使它到两工厂距离之和最短,这个货站应建在何处
解:如答案图,连结AB,交MN于点P,则这个货站应建在点P处.
3.如图,把三角形剪去一个角,所得四边形的周长比原三角形的周长小,能正确解释这一现象的数学知识是 ( )
A.四边形周长小于三角形周长
B.两点确定一条直线
C.两点之间线段最短
D.经过一点有无数条直线
C
4.下面的图2是图1的侧面展开图,一只小昆虫沿着圆柱的侧面,从点A开始沿最短的距离爬到点B,则点B在图2中的位置是 .(填序号)
③
下列事实可以用“两点确定一条直线”来解释的有 ( )
①墙上钉木条用两颗钉子就能牢固;
②农民拉绳插秧;
③解放军叔叔打靶瞄准;
④从A地到B地修建公路,总是尽可能沿着线段AB修建.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[误区点拨] 注意理解区分“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”.
C
5.下列现象中,不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是
( )
A.装电线杆时只要确定两根电线杆,就能确定同一行的电线杆所在的直线
B.木工师傅为把木板沿直线锯开,先用墨盒在木板上弹出墨线,然后沿墨线锯开
C.把弯曲的公路改直,能缩短路程
D.射击时只要保证远处射击目标在枪的两个准星确定的直线上,就能射中目标
C
如图,已知A、B、C、D四点,根据下列语句,画出图形:
①画直线AB;
②连结AC、BD,相交于点O;
③画射线AD、BC,相交于点P.
解:如答案图所示.
6.下列几何图形与相应语言描述相符的是 ( )
A.如图1,延长线段AB到点C
B.如图2,点B在射线CA上
C.如图3,直线AB的延长线与直线CD的延长线相交于点P
D.如图4,射线CD和线段AB没有交点
D
7.如图所示,有A、B、C、D四个点,按下列语句画出图形:
(1)画直线AB、射线CD;
(2)画射线DB,连结BC;
(3)作线段CA.
解:如答案图所示.(共16张PPT)
3.3 立体图形的表面展开图
1.常见几何体的表面展开图
名称 立体 图形 表面展 开图 底面 形状 侧面 形状 侧面展
开图
形状
正方体 正方 形 正方 形 长方形
长方体 长方 形 长方 形 长方形
五棱柱 五边 形 长方 形 长方形
圆柱 圆 曲面 长方形
圆锥 圆 曲面 扇形
注意:(1)棱柱和圆柱的上下底面不能在同一侧.
(2)圆锥的表面展开图中的圆应在曲线边.
(3)棱锥的表面展开图有一个多边形,其余都是三角形.
2.正方体的11种表面展开图
“1-4-1”型:
“2-3-1”型:
“2-2-2”型:
“3-3”型:
注意:一线不过四,“田”“凹”“L”应弃之.
3.正方体展开图中相对面、相邻面的位置规律
(1)相隔一格或者在“Z”两端是相对面;
(2)相隔两格或者在拐角两端是相邻面.
将标号为A、B、C、D、E、F的六个立体图形表面展开后得到P、Q、M、N、R、S的六个平面展开图,试按照“哪个立体图形展开得到哪个展开图”的对应关系,填空:
A与 对应,B与 对应,C与 对应,D与 对应,E与 对应,F与 对应.
M
P
S
Q
R
N
1.下列是圆锥的展开图的是 ( )
D
请说出下列平面展开图是哪些立体图形展开得到的:
解:分别是由圆锥、四棱锥、长方体、三棱柱、三棱锥、三棱柱、正方体、圆柱展开得到的.
2.下列图形经过折叠可以围成一个棱锥的是 ( )
D
3.如图所示的几何体展开图中,能围成棱柱的是 .(填序号)
4.如图是一个多面体的表面展开图,字母写在外表面上,如果面B在前面,从左面看是面A,那么从上面看是面 .(填字母)
①④⑤
C
(1)下列选项中,不是正方体表面展开图的是 ( )
D
(2)(2025·重庆巴蜀)如图是一个正方体纸盒的展开图,其中一个面与标有“y”的面相对,若这两个面上的整式互为相反数,则y的值为 ( )
A. B. C.0 D.-
A
[方法点拨] 正方体的展开图有11种,但要注意以下几种类型不是正方体的展开图:
巧记正方体的展开图口诀:
“一四一”“一三二”,“一”在同层可任意,“三个二”成阶梯,“二个三”“日”相连,异层必有“日”,“凹”“田”“L”不能有,掌握此规律,运用定自如.
5.下列图形中,是正方体展开图的是 ( )
6.将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上,如图是它的一种展开图,则在原正方体上,与“共”字所在面相对的面上的汉字是 ( )
A.校 B.安 C.平 D.园
D
A
7.如图是一个正方体的表面展开图,则该正方体可能是 ( )
C(共9张PPT)
3.6.3 余角和补角
1.余角、补角的概念
如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为 ,简称互余;如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为 ,简称互补.
注意:(1)互余、互补指的是两个角的数量关系,互余、互补的两个角只与它们的和有关,而与它们的位置无关.
(2)一般地,锐角α的余角可以表示为(90°-α),一个角α(0°<α<180°)的补角可以表示为(180°-α) .显然一个锐角的补角比它的余角大90°.
2.余角、补角的性质
同角或等角的余角 ,同角或等角的补角 .
余角
补角
相等
相等
如图,点O在直线AB上,∠BOD=90°,∠EOC=90°,∠BOC∶∠AOE=3∶1.
(1)求∠COD的度数;
解:(1)∵∠BOC+∠AOE+∠EOC=180°,∠EOC=90°,
∴∠BOC+∠AOE=90°.
∵∠BOC∶∠AOE=3∶1,∴∠BOC=×90°=67.5°.
又∵∠BOD=90°,∴∠COD=90°-67.5°=22.5°.
(2)图中有哪几对角互为余角
(2)∠COB与∠COD,∠COB与∠AOE,
∠DOE与∠COD,∠DOE与∠AOE.
(3)图中有哪几对角互为补角
(3)∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠DOE,
∠AOE与∠BOE,∠COD与∠BOE,
∠AOD与∠BOD,∠AOD与∠EOC,
∠BOD与∠EOC.
[知识点拨] 互为余角、补角的角反映了角的数量关系,而不是位置关系,所以只要有两个角的和为90°,则互为余角;两个角的和为180°,则互为补角.
1.如图,一副三角板按不同的位置摆放,下列摆放方式中∠α与∠β互余的是 ( )
A
2.小明将一副三角板摆成如图所示的形状,则下列结论不一定正确的是 ( )
A.∠COA=∠DOB
B.∠COA与∠DOA互余
C.∠AOD=∠B
D.∠AOD与∠COB互补
C
如图,直线AB与CD相交于点O,OF、OD分别是∠AOE、∠BOE的平分线.
(1)写出∠DOE的补角;
解:(1)∠DOE的补角为∠COE、∠AOD、∠BOC.
(2)若∠BOE=62°,求∠AOD和∠EOF的度数.
(2)∵OD是∠BOE的平分线,∠BOE=62°,
∴∠BOD=∠BOE=×62°=31°.
∴∠AOD=180°-∠BOD=149°,
∠AOE=180°-∠BOE=118°.
又∵OF是∠AOE的平分线,
∴∠EOF=∠AOE=59°.
3.下列说法中,正确的是 ( )
A.一个角的补角一定大于这个角
B.任何一个角都有补角
C.若∠1+∠2+∠3=90°,则∠1、∠2、∠3互余
D.一个角如果有余角,则这个角的补角与它的余角的差为90°
4.若一个角的补角比这个角的余角的4倍还多15°,求这个角的补角的度数.
解:设这个角的度数为x,
由题意,得180°-x=4(90°-x)+15°,解得x=65°,
∴这个角的补角为180°-x=180°-65°=115°.
D
(2)∵OF平分∠AOE,
∴∠AOF=∠EOF=∠AOE=60°.
∵∠DOF=90°,
∴∠BOD=180°-(∠AOF+∠DOF)=180°-(60°+90°)=30°.
5.如图,直线AB、CD相交于点O,OF平分∠AOE,∠DOF=90°.
(1)写出图中所有与∠AOD互补的角;
(2)若∠AOE=120°,求∠BOD的度数.
解:(1)与∠AOD互补的角有∠AOC、∠BOD、∠DOE.(共22张PPT)
3.6.2 角的比较和运算
1.角的大小比较
(1)角的大小差距明显时,直接比较(观察法);
(2)用量角器分别量出角的度数,然后比较它们的大小(度量法);
(3)把顶点和其中一条边叠合在一起,并使两个角的另一条边都在同侧,通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小(叠合法).
注:①还可借助三角尺上的特殊角来比较角的大小;②角的大小与它的开口大小有关,开口越大,角越大;开口一样大,角就相等.
2.尺规作图:作一个角等于已知角的步骤
作法 示范
(1)作射线O'A'
(2)以点O为圆心、适当长为半径作弧,交射线OA于点C,交射线OB于点D
(3)以点O'为圆心、线段OC长为半径作弧,交射线O'A'于点C'
作法 示范
(4)以点C'为圆心、线段CD长为半径作弧,交前一条弧于点D'
(5)经过点D'作射线O'B'.∠A'O'B'就是所要求作的角
3.尺规作图:利用没有刻度的 和 这两种工具作几何图形的方法称为“尺规作图”.
直尺
圆规
4.角的和、差
如图,∠AOC是∠AOB与∠BOC的和,记作:
,∠AOB是∠AOC与∠BOC的差,
记作: .
∠AOC=∠AOB+∠BOC
∠AOB=∠AOC-∠BOC
5.角的平分线的概念
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个 的角,这条射线叫做这个角的平分线.
符号语言:
如图,因为OB是∠AOC的平分线,所以∠AOB=∠COB=∠AOC,∠AOC=2∠AOB=2∠COB.
相等
如图,点D在∠AOB的内部,点E在∠AOB的外部,点F在射线OA上,试比较下列各角的大小:
(1)∠AOB ∠BOD;
(2)∠AOE ∠AOB;
(3)∠BOD ∠FOB;
(4)∠AOB ∠FOB;
(5)∠DOE ∠BOD.
>
>
<
=
>
1.如图,下列四个表述中,表示角度关系不一定正确的是 ( )
A.∠AOC=∠1+∠2
B.∠1=∠2
C.∠AOB=∠AOC-∠BOC
D.∠AOC-∠AOB=∠BOC
B
2.如图,∠AOB=∠COD,请判断∠AOC和∠BOD的大小关系,并说明理由.
解:∠AOC=∠BOD.理由如下:
∵∠AOB=∠COD,
∴∠AOB-∠BOC
=∠COD-∠BOC,
即∠AOC=∠BOD.
计算:
(1)45°4'+2°58';
(2)90°-72°55';
解:原式=48°2'.
解:原式=17°5'.
(3)180°-(45°26'+17°34');
(4)17°25'×4.
解:原式=117°.
解:原式=69°40'.
[方法提炼] 角度的运算规律如下:
(1)加法:度与度相加,分与分相加,秒与秒相加,从小到大满60就向上一级单位进1;
(2)减法:度与度相减,分与分相减,秒与秒相减,当秒、分中被减数小于减数时,要从上一级单位借1,转化为60秒或60分.
3.计算:
(1)63°18'27″+26°41'33″;
解:原式=90°.
(2)180°-46°37';
解:原式=133°23'.
(3)90°+36°47'+53°13';
解:原式=180°.
(4)36°25'×3.
解:原式=109°15'.
如图,已知∠AOB=120°,OC是∠AOB内的一条射线,且∠AOC∶∠BOC=1∶2.
(1)求∠AOC的度数;
解:(1)∵∠AOC∶∠BOC=1∶2,∠AOB=120°,
∴∠AOC=∠AOB=×120°=40°.
(2)过点O作射线OD,若∠AOD=∠AOB,求∠COD的度数.
(2)∵∠AOD=∠AOB,∴∠AOD=60°.
分情况讨论:
①当OD在∠AOB内时,
∠COD=∠AOD-∠AOC=20°;
②当OD在∠AOB外时,
∠COD=∠AOC+∠AOD=100°.
综上,∠COD的度数为20°或100°.
4.如图,一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上,若∠AOD=150°,则∠BOC等于 ( )
A.30° B.45° C.50° D.60°
A
5.(2025·重庆八中)如图,若∠AOC=165°,∠AOM=∠NOC=∠BON,
∠BOM∶∠BON=5∶4,则∠MON的度数为 .
135°
如图,已知:∠1和∠2,作一个角,使它等于∠1-∠2.
[分析] 利用尺规作图,作一个角等于已知角,即可解答.
解:如答案图,作∠DAB=∠2,则∠CAD就是所求作的角.
6.如图,点C在∠AOB的OB边上,用尺规作出了∠NCE=∠AOD,作图痕迹中,弧FG是 ( )
A.以点C为圆心,OD长为半径的弧
B.以点C为圆心,DM长为半径的弧
C.以点E为圆心,OD长为半径的弧
D.以点E为圆心,DM长为半径的弧
D
7.如图,已知∠α、∠β,作一个角∠MON,使得∠MON=∠α+∠β.(要求:仅用无刻度的直尺和圆规作图,不写作法,保留作图痕迹)
解:作图如答案图所示.
∠AOC与∠BOD有公共顶点O,其中∠BOD=90°,OE平分∠AOD.
(1)若∠BOD与∠AOC的位置关系如图1所示,且∠AOC=30°,∠BOC=10°,求∠COE的度数;
解:(1)∵∠AOC=30°,∠BOC=10°,
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=20°,
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=20°+90°=110°.
∵OE平分∠AOD,
∴∠AOE=∠AOD=×110°=55°.
∴∠COE=∠AOE-∠AOC=55°-30°=25°.
(2)如图2所示,当OB与OC重合时,反向延长射线OA到点H,OF平分∠COH,求∠AOE+∠FOH的度数.
(2)∵OE平分∠AOD,∴∠AOE=∠AOD.
∵OF平分∠COH,∴∠FOH=∠COH,
∴∠AOE+∠FOH=(∠AOD+∠COH)
=(∠AOC+∠COD+∠COD+∠DOH)
=×(180°+90°)=135°.
8.如图,点O为直线AB上一点,OE平分∠AOD,
∠EOC=∠BOD,∠DOC=60°,则∠AOE的度数为 ( )
A.34° B.36° C.38° D.40°
9.(2025·重庆巴蜀)已知∠AOB=60°,∠AOC=∠AOB,射线OD平分∠BOC,则∠COD的度数为 .
D
20°或40°
10.如图, 已知∠AOD∶∠DOB=6∶4,OC是∠DOB的平分线,OE是∠AOB的平分线,且∠DOE=14°,求∠COE的度数.
解:设∠AOD=6x,∠DOB=4x,
∴∠AOB=∠AOD+∠DOB=10x.
∵OE平分∠AOB,
∴∠BOE=∠AOB=5x.
∵∠DOE=14°,
∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=5x-4x=x=14°.
又∵OC是∠DOB的平分线,
∴∠DOC=∠BOD=2x=28°.
∴∠COE=∠DOE+∠DOC=14°+28°=42°.(共15张PPT)
3.5.2 线段的长短比较
1.比较两条线段长短的方法
(1)线段的长短差距明显时,直接比较(观察法);
(2)用刻度尺测量出它们的长短来比较大小(度量法);
(3)把其中一条线段移到另一条线段上作比较(叠合法).
2.尺规作图:作一条线段等于已知线段的步骤
(1)先用直尺画一条 AB;
(2)用圆规量出已知线段MN的长度;
(3)在射线AB上以点 为圆心,截取AC=MN.
射线
A
3.线段的中点
把一条线段分成两条 线段的点,叫做这条线段的中点.
符号语言:
如图,点C是线段AB的中点,可以写成AC=CB=AB,或AB=2AC=2CB.
推广:
如图,若点M、N把线段AB分成相等的三段,就说点M、N是线段AB的 等分点.由此可得AM=MN= = .
相等
三
NB
AB
如图,点B、C在线段AD上,且AB=CD,则线段AC与BD的大小关系是 ( )
A.AC>BD B.AC=BD
C.ACB
1.如图,AB=CD,那么AC与BD的大小关系是 ( )
A.AC=BD B.ACC.AC>BD D.不能确定
A
线段AB上有两点P、Q,点P将AB分成两部分,AP∶PB=2∶3,点Q将AB也分为两部分且AQ∶QB=4∶1,PQ=3 cm,求AP、BQ的长.
解:画出图形如下:
设AP=2x cm,PB=3x cm,则AB=5x cm.
∵AQ∶QB=4∶1,∴AQ=4x cm,BQ=x cm,
∴PQ=PB-BQ=2x cm.
∵PQ=3 cm,即2x=3,∴x=1.5,
∴AP=3 cm,BQ=1.5 cm.
2.根据所示图形填空:
(1)AC= +AB;
(2)AD-AB= =AC- +CD.
3.如图,同一直线上有A、B、C、D四点,已知DB=AD,AC=CB,CD=2cm,则AB的长为 cm.
BC
BD
AB
12
(1)如图1,已知线段AB=4,反向延长线段AB至点C,使得AC=2AB,若点D是线段BC的中点,则线段DA的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
A
(2)如图2,已知线段AB=9cm,C是直线AB上的一点,且BC=3cm,点D是AC的中点,则线段AD的长是 cm;
3或6
(3)如图3,已知线段AB=12 cm,点C为AB的中点,点D为BC的中点,在线段AC上取点E,使CE=AC,求线段DE的长.补全下列解题过程.
解:因为AB=12 cm,点C为AB的中点,
所以AC=BC= =6 cm.
因为点D为BC的中点,
所以CD= = cm.
因为CE=AC,所以CE= cm.
所以DE=CD+ = cm.
AB
BC
3
2
CE
5
(4)如图4,C为线段AB上一点,AC∶BC=3∶2,点F、E分别为线段AC、AB的中点,AB=30cm.求线段AF、EC的长.
解:∵AB=30cm,AC∶BC=3∶2,
∴AC=30×=18(cm),BC=30-18=12(cm).
∵点F、E分别为线段AC、AB的中点,
∴AF=AC=×18=9(cm),
AE=AB=×30=15(cm),
∴EC=AC-AE=18-15=3(cm).
[方法总结]应用线段中点的性质进行计算或推理时, 注意结合图形进行分析(数形结合),常常会因点的位置不确定而进行分类讨论.
4.(2025·重庆南开)如图,C、D是线段AB上的两点,且D是线段AC的中点,若AB=10 cm,BD=7 cm,则BC的长为 ( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
5.已知A、B、C是同一直线上的三点,点D为AB的中点,若AB=10、BC=6,则CD的长为 .
C
11或1
6.(2025·重庆巴蜀)如图,点C是线段AE的中点,点D在线段CE上,点B是线段AD的中点.
(1)若AC=3,DE=2,求CD的长;
解:(1)∵点C是线段AE的中点,AC=3,
∴AC=CE=AE=3.
∵DE=2,
∴CD=CE-DE=1.
(2)若BC=3,CD∶AD=1∶4,求AE的长.
(2)由于CD∶AD=1∶4,设CD=x,则AD=4x.
∵点B是线段AD的中点,
∴AB=BD=AD=2x.
∵BD-CD=BC,即2x-x=3,解得x=3,
∴CD=3=BC,
∴AB=BD=6,
∴AC=AB+BC=9.
∵点C是线段AE的中点,
∴AE=2AC=18.
如图,已知点B在线段AC上,D为直线AB外一点.
(1)请按要求进行尺规作图(不写作法,保留作图痕迹).
①连结AD、BD;
②在线段BC上截取点N,使得线段BN=BC-BD;
③若AD=AB,在线段AB上取AB的中点M.
解:(1)如答案图所示.
7.如图,已知直线AB及直线AB外一点P,按下列要求完成作图:(尺规作图,保留作图痕迹)
(1)画线段PB和射线PA;
(2)在直线AB上求作线段AC,使AC=AB-PB.
解:(1)(2)如图所示.(共10张PPT)
3.2.2 由视图到立体图形
1.由三视图想象立体图形时,要先分别根据主视图、俯视图、左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面,然后再综合起来考虑整体图形.
2.由三视图想象几何体的形状,可通过以下途径进行分析:
(1)根据主视图、俯视图、左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状,以及几何体的长、宽、高;
(2)根据实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线;
(3)熟记一些简单的立体图形的三视图会对复杂几何体的想象有帮助;
(4)利用由几何体画三视图与由三视图画几何体的互逆过程,反复练习,不断总结方法.
如图是某立体图形的三视图.
(1)说出这个立体图形的名称;
解:(1)这个立体图形是三棱柱.
(2)该立体图形的俯视图是一个直角三角形,请你根据图中数据,求出这个立体图形的所有棱长的和为多少 它的侧面积为多大 它的体积为多大
(2)它的所有棱长之和为(3+4+5)×2+15×3=69(cm).
它的侧面积为3×15+4×15+5×15=180(cm2).
它的体积为×3×4×15=90(cm3).
1.(2025·成都育才)某几何体的三视图如图所示,则该几何体为 ( )
B
2.某物体的三视图如图.
(1)此物体是 体;
(2)求此物体的表面积.
(结果保留π)
圆柱
解:(2)此物体的表面积为
20π×40+2×π×102=1 000π.
(1)如图是由7个小立方块所堆成物体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数,这个物体的左视图是 ( )
C
(2)由若干个相同的小正方体组合而成的一个物体的三视图如图所示,则组成这个物体的小正方体的个数是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
(3)如图是由几个相同大小的小正方体搭建而成的物体的主视图和俯视图,则搭建这个物体所需要的小正方体的个数至少为 个.
C
6
3.如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数,则这个几何体的左视图是 ( )
C
4.(2025·重庆巴蜀)用若干个大小相同的小立方块搭一个几何体,使得其主视图和俯视图如图所示,则搭出这个几何体至少需要 个小立方体.
7
5.如图是由一些棱长为a cm的正方体小木块搭建成的物体的主视图、左视图和俯视图.
(1)该物体是由 块小木块组成的;
(2)求出该物体的体积;
(3)求出该物体的表面积(包含底面).
10
解:(2)该物体的体积为V=10a3 cm3.
(3)该物体的表面积为S=2(6a2+6a2+6a2)+2(a2+a2)=40a2(cm2).(共13张PPT)
3.1 生活中的立体图形
1.生活中的立体图形包括 、 、 .
2.柱体包括棱柱和圆柱,它们的区别及联系如下表:
顶点 棱 侧面 底面形状 相同点
棱柱 有 有 平面 多边形 都有两个完全相同且互相平行的底面
圆柱 无 无 曲面 圆
注意:(1)底面为三角形的棱柱是三棱柱,底面为四边形的棱柱是四棱柱,以此类推.
(2)在棱柱和棱锥中,相邻两个面的交线叫做 ,两条棱的交点叫做 .
柱体
锥体
球体
棱
顶点
3.锥体包括 和 .
(1)圆锥的底面是 ,侧面是 面.
(2)棱锥的底面是 形,侧面是 形.
4.每一个面都是平的,像这样的立体图形,又称为多面体,如棱柱、棱锥等.
圆锥
棱锥
圆
曲
多边
三角
5.常见的立体图形的分类方法:
(1)按形状分类:
(2)按构成分类:
立体图形
立体图形
如图所示的立体图形:
其中,是柱体的有 ;是锥体的有 ;是球体的有 .(填序号)
[分析] 分别根据柱体、锥体、球体的定义即可得出.
①②⑤⑦⑧
④⑥
③
1.下列几何体中,由5个面围成的几何体是 ( )
D
2.如图,将长方形绕着它的一边所在的直线l旋转一周,得到的立体图形是 ( )
3.如图,其中是棱柱的有 .(填序号)
C
②⑤⑥
将下列立体图形分类,并说明理由.
[分析] 分类时,先确定分类标准.分类标准不同,所属类别也不同,同时应注意分类要不重不漏.
解:(1)按柱、锥、球分:①②④⑤为一类,它们都是柱体;③⑦为一类,它们都是锥体;⑥为一类,它是球体.
(2)按围成立体图形的面是平面或曲面分:①④⑤⑦为一类,它们是多面体;②③⑥为一类,它们是旋转体.
(3)按立体图形有无顶点分:①③④⑤⑦为一类,它们都有顶点;②⑥为一类,它们都无顶点.
[方法总结] 分类是数学的一种基本思想方法.在分类时,应注意按同一标准不重不漏地进行,且分类的标准不同,所分类别也不相同,所以本题答案不唯一.
4.下列是我们常见的几何体,按要求将其分类(填序号).
(1)如果按“柱、锥、球”来分,柱体有 ,锥体有 ,球有 ;
(2)如果按“有无曲面”来分,有曲面的有 ,无曲面的有 .
①②⑥
③④
⑤
②③⑤
①④⑥
5.将下列立体图形分类,并说明理由.
解:答案不唯一,如:
(1)按柱、锥、球分:①②④⑥⑦为一类,它们都是柱体;⑤为一类,它是锥体;③为一类,它是球体.
(2)按围成立体图形的面是平面或曲面分:①②⑥⑦为一类,它们都是多面体;③④⑤为一类,它们都是旋转体.
(1)下列四个几何体中,是四棱锥的是 ( )
D
(2)如图,该几何体是一个直棱柱,它的名称是 ,它有 个顶点, 条棱.
四棱柱
8
12
6.一个直棱柱有10个顶点,则这个棱柱的侧面个数为 ( )
A.5个 B.7个 C.9个 D.10个
7.三棱锥有 个顶点, 个面, 条棱.
A
4
4
6(共14张PPT)
3.6.1 角
1.角的相关概念
角是由两条有公共端点的 组成的图形,角也可以看作是由一条射线绕着它的端点 而成的图形.射线的端点叫做角的顶点,起始位置的射线叫做角的始边,终止位置的射线叫做角的终边.
射线
旋转
2.角的表示方法
角的几何符号用“∠”表示,角的表示方法通常有以下四种:
表示方法 图示 记法 适用范围
用三个 大写字 母表示 ∠AOB 或∠BOA 任何情况都适用,表示角的顶点的字母写在中间
用一个 大写字 母表示 ∠O 以某一点为顶点的角只有一个时,可以用顶点字母表示角
用阿拉伯数字表示 ∠1 任何情况都适用
用小写 希腊字 母表示 ∠α 任何情况都适用
注意:用阿拉伯数字或小写希腊字母表示角时,要在靠近角的顶点处加上弧线,并注上阿拉伯数字或小写希腊字母.
3.角度制及其换算
平角:绕着射线的端点旋转到角的终边和始边成一条直线,这时所成的角叫做平角.
周角:绕着射线的端点旋转到终边和始边再次重合,这时所成的角叫做周角.
角的度量单位是度、分、秒,把周角等分成360份,每一份就是1度的角,1度记作1°.1°的为1分,记作1',1'的为1秒,记作1″.
1周角= °, 1平角= °,
1°= ‘, 1’= ″.
注意:本册书中的角,除了周角和平角外,一般是指小于平角的角.
360
180
60
60
4.时钟问题
(1)分针每小时转 ,时针每小时转 ;
(2)分针每分钟转 ,时针每分钟转 .
5.方位角:以测量点的正北方向为起始边,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角称为方位角.常以正北、正南方向为基准,描述物体的方向.
360°
30°
6°
0.5°
如图,以点B为顶点的角有几个 把它们表示出来;以点D为顶点的角有几个 把它们表示出来.
解:以点B为顶点的角有3个,分别是∠ABD,∠ABC,∠DBC;
以点D为顶点的角有4个,分别是∠ADE,∠EDC,∠BDC,∠ADB.
[知识点拨] 当角的顶点有三条或三条以上的射线时,不能用一个大写字母表示角,即在该顶点处只存在一个角时,才能用一个大写字母表示.
1.下列图形中能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角且角表示正确的图形是 ( )
B
2.如图,下列说法错误的是 ( )
A.∠CDB就是∠1
B.∠COB就是∠O
C.∠2就是∠OBC
D.∠DAO就是∠DAC
3.如图,图中共有 个角,其中能用一个大写字母表示的角有 .
B
8
∠A、∠C
请按照要求进行换算.
(1)化成度、分、秒的形式:①45.6°;②78.43°;
解:(1)①∵0.6°=0.6×60'=36',∴45.6°=45°36'.
(2)用度表示:①57°18';②15°10'12″.
(2)①∵18'=()°=0.3°,∴57°18'=57.3°.
②∵0.43°=0.43×60'=25.8',0.8'=0.8×60″=48″,∴78.43°=78°25'48″.
②∵12″=()'=0.2',10.2'=()°=0.17°,∴15°10'12″=15.17°.
[方法提炼] (1)由度数转化成度、分、秒时,先把不足1度的部分乘以进制60,化为分,再把不足1分的部分乘以进制60,化为秒;(2)由度、分、秒转化成度时,先把以秒为单位的部分除以进制60,化为分,再把以分为单位的部分除以进制60,化为度.
4.填空:
(1)108°42’= °;
(2)35.48°= ° ‘ ″;
(3)40°43'30″= °.
108.7
35
28
48
40.725
(1)钟表上的时间是3点20分,此时时针与分针夹角的度数是 ;
(2)某校下午放学时间为16:45,此时时钟的时针与分针的夹角是 .
20°
127.5°
5.(2025·重庆八中)如图所示,钟表上显示的时间是10点10分,此时,时针和分针夹角的度数是( )
A.100° B.105°
C.115° D.120°
C
6.(1)如图,当时钟指向9点整时,时针与分针的较小夹角为90度,当时钟指向上午9:10时,时针与分针的较小夹角为 度;
(2) 某中学下午上课时间为14:15,此时钟表上时针和分针的夹角为
度.
145
22.5
如图,OA表示北偏东40°方向的一条射线,仿照这条射线画出表示下列方向的射线.
(1)射线OB:北偏东60°;
(2)射线OC:北偏西70°;
(3)射线OD:东南方向(即南偏东45°).
解:如答案图所示.
[知识总结] 确定某点的方向一般是以正北、正南方向为起始方向.
7.如图,∠AOB=90°,则射线OB表示的方向为 ( )
A.北偏东35° B.东偏北35°
C.北偏东55° D.北偏西55°
8.某地发生了地震,位于点O处的抗震救灾指挥部观测到震中M位于点O的北偏西60°方向,同时观测到震中N位于点O的南偏东20°方向,那么∠MON的大小是 °.
A
140(共15张PPT)
3.4 平面图形
1.平面图形
各部分都在同一平面内的几何图形叫做平面图形.
圆是由 围成的封闭图形,由线段围成的封闭图形叫做 .
思考:请你说一说,以下几个封闭图形是由什么线围成的
C图形是由 围成的,其他图形是由 围成的.
曲线
线段
曲线
多边形
2.多边形的定义
多边形是由在同一平面且不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.按照组成多边形的边的条数,多边形可分为:三角形(三边形)、四边形、五边形、六边形……
3.多边形与三角形的关系
在多边形中,三角形是最基本的图形:
(1)数一数每个多边形中三角形的个数,你能发现什么规律
从n(n≥4)边形的一个顶点出发,连结该顶点与其不相邻的各顶点,用这种方法可以把n边形分成 个三角形.
(n-2)
(2)数一数每个多边形中三角形的个数,你能发现什么规律
在n(n≥3)边形的任一边上任取一点(不是顶点),并把这个点和n边形中与该点不相邻的各顶点相连结,用这种方法可以把n边形分成 个三角形.
(3)数一数每个多边形中三角形的个数,你能发现什么规律
在n(n≥3)边形内任取一点,并把这个点与各顶点相连结,用这种分法可以把n边形分成 个三角形.
(n-1)
n
[总结归纳]
分成三角 形个数 三角形 四边形 五边形 六边形 … n边形
从一个顶 点出发
…
从某边一 点出发 …
从内部一 点出发 …
2
3
4
n-2
2
3
4
5
n-1
3
4
5
6
n
下列图形中,是四边形的是 ( )
A.①③ B.②③④
C.③④ D.②④⑤
[分析] 四边形是由同一平面内不在同一直线上的4条线段围成的封闭图形.
[方法总结] 多边形是根据其边数定义的,边数是几就是几边形.
B
1.下列各组图形都是平面图形的一组是 ( )
A.线段、圆、球 B.角、长方形、圆柱
C.长方体、棱锥 D.三角形、正方形
2.将一个长方形沿一条直线剪一刀,剩下图形的形状可能是____________
_____________________.
3.在下图的图案中,找出你熟悉的平面图形.
解:图1中有六边形,三角形,四边形.
图2中有三角形,四边形,五角星形.
D
三角形、
四边形或五边形
在多边形中,三角形是最基本的图形,而研究多边形一般是将多边形分割成三角形,那么一个八边形至少可以分割成多少个三角形呢 n(n≥4)边形呢
[分析] 把一个八边形分割成若干个三角形,可以发现,当这些三角形有一个公共顶点时,三角形的个数尽量少,而这个点的位置有三种情况:八边形内、八边形边上、八边形的一个顶点上,寻找规律即可求出n边形的情况.
解:①如答案图1,过八边形内一点与各个顶点相连,可分割成8个三角形;
②如答案图2,过八边形边上一点与该点不相邻的各个顶点相连,可分割成7个三角形;
③如答案图3,过八边形的一个顶点与其不相邻的各顶点相连,可分割成6个三角形.
故八边形至少可以分割成6个三角形.
同理,过n(n≥4)边形内一点、边上一点、一个顶点分别与各个顶点相连,可以分别把n边形分割成n个、(n-1)个、(n-2)个三角形,所以n(n≥4)边形至少可以分割成(n-2)个三角形.
4.一个多边形有9条边,从其中的一个顶点出发,连结这个点和其他与之不相邻的顶点,可以得到 个三角形.
5.探究归纳题.
(1)【试验分析】
如图①,经过点A可以作 条对角线;经过点B可以作 条对角线;经过点C可以作 条对角线;经过点D可以作 条对角线.通过以上分析,可得图①共有 条对角线;
7
1
1
1
1
2
(2)【拓展延伸】
运用(1)的分析方法,可得图②共有 条对角线;图③共有 条对角线;
(3)【探索归纳】
对于n边形(n>3),共有 条对角线;(用含n的代数式表示)
(4)【特例验证】
十边形共有 条对角线.
5
9
35
(1)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,是中国劳动人民智慧的结晶.它由如左图所示的七块板组成,可以拼成许多图形,右图是用左图中的3块拼成的小船.若左图中正方形ABCD的面积为4,则右图中小船的面积为 ;
(2)七巧板是我们祖先的一项卓越创造,被西方人誉为“东方魔板”.如图所示是一副正方形七巧板(相同的板所标序号相同),现从七巧板中取出四块(序号可以相同)拼成一个小正方形(无空隙不重叠),则可以拼成的序号是 ( )
A.②③③④ B.①①②③
C.①①②④ D.①①②⑤
B
解析:分析可知,B选项可拼成一个小正方形(无空隙不重叠),如答案图.
6.五巧板是一种类似七巧板的智力玩具,它是由正方形分割而成.按如图方式分割的一副五巧板,若从中拿走一块,使得剩下的四块板仍然能拼成一个正方形,则拿走的那块板的序号是 ( )
A.① B.② C.③ D.⑤
解析:如答案图,拿走⑤能拼成一个正方形,故选D.
D
7.二七区是国家唯一因纪念重大革命历史事件而命名的城区,也是著名的红色教育基地.小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞,用正方形纸片制作成图①的七巧板,设计拼成图②的“奔跑者”形象来激励自己.已知图①正方形纸片的边长为4,则“奔跑者”在奔跑方向的手和足(图②中阴影部分)的面积之和为 .
3(共19张PPT)
3.2.1 由立体图形到视图
思考:观察下图,并填空.
(1)图①与图②③的投影线有什么区别
图①投影线集中于一点,属于 投影;
图②③投影线互相平行,属于 投影.
(2)图②③的投影线与投影面的位置关系有什么区别
图②投影线与投影面 ;
图③投影线与投影面 .
中心
平行
不垂直
垂直
1.投影
一般地,用光线照射物体在某个面(地面、墙壁、幕布等)上得到的影子叫做物体的 ,照射光线叫做 ,投影所在的面叫做 .
投影分为平行投影和中心投影.
(1)由平行光线形成的投影,叫做 .例如太阳光形成的投影.
(2)由一点发出的光线形成的投影,叫做 .例如灯光形成的投影.
特别地,当投影线垂直于投影面时,产生的平行投影称为 .
投影
投影线
投影面
平行投影
中心投影
正投影
2.立体图形的三视图
(1)从某一方向观察物体时,看到的 称为物体的一个视图.视图是一种特殊的 (填“平行”或“中心”)投影.
(2)从正面、上面和侧面(左面或右面)三个不同的方向进行观察(平行投影),可以得到三个投影,从正面观察得到的投影称为 ;从上面观察得到的投影称为 ;从侧面观察得到的投影称为 ,依观察(投影)方向不同,有左视图和右视图.
平面图形
平行
主视图
俯视图
侧视图
(3)通常将 、 和左(或右)视图称为一个物体的三视图.
温馨提示:画三视图的一般步骤总结为“一定二画三原则”.
①确定视图方向;
②先画出能反映物体真实形状的一个视图;
③在画三种视图时,对应部分的长度要相等;
④看得见的轮廓线画实线,看不见的轮廓线画虚线.
主视图
俯视图
(1)在下列四幅图形中,能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的可能是 ( )
D
(2)在乡村振兴中,农村也装上了路灯,照亮了农民夜晚回家的路.某天夜晚,一棵树和王大伯在路灯照射下的影子如图所示,则路灯的位置在 ( )
A.a处 B.b处 C.c处 D.d处
B
(3)如图是小红在一天中四个时刻看到的一棵树的影子,请你将它们按时间先后顺序进行排列 ( )
A.①②③④ B.①③④②
C.②①④③ D.④②①③
D
1.日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器,它由“晷面”和“晷针”组成.当太阳光照在日晷上时,晷针的影子就会投向晷面.随着时间的推移,晷针的影子在晷面上慢慢地移动,以此来显示时刻.则晷针在晷面上形成的投影是 ( )
A.中心投影
B.平行投影
C.既是平行投影又是中心投影
D.不能确定
B
2.小明比小强高0.1 m,那么在同一路灯的灯光下 ( )
A.小明的影子比小强的影子长
B.小明的影子比小强的影子短
C.小明的影子和小强的影子一样长
D.无法判断谁的影子长
3.如图,在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球,球在地面上的阴影的形状是一个圆,当把球向下移时,圆形阴影的大小变化情况是 ( )
A.越来越小 B.越来越大
C.大小不变 D.不能确定
D
A
(1)下列立体图形中,左视图是三角形的是 ( )
A
(2)如图1是由7个完全相同的小正方体搭成的立体图形,则它的俯视图是 ( )
D
(3)如图2所示的立体图形的主视图是 ( )
A
4.如图是由5个相同的小正方体组成的几何体,该几何体从左面看到的平面图形是 ( )
D
5.(2025·自贡)如图,一横一竖两块砖头放置于水平地面,其主视图为
( )
D
如图是由8个大小相同的小立方块搭建的物体,其中每个小立方块的棱长均为1厘米.
(1)请画出该物体的主视图、左视图和俯视图;
(2)如果你还有一些大小相同的小立方块,要保持左视图和俯视图不变,那么最多可以再添加 个小立方块.
解:(1)该物体的三视图如图所示.
1
6.如图所示是由几个小立方块所搭的几何体,请画出该几何体的主视图、左视图和俯视图.
解:三视图如答案图所示.
7.画出如图所示几何体的三视图.
解:三视图如答案图所示.
8.从棱长为2的正方体毛坯的一角挖去一个棱长为1的小正方体,得到一个如图所示的零件.
(1)这个零件的表面积是 ;
(2)请按要求在边长为1的网格里画出这个零件的左视图和俯视图.
解:(2)这个零件的左视图和俯视图如图所示.
24
