(共12张PPT)
4.1.3 同位角、内错角、同旁内角
1.同位角、内错角、同旁内角的定义
如图,两条直线AB、CD被第三条直线EF所截,可得八个角,叫做“三线八角”.
∠1与∠5分别在直线AB、CD的同一方,并且都在直线EF的同一侧,具有这种位置关系的一对角叫做同位角.图中的同位角还有 .
∠3和∠5都在直线AB、CD之间,并且分别在直线EF的两侧,具有这种位置关系的一对角叫做内错角.图中的内错角还有 .
∠3与∠6也在直线AB、CD之间,但它们在直线EF的同一旁,具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.图中的同旁内角还有 .
∠2与∠6,∠3与∠7,∠4与 ∠8
∠4与∠6
∠4与∠5
温馨提示:
(1)“三线八角”是指图中上面一组四个角中的一个角与下面一组四个角中的一个角之间的关系,显然是没有公共顶点的两个角.
(2)“三线八角”中共有4对同位角,2对内错角,2对同旁内角.
2.同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征
角的 名称 位置特征 基本图形 图形结
构特征
同位角 在两条被截直线同一方,在截线同一侧 形如字母“F”(或倒形)
内错角 在两条被截直线之间,在截线两侧(交错) 形如字母“Z”“N”(或反置)
同旁 内角 在两条被截直线之间,在截线同侧 形如字母“U”(或“ ”)
温馨提示:巧妙识别“三线八角”的两种方法:
(1)巧记口诀来识别: 一看三线,二找截线,三查位置.
(2)借助方位来识别:根据这三种角的位置关系,我们可以在图形中标出方位,判断时依方位来识别,如图.
如图,∠1与∠2,∠3与∠4,∠1与∠4分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的什么角
解:∠1与∠2是直线DE、BC被直线AB所截形成的同位角;
∠3与∠4是直线AB、AC被直线DE所截形成的同旁内角;
∠1与∠4是直线AB、AC被直线DE所截形成的内错角.
[技巧归纳] 两个角的公共边即为截线,在截线的同旁找同位角和同旁内角,在截线的两旁找内错角.
1.如图,∠DCB和∠ABC是直线 、 被直线 所截形成的 角.
2.如图所示.
(1)∠AED和∠ABC可看成是直线 、 被直线 所截形成的 角;
(2)∠EDB和∠DBC可看成是直线 、 被直线 所截形成的 角;
(3)∠EDC和∠C可看成是直线 、 被直线 所截形成的 角.
DE
AB
BC
同旁内
ED
BC
AB
同位
ED
BC
BD
内错
ED
BC
AC
同旁内
如图,判断下列各对角的位置关系:
(1)∠1与∠2; (2)∠1与∠7; (3)∠1与∠BAD; (4)∠2与∠6; (5)∠5与∠8.
[分析] 在复杂的图形中判断两个角的位置关系,可以将其分解为几个基本图形.本题图形可以依次分解为以下几个基本图形:
解:(1)∠1与∠2是同旁内角.
(2)∠1与∠7是同位角.
(3)∠1与∠BAD是同旁内角.
(4)∠2与∠6是内错角.
(5)∠5与∠8是对顶角.
[总结升华] 确定角的关系的方法:(1)先找出截线,看由截线与其他线相交得到的角有哪几个;(2)将这几个角抽出来,观察分析它们的位置关系;(3)再取其他的线为截线,再抽取与该截线相关的角来分析.
3.如图,关于图中角与角的位置关系,描述有误的是 ( )
A.∠1与∠3是对顶角
B.∠3与∠4是内错角
C.∠1与∠5是同旁内角
D.∠2与∠5是同位角
C
4.(2025·重庆一中)如图,下列判断:①∠A与∠1是同位角;②∠A与∠B是同旁内角;③∠4与∠1是内错角;④∠1与∠3是同位角;⑤∠2与∠3是对顶角.其中正确的是 .(填序号)
①②③⑤
5.如图所示,找出图中的同位角、内错角、同旁内角(仅限于用数字表示的角).
解:由图可得,
同位角有:
∠1与∠3,∠3与∠5;
内错角有:
∠1与∠4,∠4与∠5;
同旁内角有:
∠1与∠2,∠5与∠6.(共16张PPT)
4.2.3 平行线的性质
1.平行线的性质1:
两条平行直线被第三条直线所截,同位角 .
简写成:两直线平行,同位角 .
几何语言:如图1,∵a∥b,
∴∠1=∠2.
2.平行线的性质2:
两条平行直线被第三条直线所截,内错角 .
简写成:两直线平行,内错角 .
几何语言:如图2,∵a∥b,∴∠1=∠2.
相等
相等
相等
相等
3.平行线的性质3:
两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角 .
简写成:两直线平行,同旁内角 .
几何语言:如图3,∵a∥b,∴∠1+∠2=180°.
温馨提示:“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提“两直线平行”.
拓展:如图,当两个三角形底边相同、顶点的连线与底边平行时,这两个三角形的面积相等.
互补
互补
已知:如图,直线AB∥CD,直线EF与直线AB、CD分别交于点G、H,GM平分∠FGB,∠3=60°.求∠1的度数.
解:∵∠3=60°(已知),∠3=∠4(对顶角相等),
∴∠4=60°(等量代换).
∵AB∥CD(已知),
∴∠4+∠FGB=180°(两直线平行,同旁内角互补),
∴∠FGB=120°.
∵GM平分∠FGB(已知),
∴∠1=∠FGB=60°(角平分线的定义).
1.(2025·自贡)如图,一束平行光线穿过一张对边平行的纸板,若∠1=115°,则∠2的度数为 ( )
A.75° B.90° C.100° D.115°
D
2.(2025·重庆西附)如图,直线MN分别交直线AB、CD于点E、F,AB∥CD,EP与FP交于点P,且∠FEP=2∠BEP,∠EFP=3∠DFP,∠BEP=40°,则∠P的度数为 .
55°
3.如图,已知AE∥CF,射线CF、AE与直线GH分别交于点D、B,连结AD、CB,∠A=∠C,DA平分∠BDF.
(1)试说明:AD∥BC;
(2)若∠ADB=50°,求∠EBC的度数.
解:(1)∵AE∥CF,∴∠A=∠FDA.
∵∠A=∠C,
∴∠FDA=∠C,∴AD∥BC.
(2)∵DA平分∠BDF,∠ADB=50°,
∴∠ADF=∠ADB=50°.
∵AE∥CF,
∴∠A=∠ADF=50°,∠C=∠EBC.
∵∠A=∠C,∴∠EBC=∠A=50°.
(2025·重庆渝中区)如图,已知AC∥EF,∠1+∠2=180°.
(1)试说明:∠FAB=∠BDC.
请将下面的解答过程补充完整:
解:∵AC∥EF(已知),
∴∠1+∠FAC=180°( ).
又∵∠1+∠2=180°(已知),
∴ ( ),
∴FA∥CD( ),
∴∠FAB=∠BDC( ).
两直线平行,同旁内角互补
∠FAC=∠2
同角的补角相等
内错角相等,两直线平行
两直线平行,同位角相等
(2)若AC平分∠FAD,EF⊥BC,交BC的延长线于点E,∠FAD=80°,求∠BCD的度数.
解:∵AC平分∠FAD,∠FAD=80°,∴∠FAC=∠FAD=×80°=40°.
由(1)得∠2=∠FAC=40°.
∵EF⊥BE,AC∥EF,
∴∠E=∠ACB=90°,
∴∠BCD=∠ACB-∠2=90°-40°=50°.
(1)如图1,∠B=120°,∠D=152°,∠BED=88°,试说明:AB∥CD;
解:(1)如图1,过点E作EF∥AB,
∴∠B+∠BEF=180°.
∵∠B=120°,∴∠BEF=60°,
∴∠DEF=∠BED-∠BEF=88°-60°=28°,
∴∠DEF+∠D=28°+152°=180°,∴EF∥CD.
∵EF∥AB,∴AB∥CD.
(2)如图2,AB∥CD,试猜想∠B与∠C、∠BEC之间的关系.
(2)猜想:∠BEC=180°-∠B+∠C.
理由如下:如图2,过点E作EF∥AB,
则∠BEF=180°-∠B.
∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠CEF=∠C,
∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=180°-∠B+∠C.
4.如图,已知∠A与∠B互补,DE平分∠ADC,∠1=40°,那么∠2= ( )
A.80° B.85° C.95° D.100°
5.如图,AB∥CD,∠ABE=125°,∠C=30°,则∠α= ( )
A.70° B.75° C.80° D.85°
D
D
6.如图,已知直线AB、CD与直线EF分别交于点E、F.若∠1=45°,
∠CFE=135°,△EFG的面积为20,则△MFG的面积为 .
20
7.填空并完成以下解题过程.
已知:如图,BD⊥AC于点D,EF⊥AC于点F,∠DMG+∠AGF=180°,∠1=∠2.
试说明:DM∥BC.
解:∵BD⊥AC(已知),EF⊥AC(已知),
∴BD∥ (在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行),
∴∠2= ( ).
∵∠1=∠2(已知),
∴∠1= ( ),
∴GF∥BC( ).
∵∠DMG+∠AGF=180°(已知),
∴MD∥ ( ).
又∵GF∥BC(已证),∴DM∥BC.
EF
∠DBE
两直线平行,同位角相等
∠DBE
等量代换
内错角相等,两直线平行
GF
同旁内角互补,两直线平行
在方格纸中,将三角形ABC向右平行移动3格得到三角形A1B1C1,画出三角形A1B1C1.
解:如答案图所示,三角形A1B1C1即为所求作的三角形.
[方法总结] 在方格纸中作平移图形,应先作出对应点平移后的位置,再连线即可.
8.如图,在每个小正方形边长均为1个单位长度的方格中,有一个三角形ABC且三角形ABC的每个顶点均与小正方形的顶点重合.
(1)在方格中,将三角形ABC向下平移5个单位长度得到三角形A1B1C1,请画出三角形A1B1C1;
解:(1)如答案图所示.三角形A1B1C1即为所作.
(2)求三角形ABC平移到三角形A1B1C1的过程中,三角形ABC所扫过的面积.
(2)三角形ABC所扫过的面积为
5×4+×4×2=24.(共12张PPT)
4.2.1 平行线
1.平行线的定义
在同一平面内不相交的两条直线叫做 . 如图,直线a(或AB)与直线b(或CD)互相平行,记作 (或 ).
在同一平面内,两条不重合的直线的位置关系只有两种: .
平行线
a∥b
AB∥CD
相交或平行
温馨提示:
(1)平行线的定义有三个特征:一是在同一个平面内;二是两条直线;三是不相交,三者缺一不可.
(2)有时说两条射线平行或线段平行,实际是指它们所在的直线平行,两条线段不相交并不意味着它们就平行.
(3)在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交或平行两种.特别地,重合的直线视为一条直线,不属于上述任何一种位置关系.
2.平行公理及其推论
过 一点有且 一条直线与这条直线平行.
如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也 .
几何语言表达:
因为a∥c,c∥b(已知),所以a∥b(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行).
温馨提示:
(1)平行公理特别强调“过直线外一点”,而非直线上的点,要区别于垂线的第一条性质.
(2)公理中“有”说明存在,“只有”说明唯一.
(3)“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
直线外
只有
互相平行
下列说法中,正确的是 ( )
A.在同一平面内,不相交的两条射线是平行线
B.在同一平面内,不相交的两条线段是平行线
C.在同一平面内,两条不同直线的位置关系不是相交就是平行
D.不相交的两条直线是平行线
[分析] 把握平行线的定义中关键两点:①在同一平面内;②两条不相交的直线.射线或线段平行是指它们所在的直线平行,不能由它们不相交就判定其平行.可通过画图举反例解决.
C
1.如图,网格中,平行的线段有 ( )
A.3对 B.4对
C.5对 D.6对
2.在同一平面内,直线l1与l2没有公共点,则l1与l2 ;l1与l2有且只有一个公共点,则l1与l2 .
C
平行
相交
3.在同一平面内有三条直线a、b、c,请画图说明它们有哪几种位置关系.
解:有以下4种位置关系,如答案图所示.
下列说法中,正确的个数为 ( )
①和一条已知直线平行的直线有且只有一条;
②经过一点,有且只有一条直线与已知直线平行;
③在a、b、c三条直线中,如果a∥b,b∥c,那么a∥c;
④在同一平面内的三条直线,其中只有两条直线平行,则这三条直线的交点一定有两个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
4.下列推理正确的是 ( )
A.因为a∥b, b⊥c,所以c∥a
B.因为a⊥b, b⊥c,所以a⊥c
C.因为a∥b, a∥c,所以b∥c
D.因为a⊥b, b∥c,所以a∥c
5.下列三种说法:①相等的角是对顶角;②若线段AB与线段CD没有交点,则AB∥CD;③若a、b、c都是直线,且a∥b,b∥c,则a与c不相交.
其中正确的是 .(填序号)
6.同一平面内,两条相交直线不可能与第三条直线都平行,这是因为 .
C
③
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
如图,在∠AOB内有一点P.
(1)过点P画l1∥OA;
(2)过点P画l2∥OB;
(3)用量角器量一量l1与l2相交所形成的角及∠O的大小,发现有怎样的关系
解:(1)(2)如答案图所示.
[易错提示] 若两个角的两边分别平行,那么这两个角可能相等,也可能互补.解题时不要漏解.
(3)l1与l2的夹角有两个:∠1、∠2.
∠1=∠O,∠2+∠O=180°,
所以l1与l2的夹角与∠O相等或互补.
7.读下列语句,并画图形.
(1)如图,过点D画DE,使DE∥AC,交BC的延长线于点E;
(2)在∠ABC的边AB上任取一点P,直线PF经过点P与直线BC平行,且交AC于点F.
解:作图如答案图所示.
8.如图,在方格纸中,有两条线段AB、BC.利用方格纸完成以下操作:
(1)过点A画BC的平行线AE;
(2)过点C画AB的平行线,与(1)中的AE交于点D;
(3)过点B画AB的垂线,与(1)中的AE交于点F.
解:作图如答案图所示.(共10张PPT)
4.1.1 对顶角
1.两条直线相交,只有一个 .
如图,两条直线AB、CD都经过同一个点O,我们就说这两条直线相交于点O,点O是它们的 .可以说成“直线AB、CD相交于点O”.
两条直线相交形成了∠1、∠2、∠3和∠4.
交点
交点
从位置关系与数量关系上看,图中的角之间存在什么关系呢 将你的发现填入下表:
角 ∠1与 ∠2 ∠2与 ∠3 ∠3与 ∠4 ∠4与 ∠1 ∠1与 ∠3 ∠2与
∠4
位置 关系 相邻 相邻 相对
数量 关系 互补 互补 相等
相邻
相邻
相对
互补
互补
相等
2.邻补角的定义:如果两个角既相邻又互补,那么这两个角互为
.如∠1与∠2.
3.对顶角的定义:两个角具有相同的 ,且其中一个角的两边分别与另一个角的两边互为 ,这样的两个角叫做对顶角.
温馨提示:(1)由定义可知只有两条直线相交时,才能产生对顶角;(2)对顶角满足的条件:①相等的两个角;②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.
4.对顶角的性质:对顶角 .
邻补角
顶点
反向延长线
相等
(1)下列各图中,∠1与∠2是对顶角的是 ( )
C
(2)如图,在下列所标的角中,对顶角有 ,互为邻补角有 .
∠3和∠5
∠1和∠2,∠3和∠4,∠4和∠5
1.下列各图中,∠1与∠2互为对顶角的是 ( )
2.如图,直线AB与CD相交所成的四个角中,∠1的邻补角是 ,∠1的对顶角是 .
B
∠2、∠4
∠3
如图所示,已知直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE,∠2∶∠1=4∶1,求∠AOF的度数.
解:设∠1=x,则∠2=4x.
∵OE平分∠BOD,∴∠BOD=2∠1=2x.
∵∠2+∠BOD=180°,即4x+2x=180°,
∴x=30°,∴∠1=30°,∠BOD=60°.
∵∠1+∠COE=180°,∴∠COE=150°.
又∵OF平分∠COE,∴∠COF=∠COE=75°.
∵∠AOC=∠BOD=60°,
∴∠AOF=∠AOC+∠COF=60°+75°=135°.
[总结提升] 涉及有比值的题设条件,如a∶b=m∶n,在解题时设a=mx,b=nx,这是常用的用方程思想解题的方法.
3.下列说法中,正确的有 ( )
①对顶角相等;
②相等的角是对顶角;
③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;
④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
4.如图,直线AB、CD相交于点O,射线OE把∠AOC分成两部分.
(1)图中∠AOC=∠ ,∠AOE+∠ =180°;
(2)若∠AOC=80°,∠AOE=3∠COE,求∠DOE的度数.
解:(2)∵∠AOE=3∠COE,
∴设∠COE=x,
则∠AOE=3x.
∵∠AOC=80°,
∴x+3x=80°,
∴x=20°,即∠COE=20°,
∴∠DOE=180°-∠COE=180°-20°=160°.
BOD
BOE(共12张PPT)
4.2.2 平行线的判定
1.平行线的判定方法1:
两条直线被第三条直线所截,如果同位角 ,那么这两条直线平行.
简写成:同位角 ,两直线平行.
几何语言:如图,∵∠3=∠2(已知),
∴AB∥CD( ).
2.平行线的判定方法2:
两条直线被第三条直线所截,如果内错角 ,那么这两条直线平行.
简写成:内错角 ,两直线平行.
几何语言:如图,
∵∠1=∠2(已知),
∴AB∥CD( ).
相等
相等
同位角相等,两直线平行
相等
相等
内错角相等,两直线平行
3.平行线的判定方法3:
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角 ,那么这两条直线平行.
简写成:同旁内角 ,两直线平行.
几何语言:如图,
∵∠4+∠2=180°(已知),
∴AB∥CD( ).
互补
互补
同旁内角互补,两直线平行
4.尺规作图——过直线外一点作已知直线的平行线
(1)在直线AB上取一点Q,经过点P和点Q,作直线MN;
(2)作∠MPD=∠PQB,并使得∠MPD与∠PQB是一对同位角;
(3)反向延长射线PD,得到直线CD.
直线CD就是过点P所要求作的直线AB的平行线.
5.平行线的判定方法的推论:
同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.
符号语言:如图,
∵a⊥c,b⊥c,∴a∥b.
温馨提示:
(1)平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形.
(2)判断直线平行的方法:
方法1:(定义)在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线;
方法2:若a∥b,b∥c,则a∥c;
方法3:同位角相等,两直线平行;
方法4:内错角相等,两直线平行;
方法5:同旁内角互补,两直线平行;
方法6:在同一平面内,若a⊥b,a⊥c,则b∥c.
根据图形填空:
(1)由∠1=∠4,得 ∥ ;
(2)由∠ABC+∠A=180°,得 ∥ ;
(3)由∠ABC=∠5,得 ∥ .
[易错提示] 解决此类问题的关键是要分清两个角是哪两条直线被哪条直线所截而形成的角,不能出现类似“由∠1=∠4,得AD∥BC”的错误.
AB
CD
AD
BC
AB
CD
1.(2025·重庆巴蜀)如图,下列条件:①∠1=∠2;②∠4=∠5;③∠2+∠4=180°;④∠1=∠3,其中能判断直线l1与l2平行的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图:
(1)由∠ADE=∠B,可以得到DE∥ ,依据是 ;
(2)由∠ADE=∠DEF,可以得到 ∥AB,依据是 .
C
BC
同位角相等,两直线平行
EF
内错角相等,两直线平行
用圆规、直尺作图,不写作法,保留作图痕迹:已知,D是∠ABC的边AB上一点,求作射线DE,使DE∥BC,交AC于点E.
解:作图如答案图所示.
3.下面四个图是小明用尺规过点C作AB边的平行线所留下的作图痕迹,其中正确的是 ( )
A
如图,已知∠A=∠DCF,∠B=∠E,试问ED与CF平行吗 请说明理由.
[分析] 由∠A=∠DCF可得AB∥CF,由∠B=∠E可得AB∥ED,再由平行公理的推论即可得结论.
解:ED∥CF.理由如下:
∵∠A=∠DCF,
∴AB∥CF(同位角相等,两直线平行).
∵∠B=∠E,
∴AB∥ED(内错角相等,两直线平行).
∴ED∥CF(平行于同一直线的两直线平行).
4.如图,下列推理正确的是 ( )
A.∵∠1=∠2,
∴c∥d
B.∵∠4=∠6,
∴a∥b
C.∵∠3+∠4=180°,
∴a∥b
D. ∵∠4+∠5=180°,∴c∥d
C
5.如图,已知EF⊥BC,DE⊥AB,∠B=∠ADE.试说明:AD∥EF.
解:∵EF⊥BC,DE⊥AB(已知),
∴∠EFB=∠AED=90°(垂直的定义),
∴∠BEF+∠B=90°,∠BAD+∠ADE=90°(直角三角形的两个锐角互余).
∵∠B=∠ADE(已知),
∴∠BEF=∠BAD(等角的余角相等),
∴AD∥EF(同位角相等,两直线平行).(共18张PPT)
4.1.2 垂 线
1.垂线的相关概念
当两条直线相交所构成的四个角中有一个为 时,这两条直线 ,其中的一条直线叫做另一条直线的 ,它们的交点叫做 .两条直线互相垂直,一般垂直符号用“ ”来表示.
如图,直线AB与直线CD互相垂直,那么可记作“ ”(或“ ”),读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”).
注意:(1)垂线是直线而不是线段或射线,遇到线段与射线的垂直问题,都是指它们所在的 互相垂直.
直角
互相垂直
垂线
垂足
⊥
AB⊥CD
CD⊥AB
直线
(2)推理格式:
如图,因为AB⊥CD(已知),
所以∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°(垂直的性质).
反过来,因为∠AOC=90°(已知),所以AB⊥CD(垂直的定义).
(3)垂直是相交的特殊情况,即两条相交直线的夹角为直角.
(4)我们讨论两条直线互相垂直必须是在同一平面内.
2.垂线的画法
利用直角三角板过点A作直线BC的垂线(如图1),可简单地说成:“一靠”“二过”“三画”“四标”.
①“一靠”:如图2,将直角三角板一条直角边紧靠已知直线上,另一条直角边落在点A的同一侧;
②“二过”:如图3,使直角三角板的另一条直角边经过已知点A;
③“三画”:如图3,沿已知点所在直角边画直线;
④“四标”:如图4,标出直角标号“┐”,则直线AD即为直线BC的垂线.
思考:
(1)画已知直线l的垂线能画几条 ( )
(2)过直线l上的一点A画直线l的垂线,这样的垂线能画几条 ( )
(3)过直线l外的一点B画直线l的垂线,这样的垂线能画几条 ( )
3.垂线的性质
(1)同一平面内,过一点 一条直线与已知直线垂直.(点可在直线上也可以在直线外)
(2)连结直线外一点与直线上各点的所有线段中, .(简称: )
无数条
一条
一条
有且只有
垂线段最短
垂线段最短
温馨提示:
(1)第1条性质成立的前提是在“同一平面内”,“有”表示存在,“只有”表示唯一,“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性.
(2)第2条性质是“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.”实际上,连结直线外和直线上各点的线段有无数条,但只有一条最短,即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题.
4.垂直平分线
把 一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线(简称中垂线).
垂直并且平分
5.垂线段及点到直线的距离
(1)垂线段:如图,线段AD叫做点A到直线l的垂线段.
(2)点到直线的距离的定义.
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做 .
即图中线段AD的长度即为点A到直线l的距离.
温馨提示:
(1)点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,不能说垂线段是距离.
(2)求点到直线的距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后计算或度量垂线段的长度.
点到直线的距离
如图,直线AB、CD相交于点O,且EO⊥CD.
(1)若∠BOE=52°,求∠AOC的度数;
(2)若∠AOC∶∠BOC=1∶5,求∠AOE的度数.
解:(1)∵EO⊥CD,∴∠COE=90°.
∵∠BOE=52°,∴∠AOC=180°-∠COE-∠BOE=38°.
(2)∵∠AOC∶∠BOC=1∶5,∠AOC+∠BOC=180°,
∴∠AOC=×180°=30°.
∵∠COE=90°,∴∠AOE=∠AOC+∠COE=120°.
1.下列说法中不正确的是 ( )
A.垂线是直线
B.互为邻补角的两个角的平分线一定垂直
C.可以作无数条已知线段的垂直平分线
D.相交的两条直线不一定垂直
2.(2025·成都七中)如图,已知直线AB与CD相交于点O,EO⊥AB,FO⊥CD,垂足均为O.若∠AOC=35°,则∠EOF的度数为 ( )
A.155° B.145°
C.130° D.125°
C
B
3.如图,已知A、O、B三点在同一直线上,∠AOC=120°,OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线.
(1)判断OD与OE的位置关系;
(2)当∠AOC大小发生变化时,OD、OE仍分别是∠AOC、∠BOC的平分线,则OD与OE的位置关系是否改变 请说明理由.
解:(1)OD⊥OE.
(2)位置关系不变,理由如下:
∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线,
∴∠COD=∠AOC,∠COE=∠COB.
∴∠DOE=(∠AOC+∠COB)=×180°=90°,
∴OD⊥OE.
如图,在三角形ABC中,∠A为钝角.
(1)画出点A到直线BC的垂线段;
(2)画出点C到直线AB的垂线段;
(3)画出点B到直线AC的垂线段;
(4)若将上述三条垂线段延长或反向延长,你能发现什么现象
解:如答案图所示.
(1)线段AD.
[归纳提升] (1)①过一点画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;②垂线段是线段,垂线是直线.
(2)线段CF.
(3)线段BE.
(4)发现三条高所在的直线交于一点.
(2)熟记下面模型的结论.
如图中,线段CD、AC、BC、BD、AD均是垂线段.
结论:①∠A=∠DCB;
②∠B=∠ACD;
③CD=.
4.若P、Q分别是∠AOB的边OA、OB上的点,分别画出点P到OB的垂线段PM,点Q到OA的垂线段QN,则正确的图形是 ( )
D
5.如图,已知点P、Q分别在∠AOB的边OA、OB上,按下列要求画图:
(1)画直线PQ;
(2)过点P画垂直于射线OB的射线PC,垂足为点C;
(3)过点Q画射线OA的垂线段QD,垂足为点D;
(4)画出线段PQ的垂直平分线l.
解:如答案图所示.
如图,三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=8 cm,BC=6 cm,AB=10 cm,CD⊥AB,则下列说法中,正确的序号有 .
①点A到BC的距离是8 cm;
②点B到AC的距离是6 cm;
③点C到AB的距离是4.8 cm;
④点B到CD的距离是6 cm.
[思维点拨] 点到直线的距离,关键要弄清是哪一条线段的长度,求直角三角形斜边上的高可用等积法.
①②③
6.如图,已知直线AB⊥l,BC⊥l,则直线AB与BC重合,理由是 ( )
A.垂线段最短
B.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离
D.在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么它也垂直于另一条
B
7.(2025·重庆育才)在下列图形中,线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是 ( )
C
8.如图,平原上有A、B、C、D四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池.
(1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池点H的位置,使它到四个村庄距离之和最小;
(2)计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠最短 并说明理由.
解:(1)∵两点之间线段最短,
∴连结AD、BC交于点H(如答案图),则点H为蓄水池位置,它到四个村庄距离之和最小.
(2)如答案图,过点H作HG⊥EF,垂足为G.
理由:过直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短.
