(共11张PPT)
1.8.1 加减法统一成加法
1.有理数加减法统一成加法
有理数加减法运算可以应用有理数的减法法则,先统一成加法运算,再转化成省略括号和加号的代数和的形式,如:
(+4.5)+(-3.2)-(-1.1)-(+1.4)
=(+4.5)+(-3.2)+(+1.1)+(-1.4)
=4.5-3.2+1.1-1.4.
有两种读法:
①看作和式读法:
读作: ;
②按运算意义读法:
读作: .
4.5、负3.2、1.1、负1.4的和
4.5减3.2加1.1减1.4
2.有理数加减混合运算的步骤:先把加减法统一为 ,从而把含加减法运算的式子转化成几个有理数和的形式,再按照有理数的加法法则进行计算.
3.有理数加减混合运算顺序:从左到右依次进行,有括号的先算括号内的,再算括号外的,有多重括号的先算小括号,再算中括号,最后算大括号.
加法
将下列式子写成省略加号的和的形式,并说出它的两种读法:
(1)(+3.7)-(-2.5)+(-3.5)-(+2.4);
解:(1)原式=3.7+2.5-3.5-2.4.
读法一:3.7、2.5、负3.5、负2.4的和;
读法二:3.7加2.5减3.5减2.4.
(2)-+--+4.
[分析] 先利用减法法则把减法改为加法,再省略加号和括号,按运算顺序与算式的意义读出即可.
(2)原式=-1-1-2+3+1+4.
读法一:负1、负1、负2、3、1、4的和;
读法二:负1减1减2加3加1加4.
1.(2025·重庆巴蜀)把3-(-6)+(-5)-(+4)写成省略加号的和的形式为( )
A.3-6-5-4 B.3+6-5+4
C.3+6+5-4 D.3+6-5-4
2.式子-4+10+6-5的正确读法是( )
A.负4、正10、正6、减去5的和
B.负4加10加6减负5
C.4加10加6减5
D.负4、正10、正6、负5的和
3.将算式(-8)-(-10)+(-6)-(+4)改写成省略加号的和的形式: .
D
D
-8+10-6-4
计算:
(1)(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) (同号结合法);
解:原式=-33+18-15-1+23
=(-33-15-1)+(18+23)
=-49+41=-8.
(2)(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) (凑整法);
解:原式=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8
=4-10+3.8
=7.8-10=-2.2.
(3)--+-+-(同分母结合法);
解:原式=(--)+(-+)+(-)
=-1+0-=-1.
(4)-3+10-12+4(先拆分后结合法).
解:原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)
=-1++
=-=-.
4.计算0-2+4-6+8所得的结果是( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
5.计算:
(1)-18-(-11.5)-(-31)-12.5;
解:原式=-18+(+11.5)+(+31)+(-12.5)
=(-18+31)+(11.5-12.5)
=13-1
=12.
A
(2)4-+-3;
解:原式=(4+5-4-3)++
=3.
(3)-5++17+;
解:原式=-5-9+17-3=(-5-9+17-3)++
=0-+=-.
(4)-1.5-[1.4-(-3.6)-4.3+(-5.2)].
解:原式=-1.5-[1.4+3.6+(-4.3)+(-5.2)]
=-1.5-(-4.5)
=-1.5+4.5=3.
6.已知++=0,求2x-y+的值.
解:因为≥0,≥0,≥0,
且++=0,
所以4x-3=0,2y+5=0,3z+1=0,
所以x=,y=-,z=-,
所以2x-y+=2×-+
=++=.(共10张PPT)
1.4 绝对值
1.绝对值的定义:在数轴上表示数a的点与 的距离叫做数a的绝对值,记作 .
2.绝对值的性质:一个正数的绝对值是 ;0的绝对值是 ;一个负数的绝对值是 .
即=
由此可以看出,对任意有理数a,总有 0.
原点
它本身
0
它的相反数
≥
注意:(1)若=a,则a≥0;若=-a,则a≤0.
(2)互为相反数的两个数的绝对值相等,绝对值相等的两个数相等或互为相反数.
(3)n个数的绝对值的和为零,则这n个数分别为零.
求下列各数的绝对值:
-21,+,0,-7.8,-π.
解:-21的绝对值是21,+的绝对值是,
0的绝对值是0,-7.8的绝对值是7.8,
-π的绝对值是π.
1.(2025·重庆育才)的相反数为( )
A.2 B.-2 C. D.-
2.化简:
(1)= ;
(2)= ;
(3)= ;
(4)-(-5)的绝对值的相反数是 .
B
2.5
6.2
4
-5
3.已知a、b、c为有理数,且它们在数轴上的位置如图所示.
(1)试判断a、b、c的正负性;
解:(1)根据数轴可得,a<0,b>0,c>0.
(2)在数轴上标出a、b、c的相反数的位置;
(2)如答案图所示.
(3)根据数轴化简:
①= ,②= ,③= ;
(4)若=1,=2,=3,求a、b、c的值.
(4)a=-1,b=2,c=3.
-a
b
c
(1)若=2,则x= ;
若=,则x= ;
(2)若=6,且 m>0,则= ;
(3)绝对值不大于3的整数有 ;
(4)绝对值小于π的非负整数有 ;
(5)当3
±2
±2.8
3
0,±1,±2,±3
0,1,2,3
2
4.(2025·重庆西附)下列说法:
①有理数的绝对值一定比0大;
②如果两个数相等,那么这两个数的绝对值一定相等;
③如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等;
④有理数的绝对值越大,离原点越远.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.(1)已知=4,则x= ;
(2)已知=,则a= ;
(3)已知=0,则a= .
B
±4
±
-2
若+=0,求x+y的值.
解:因为≥0,≥0,且+=0,
所以x-3=0,y-5=0,解得x=3,y=5,
所以x+y=3+5=8.
6.若+=0,则+的值是( )
A.5 B.1 C.2 D.0
7.(1)已知=-,则2x+5y= ;
(2)当x= 时,3+有最小值.
A
16
4(共8张PPT)
1.14 用计算器进行计算
1.在使用计算器计算时,要先打开计算器的开关,即按 键,使计算器进入工作状态.
2.用计算器进行计算时,按键顺序与算式的书写顺序相同.
注意:计算器的面板由键盘和显示器两部分组成.显示器的功能是显示输入的数据和计算结果,键盘的每个键上都标有这个键的功能.不同型号的计算器面板的结构基本相同,但是键盘会稍有不同,所以在使用前要仔细阅读说明书,了解各个键的功能.
用计算器计算(写出按键顺序):
(1)(-15)3÷52;
解:(1)按键顺序为
显示结果为-135,
所以(-15)3÷52=-135.
(2)-10+8÷22-(-4)×(-3).
[分析] 根据计算器上各键的功能和要求的式子,得出按键顺序,即可得出答案.
(2)按键顺序为
显示结果为-20,
所以-10+8÷22-(-4)×(-3)=-20.
1.用某种电子计算器进行计算,则按键 的结果为( )
A.14 B.17 C.22 D.25
D
探究9的有趣规律,进而得出这些规律产生的原因.(要求利用计算器从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任选一个数与9相乘后,所得结果乘123 456 789,观察结果的变化规律)
[分析] 先用计算器按照要求计算出结果,然后根据结果来找规律.
解:通过计算器可以算得:
9×1×123 456 789=1 111 111 101;
9×2×123 456 789=2 222 222 202;
9×3×123 456 789=3 333 333 303;
…
[技巧点拨] 用计算器探究规律需从特殊数入手,通过计算找出结果的变化规律即可.
9×9×123 456 789=9 999 999 909.
故从上面的式子可以得到如下规律:从19这9个数字中任取1个数与9相乘后,再乘123 456 789,所得结果是一个十位数,这个十位数的十位上的数字为0,其余各数位上的数字与选取的数相同.
2.用计算器计算并填空:
(1)9×9+7= ;
(2)98×9+6= ;
(3)987×9+5= ;
(4)9 876×9+4= ;
(5)观察计算结果,用你发现的规律填空:
98 765 432×9+0= .
88
888
8 888
88 888
888 888 888 (共8张PPT)
1.13 近似数
1.一个数能表示原来物体或事件的实际数量,这个数称为 ;一个数与准确数相近,这一个数称为 ;而近似数与准确数之间的接近程度用 来表示.
2.一般地,一个近似数 到某一位,就说这个近似数精确到那一位.
注意:在实际问题中,有时近似数并不总是按“四舍五入”法得到的,有时需用“进一法”.
准确数
近似数
精确度
四舍五入
判断下列各题中哪些是准确数,哪些是近似数:
①某班有男生32人; ②张明的身高约为1.62 m;
③取π为3.14; ④九月份有30天;
⑤某次地震中,伤亡人数约为十万人;
⑥小红测得数学书的长度约为21.0 cm.
[分析] 生活中的近似数主要表现为称量值、测量值、估计值等.
解:①④是准确数;②③⑤⑥是近似数.
[方法提炼] 判断一个数是近似数还是准确数,要根据问题的实际意义,并抓住一些关键字词,如“约”“估计”“大概”等来判断.
1.下列各个数字属于准确数的是( )
A.我国人口的平均寿命为74岁
B.半径为5 cm的圆的周长是31.4 cm
C.一只没洗干净的手,带有各种细菌约3.9亿个
D.初一年级共有800名学生
2.下列选项中,出现近似数的是( )
A.小华今年13岁 B.小兵的书桌高1.2 m
C.小明的文具盒里有5支笔 D.=0.5
D
B
下列由四舍五入法得到的近似数,各精确到哪一位
(1)3 200; (2)2.0万; (3)20.060; (4)3.023×106.
解:(1)个位.
[技巧点拨] 对一些带有“万、千、百”等汉字单位的近似数,其精确度的确定类似于科学记数法,如“8.0亿”精确到千万位.
(2)千位.
(3)千分位.
(4)千位.
3.由四舍五入法得到的近似数为8.8×103,下列说法中正确的是( )
A.精确到十分位 B.精确到个位
C.精确到百位 D.精确到千位
4.下列由四舍五入法得到的近似数,各精确到哪一位
(1)0.016; (2)1 680; (3)1.20; (4)2.49万.
解:(1)千分位.
C
(2)个位.
(3)百分位.
(4)百位.
按括号里的要求用四舍五入法对下列各数取近似数:
(1)579.56(精确到十分位);
(2)0.004 078 3(精确到0.000 1);
(3)8.973(精确到0.1);
(4)48 378(精确到万位);
(5)8.03×104(精确到千位).
解:(1)579.56≈579.6.
(2)0.004 078 3≈0.004 1.
(3)8.973≈9.0.
(4)48 378≈5×104.
(5)8.03×104≈8.0×104.
[误区点拨] 近似数9.0和9的精确度不同,9.0是精确到十分位,9是精确到个位,所以在近似数中,小数点后边末位的0不能任意增减或不写.
5.(2025·重庆西附)用四舍五入法对0.160 29取近似值,其中错误的是( )
A.0.2(精确到0.1) B.0.16(精确到百分位)
C.0.160(精确到千分位) D.0.160 2(精确到0.000 1)
6.按括号里的要求用四舍五入法对下列各数取近似数:
(1)1.804(精确到个位);
(2)3.504 6(精确到百分位);
(3)30 435(精确到千位);
(4)2.971×104(精确到万位).
解:(1)2.
(2)3.50.
(3)3.0×104.
(4)3×104.
D(共10张PPT)
1.3 相反数
1.只有 不同的两个数称互为相反数,也就是说,其中一个数是另一个数的相反数,即数a的相反数是 .
2.在数轴上,表示互为相反数的两个点分别位于原点的两旁,且与原点的
相等.
3.规定:0的相反数是 .
4.在一个数的前面添上“-”号,表示这个数的相反数;在一个数的前面添上“+”号,仍表示这个数本身.
注意:把多重符号化成单一符号由“-”号的个数来定,若“-”号的个数为偶数,则化简结果为 ;若“-”号的个数为奇数,则化简结果为 .可巧记为“奇负偶正”.
正负号
-a
距离
0
正
负
写出下列各数的相反数:
-,-1,0,10,-a,a+2.
解:相反数分别是,1,0,-10,a,-(a+2).
[规律点拨] (1)求一个数的相反数,就是在这个数的前面添上一个“-”号,或者去掉一个“-”号,如果这个数是用和或差表示的形式,需用括号把这个数括起来,再在前面添上“-”号;(2)正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0.
1.(2025·泸州)下列各组数中,互为相反数的是( )
A.7和-7 B.3和-2
C.2和 D.-0.1和10
2.下列说法不正确的是( )
A.互为相反数的两个数到原点的距离相等
B.所有的有理数都有相反数
C.正数和负数互为相反数
D.在一个有理数前添上一个“-”号就得到它的相反数
A
C
3.(1)已知-a=9,那么-a的相反数是 ;
(2)已知a+1的相反数是-5,则a的相反数为 ;
(3)x+3的相反数是 ,-(x-1)的相反数是 .
-9
-4
-(x+3)
x-1
化简下列各数:
(1)-(-10); (2)+(-0.45);
(3)+(+3); (4)-[+(-3)];
(5)-[-(-5)]; (6)-[+(+2)].
解:(1)10.
(2)-0.45.
(3)3.
(4)3.
(5)-5.
(6)-2.
4.下面两个数互为相反数的是( )
A.+30和-(-30) B.-0.2和-(+0.2)
C.2.5和-[+(-)] D.+(-0.1)和-(-)
5.化简下列各数:
(1)-(+5); (2)+(-); (3)-(-2);
(4)-[-(+1)]; (5)-[-(-3)].
解:(1)-5.
(2)-.
(3)2.
(4)1.
(5)-3.
D
6.化简,并回答问题:
(1)-(-2)= ; (2)+(-)= ;
(3)-[-(-4)]= ; (4)-[-(+3.5)]= ;
(5)-{-[-(-5)]}= ; (6)-{-[-(+5)]}= ;
2
-
-4
3.5
5
-5
问:①当5前面有2 025个负号时,化简后的结果是多少
②当5前面有2 026个负号时,化简后的结果是多少
你能总结出什么规律
解:①当5前面有2 025个负号时,化简后的结果是-5.
②当5前面有2 026个负号时,化简后的结果是5.
规律:数字(非0)前面“-”号的个数为奇数时,化简后的结果为负;“-”号的个数为偶数时,化简后的结果为正.
已知数轴上点A表示的数是7,点B、C表示的数是互为相反数的两个数,且点C与点A间的距离为2,求点B、C分别表示的数.
解:因为数轴上点A表示的数是7,且点C与点A间的距离为2,所以点C表示的数是5或9.
又因为点B、C表示的数是互为相反数的两个数,
所以点B表示的数为-5或-9.
7.如图,数轴上点A、B、C、D表示的数中,互为相反数的两个点是( )
A.点B和点C B.点A和点C
C.点B和点D D.点A和点D
8.数轴上点A表示-3,B、C两点表示的数互为相反数,且点B到点A的距离是2,则点C表示的数是 .
D
1或5 (共12张PPT)
1.6.2 有理数加法的运算律
1.加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和 ,即a+b= .
2.加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把 相加,和 ,即( )+c=a+( ).
3.有理数加法的运算技巧
(1)分数与小数相加时,应先把小数化为分数形式.
(2)带分数可分为整数与真分数两部分参与运算.
(3)多个加数相加时,若有互为相反数的两个数,可先结合在一起相加得0.
(4)若有可以凑整的数,即相加得整数时,可先结合在一起相加.
(5)若有同分母的分数或易通分的分数,应先结合在一起.
(6)符号相同的整数可以先结合在一起.
不变
b+a
后两个数
不变
a+b
b+c
计算:
(1)(-3)+40+(-32)+(-8);
解:原式=(-3)+[40+(-32)+(-8)]
=(-3)+0=-3.
(2)5+(-）+(+1)+(-8.25);
解:原式=[5+(+1)]+[(-)+(-8)]
=7+(-9)
=-2.
(3)5.6+(-0.9)+4.4+(-8.1)+(-1);
解:原式=(5.6+4.4)+[(-0.9)+(-8.1)+(-1)]
=10+(-10)=0.
(4)(-0.5)+3+2.75+(-5）.
解:原式=[(-0.5)+(-5.5)]+(3.25+2.75)
=(-6)+6=0.
[规律总结]在运用加法运算律进行计算时,通常有下列规律:①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;②符号相同的数先相加——“同号结合法”;③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;④几个数相加可得到整数时,这几个数先相加——“凑整法”;⑤整数与整数相加,小数与小数相加——“同形结合法” .
1.下列变形,运用加法运算律正确的是( )
A.3+(-2)=2+3
B.4+(-6)+3=(-6)+4+3
C.[5+(-2)]+4=[5+(-4)]+2
D.16+(-1)+(+56)=(16+56)+(+1)
B
2.计算:
(1)(+45)+(-91)+5+(-9);
解:原式=-50.
(2)(-18.65)+(-6.15)+18.75+(+6.15);
解:原式=0.1.
(3)++;
解:原式=-18.
(4)1+(-2)+3+(-4)+…+99+(-100).
解:原式=-50.
3.阅读:对于++17+,可以按如下方法计算:
原式=+++
=[(-5)+(-9)+17+(-3)]+
=0+
=-1.
上面这种方法叫拆项法.
仿照上面的方法,请你计算:+++10.
解:原式=++++10
=[(-2)+(-3)+(-4)+10]+
=1+(-2)
=-1.
出租车司机老王某天上午营运全是在东西走向的解放路上进行,如果规定向东为正,向西为负,他这天上午行车里程(单位:km)如下:
+8,+4,-10,-3,+6,-5,-2,-7,+4,+6,-9,-11.
(1)将第几名乘客送到目的地时,老王刚好回到上午出发点
解:(1)因为(+8)+(+4)+(-10)+(-3)+(+6)+(-5)=0(km),
所以将第6名乘客送到目的地时,老王刚好回到上午出发点.
(2)将最后一名乘客送到目的地时,老王距上午出发点多远
(2)(+8)+(+4)+(-10)+(-3)+(+6)+(-5)+(-2)+(-7)+(+4)+(+6)+(-9)+(-11)=-19(km).
故将最后一名乘客送到目的地时,老王距上午出发点19 km.
(3)若出租车耗油量为0.4 L/km,这天上午老王开车耗油多少升
(3)+++++++++++=75(km).
75×0.4=30(L).
所以这天上午老王开车耗油30 L .
4.某仓库原有商品300件,现记录了10天内该类商品进出仓库的件数如下所示(“+”表示进库,“-”表示出库):+30,-10,-15,+25,+17,+35,-20,-15,+13,-35.
(1)请问经过10天之后,该仓库内的商品是增加了还是减少了 此时仓库还有多少件商品
解:(1)(+30)+(-10)+(-15)+(+25)+(+17)+(+35)+(-20)+(-15)+(+13)+(-35)=25(件),
300+25=325(件).
答:经过10天之后,该仓库内的商品增加了25件,此时仓库还有325件商品.
(2)如果商品每次进出仓库需要的人工搬运费是每件3元,请问这10天要付多少人工搬运费
(2)+++++++++=215(件),
215×3=645(元).
答:这10天要付645元的人工搬运费.(共13张PPT)
1.7 有理数的减法
1.有理数的减法法则:减去一个数,等于加上这个数的 ,即a-b=a+(-b).
注意:(1)减法法则的实质:将减法转化为加法.
(2)转化中,被减数不变,减号变加号,减数变成它的相反数(简称“两变一不变”).
2.数轴上两点之间的距离
如图所示,点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、B两点之间的距离表示为AB.
则AB= ,
即数轴上两点之间的距离等于这两点表示的两个数之差的绝对值.
相反数
计算:
(1)(-3)-(+6);
(2)-(-);
解:原式=(-3)+(-6) =-9.
解:原式=+ =.
(3)(-2)-;
解:原式=(-2)+(-)=-2.
(4)2-.
解:原式=2+=-1.
[误区点拨] 在进行减法运算时,注意:(1)首先要弄清减数的符号;(2)将减法转化为加法时,要同时改变两个符号:一是运算符号(减号变加号); 二是减数的性质符号(减数变其相反数).
1.计算--的结果为( )
A.-1 B.1 C.- D.
2.计算:
(1)-(-);
解:原式=.
(2)(-2)-(+10);
解:原式=-12.
(3)(-5)-;
解:原式=-6.
(4)0-(-6.3).
解:原式=6.3.
D
(1)已知甲数是4的相反数,乙数比甲数的相反数大3,乙数比甲数大多少
解:(1)因为甲数是4的相反数,
所以甲数为-4,乙数为4+3=7,7-(-4)=7+4=11,
所以乙数比甲数大11.
(2)某天,月球表面的温度中午是101 ℃,半夜是-153 ℃,这天中午比半夜温度高多少摄氏度
(2)101-(-153)=101+153=254(℃),
即这天中午比半夜温度高254 ℃.
(3)物体位于地面上空2 m处,下降3 m后,又下降5 m,最后物体在地面下多少米处
(3)2-3-5=2+(-3)+(-5)=-6(m),
即最后物体在地面下6 m处.
[思维点拨] 先把实际问题转化为数学问题,再利用有理数减法法则进行计算.
3.已知=7,=3,且aA.-4 B.-10 C.4或-10 D.-4或-10
4.根据题意列式计算:
(1)一个加数是1.8,和是-0.81,求另一个加数;
解:-0.81-1.8=-0.81+(-1.8)=-2.61.
(2)求-的绝对值与的相反数的差.
解:-(-)=+=1.
D
如图,数轴上的点A、O、B、C、D分别表示-3,0,2.5,5,-6,回答下列问题:
(1)O、B两点间的距离是 ;
(2)A、D两点间的距离是 ;
(3)B、C两点间的距离是 ;
2.5
3
2.5
(4)请观察思考,若点M表示数m,且m<0,点N表示数n,且n>0,用含m、n的式子表示M、N两点间的距离,并表示出MN中点表示的数.
[分析] 准确地理解坐标轴上的点表示的数以及关于坐标轴上的点的距离就可以很好地解决这类题.
解:(4)M、N两点间的距离为=n-m,
MN中点表示的数为.
[思维点拨] 数轴上两点间的距离为两数差的绝对值,两点间的距离为一个正数,数轴上两点的中点表示的数等于这两数的平均数.
5.如图,在数轴上,点A、B表示的数分别是-8,10,点P以2个单位长度/秒的速度从点A出发沿数轴向右运动,同时点Q以3个单位长度/秒的速度从点B出发沿数轴在B、A之间往返运动.当点P到达点B时,点Q表示的数是 .
1
6.(2025·重庆育才)【阅读材料】我们知道“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大”,利用此规律,我们可以求数轴上两个点之间的距离,具体方法是:用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离.若点M表示的数是x1,点N表示的数是x2,点M在点N的右边(即x1>x2),则点M、N之间的距离为x1-x2,即MN=x1-x2.例如:若点C表示的数是-5,点D表示的数是-9,则线段CD=-5-(-9)=4.
【理解应用】
(1)已知在数轴上,点E表示的数是-2 027,点F表示的数是2 027,求线段EF的长;
解:(1)根据题意,得EF=2 027-(-2 027)=4 054.
【拓展应用】
如图,数轴上有三个点,点A表示的数是-2,点B表示的数是3,点P表示的数是x.
(2)当A、B、P三个点中,其中一个点是另外两个点所连线段的中点时,请直接写出x的值;
(2)分情况讨论:
①当点A是点B、P的中点,即BA=AP时,
∴3-(-2)=-2-x,解得x=-7;
②当点B是点A、P的中点,即PB=BA时,
∴x-3=3-(-2),解得x=8;
③当点P是点A、B的中点,即BP=PA时,
∴3-x=x-(-2),解得x=.
综上所述,x的值为-7或8或.
(3)在点A左侧是否存在一点Q,使点Q到点A,点B的距离和为21 若存在,求出点Q表示的数;若不存在,请说明理由.
(3)设点Q表示的数为q.
∵AQ+BQ=21,
∴-2-q+3-q=21,解得q=-10,
∴存在,点Q表示的数为-10.(共10张PPT)
第1课时 有理数的乘方
1.求几个 乘数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做 .在an中,a叫做 ,n叫做 ,an读作 或 .
2.正数的任何次幂都是 数;负数的奇次幂是 数,负数的偶次幂是 数.
注意:(1)首先要注意指数的取值范围,即n可以取任意的正整数,当指数是1时可以省略不写.
(2)注意书写格式,当底数是负数、分数或含计算关系的式子时,应加括号后再写指数.
相同
幂
底数
指数
a的n次方
a的n次幂
正
负
正
(1)中底数是 ,指数是 ;
(2)-32中底数是 ,指数是 ;
(3)-3的平方写作 ,3的平方的相反数写作 ;
(4)(-6)15的意义是( )
A.6个-15相乘 B.15个-6相乘
C.15个-6相加 D.-6×15
[分析] 在an中,a是底数,n是指数.an表示n个相同的乘数a相乘.
-
3
3
2
(-3)2
-32
B
1.计算的值为( )
m个2
n个3
A. B. C. D.
B
2.(-5)3的意义是 ,
-53的意义是 .
3个-5相乘
5的3次方的相反数
计算下列各题:
(1)(-)3;
解:(1)(-)3=(-)×(-)×(-)=-.
(2)-;
(2)-=-=-.
(3)-()3;
解:(3)-()3=-(××)=-.
(4)(-1)2;
(4)(-1)2=(-)×(-)=.
(5)-(-2)2;
(6)(-2.5)2;
解:(5)-(-2)2=-[(-)×(-)]=-.
(6)(-2.5)2=(-)2=(-)×(-)=.
(7)-12 025÷(-5)2×÷.
解:原式=-1÷25×÷
=-1×××5
=.
3.下列各对数中,数值相等的数是( )
A.-与 B.-32与(-3)2
C.与 D.-23与(-2)3
4.计算:
(1)-(-)3;
解:原式=-(-)=.
(2)(-4)2;
解:原式=(-)2=.
D
(3)-;
解:原式=-=-.
(4)×;
解:原式=×=.
(5)-32-×+(-1)2 025×.
解:原式=-9-×+(-1)×
=-9-+
=-9.
已知x、y是有理数,且+(5y+7)2=0,求x2+y2的值.
解:因为+(5y+7)2=0,
所以3x-4=0,5y+7=0.解得x=,y=-.
所以x2+y2=()2+(-)2=+=.
5.(2025·重庆育才)已知有理数x、y满足+(y+6)2=0,则代数式(x+y)2 025的值为 .
6.(1)(-1)2n(n为正整数)= ;
(-1)2n+1(n为正整数)= ;
(2)已知与(m-3)2互为相反数,则nm= .
-1
1
-1
27(共11张PPT)
1.10 有理数的除法
1.倒数的定义:乘积是 的两个数互为倒数.若ab= ,则a、b互为倒数;反之,若a、b互为倒数,则ab= .
2.有理数的除法法则
(1)除以一个数等于乘以这个数的 ,即a÷b=a× (其中b ).
(2)两数相除,同号得 ,异号得 ,并把绝对值 ;0除以任何一个不等于0的数,都得 .
注意:(1)0不能作除数;(2)0除以任何非0数都得0;(3)若有带分数,应先将带分数化为假分数再计算.
1
1
1
倒数
≠0
正
负
相除
0
求下列各数的倒数:
(1)-; (2)2; (3)-1.25; (4)5.
[分析] 根据倒数的定义求解.
解:(1)-的倒数是-.
(2)2=,故2的倒数是.
(3)-1.25=-,故-1.25的倒数是-.
(4)5的倒数是.
[方法总结] 求一个整数(0除外)的倒数,分子为1,分母为这个整数即可;求一个分数的倒数,只需颠倒分数的分子和分母的位置即可,若这个分数是带分数,需先化成假分数,再求其倒数;求一个小数的倒数,需先把小数化为分数,再求其倒数.
1.(2025·重庆西附)-6的倒数是( )
A. B.- C.6 D.-6
2.(1)-1的倒数是 ;
(2)-0.25的倒数是 ;
(3)-5的倒数是 .
B
-1
-4
-
计算:
(1)(-48)÷(-6);
解:原式=48÷6=8.
(2)(-3)÷5;
解:原式=-÷=-×=-.
(3)-0.25÷;
解:原式=-×=-.
(4)(-36)÷9.
解:原式=(-36-)×=-4-=-4.
3.把(-)÷(-)转化为乘法是( )
A.(-)× B.(-)×
C.(-)×(-) D.(-)×(-)
4.计算:
(1)15÷(-3);
解:原式=-5.
(2)0÷;
解:原式=0.
(3)1÷;
解:原式=-.
(4)(-3)÷(-2.25).
解:原式=.
D
(1)化简下列分数:
①; ②; ③; ④.
解:①=(-21)÷7=-3.
②=-3÷36=-3×=-.
③=(-54)÷(-8)=54×=6.
④=-÷5=-×=-.
(2)①若a<0,则= ;
②若ab>0,则+= .
[思维点拨] 分数可以理解为两个整数的商.
-1
±2
5.(1)已知=4,=2,且x(2)(2025·重庆一中)若abc>0,则++= .
6.化简下列分数:
(1);
解:=1.
(2);
解:=-.
(3);
(4)-.
解:=30.
解:-=20.
±2
-1或3
计算:
(1)(-24)÷(-2)×(-);
解:原式=-12×=-10.
(2)(-28)÷3×;
解:原式=-28××=-.
(3)-27÷2×÷(-24);
解:原式=27×××=.
(4)24÷(-)-6×22.
解:原式=24÷-(7-)×22=144-154+1=-9.
7.计算:
(1)(-32)÷4×(-8);
(2)37÷5×;
解:原式=8×8=64.
解:原式=37××=.
(3)-0.75×(-1)÷(-2);
解:原式=-××=-.
(4)÷(-5).
解:原式=(30+28+30-33)÷(-5)=-11.(共14张PPT)
第1课时 有理数的混合运算
有理数的混合运算的运算顺序
1.先做 ,再做 ,最后做 ;
2.同级运算,按照从 至 的顺序进行;
3.如果有括号,就先算小括号里的,再算中括号里的,然后算大括号里的.
注意:(1)加法和减法叫做第一级运算;乘法和除法叫做第二级运算;乘方和开方(今后将会学到)叫做第三级运算;
(2)进行分数的乘、除运算时,一般要把带分数化为假分数,把除法转化为乘法.
乘方
乘除
加减
左
右
计算:
(1)-33-(-2)3÷-(-6);
解:原式=-27-(-8)×(-4)+6
=-27-32+6
=-53.
(2)-14-×+(-2)3÷;
解:原式=-1+×+(-8)÷8=-1+2-1=0.
(3)1×[3×(-)2-(-1)4]+÷(-)3.
解:原式=×(3×-1)+×(-8)=×-2=-.
[方法点拨] 在有理数的混合运算中,要掌握好运算顺序及运算法则,还要注意符号的处理.
1.在数学课上,老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题,你认为做对的同学是 ( )
甲:9-32÷8=0÷8=0.
乙:24-(4×32)=24-4×6=0.
丙:(36-12)÷=24×=16.
丁:(-3)2÷×3=9÷1=9.
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
C
2.计算:
(1)(-3)2-6×÷(-2);
解:原式=9-2÷(-2)=9+1=10.
(2)-3-[-5+(1-0.7×2)]÷(-3)2;
解:原式=-3-[-5+(1-1.4)]÷9=-3-(-5-0.4)÷9
=-3-(-5.4)÷9=-3+0.6=-2.4.
(3)-12+16÷(-2)3×;
解:原式=-1+16÷(-8)×4=-1+(-2)×4=-9.
(4)(-1)2 026-[(-2)×(-3)+(-12)÷6]2×.
解:原式=1-(6-2)2×=1-16×=1-9=-8.
按如图所示的运算程序,若输入的值为-2,则输出的值为 .
-20
3.要使算式-34□[23-(-2)3]的计算结果最大,在“□”里填入的运算符号应是 ( )
A.+ B.- C.× D.÷
D
4.用“△”定义新运算,对于任意有理数a、b,都有a△b=a2-ab.
例如:7△4=72-7×4=21.
(1)求(-2)△5的值;
(2)若继续用“*”定义另一种新运算a*b=3ab-b2,例如:1*2=3×1×2-22=2.求4*(2△3)的值.
解:(1)(-2)△5=(-2)2-(-2)×5=4+10=14.
(2)4*(2△3)=4*(22-2×3)=4*(4-6)=4*(-2)=3×4×(-2)-(-2)2=-24-4=-28.
仔细观察下列三组数:
第一组:1,4,9,16,25,…
第二组:1,8,27,64,125,…
第三组:-2,-8,-18,-32,-50,…
(1)每组的第6个数各是多少
解:(1)第一组的第6个数是62=36,
第二组的第6个数是63=216,
第三组的第6个数是62×(-2)=-72.
(2)第二组的第100个数是第一组的第100个数的多少倍
(2)第二组的第100个数是1003,
第一组的第100个数是1002,
1003÷1002=100,
即第二组的第100个数是第一组的第100个数的100倍.
(3)取每组的第20个数,计算这三个数的和.
(3)每组数的第20个数分别为202,203,202×(-2).
所以202+203+202×(-2)=7 600.
5.观察以下一列数的特点:0,1,-4,9,-16,25,…,则第11个数是 ( )
A.-121 B.-100 C.100 D.121
6.观察下列三组数,并完成后面的问题:
①-2,4,-8,16,-32,…; ② 1,-2,4,-8,16,…; ③ 0,-3,3,-9,15,….
(1)根据排列规律,分别写出上面三组数的第6个数;
解:(1)第①组数的第6个数为(-2)6=64;
第②组数的第6个数为64÷(-2)=-32;
第③组数的第6个数为-32-1=-33.
B
6.观察下列三组数,并完成后面的问题:
①-2,4,-8,16,-32,…; ② 1,-2,4,-8,16,…; ③ 0,-3,3,-9,15,….
(2)设x、y、z分别表示第①②③组数的第2 025个数,计算x+y+z的值.
(2)第①组数的第2 025个数为(-2)2 025,即x=(-2)2 025;
第②组数的第2 025个数为(-2)2 024,即y=(-2)2 024;
第③组数的第2 025个数为(-2)2 024-1,即z=(-2)2 024-1.
所以x+y+z=(-2)2 025+(-2)2 024+(-2)2 024-1
=-22 025+22 024+22 024-1
=-22 025+22 025-1=-1.(共8张PPT)
1.2.2 在数轴上比较数的大小
1.在数轴上表示的两个数, 边的数总比 边的数大.
2.正数都 0,负数都 0,正数都 负数.
3.(1)最小的正整数是 ;
(2)最小的负整数是 ;
(3)最大的负整数是 ;
(4)最小的整数是 .
右
左
大于
小于
大于
1
不存在
-1
不存在
(1)如图所示,A、B、C、D四点在数轴上分别表示有理数a、b、c、d,则这四个数的大小顺序排列正确的是( )
A.aC.aB
(2)如图所示的数轴被墨迹盖住一部分,被盖住的整数有 个.
9
有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示.
填空:a 0,c 0,a b,a c.(均填“>”“<”或“=”)
<
>
>
<
2.某日零点,北京、上海、重庆、宁夏的气温分别是-4 ℃、5 ℃、6 ℃、-8 ℃,当时这四个城市中,气温最低的是( )
A.北京 B.上海 C.重庆 D.宁夏
D
1.已知a、b两数在数轴上的位置如图所示,下列结论中正确的是( )
A.a<0 B.a>1 C.b>-1 D.b<-1
D
画出数轴,并在数轴上表示下列各数,然后按照从小到大的顺序用“<”号把这些数连接起来.
-3,1,0,-1,2.5.
解:如答案图所示.
-3<-1<0<1<2.5.
[思维点拨] 比较几个有理数的大小,借助数轴可以非常清楚直观地比较出来,也就是把“数”和“形”结合起来.这种“数形结合”的思想是数学中一种非常重要的思想.
3.画出数轴,并把下列有理数用数轴上的点表示出来,然后把它们按从小到大的顺序排列:
-1,2.75,75%,-.
解:如答案图所示.
-1<-<75%<2.75.
4.如图,点A、B在数轴上.
(1)点A表示的数是 ,点B表示的数是 ;
(2)请在数轴上画出分别表示数7和-2的点C、D,并比较这四个点表示的数的大小.
解:(2)数轴上画出点C、D如图所示.
-5<-2<3<7.
-5
3(共11张PPT)
1.8.2 加法运算律在加减混合运算中的应用
有理数的加减混合运算,可以先将加减法统一成 ,再应用加法交换律、结合律进行简便运算.
注意:(1)有理数的加减混合运算的方法和步骤:①运用减法法则将有理数混合运算中的减法化成加法;②运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算.
(2)有理数的加减混合运算可统一成加法运算,统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式,在交换加数的位置时,切记要连同其前面的符号一起交换.
加法
计算:
(1)-2-5+3+6-7;
解:原式=(-2-5-7)+(3+6)=-5.
(2)(-6.62)-(-3)-(-2.62)+(-);
解:原式=(-6.62+2.62)+(3-)=-1.
(3)12-(+1.75)-(-5)+(-7.25)-(-2)-2.5;
解:原式=12-1+5-7+2-2
=(12+2)+(-1-7)+(5-2
=9.
(4)-9.2-(-7.4)+9++(-4)+.
解:原式=-9.2+7.4+9.2-6.4-4+3
=(-9.2+9.2)+(7.4-6.4)-4+3
=0.
[方法总结] 在有理数加减运算过程中,一般可以参照以下方法:(1)正数和负数分别相结合;(2)同分母分数或比较容易通分的分数相结合;(3)互为相反数的两数相结合;(4)其和为整数的两数相结合;(5)带分数一般拆成整数和分数两部分,再分别相加.
1.计算1-5-7+12-8+9的结果是(A)
A.2 B.-2 C.0 D.18
2.计算:
(1)32+(-18)+18-29;
解:原式=32-29+(-18+18)=3.
(2)3.75-(+1.5)-(-4)-(+8);
解:原式=3.75+(-1.5)+4.25+(-8.5)
=(3.75+4.25)+(-1.5-8.5)
=8-10=-2.
(3)5-(-4)-2.75+(-7);
解:原式=5+4-2-7=(5-2)+(4-7)
=3-3=0.
(4)-+7-4.5-.
解:原式=-+7-4.5-
=(-1.5-4.5)+7-=-.
某工厂某周计划每日生产自行车100辆,由于工人实行轮休,每日上班人数不一定相等,实际每日生产量与计划量相比情况如下表(增加的车辆数记作正数,减少的车辆数记作负数):
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减/辆 -1 +3 -2 +4 +7 -5 -10
(1)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了多少辆
解:(1)由表可知,生产量最多的是星期五,生产量最少的是星期日.
(+7)-(-10)=7+10=17(辆).
答:生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了17辆.
(2)本周总生产量是多少 比原计划增加了还是减少了 增、减数为多少
(2)本周总生产量比原计划增减情况是
(-1)+(+3)+(-2)+(+4)+(+7)+(-5)+(-10)=-4(辆),
本周总生产量是100×7+(-4)=696(辆).
答:本周总生产量是696辆,比原计划减少了,减少了4辆.
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减/辆 -1 +3 -2 +4 +7 -5 -10
3.某水利勘察队沿一条河向上游走了5.5 km,又继续向上游走了4.8 km,然后又向下游走了5.2 km,接着又向下游走了3.8 km,这时勘察队在出发点的( )
A.上游1.3 km处 B.下游9 km处
C.上游10.3 km处 D.下游1.3 km处
A
4.近年来,直播带货火爆网络,某学习小组调查了某网络直播一周的带货情况,规定每天销量超过400单(卖出一件称为一单)的部分记为“+”,低于400单的部分记为“-”,下表是该网络直播一周的销售量:
星期 一 二 三 四 五 六 日
销量(单) +15 +18 -13 -5 +24 -15 +11
(1)求该网络直播这一周平均每天销售多少单
解:(1)由题意,得
400+×[(+15)+(+18)+(-13)+(-5)+(+24)+(-15)+(+11)]=400+5=405(单).
答:该网络直播这一周平均每天销售405单.
(2)该网络直播每天的工资由底薪300元加上销售提成构成,方案如下:每天销量不超过400单,则每少一单罚款2元;超过400单,则超过的部分每单提成1元,求该网络直播这一周工资的总收入.
300×7+(15+18+24+11)×1-2×(13+5+15)=2 102(元).
答:该网络直播这一周工资收入2 102元.(共8张PPT)
1.9.1 有理数的乘法法则
有理数的乘法法则
1.两数相乘,同号得 ,异号得 ,并把 相乘.
2.任何数与0相乘,都得 .
注意:先定符号,再相乘.
正
负
绝对值
0
计算:
(1)(-1)×(-4);
解:原式=×=6.
(2)15×(-);
解:原式=-15×=-6.
(3)(-1)×0;
解:原式=0.
(4)(-2.5)×2.
解:原式=-×=-.
[方法总结] (1)当乘数中有负数时,一般都要用括号把负数括起来,只有当第一个乘数是负数时,括号才可以省略;(2)当乘数是带分数时,要先化为假分数,以便约分计算;(3)当小数和分数相乘时,一般将小数化为分数再相乘.
1.计算6×的结果为( )
A.-2 B.2 C.-18 D.18
2.计算:
(1)(-2)×(-6);
解:原式=14.
(2)(-7.6)×0.5;
解:原式=-3.8.
(3)(-0.125)×;
解:原式=.
(4)(-2)×5×(-2).
解:原式=22.
A
如果a+b>0,且ab<0,那么下列判断正确的是( )
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0,>
C.a<0,b<0 D.a<0,b>0,>
[分析] 由ab<0,根据有理数的乘法法则,可知a、b异号.由a+b>0,根据有理数的加法法则,可知正数的绝对值大于负数的绝对值.
B
3.(2025·重庆八中)有理数a、b在数轴上的对应点如图所示,则下面式子中错误的是( )
A.①② B.①④ C.②③ D.②④
4.已知=5,=2,且a+b<0,那么ab的值是 .
C
10或-10
某冷冻厂的一个冷库的室温是0 ℃,现有一批食品需要低温冷冻,若冷库每小时可降温3 ℃,而连续降温7.5小时后,方可达到所需冷冻温度,则这批食品需要冷冻的温度是多少
解:(-3)×7.5=-22.5(℃),
0+(-22.5)=-22.5(℃).
答:这批食品需要冷冻的温度是-22.5 ℃.
5.某食品厂从袋装食品中抽出样品30袋,检测每袋的质量是否符合标准.超过和不足的部分分别用正、负数表示,记录如下:
与标准质量的 差值(单位:克) -4 -2 0 1 2 3
袋数 3 4 4 8 6 5
(1)这批样品的平均质量比每袋的标准质量多还是少 多或少多少克
解:(1)×[(-4)×3+(-2)×4+0×4+1×8+2×6+3×5]=0.5(克).
(2)食品袋上标有“净重100±2克”,则这批抽样食品中共有几袋质量不合格 这批抽样食品的总质量是多少
(2)质量不合格袋数:3+5=8(袋).
总质量:100×30+0.5×30=3 015(克).(共10张PPT)
第2课时 运算律在有理数混合运算中的运用
有理数的混合运算中,需运用的运算律
1.加法交换律、结合律;
2.乘法交换律、结合律和分配律.
注意:在做混合运算的题目时,应先观察有哪些运算,需要用哪些运算法则以及可以运用哪些运算律,确定合理的运算顺序,然后再动手去算.在运算中还要注意符号问题,一般要先确定符号,再确定绝对值,能用简便方法的尽量用简便方法.
计算:
(1)3.162-(-2)+(-3)+3+5-0.162;
解:原式=(3.162-0.162)+(2+3)+(5-3)
=3+5+2=10.
(2)×(-)×÷;
解:原式=×(-)××
=-×××=-.
(3)-22+(-)×(-)-(-)×(-);
解:原式=-4+(-)×[(-)-(-)]
=-4+(-)×5
=-4-6
=-10.
(4)[(-1)99-(--)×24]÷.
解:原式=[-1-(18-4-9)]×
=(-1-5)×=-.
1.计算19÷(-)+(1-)×19的结果是 .
2.计算:
(1)(-6)2×(-);
解:原式=36×-36×
=18-12
=6.
(2)(-3)2×[-(-)]+;
解:原式=9×(+)+2
=3+5+2
=10.
0
(3)(2025·重庆育才)×(-12)-(-1)2 025÷;
解:原式=×(-12)+×(-12)-×(-12)-(-1)×
=-8-9+10-=-7.
(4)÷-(-3-1)2×(-12+1).
解:原式=×36-(-4)2×
=-×36+×36-×36-16×
=-27+20-21-14=-42.
邳州大蒜因蒜头大、肉质脆、辣味适中等特点,被誉为蒜中上品,深受国内外消费者的青睐.下表是某时间段内邳州大蒜6.5 cm净蒜的市场价格.
日期 9月26日 9月30日 10月3日 10月8日 10月10日 10月11日
涨跌情 况/元 -0.40 +0.20 -0.46 0 +0.60 +0.44
注:“+”表示价格相比13.6元/kg上升,“-”表示价格相比13.6元/kg下降.
(1)该段时间内6.5 cm净蒜的最高价格是 元/kg,最低价格是
元/kg;
14.2
13.14
(2)与10月10日相比,10月11日6.5 cm净蒜的价格是上升还是下降 上升或下降了多少元
解:(2)0.44-0.60=-0.16(元),
∴与10月10日相比,10月11日6.5 cm净蒜的价格是下降了,下降了0.16元.
(3)某大蒜经销商于9月26日购进100吨6.5 cm净蒜,于10月3日售出;10月8日再次购进130吨6.5 cm净蒜,于10月11日售出,该大蒜经销商在该段时间内是盈利还是亏损 请计算盈利或亏损的金额.
(3)[-0.46-(-0.40)]×100×1 000+(0.44-0)×130×1 000
=-0.06×100×1 000+0.44×130×1 000
=-6 000+57 200
=51 200(元).
即该大蒜经销商在该段时间内是盈利,盈利的金额为51 200元.
3.某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只,平均每天生产100只,但由于种种原因,实际每天的生产量与计划量相比有出入.下表是该周的生产情况(增产记为正,减产记为负,单位:只):
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 +5 -2 -4 +13 -6 +6 -3
(1)根据记录的数据,该厂这一周生产风筝最多的一天是星期 ;
四
(2)该厂这一周产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝
解:(2)(+13)-(-6)=13+6=19(只).
答:该厂这一周产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝.
(3)该厂实行每周计件工资制,每生产一只风筝可得20元,若超额完成任务,则超过部分每只另奖励5元;若少生产一只扣5元,则该厂工人这一周的工资总额是多少元
(3)7×100×20+(5+13+6)×(20+5)+(-2-4-6-3)×(20+5)=14 225(元).
答:该厂工人这一周的工资总额是14 225元.(共12张PPT)
1.9.2 有理数乘法的运算律
1.乘法交换律:两个数相乘,交换乘数的位置,积 ,即ab= .
2.乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把 相乘,积 ,即( )c=a( ).
3.几个不等于0的数相乘,积的正负号由 的个数决定,当 的个数为奇数时,积为 ;当 的个数为偶数时,积为 .
4.几个数相乘,有一个乘数为0,积就为 .
5.分配律:一个数与两个数的和相乘,等于把这个数分别与这两个数 ,再把积 ,即a(b+c)= .
不变
ba
后两个数
不变
ab
bc
负乘数
负乘数
负
负乘数
正
0
相乘
相加
ab+ac
注意:(1)运用乘法交换律时,要连同乘数的符号一起交换位置,多个有理数相乘时,通常运用交换律把能化为整数或能约分的乘数先结合,使计算简便.
(2)运用分配律时,一方面,分别相乘时要遵循乘法法则;另一方面,将括号中两个数的和可以推广到多个数的和,同时在去括号时,不要漏项.
(3)有时为了使运算简便,需要先把算式变形,再运用分配律,并且还要学会逆用乘法分配律,即ab+ac=a(b+c).
计算:
(1)(-12)×(-37)×;
解:原式=12××37=370.
(2)××(-0.3)×1;
解:原式=-×××=-15.
(3)-4×8×(-2.5)×0.1×(-1.25)×10.
解:原式=-(4×2.5)×(8×1.25)×(0.1×10)
=-10×10×1=-100.
[思维点拨] 运用乘法交换律和结合律进行计算时,将两个数的积能化为整数或计算时能约分的数放在一起相乘简化计算.
1.在算式1.25×(-)×(-8)=(-)×1.25×(-8)=(-)×[1.25×(-8)]中,应用了( )
A.分配律
B.分配律和乘法结合律
C.乘法交换律和结合律
D.乘法交换律和分配律
C
2.计算:
(1)(-2)×9×(-)×(-);
解:原式=-(2×)×(9×)
=-6.
(2)(-20)×(-30)×0×100×(-50);
解:原式=0.
(3)(-0.15)×(-3)×(-100)×(-1);
解:原式=(0.15×100)×(×)
=15×=78.
(4)(-8)×(-)×(-1.25)×.
解:原式=-(8×1.25)×(×)
=-.
已知 abc<0,aA.a>0,b>0,c<0 B.a<0,b<0,c>0
C.a<0,b>0,c>0 D.a>0,b<0,c<0
[分析] 由ac<0,得a、c异号;由a0;再由abc<0可确定b的正负.
C
3.三个有理数相乘,积为负数,那么负乘数的个数为( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.1个或3个
4.有四个互不相等的整数a、b、c、d,它们的积abcd=21,那么a+b+c+d的值是 .
4或-4
D
计算:
(1)(--)×(-60);
解:原式=×(-60)+×60+×60
=-40+5+4=-31.
(2)-39×(-12);
解:原式=(-40+)×(-12)
=40×12-×12=479.
(3)3.14×1+0.314×-31.4×0.2.
解:原式=3.14×1+3.14×-3.14×2
=3.14×(1+-2)=0.
5.计算:
(1)(--)×(-27);
解:原式=×(-27)+×27+×27
=-6+9+2
=5.
(2)-6×+4×-5×;
解:原式=(-6+4-5)×
=-7×
=-3.
(3)19×(-8);
解:原式=×(-8)=20×(-8)-×(-8)
=-160+=-159.
(4)-(--)×78-25×0.5+25×1.5.
解:原式=-×78+×78+×78+25×(-0.5+1.5)
=-12+26+13+25×1
=-12+26+13+25
=52.(共14张PPT)
1.2.1 数 轴
1.数轴的概念:规定了原点、 和 的直线叫做数轴.
2.数轴的画法
(1)画一条水平直线,定原点(如图1),原点表示数 .
(2)规定从原点向右为正方向,画上箭头,则相反的方向(从原点向左)为负方向(如图2).
(3)选取适当的长度作为单位长度,从原点分别向左、向右每隔一个单位长度取一点,依次标上数字(如图3).
正方向
单位长度
0
画数轴注意事项:
(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可;
(2)直线一般画水平的;
(3)正方向用箭头表示,一般取从左到右;
(4)取单位长度应结合实际需要,但要做到单位长度要一致.
3.在数轴上表示有理数:正数在原点的 ,负数在原点的 .
注意:(1)有理数都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点不都表示有理数.
(2)距离原点a(a≠0)个单位长度的点有两个,表示的数分别为a和-a.
右边
左边
下列图中所画数轴,正确的是( )
C
[误区点拨] 原点和单位长度的确定,可根据各题的实际需要,灵活选取;同一条数轴上的单位长度必须统一,数轴的两端不能画点,两端(或一端)画点就成了线段(或射线).
1.下列各图中,表示数轴的是( )
D
已知:如图,在数轴上有A、B、C、D四个点.
(1)请写出点A、B、C、D分别表示什么数;
(2)在数轴上标出表示-5,0,+3,-2,-2.5的点.
解:(1)根据图示,点A表示数6,点B表示数-4,点C表示数4,点D表示数-1.
(2)如图所示.
[知识拓展] 所有的有理数都可以用数轴上的点表示,但数轴上的点表示的数不一定是有理数,即有理数与数轴上的点不是一一对应关系,这一点以后会学到.
2.下列说法中正确的是( )
A.无法用数轴上的点表示,因为5不能被6整除
B.数轴上距离原点2个单位长度的点表示的数是2
C.数轴上,在1和3之间只有一个数2
D.数轴上表示-3的点在原点左侧且距离原点3个单位长度
D
3.(2025·重庆西附)如图所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处标上数字0,1,2,3,先让圆上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合,再让圆沿着数轴正半轴方向滚动,那么数轴上的数2 027将与圆周上重合的数字是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
C
4.如图,写出数轴上的点A、B、C所表示的数,并把-4,,6这三个数用点D、E、F分别在数轴上表示出来.
解:点A表示数-2.5,点B表示数0,点C表示数4.
-4,,6这三个数用点D、E、F分别在数轴上表示如图所示.
点A、B在数轴上的位置如图所示,P是数轴上的一个动点.
(1)当PB=2时,求点P表示的数;
解:(1)①当点P在点B的左边时,
因为PB=2,4-2=2,所以点P表示的数是2;
②当点P在点B的右边时,
因为PB=2,4+2=6,所以点P表示的数是6.
综上所述,点P表示的数是2或6.
(2)当P是线段AB的三等分点时,求点P表示的数;
(2)由图可知,线段AB的长度是6.
①当AP=AB=2时,点P表示的数是0;
②当BP=AB=2时,点P表示的数是2.
综上所述,点P表示的数是0或2.
(3)当PB=2, 且M是线段AP的中点时,求线段AM的长度.
(3)①当点P在点B的左边时,AP=AB-BP=4.
因为M是线段AP的中点,
所以线段AM的长度是4×=2;
②当点P在点B的右边时,AP=AB+BP=8.
同理可得线段AM的长度是8×=4.
综上所述,线段AM的长度是2或4.
5.(2025·成都石室)如图,将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm),刻度尺上的“0”和“3”分别对应数轴上的-3和0,则数轴上x的值最有可能是( )
A.2 B.1.8 C.2 D.5.5
C
6.已知点A为数轴上表示数-3的点,当点A沿数轴移动6个单位长度到点B时,点B所表示的数为( )
A.-9 B.3 C.-9或3 D.-3或9
7.已知A、B、C是数轴上的三个点,且点C在点B的右侧.点A、B表示的数分别是1,3,如图所示.若BC=2AB,则点C表示的数是 .
C
7(共10张PPT)
1.1.2 有理数
1.有理数的概念
(1)正整数、 和负整数统称为整数,正分数和负分数统称为 .
(2) 和 统称为有理数.
2.有理数的分类
(1)按有理数的定义分:
有理数
0
分数
整数
分数
注意:0和负数统称为非正数;0和正数统称为非负数;0和正整数统称为非负整数(也叫做自然数).分数包括有限小数和无限循环小数.
3.把一些数放在一起,就组成一个数的集合,简称数集.例如,所有负数组成的数集叫做负数集.
有理数
(2)按有理数的性质分:
(1)(2025·重庆外语校)下列各数:-,-4,π,0.,0,其中有理数的个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
(2)下列说法:①无限小数不都是有理数;②有理数不是正数就是负数;③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数;④非负数就是正数;⑤-不仅是有理数,还是分数;⑥是无限不循环小数,所以不是有理数.其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
B
B
1.下列说法:①0是最小的有理数;②-11是负有理数,也是奇数;③-a是负数;④整数和分数统称为有理数.其中正确的个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.下列各数:0.6,-,π,+5,-45%,-0.212 112 111 2…(相邻两个2之间依次多一个1).其中是有理数的是 .
C
0.6,-,+5,-45%
请把下列各数填在相应的大括号内:
,-5,0.34,-2,20,-1,0.
正数集:{ …};
负整数集:{ …};
整数集:{ …};
分数集:{ …};
非正数集:{ …};
非负整数集:{ …}.
,0.34,20,
-5,-1,
-5,20,-1,0,
,0.34,-2,
-5,-2,-1,0,
20,0,
[误区点拨] (1)注意0的特殊性,0既不是正数,也不是负数,但0是整数;(2)同一个数可能属于多个不同的集合,如既是正数又是分数;(3)分数包括有限小数和无限循环小数.
3.(2025·成都七中)下列各数-2,,-0.168,π,20,-1.3,27%中,分数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.把下列各数填入相应集合的大括号内.
+6.5,-2,0.5,0,-3.2,13,-9,5,-1,-3.6,.
(1)正分数集:{ …};
(2)整数集:{ …};
(3)非负数集:{ …}.
D
+6.5,0.5,5,
0,13,-9,-1,
+6.5,0.5,0,13,5,,
若正整数按如图所示的规律排列,则第九行、第十列的数字是( )
A.90 B.86 C.92 D.10
A
5.一列数-1,5,-11,19,…,按此规律排列,则第7个数是( )
A.-37 B.-41 C.-55 D.-71
6.观察一列数:,-,,-,…;则第30个数为 .
C
-(共7张PPT)
1.5 有理数的大小比较
1.正数 0,负数 0,正数 负数.
2.两个负数,绝对值大的 .
注意:(1)异号两数比较大小,要考虑它们的正负;同号两数比较大小,要考虑它们的绝对值;(2)多个数比较大小,借助数轴完成.
>
<
>
反而小
比较下列各组数的大小:
(1)-与-; (2)-(+)与-.
解:(1)==,==,且>,所以-<-.
(2)分别化简两数,得-(+)=-,-=-.=,=,且>,
所以-(+)<-.
[方法总结] 两个负数比较大小,应先求出绝对值,然后比较绝对值的大小,最后确定两个负数的大小.
1.(2025·成都外语校)下面四个数中,比-3.5小的数是( )
A.1 B.0 C.-3 D.-4
2.比较大小:(1)- -;
(2)- -;
(3)- -[-(-2)].
D
>
<
>
用“>”“<”或“=”填空:
(1)0 -3.14;
(2)-(-) -;
(3)- -.
[方法总结] 比较有理数的大小可以利用数轴,数轴上表示的数从左到右依次增大;也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小,利用绝对值比较两个负数的大小.
>
>
<
已知a、b、c三个数在数轴上对应的点如图所示,下列结论正确的是( )
A.a-b
3.有理数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示,下列结论正确的是( )
A.a>b B.-a-b D.-a>b
C
D
4.用“>”“<”或“=”填空:
(1)-3 3;
(2) ;
(3)0 -10;
(4)-3.14 -π;
(5) -3.5;
(6) .
5.大于-4.5的负整数有 ;大于-3.6且小于3.1的整数有 .
<
<
>
>
>
<
-4,-3,-2,-1
±3,±2,±1,0 (共11张PPT)
1.6.1 有理数的加法法则
1.有理数的加法法则
(1)同号两数相加,取 的正负号,并把 相加;
(2)绝对值不相等的异号两数相加,取 的加数的正负号,并用较大的绝对值 较小的绝对值;
(3)互为相反数的两个数相加得 ;
(4)一个数与0相加,仍得 .
注意:先定符号,再求和.
2.相反数的性质
(1)如果两个数a、b互为相反数,那么a+b= ;
(2)如果a+b=0,那么数a、b的关系是 .
与加数相同
绝对值
绝对值较大
减去
0
这个数
0
互为相反数
计算:
(1)(-13)+(-2);
解:原式=-15.
(2)14+(-14);
解:原式=0.
(3)1+(-0.6);
解:原式=.
(4)0+(-4.6);
解:原式=-4.6.
(5)2+.
解:原式=-.
[方法总结] 运用有理数的加法法则进行有理数的加法运算,要遵循一般步骤:一观察,二确定,三求和,即第一步先观察两数的符号是同号还是异号,有没有0;第二步确定用哪条法则;第三步求出结果.
1.下列各式运算正确的是( )
A.(-3)+(-3)=0 B.0+(-3)=3
C.+=- D.+=0
2.计算:
(1)(-7)+(-5);
解:原式=-12.
(2)(+)+(-);
解:原式=.
(3)(-25.1)+(+25);
解:原式=0.
(4)3.5+(-4).
解:原式=-.
D
某特技飞行队进行特技表演,其中一架飞机起飞后的高度变化如下表:
高度变化 记作
上升4.5 km +4.5 km
下降3.2 km
上升1.1 km
下降1.4 km
(1)完成上表;
解:(1)从上到下依次填入:
-3.2 km,+1.1 km,-1.4 km.
(2)飞机完成上述四个表演动作后,飞机飞行的高度是多少千米
(2)(+4.5)+(-3.2)+(+1.1)+(-1.4)=1(km).
答:飞机飞行的高度是1 km.
(3)如果飞机每上升或下降1 km需消耗2 L燃油,那么这架飞机在这4个动作表演过程中,一共消耗了多少升燃油
(3)2×(+++)=2×10.2=20.4(L).
答:一共消耗了20.4 L燃油.
3.(1)若=1,=4,且a+b的值为负数,则a+b的值为 ;
(2)筹算是中国古代的计算方法之一,宋代数学家用白色筹码代表正数,用黑色筹码代表负数,图中算式一表示的是(+2)+(-4)=-2,按照这种算法,算式二表示的算式是 .
-3或-5
(+4)+(-3)=+1
4.某摩托车厂本周内计划每日生产200辆摩托车,由于工人实行轮休,每日上班人数不一定相等,实际每日生产量与计划量相比情况如下表:(增加的辆数为正数,减少的辆数为负数)
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 -5 +7 -3 +4 +10 -9 -25
则本周实际总产量为多少辆
解:(-5)+(+7)+(-3)+(+4)+(+10)+(-9)+(-25)+200×7=1 379(辆).
答:本周实际总产量为1 379辆.
如图,已知数轴上点A、B对应的数分别为-5,1,点C为AB的中点,点P为数轴上任意一点,且对应的数为m.
(1)若点P为原点,在图中标出点P的位置,并直接写出点C对应的数;
解:(1)如图所示,点C对应的数是-2.
(2)若点P在点B的右侧且满足AP=3PB,求-5,1,m这三个数的和.
(2)因为点P在点B的右侧且满足AP=3PB,
所以点P表示的数为1+(1+5)÷(3-1)=4,即m=4,
所以-5,1,m这三个数的和为(-5)+1+4=0.
5.如图,点A、B在数轴上表示的数分别为-2与6,动点P从点A出发,沿A→B以每秒2个单位长度的速度向终点B运动,同时,动点Q从点B出发,沿B→A以每秒4个单位长度的速度向终点A运动,当一个点到达时,另一个点也随之停止运动.
(1)当Q为AB的中点时,求线段PQ的长;
解:(1)AB的中点所表示的数为=2,
此时点Q表示的数为2,
点Q移动的时间为(6-2)÷4=1(秒),
所以点P移动的距离为2×1=2.
因此,点P表示的数为-2+2=0.
所以PQ=2.
(2)当Q为PB的中点时,求点P表示的数.
(2)设点Q移动的时间为t秒,则移动t秒后点Q所表示的数为6-4t,移动t秒后点P所表示的数为-2+2t,当Q为PB的中点时,有
=6-4t,解得t=.
点P移动的距离为2×=.
此时,点P表示的数为(-2)+=-.(共10张PPT)
第2课时 科学记数法
科学记数法
把一个绝对值大于10的数表示成 的形式(其中1≤<10,n为正整数),这种记数法称为科学记数法.其方法:
(1)确定a:a是只有一位整数的数;
(2)确定n:n为正整数,等于原数的整数位数减1.
注意:负数也可以用科学记数法表示,“-”号照写,其他与正数的表示方法一样.
a×10n
用科学记数法表示下列各数:
(1)100; (2)2 025; (3)30 100; (4)-900 200.
解:(1)100=1×102.
(2)2 025=2.025×103.
(3)30 100=3.01×104.
(4)-900 200=-9.002×105.
1.(2025·自贡)中国新能源汽车性能优越,近年来销售量持续攀升,2024年度销量已达到1 286.6万辆.12 866 000用科学记数法表示为( )
A.1.286 6×103 B.1.286 6×104
C.1.286 6×107 D.1.286 6×108
2.大米是我国居民最重要的主食之一,与此同时,我国也是世界上最大的大米生产国,水稻产量常年稳定在2亿吨以上.将2亿用科学记数法表示为( )
A.2×109 B.2×108
C.0.2×108 D.2×107
C
B
3.(2025·成都七中)电影《哪吒之魔童闹海》在2025年春节档热播,反映了中国在动画电影上的突出表现.百度显示,截至4月29日上午11时20分,《哪吒之魔童闹海》的票房已突破157亿元,数据“157亿”用科学记数法表示为 .
1.57×1010
下列用科学记数法表示出来的数的原数是多少
(1)7.2×105; (2)2.01×106; (3)5.2×102; (4)-3.07×104.
解:(1)7.2×105=720 000.
(2)2.01×106=2 010 000.
(3)5.2×102=520.
(4)-3.07×104=-30 700.
[分析] 把用科学记数法表示的数还原成通常表示的数,就是把a的小数点向右移动n位所得到的数.
4.(1)《红楼梦》是我国古代四大名著之一,全书约有7.3×105个字,用科学记数法表示的数7.3×105的原数是 ;
(2)据统计,2024年我国新能源汽车产量超1.316×107辆,则原数为
万辆.
730 000
1 316
我国研制的某种超级计算机每秒可做1.2×1012次运算,用科学记数法表示它工作8分钟可以做多少次运算
解:1.2×1012×(60×8)=(1.2×60×8)×1012=5.76×1014(次).
答:这种超级计算机工作8分钟可以做5.76×1014次运算.
5.我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素,其中铝、锰元素总量均约为8×106吨.用科学记数法表示铝、锰元素总量的和,接近值是 ( )
A.8×106吨 B.16×106吨
C.1.6×107吨 D.16×1012吨
C
6.据测算,我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约为1.5亿元,若一年按365天计算,我国一年因土地沙漠化造成的经济损失约为多少元 请用科学记数法表示出来.
解:1.5×108×365=5.475×1010 (元).
答:我国一年因土地沙漠化造成的经济损失约为5.475×1010 元.(共14张PPT)
1.1.1 正数和负数
1.像-2,-,-1.5这样的数是 ,像12,+3.5,这样的数是 .
0既不是 数,也不是 数.
注意:(1)正数前面的“+”号可以省略不写,但负数前面的“-”号不能省略.
(2)正数和0称为非负数;负数和0称为非正数.
2.在日常生活中,有许多具有相反意义的量,都可以用正数和 来表示.
负数
正数
正
负
负数
注意:(1)用正数和负数表示相反意义的量时,规定哪种意义的量为正是可以任意选定的(如将上升2 m规定为+2 m或-2 m都可以),一旦选定一种意义的量为正,则另一种相反意义的量就只能为负.
(2)具有相反意义的两个量必须是同类量.具有相反意义的量是成对出现的.
(3)用正、负数表示相反意义的量时一定要说明数量和单位,并且“向指定方向变化用正数;向指定方向的相反方向变化用负数”.
(1)下列不表示具有相反意义的量的是( )
A.前进5 m和后退5 m
B.收入30元和支出10元
C.向东走10 m和向北走10 m
D.超过5 g和不足2 g
(2)某水库水位上升7.5 m记作+7.5 m,那么该水库水位下降3.8 m应记作( )
A.3.8 m B.-3.8 m
C.-11.3 m D.11.3 m
C
B
(3)在跳远测验中,陈老师把合格的标准定为2.00 m,小王跳了2.12 m,陈老师登记为+0.12 m.如果小丽跳了1.85 m,那么陈老师应登记为( )
A.+0.15 m B.-1.85 m
C.-0.15 m D.+1.85 m
[知识总结] (1)具有相反意义的量包含两个要素:①它们的意义相反;②它们都是数量,且是同类的量.(2)用正数和负数表示具有相反意义的量时,把其中一种意义的量规定为正,那么与它意义相反的量就用负来表示,哪种意义为正,是可以任意规定的,但习惯上把“前进”“上升”“收入”“零上温度”等规定为正,而把“后退”“下降”“支出”“零下温度”等规定为负.
C
1.我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反,要令正负以名之”.如:粮库把运进30吨粮食记为“+30”,则“-30”表示( )
A.运出30吨粮食 B.运进30吨粮食
C.卖掉30吨粮食 D.吃掉30吨粮食
2.(2025·重庆一中)新疆吐鲁番盆地地势低于海平面154.31 m,海拔记为-154.31 m.重庆歌乐山主峰高于海平面678 m,则海拔记为 .
3.东、西为两个相反方向,如果-4 m表示一个物体向西运动4 m,那么+2 m表示 ,物体原地不动记作 .
A
+678 m
这个物体向东运动2 m
0 m
请指出下列各数中哪些是正数,哪些是负数
-18,+,3.141 6,0.202 5,-,-0.101 0…,-π,0,-(+2),99%.
解:正数:+,3.141 6,0.202 5,99%;
负数:-18,-,-0.101 0…,-π,-(+2).
[误区点拨] (1)在识别正、负数时,不能简单地理解为带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数,这是不准确的说法;(2)注意0既不是正数,也不是负数.
如图所示,将部分偶数依顺序排列成三角形数阵,从上到下称为行.图中数6为第2行、从左向右第2个数;数-24为第4行、从左向右第3个数,那么第11行、从左向右第5个数为( )
A.210 B.230 C.-210 D.-230
A
4.下列各数:5,-,0.56,-22.5,,+3,-0.2,0.001,其中负数有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
5.在36,-8,0.5,+10,3,-100,-15,0,+4.8这些数中, 是正数;
是负数; 既不是正数,也不是负数.
C
36,0.5,+10,3,+4.8
-8,-100,-15
0
6.观察下面依次排列的一列数,请接着写出后面的3个数,你能说出第18个数、第101个数、第2 025个数分别是什么吗
(1)-1,-2,+3,-4,-5,+6,-7,-8, , , ,…;
(2)1,-,3,-,5,-,7,-, , , ,….
解:(1)这列数中的第18个数为+18,第101个数为-101,第2 025个数为+2 025.
+9
-10
-11
9
-
11
(2)这列数中的第18个数为-,第101个数为101,第2 025个数为2 025.
某中学对七年级男生进行引体向上的测试,以能做10个为标准,超过的个数用正数表示,不足的个数用负数表示,其中8名男生的成绩如下表:
序号 01 02 03 04 05 06 07 08
个数 2 -1 0 3 -2 -3 1 0
(1)每人各做了几个引体向上 (列表回答)
解:(1)由题意,得这8名男生做的引体向上个数如下表:
序号 01 02 03 04 05 06 07 08
个数 12 9 10 13 8 7 11 10
(2)如果这次测试以做9个引体向上为及格,那么这8名男生的及格率为多少
[分析] 这种记数要注意它的基准,不是所有的基准都是0,比如此题中的超过的个数2就表示做了12个.
(2)由(1)可知,这8名男生中共有6人及格,
所以及格率为6÷8×100%=75%.
7.化学老师在实验室中发现了四个沾染污垢或被腐蚀的砝码,测量后,把超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数,它们中质量最接近标准的是( )
B
8.一包薯片的质量标准为(100 g±5 g),下列四包薯片质量不合格的是( )
A.94 g B.99 g C.100 g D.104 g
A
9.某厂生产的零件标准质量为50 g,但实际生产的零件可能比标准质量重一点或轻一点.某质检员在检验这些零件的时候为了记录方便,把等于标准质量的记为“0 g”,比标准质量重0.1 g就记作“+0.1 g”.下表是他记录的某次检测的结果:
序号 01 02 03 04 05 06
质量(g) 0.02 0 -0.03 -0.01 0 0.01
如果零件的质量与标准质量相差不超过0.01 g就视为合格,那么这6个零件中合格产品的质量之和为多少
解:根据题意,可知合格产品只有四个,序号分别为02,04,05,06.
它们的质量之和为
50×4-0.01+0.01=200(g).