第三单元倍数与因数（提升卷）（含解析）-2025-2026学年小学数学五年级上册北师大版

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第三单元倍数与因数
一、选择题
1．下面各数中，不是3的倍数的是（ ）。
A．33 B．86 C．102 D．789
2．18的因数有几个，倍数有几个。（ ）
①6 ②4 ③无数
A．①② B．①③ C．②③
3．19乘a是质数，则a是（ ）。
A．1 B．19 C．任一质数
4．下面各数中，（　　）是3的倍数．
A．69 B．23 C．116
5．一个两位数，个位上的数字既是奇数又是合数，十位上的数字既是偶数又是质数，这个数是（ ）。
A．质数 B．合数 C．偶数 D．以上都不对
二、填空题
6．如果a×b＝c（a、b、c是不为0的整数），那么，c是 和 的倍数，a和b是c的 。
7．一个数既是15的因数，又是15的倍数，它是( )。
8．能被2整除的数叫做 ，不能被2整除的数叫做 。
9．既是5的倍数又是6的倍数的最大两位数是( )。
10．一个数最大的因数是25，最小的倍数是25，这个数是( )。它的因数有( )。
11．6×4=24，6和4是24的　 　，24是6的　 　，也是4的　 　．
12．23的最大因数是( )，最小倍数是( )。
13．已知3个连续偶数的和是48，这3个偶数中最大的是( )，最小的偶数是( )。
14．10以内既是奇数又是合数的数是( )，既是偶数又是质数的数是( )。24的因数有( )。20以内的所有质数的和是( )。
15．将一个数的所有的约数两两求和，在所有的和中，若最小的是4，最大的是180，则这个数是　 　．
16．2□6是一个三位数，在□中填一个质数，使这个三位数是3的倍数，那么□里应填( )．
三、判断题
17．一个数的因数有无数个。( )
18．a÷b＝8（a，b为非零自然数），那么a是b的倍数，b是a的因数。( )
19．因为，所以6是1.2和5的倍数，1.2和5是6的因数。( )
20．一个数的倍数的个数是有限的，因数的个数是无限的。( )
21．因为3×5＝15，所以3和5都是因数。 ( )
四、解答题
22．深圳大运会闭幕式体操队表演时有48人．如果体操队排成长方形队形（每队人数和排数都不小于4），可以有几种排法？
23．淘气家一共有5口人，妈妈买了一些水果，淘气把其中的苹果平均分给每个人刚好分完没有剩余。爷爷和奶奶更爱吃梨，于是把苹果还给了淘气，淘气把全部的苹果又重新分配了一下，还是刚好分完没有剩余。妈妈买的苹果至少有多少个？
24．用18个相同的小正方形拼成一个大长方形，有几种拼法？填一填。
长 18
宽 1
18的全部因数： 。
25．寻找能开4把锁的万能钥匙。
万能钥匙上的数是几？
26．有三张数字卡片（如下图），从中抽出一张，两张，三张，按任意次序排列，可以得到不同的一位数，两位数，三位数，将其中的质数全部写出来，共有几个？
27．在方格纸上画长方形，使它的面积是20平方厘米，边长是整厘米数。（每个小方格的边长表示1厘米）一共有（ ）种长方形；在括号里写出20的全部因数（ ）。

28．黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1、3、5、7、9、…擦去其中的一个奇数后，剩下的所有奇数之和为2000，求擦去的奇数是多少？
参考答案
1．B
【分析】一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；据此解答。
【详解】A．3＋3＝6，6是3的倍数，那么33是3的倍数；
B．8＋6＝14，14不是3的倍数，那么86不是3的倍数；
C．1＋0＋2＝3，3是3的倍数，那么102是3的倍数；
D．7＋8＋9＝24，24是3的倍数，那么789是3的倍数。
故答案为：B。
【点睛】熟练掌握3的倍数特征是解题的关键。
2．B
【分析】（1）找一个数的因数时，从最小的自然数1找起，一直找到它本身，一对对；找根据求一个数的约数的方法求出18的因数；
（2）求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘自然数1、2、3、4、5…，所得积就是这个数的倍数，据此求出18的倍数。
【详解】（1）18的因数有：1，2，3，6，9，18；共6个；
（2）18的倍数有：18，36，54…，有无数个。
所以18的因数有6个，倍数有无数个。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查求一个数的因数和倍数的方法，注意一个数的倍数是无限的。
3．A
【分析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，比如3，只有1和它本身这两个因数，所以3是质数，据此逐一分析即可。
【详解】由分析可得：
A．当a＝1时，19×a＝19×1＝19，19只有1和19两个因数，所以19是质数，即a＝1时19乘a是质数；
B．当a＝19时，19×a＝19×19＝361，361不是质数，所以a＝19时19乘a不是质数，不符合题意；
C．当a＝任一质数，可以假设当a＝2时，19×a＝19×2＝38，38不是质数，所以a＝19时19乘a不是质数，不符合题意；
故答案为：A
【点睛】本题考查的是质数的有关知识，需要熟练掌握质数的概念，同时牢记常用的质数有哪些是解题的关键。
4．A
【详解】略
5．A
【分析】既是奇数又是合数的一位数为9，既是偶数又是质数为2；整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数；据此解答。
【详解】根据分析：这个两位数是29，29不是合数也不是偶数，所以这个数是质数。
故答案为：A
6． a b 因数
【详解】如果a×b＝c（a、b、c是不为0的整数），那么，c是a和b的倍数，a和b是c的因数。
7．15
【分析】一个数的最大因数是它本身，最小的倍数也是它本身，据此即可填写。
【详解】一个数既是15的因数，又是15的倍数，它是15。
【点睛】掌握一个数的因数和倍数的特征是关键。
8． 偶数 奇数
【分析】自然数根据能否被2整除，分成奇数和偶数。
【详解】能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
【点睛】对于数论中有关奇数、偶数、因数、倍数、质数、合数的基础概念要非常熟练。
9．90
【分析】因数和倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数，c是a、b的倍数。如：4×9＝36，4和9是36的因数，36是4和9的倍数；
个位上是0或5的数，是5的倍数，可先找出100以内6的倍数，再根据5的倍数的特征，从中筛选出符合题意的数。
【详解】100以内6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84，90，96；其中5的倍数有30，60，90；则既是5的倍数又是6的倍数的最大两位数是90。
【点睛】本题需要熟悉5的倍数的特征，同时能够熟练找出一个数在100以内的所有倍数。
10． 25 1、5、25
【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身；找一个数因数的方法：利用乘法算式，两个整数相乘得出积。这时，两个整数都是积的因数。找时按从小到大的顺序一组一组地找。
【详解】一个数最大的因数是25，最小的倍数是25，这个数是25。
25＝1×25＝5×5
所以25的因数有1、5、25。
【点睛】此题考查的是对因数和倍数的概念，属于基础知识，需熟练掌握。
11．因数，倍数，倍数
【详解】试题分析：根据因数和倍数的意义，因数和倍数是相互依存的两个概念，“谁”离开“谁”都不成立．
解：因为6×4=24，所以6和4是24的因数，24是6的倍数，也是4的倍数．
故答案为因数，倍数，倍数．
点评：此题主要考查因数和倍数的意义，理解因数和倍数是相互依存的两个概念，不能单独地说某个数是因数，某个数是倍数．
12． 23 23
【分析】根据“一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身”进行解答即可。
【详解】23的最大因数是23，最小倍数是23。
【点睛】根据求一个数的因数与倍数的方法进行解答，应明确：一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身。
13． 18 14
【分析】根据偶数的性质，相邻的偶数之间相差是2，三个连续的偶数和是48，用48÷3算出中间的偶数，即48÷3＝16，最大的偶数＝中间的偶数＋2，最小的偶数＝中间的偶数－2，即可解答。
【详解】48÷3＝16
16＋2＝18
16－2＝14
【点睛】本题主要考查偶数的性质，关键是三个偶数和除以3求出中间的偶数，以此解答问题。
14． 9 2 1、24、2、12、3、8、4、6 77
【分析】不能被2整除的数叫做奇数，奇数的个位上是1，3，5，7或9；能被2整除的数叫做偶数，偶数个位上的数是0，2，4，6或8。只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫做合数。据此解答。
列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
【详解】通过分析可得：10以内既是奇数又是合数的数是9，既是偶数又是质数的数是2；
24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，则24的因数有1、24、2、12、3、8、4、6；
20以内的所有质数的和是：2＋3＋5＋7＋11＋13＋17＋19＝77。
15．135
【详解】试题分析：一个数最小的约数是1，最大的约数是它本身；由在所有的和中最小的是4，可知该数是3的倍数，和最大的是180，说明这个数字小于180，且180是这个数字本身和它第二大的约数之和，由此即可进行推理．
解：根据题干分析可得：
这个数是3的倍数，这个数本身与第二大约数之和是180，
由于除了1之外，最小约数是3，所以第二大约数必定是最大约数的，
设这个数的最大约数是x，则第二大约数就是x，根据和是180，可得：
x+x=180，
x=180，
x=135，
答：这个数是135．
故答案为135．
点评：抓住约数除了1之外最小是3的合数，最大的两个约数之间是3倍的关系，是解决本题的关键所在．
16．7
【详解】276是一个三位数，还是3的倍数。
故答案为：7。
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1既不是质数，又不是合数；
3的倍数的特征是这个数的所有数位上的数字之和是3的倍数。
17．×
【详解】一个数的因数中，最小的是1，最大的是它本身，一个数的因数个数是有限的。
如6的因数有：1、6、2、3，共4个。
故答案为：×。
18．√
【分析】依据因数和倍数的含义判断即可。
【详解】a÷b＝8（a，b为非零自然数），说明a能够被b整除，那么a是b的倍数，b是a的因数。
故答案为：√。
【点睛】掌握因数和倍数的含义是关键。
19．×
【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。“倍”的概念比“倍数”要广，“倍”可以适用于小数，分数，整数；而倍数相对因数而言，只能适用于不为0的自然数。据此解答。
【详解】根据分析可得：
因数和倍数只能适用不为0的自然数，不能是小数。那么在中，可以说6是1.2的5倍，6是5的1.2倍，但不能说6是1.2和5的倍数，1.2和5是6的因数。原说法错误。
故答案为：×
20．×
【分析】一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的因数的个数是有限的； 一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；一个数的倍数的个数是无限的；据此判断即可。
【详解】一个数的倍数是无限的，而因数的个数是有限的；所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】此题考查的目的是理解掌握因数与倍数的概念及意义。
21．×
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【详解】由分析可知：
因为3×5＝15，所以3和5都是15的因数。原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
22．
每队的人数 1 2 3 4 6 8 12 16 24 48
排数 48 24 16 12 8 6 4 3 2 1
答：可以有2种．
【详解】此题实际是求48的因数，然后根据题意即可解答．
23．15个
【分析】由题可知，平均分给5个人或平均分给3个人都没有剩余，说明苹果的个数是3和5的倍数，求妈妈买的苹果至少有多少个，就是求3和5共同的倍数，据此解答。
【详解】3的倍数：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30…
5的倍数：5、10、15、20、25、30…
3和5的倍数：15、30…
所以3和5的共同的倍数是15、30…
答：妈妈买的苹果至少有15个。
24．3种；见详解；1，2，3，6，9，18
【分析】根据长方形的面积＝长×宽，因为18＝18×1＝9×2＝6×3，所以有3种拼法：
①长为18、宽为1的长方形；②长为9、宽为2的长方形；③长为6、宽为3的长方形；据此把表格补充完整。
根据列乘法算式找因数的方法，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此写出18的全部因数。
【详解】用18个相同的小正方形拼成一个大长方形，有3种拼法。
如下表：
长 18 9 6
宽 1 2 3
18的全部因数：1，2，3，6，9，18。
25．35
【分析】整数中，不是2的倍数的数叫做奇数，个位上是1、3、5、7、9的数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
【详解】由“是一个奇数”与“是5的倍数”可以确定这个两位数的个位是5；
由“所有因数的和是48”可以确定这个两位数小于48，可能是15、25、35、45；
15的因数：1，3，5，15；所有因数的和是：1＋3＋5＋15＝24，24≠48，不符合题意；
25的因数：1，5，25；所有因数的和是：1＋5＋25＝31，31≠48，不符合题意；
35的因数：1，5，7，35；所有因数的和是：1＋5＋7＋35＝48，符合题意；
45的因数：1，3，5，9，15，45；所有因数的和是：1＋3＋5＋9＋15＋45＝78，78≠48，不符合题意；
所以，这个两位数是35。
答：万能钥匙上的数是35。
26．质数：2、3、13、23、31；共5个
【分析】根据题意可知，首先要将这3个数字能得到的不同的一位数、两位数、三位数全部写出；再根据质数的特征：只有1和它本身两个因数的数是质数，找出其中的质数。据此解答即可。
【详解】一位数：1、2、3；
两位数：12、13、21、23、31、32；
三位数：123、132、213、231、312、321；
质数有：2、3、13、23、31，共5个。
答：质数有2、3、13、23、31，一共有5个。
27．画图见详解；3；1、2、4、5、10、20
【分析】找出20的所有因数：1、2、4、5、10、20，将因数作为长方形的长和宽，即该长方形可以是：长为20厘米，宽为1厘米，长为10厘米，宽为2厘米，长为5厘米，宽为4厘米，据此画图即可；
【详解】1×20＝20（平方厘米）
2×10＝20（平方厘米）
4×5＝20（平方厘米）
画图如下：

一共有3种长方形；
20的全部因数有：1、2、4、5、10、20。
【点睛】本题考查了画指定面积长方形，同时还要熟练掌握求一个数因数的方法。
28．25
【分析】首先设出n个奇数1、3、5、7、9…2n－1，然后通过1＝12，1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝16＝42…总结出前n个奇数的和是n2，根据452＝2025，得出擦去奇数25后，剩下的44个奇数的和是2000即可。
【详解】设有n个奇数1、3、5、7、9…2n－1；
根据1＝12；
1＋3＝4＝22
1＋3＋5＝9＝32
1＋3＋5＋7＝16＝42
…
可得这n个奇数的和是：1＋3＋5＋7…＋（2n－1）＝n2；
因为452＝2025，所以前45个奇数的和是2025，2025－2000＝45；
所以擦去奇数25后，剩下的44个奇数的和是2000。
答：擦去的奇数是25。
【点睛】此题考查了学生的奇数求和问题，关键是总结出前n个奇数的和是n2，然后解答即可。
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