单元素养测评卷(二) （含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

单元素养测评卷(二)
第二章
(时间:120分钟　分值:150分)
　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线l:x+y-2=0,则直线l的倾斜角为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2.[2025·浙江台州六校联盟高二期中] 已知直线l经过两条直线l1:x+y=2与l2:2x-y=1的交点,且l的一个方向向量为v=(-2,3),则直线l的方程为 (　　)
A.2x+3y-5=0 B.3x-2y-5=0
C.3x+2y-5=0 D.2x+3y-1=0
3.若圆C1:(x+1)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-5)2+(y+6)2=r2(r>0)相切,则r= (　　)
A.9 B.10
C.11 D.9或11
4.直线ax+by-a-b=0(a2+b2≠0)与圆x2+y2-2=0的位置关系为 (　　)
A.相离 B.相切
C.相交或相切 D.相交
5.已知直线l1∥l2,其中l1:x+2y+2=0,l2:mx+(1-n)y+1=0,且m>0,n>0,则+的最小值为 (　　)
A.2 B.2
C.4 D.8
6.[2025·福建师范大学附中高二期中] 在圆x2+y2-2x-2y-1=0的所有经过坐标原点的弦中,最短的弦的长度为 (　　)
A.1 B.2
C.2 D.4
7.[2025·广东部分名校高二联考] 已知圆M:x2+y2=16与圆N:x2+y2-4x-my+n=0的公共弦所在直线与直线x-2y=0垂直,且垂足为(2,1),则圆N的半径为 (　　)
A. B.
C.2 D.2
8.已知m,n,p,q∈R,若m2+n2=p2+q2=mp+nq=4,则|m-4+n|+2|p-4+q|的最小值为 (　　)
A.12-2
B.13-2
C.13-2
D.12-2
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列结论正确的是 (　　)
A.直线的倾斜角越大,其斜率就越大
B.若直线ax+y-2=0与直线2x-y-4=0垂直,则a=
C.过点A(-1,2),B(3,-2)的直线的倾斜角为45°
D.点(5,0)关于直线y=2x的对称点的坐标为(-3,4)
10.已知方程x2+y2-4x+8y+2a=0,则下列说法正确的是 (　　)
A.当a=10时,该方程表示圆心坐标为(2,-4)的圆
B.当a<10时,该方程表示圆心坐标为(2,-4)的圆
C.当a=0时,该方程表示的圆的半径为2
D.当a=8时,该方程表示的圆与y轴相切
11.[2025·大同高二期中] 已知圆C:(x-4)2+(y-3)2=1,P(m,n)为圆C上一点,点A(6,0),B(0,3),则 (　　)
A.当∠PAB最小时,|PA|=2
B.当∠PAB最大时,|PA|=2
C.m-2n的取值范围为[2-,2+]
D.(m+1)2+(n+2)2的最小值为51-10
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知直线l1:x+2y-1=0,l2:2x+ay-1=0,若l1∥l2,则a的值是　　　　.
13.[2025·河南郑州高二期中] 已知A(-4,0),B(-1,0),动点M满足|MA|=2|MB|,则动点M的轨迹方程为　　　　,若动点M的轨迹上有且只有两个点到直线x-y+b=0的距离等于1,则实数b的一个值为　　　　 .
14.在平面直角坐标系中,过圆C1:(x-k)2+(y+k-4)2=1上任一点P作圆C2:x2+y2=1的一条切线,切点为Q,则当|PQ|最小时,k=　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2025·广东东莞光明中学高二期中] 已知直线l的方程为(a+1)x-y-3a-1=0,a∈R.
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)若直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A,B,点O是坐标原点,△AOB的面积为16,求a的值.
16.(15分)已知圆C经过A(0,2),B(1,1),且圆心在直线l1:2x+y-4=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)若从点M(3,5)发出的光线经过直线l2:x+y-1=0反射后恰好平分圆C的圆周,求反射光线所在直线的方程.
17.(15分)已知直线l:y=4x和点P(6,4),点A为第一象限内的点且在直线l上,直线PA交x轴的正半轴于点B,O为坐标原点.
(1)当OP⊥AB时,求直线AB的方程;
(2)求△OAB面积的最小值,并求此时点B的坐标.
18.(17分)[2025·承德八中高二期中] 已知k∈R,圆C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+(5k2+20k+9)=0.
(1)若圆C与圆x2+y2=1外切,求实数k的值.
(2)求圆心C的轨迹方程.
(3)是否存在定直线l,使得动圆C截直线l所得的弦长恒为 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
19.(17分)[2025·广东名校联盟高二期中] 定义:P是圆C外一点,过点P所作的圆C的两条切线PM,PN(M,N为切点)互相垂直,圆D经过点P,M,N,C,则称P为圆C的“伴随点”,圆D为“C—P伴随圆”.已知O为坐标原点,圆O:x2+y2=26,P为圆O的“伴随点”,圆G为“O—P伴随圆”,M,N为过点P所作的圆O的两条切线的切点.
(1)求点P所在曲线的方程.
(2)已知点P的横坐标为6,且位于第一象限.
(i)求圆G的方程;
(ii)已知直线MN与x,y轴分别交于点E,F,过点T(0,5)且斜率为k的直线l与圆G有两个不同的交点A,B,若·=,求l的方程.
单元素养测评卷(二)
1.D　[解析] 因为直线l:x+y-2=0的斜截式方程为y=-x+2,所以直线l的斜率k=-1,设直线l的倾斜角为θ,则有tan θ=-1,又因为θ∈[0,π),所以θ=.故选D.
2.C　[解析] 由解得故直线l1与l2的交点坐标为(1,1).因为直线l经过点(1,1)且l的一个方向向量为v=(-2,3),所以直线l的方程为y-1=(x-1),即3x+2y-5=0,故选C.
3.D　[解析] 圆C1:(x+1)2+(y-2)2=1的圆心为C1(-1,2),半径r1=1,圆C2:(x-5)2+(y+6)2=r2 (r>0)的圆心为C2(5,-6),半径r2=r,所以|C1C2|==10.因为两圆相切,所以|C1C2|=r1+r2或|C1C2|=r2-r1,故r2=9或r2=11,即r=9或r=11.故选D.
4.C　[解析] 由已知得,圆x2+y2-2=0的圆心为(0,0),半径为,所以圆心到直线ax+by-a-b=0(a2+b2≠0)的距离为.因为2ab≤a2+b2,所以(a+b)2≤2(a2+b2),当且仅当a=b时等号成立,所以圆心到直线的距离为≤,所以直线与圆相交或相切.故选C.
5.D　[解析] ∵直线l1∥l2,其中l1:x+2y+2=0,l2:mx+(1-n)y+1=0,且m>0,n>0,∴n≠1且它们的斜率相等,在y轴上的截距不相等,∴=-,且≠-1,∴2m+n=1(m>0,n>0),∴+=(2m+n)=4++≥4+2=8,当且仅当=,即m=,n=时,等号成立,∴+的最小值是8.故选D.
6.B　[解析] 圆x2+y2-2x-2y-1=0的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=3,所以圆心为(1,1),半径为.如图,设M为圆x2+y2-2x-2y-1=0的圆心,A,B为直线AB与圆的交点,AB⊥MO,则|MB|=,|MO|=,易知弦AB为所有经过坐标原点的弦中最短的弦,且|AB|=2=2×=2.故选B.
7.B　[解析] 因为圆M:x2+y2=16,圆N:x2+y2-4x-my+n=0,所以它们的公共弦所在直线的方程为4x+my-n-16=0.因为公共弦所在直线与直线x-2y=0垂直,所以4-2m=0,解得m=2.将点(2,1)的坐标代入4x+2y-n-16=0,可得n=-6,故圆N:x2+y2-4x-2y-6=0,即圆N:(x-2)2+(y-1)2=11,故圆N的半径为.故选B.
8.D　[解析] 令A(m,n),B(p,q),O为坐标原点,则||=||=2,·=2,所以<,>=.设l:x+y-4=0,因为|m-4+n|+2|p-4+q|=3,所以由几何关系,可取线段AB上靠近B点的三等分点T,设T到直线l的距离为d,则|m-4+n|+2|p-4+q|=3d.因为=+,所以||===,所以dmin=-=2-,所以|m-4+n|+2|p-4+q|的最小值为3×=12-2.
9.BD　[解析] 对于A,倾斜角为锐角时,斜率为正,倾斜角为钝角时,斜率为负,故A错误;对于B,若直线ax+y-2=0与直线2x-y-4=0垂直,则a×2+1×(-1)=0,解得a=,故B正确;对于C,过点A(-1,2),B(3,-2)的直线的斜率为=-1,故其倾斜角为135°,故C错误;对于D,设点(5,0)关于直线y=2x的对称点的坐标为(x0,y0),则解得故D正确.故选BD.
10.BCD　[解析] 根据题意,方程x2+y2-4x+8y+2a=0变形可得(x-2)2+(y+4)2=20-2a.对于A,当a=10时,方程为(x-2)2+(y+4)2=0,不能表示圆,故A错误;对于B,当a<10时,20-2a>0,方程表示圆心坐标为(2,-4),半径为的圆,故B正确;对于C,当a=0时,方程为(x-2)2+(y+4)2=20,表示圆心坐标为(2,-4),半径为2的圆,故C正确;对于D,当a=8时,方程为(x-2)2+(y+4)2=4,表示圆心坐标为(2,-4),半径为2的圆,该圆与y轴相切,故D正确.故选BCD.
11.ABD　[解析] 由圆C:(x-4)2+(y-3)2=1,知圆心为C(4,3),半径r=1.显然当∠PAB取得最大值或最小值时,直线AP与圆C相切,利用切线的性质,可知两种情况下的切线长均为==2,A,B正确;设m-2n=t,则点P(m,n)在直线x-2y=t上,又P(m,n)在圆C上,故直线x-2y=t与圆C有公共点,所以≤1,即≤1,解得--2≤t≤-2,故C错误;(m+1)2+(n+2)2表示点(-1,-2)到点P的距离的平方,易知点(-1,-2)到点P的最小距离为-1=5-1,故(m+1)2+(n+2)2的最小值为(5-1)2=51-10,故D正确.故选ABD.
12.4　[解析] 因为l1∥l2,所以a=2×2=4.
13.x2+y2=4　　 3(答案不唯一,满足-614.2　[解析] 圆C1:(x-k)2+(y+k-4)2=1的圆心为C1(k,4-k),半径为1,圆C2:x2+y2=1的圆心为C2(0,0),半径为1,因为|C1C2|==≥2>2,所以圆C1与圆C2外离.连接QC2,PC2,因为PQ为圆C2的切线,所以PQ⊥C2Q,由勾股定理得|PQ|=,要使|PQ|最小,只需|PC2|最小.显然当点P为线段C1C2与圆C1的交点时,|PC2|最小,此时|PC2|=|C1C2|-1,又因为|C1C2|=≥2,所以当k=2时,|C1C2|最小,即|PQ|最小.
15.解:(1)当a+1=0,即a=-1时,直线l的方程为y=2,不满足题意;
当a+1≠0,即a≠-1时,令x=0,得y=-3a-1,令y=0,得x=,
由直线l在两坐标轴上的截距相等得=-3a-1,解得a=-2或a=-.
当a=-2时,直线l的方程为x+y-5=0;
当a=-时,直线l的方程为2x-3y=0.
综上所述,直线l的方程为x+y-5=0或2x-3y=0.
(2)由题意知a+1≠0,-3a-1≠0,且l在x轴、y轴上的截距分别为,-3a-1,
所以解得a<-1,
所以△AOB的面积S=··(-3a-1)=-.
由题意知-=16,化简得9a2+38a+33=0,解得a=-3或a=-,均满足条件,所以a=-3或a=-.
16.解:(1)由题知线段AB的中点为,kAB==-1,
所以线段AB的垂直平分线的方程为y-=x-,即x-y+1=0.
由解得即圆心为(1,2),
所以圆C的半径为=1,
故圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=1.
(2)设M关于l2的对称点为N(x0,y0),
则直线MN与l2垂直,且线段MN的中点在直线l2上,
则 解得即N(-4,-2).
由题意知反射光线所在直线过圆心(1,2)及点N,故反射光线所在直线的方程为=,即4x-5y+6=0.
17.解:(1)∵点P的坐标为(6,4),∴kOP=,
又OP⊥AB,∴kAB=-.
又直线AB过点P(6,4),∴直线AB的方程为y-4=-(x-6),即3x+2y-26=0.
(2)设点A的坐标为(a,4a),a>0,点B的坐标为(b,0),b>0,△OAB的面积为S.
当直线AB的斜率不存在时,a=b=6,此时S=×6×24=72.
当直线AB的斜率存在时,有=,可得b=,
则a>1,点B的坐标为,
故S=··4a=,即10a2-Sa+S=0(*).
由题意可知方程(*)有解,故Δ=S2-40S≥0,
则S≥40,即S的最小值为40,此时(*)为a2-4a+4=0,解得a=2.
综上可得,△OAB面积的最小值为40,当△OAB的面积取最小值时,点B的坐标为(10,0).
18.解:(1)由x2+y2+2kx+(4k+10)y+(5k2+20k+9)=0,
得x2+2kx+k2+y2+2(2k+5)y+(4k2+20k+25)=16,
即(x+k)2+(y+2k+5)2=42,
所以圆C的圆心为C(-k,-2k-5),半径r=4.
圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1.
因为圆C与圆x2+y2=1外切,所以=4+1=5,解得k=0或k=-4.
(2)由(1)得C(-k,-2k-5),令
消去k得y=2x-5,即2x-y-5=0,
所以圆心C的轨迹方程为2x-y-5=0.
(3)假设存在符合题意的定直线l,设直线l交圆C于A,B两点,圆心C(-k,-2k-5)到直线l的距离为d,则|AB|=2,
即=2,即=16-d2,即d2=,可得d=,
即圆心C到直线l的距离恒为.
因为圆心C的轨迹方程为2x-y-5=0,
所以可设直线l的方程为2x-y+t=0(t≠-5),
由=,得|t+5|=,解得t=-或t=-,
所以存在符合题意的定直线l,且定直线l的方程为2x-y-=0或2x-y-=0.
19.解:(1)因为P为圆O的“伴随点”,所以四边形PMON为正方形,
则|PO|=×=2,
所以点P所在曲线是以O为圆心,2为半径的圆,
故点P所在曲线的方程为x2+y2=52.
(2)由题可知P(6,4).
(i)因为四边形PMON为正方形,所以圆心G的坐标为(3,2),圆G的半径为=,
故圆G的方程为(x-3)2+(y-2)2=13.
(ii)因为直线MN为圆G与圆O的公共弦所在直线,
所以直线MN的方程为3x+2y-13=0.
令y=0,得x=,令x=0,得y=,
所以E,F,所以=×=30.
由题意可知直线l的方程为y=kx+5,与(x-3)2+(y-2)2=13联立,消去y整理得(1+k2)x2-6(1-k)x+5=0,
则Δ=[-6(1-k)]2-4×(1+k2)×5=8(2k2-9k+2)>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,
所以·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+5)(kx2+5)=(1+k2)x1x2+5k(x1+x2)+25=+30.
由题意可得+30=30,解得k=1或k=0.
经检验,当k=1时,不满足Δ>0,当k=0时,满足Δ>0.
故l的方程为y=5.