单元素养测评卷(三)A （含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

单元素养测评卷(三)A
第三章
(时间:120分钟　分值:150分)
　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线x=y2的准线方程为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=- B.x=-
C.y=- D.x=-
2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1(-13,0),F2(13,0),点P在双曲线C上,且|PF1|-|PF2|=10,则双曲线C的方程是 (　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
3.已知p:方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则p的充分不必要条件可以是 (　　)
A.3C.11
4.[2025·厦门杏南中学高二期中] 若直线l过点(-3,-2),且与双曲线-y2=1过第一、三象限的渐近线互相垂直,则直线l的方程为 (　　)
A.2x+y-8=0 B.2x+y+8=0
C.2x-y+8=0 D.2x-y-6=0
5.在椭圆+=1中,以点M(1,2)为中点的弦所在直线的斜率为 (　　)
A. B.
C. D.-
6.由双曲线-=1(a>0,b>0)的两渐近线所成的角可求其离心率的大小,初中学习的反比例函数的图象也是双曲线,据此可求得双曲线y=的离心率为 (　　)
A. B.2 C. D.
7.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F到准线l的距离为2,位于第一象限的点A在抛物线C上,过点A作l的垂线,垂足为点B,若=2,且点(0,-3)在直线AD上,则直线AD的倾斜角为(　　)
A.30° B.40°
C.60° D.75°
8.已知点F为椭圆C:+=1的右焦点,点P是椭圆C上的动点,点Q是圆M:(x+3)2+y2=1上的动点,则的最小值是 (　　)
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知曲线C:mx2+ny2=1,下列说法中正确的是 (　　)
A.若m>n>0,则C是焦点在y轴上的椭圆
B.若m=n>1,则C是半径为的圆
C.若mn<0,则C是双曲线,且渐近线的方程为y=±x
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
10.已知双曲线E:-=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线l与双曲线E的右支相交于P,Q两点,则 (　　)
A.若E的离心率为,则E的实轴长为1
B.若E的两条渐近线互相垂直,则a=2
C.若∠F1PF2=90°,则|PF1|·|PF2|=8
D.当a变化时,△F1PQ周长的最小值为16
11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点T(-1,0),则下列结论正确的是 (　　)
A.y1y2=-4
B.+=1
C.若△TAB的面积为S,则S的最小值为4
D.若线段AT的中点为Q,且|AT|=2|BQ|,则|AF|-|BF|=4
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若点A(m,1)在椭圆+=1的内部,则实数m的取值范围是　　　　.
13.一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,10],在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,则清洁钢球的最大半径为 　　　　.
14.[2025·泰安高二期中] “若点P为椭圆上的一点,F1,F2为椭圆的两个焦点,则椭圆在点P处的切线平分∠F1PF2的外角”,这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆C:+=1,点P是椭圆上的点,椭圆在点P处的切线为直线l,过左焦点F1作l的垂线,垂足为M,则|MF1|的最小值为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)求满足下列条件的曲线的标准方程.
(1)焦点在y轴上,长轴长为10,离心率为的椭圆;
(2)经过点A(3,-1),并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线.
16.(15分)[2025·厦门高二期中] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆上的点P到两焦点的距离之和是4,且长轴长是焦距的2倍.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设直线l的方程为y=x+t.
①若直线l与椭圆C相交,求t的取值范围;
②当t=1时,若直线l与椭圆C相交于A,B两点,求|AB|.
17.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为6,椭圆上一点与两焦点构成的三角形的周长为16.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l与C交于A,B两点,且线段AB的中点坐标为,求直线l的方程.
18.(17分)[2025·洛阳高二联考] 已知两点M(-2,0),N(2,0),动点P在y轴上的射影是H,且5=·.
(1)求动点P的轨迹C的方程.
(2)设直线l:y=mx+1与C相交于A,B两点,当m为何值时,以线段AB为直径的圆经过点Q(0,-3)
19.(17分)[2025·武汉高二期中] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,且椭圆C经过点A(0,).
(1)求椭圆C的方程.
(2)若直线l:y=kx+m与C相交于不同于A的P,Q两点,PQ的中点为M,当∠PMA=2∠PQA时:
①求证:∠PAQ为直角;
②求m的值.
单元素养测评卷(三)A
1.D　[解析] 由抛物线的方程为y2=2x,得其焦点坐标为,则其准线方程为x=-.故选D.
2.D　[解析] 由题意可知2a=10,c==13,可得a=5,b=12,所以双曲线C的方程是-=1.故选D.
3.B　[解析] 若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m-1>5-m>0,解得34.B　[解析] 双曲线-y2=1过第一、三象限的渐近线方程为y=x,直线l与之垂直,则直线l的斜率为-2,又直线l过点(-3,-2),故直线l的方程为y+2=-2(x+3),即2x+y+8=0.故选B.
5.D　[解析] 设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1①,+=1②,由②-①得+=0,所以以点M(1,2)为中点的弦所在直线的斜率k==-=-=-.故选D.
6.D　[解析] y==1+,故该双曲线是由反比例函数y=的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的,又双曲线y=的两条渐近线方程为x=0和y=0,所以双曲线y=的两条渐近线方程为x=-1和y=1.因为双曲线y=的两条渐近线互相垂直,所以该双曲线为等轴双曲线,所以其离心率e===.故选D.
7.C　[解析] 依题意得p=2,∴F(0,1),设A(2t,t2)(t>0),则B(2t,-1).∵=2,∴D为BF的中点,∴D(t,0),则kAD==t,又点(0,-3)在直线AD上,∴t=,可得t=,∴kAD=,故直线AD的倾斜角为60°.故选C.
8.B　[解析] 连接PM,QM,如图所示.在椭圆C:+=1中,可得a=5,b=4,c=3,则F(3,0).圆M:(x+3)2+y2=1的圆心为M(-3,0),半径r=1,圆心M(-3,0)为椭圆C的左焦点.由椭圆的定义可得|PF|+|PM|=2a=10,所以|PF|=10-|PM|.由椭圆的几何性质可得a-c≤|PM|≤a+c,即2≤|PM|≤8.易得|PQ|≤|PM|+|QM|=|PM|+1,所以≥==-1≥-1=,所以的最小值是.故选B.
9.AD　[解析] 对于A选项,若m>n>0,则曲线C的方程可化为+=1,则0<<,所以C是焦点在y轴上的椭圆,A选项正确.对于B选项,若m=n>1,则曲线C的方程可化为x2+y2=,则C是半径为的圆,B选项错误.对于C选项,若mn<0,则曲线C的方程可化为+=1,C是双曲线.由mx2+ny2=0得y2=-x2,故渐近线方程为y=±x,C选项错误.对于D选项,若m=0,n>0,则曲线C的方程可化为y2=,即y=±=±,C是两条直线,D选项正确.故选AD.
10.BCD　[解析] 对于A,由题可得,b2=4,若e=,则e2=1+=1+=5,所以a=1,所以实轴长为2,故A错误;对于B,双曲线E的渐近线方程为y=±x,若两条渐近线互相垂直,则·=-1,所以a=2,故B正确;对于C,若∠F1PF2=90°,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,又|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2,所以|PF1||PF2|=2(c2-a2)=2b2=8,故C正确;对于D,由|QF1|-|QF2|=2a,|PF1|-|PF2|=2a,两式相加得|PF1|+|QF1|=|PF2|+|QF2|+4a=|PQ|+4a,又|PQ|≥=,所以△F1PQ的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|=4a+2|PQ|≥4a+≥2=16,当且仅当4a=,即a=2时等号成立,故D正确.故选BCD.
11.ABD　[解析] 由题知直线AB的斜率不为0,且F(1,0),故设直线AB的方程为x=my+1,将x=my+1与y2=4x联立,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设x1≥x2>0,则故A正确;由抛物线的定义可知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,则+=+=+===1,故B正确;S=|TF||y1-y2|==≥4,当且仅当m=0时等号成立,所以S的最小值为4,故C错误;由|AT|=2|BQ|可得∠TBF=90°,即·=0,所以(-1-x2,-y2)·(1-x2,-y2)=-1+=-1+4x2=0,可得x2=-2,又因为x1x2==1,所以x1=+2,因此|AF|-|BF|=x1+1-(x2+1)=4,故D正确.故选ABD.
12.(-,)　[解析] ∵点A(m,1)在椭圆+=1的内部,∴+<1,整理得m2<2,解得-13.1　[解析] 作出截面图,如图所示.设小球截面圆的圆心为(0,y0)(y0>0),若小球能触及凹槽的最底部,则小球的半径r=y0.曲线x2=2y,y∈[0,10]上的点(x,y)到圆心的距离的平方为d2=x2+(y-y0)2=2y+(y-y0)2=y2+2(1-y0)y+,y≥0.由题意知d2的最小值在y=0时取到,故二次函数f(y)=y2+2(1-y0)y+图象的对称轴方程应满足-1+y0≤0,所以y0≤1,故清洁钢球的半径r的取值范围为014.4-2　[解析] 因为椭圆C:+=1,所以a=4,c2=16-4=12,则c=2.设椭圆的右焦点为F2,连接PF2,延长F1M,F2P交于点N,由题意可知∠F1PM=∠NPM,又因为PM⊥F1N,所以M为F1N的中点,且|PF1|=|PN|,所以|F2N|=|PN|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a=8,又因为原点O为F1F2的中点,所以|OM|=|F2N|=×8=4,故点M的轨迹为以O为原点,r=4为半径的圆.易知点F1到圆心O的距离为|OF1|=c=2,所以|MF1|的最小值为r-|OF1|=4-2.
15.解:(1)因为长轴长为10,离心率为,
所以a=5,c=3,所以b=4,
又因为焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0),
将点A(3,-1)的坐标代入,得λ=8,
所以双曲线的标准方程为-=1.
16.解:(1)由已知可得所以
故椭圆C的方程为+=1.
(2)①由消去y得7x2+8tx+4t2-12=0,
若直线l与椭圆C相交,则Δ=(8t)2-4×7(4t2-12)>0,
解得-②当t=1时,方程7x2+8tx+4t2-12=0即为7x2+8x-8=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
故|AB|=×=×=.
17.解:(1)设C的焦距为2c(c>0),则2c=6,得c=3.
因为椭圆上的点到两焦点的距离之和为2a,
且椭圆上一点与两焦点构成的三角形的周长为16,
所以2a+2c=16,可得a=5,所以b2=a2-c2=16,
所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则
两式相减可得=-,
即=-.
由点为线段AB的中点,得x1+x2=,y1+y2=,
则直线l的斜率k==-×=-×=-,
所以直线l的方程为y-=-,即4x+5y-2=0.
18.解:(1)设P(x,y),则H(0,y),
所以=(-x,0),=(-2-x,-y),=(2-x,-y),
因为5=·,所以5x2=x2-4+y2,整理得轨迹C的方程为-x2=1.
(2)由消去y并整理得(m2-4)x2+2mx-3=0,
所以m2-4≠0,且Δ=4m2-4(m2-4)×(-3)>0,所以m≠±2且m2>3,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.
若以AB为直径的圆过点Q(0,-3),
则QA⊥QB,所以·=0,
即x1x2+(y1+3)(y2+3)=0,
所以(m2+1)x1x2+4m(x1+x2)+16=0,
所以(m2+1)+4m+16=0,
化简得5m2-67=0,解得m=±,满足m2>3,所以m=±.
19.解:(1)由题意得2c=2,解得c=1,且=1,得b2=3,则a2=4,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)①证明:易得∠MAQ+∠MQA=∠PMA,
又∠PMA=2∠PQA,所以∠PQA=∠MAQ,
所以|MA|=|MQ|=|PQ|,
所以∠PAQ为直角,得证.
②设P(x1,y1),Q(x2,y2),由
消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
则Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,
可得m2<4k2+3,则x1+x2=-,x1x2=,所以kPAkQA=·===-1,整理可得7m2-6m-3=0,解得m=-或m=,
又m=时,直线l过点A,不符合题意,所以m=-.