单元素养测评卷(三)B （含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

单元素养测评卷(三)B
第三章
(时间:120分钟　分值:150分)
　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·天津滨海新区高二期中] 若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,且过点(2,3),则双曲线的标准方程为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
2.已知椭圆C1:+=1的两个焦点与椭圆C2:+=1(m>0)的两个焦点构成正方形的四个顶点,则m= (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
3.直线l:y=kx与双曲线C:x2-y2=2交于不同的两点,则斜率k的取值范围是 (　　)
A.(0,1) B.(-,)
C.(-1,1) D.[-1,1]
4.设C为椭圆x2+=1上的任意一点,A(0,-2),B(0,2),延长AC至点P,使得|PC|=|BC|,则点P的轨迹方程为 (　　)
A.x2+(y-2)2=20 B.x2+(y+2)2=20
C.x2+(y-2)2=5 D.x2+(y+2)2=5
5.[2025·河南百师联盟高二期中] 已知抛物线y2=6x,直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A,B两点,若弦AB的长为8,则直线l的方程为 (　　)
A.y=x-或y=-x+
B.y=或y=-
C.y=x-或y=-x+
D.y=2x-或y=-2x+
6.设椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:-=1的离心率分别为e1,e2,且双曲线C2的渐近线的斜率小于,则的取值范围是 (　　)
A.(1,4) B.(4,+∞)
C.(1,2) D.(2,+∞)
7.已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是E上两点,若-2=4,则= (　　)
A. B.
C. D.2
8.若椭圆C:+=1(a>b>0)上存在一点D,使得函数f(x)=的图象上任意一点关于点D的对称点仍在f(x)的图象上,且椭圆C的长轴长大于4,则C的离心率的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2025·浙江星辰联盟高二期中] 已知椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1,则 (　　)
A.双曲线的一条渐近线方程为y=-x
B.椭圆和双曲线共焦点
C.椭圆的离心率e=
D.椭圆和双曲线有4个公共点
10.已知抛物线C过点A(2,-4),则 (　　)
A.抛物线C的标准方程可能为y2=8x
B.抛物线C的标准方程可能为x2=-y
C.过点A与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D.过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条
11.“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术,更是中国传统戏曲文化的重要载体.如图,“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C.半圆C1的方程为x2+y2=9(y≥0),半椭圆C2的方程为+=1(y≤0),则下列说法正确的是 (　　)
A.若点A在半圆C1上,点B在半椭圆C2上,O为坐标原点,OA⊥OB,则△OAB面积的最大值为6
B.曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7
C.若A(0,-),B(0,),P是半椭圆C2上的一个动点,则cos∠APB的最小值为
D.椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在一个圆上,该圆的圆心即为椭圆的中心,称该圆为椭圆的蒙日圆,那么半椭圆C2扩充为整个椭圆C':+=1后,椭圆C'的蒙日圆的方程为x2+y2=25
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知平面直角坐标系中,动点M到F(0,-2)的距离比M到x轴的距离大2,则M的轨迹方程是　　　　　　　　 .
13.设F1,F2为双曲线-=1的两个焦点,点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为　　　　.
14.[2025·临沂部分县区高二期中] 定义离心率e=的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆C:+=1(m>4)是“西瓜椭圆”,则m=　　　　　.若“西瓜椭圆”E:+=1(a>b>0)的左焦点为F,直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,以线段AB为直径的圆过点F,则k=　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2025·晋城高二联考] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线交x轴于点G,点P(1,2)在C上.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若A是抛物线C上第一象限内的一点,过线段AF的中点M向y轴作垂线,垂足为点N,且|MN|=|NF|,求四边形GFMN的面积.
16.(15分)已知F1,F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,F2也为抛物线y2=8x的焦点,且点P(0,2b),F1,F2是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=x-1与双曲线C相交于A,B两点,求|AB|.
17.(15分)已知圆F1:(x+2)2+y2=4,圆F2:(x-2)2+y2=36,若动圆M与圆F1外切,与圆F2内切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;
(2)直线l与(1)中轨迹C相交于A,B两点,若Q(2,-1)为线段AB的中点,求直线l的方程.
18.(17分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点M(3,),且右焦点为F(2,0).
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点F的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,交y轴于点P,若=m,=n,求证:m+n为定值;
(3)在(2)的条件下,若点Q是点P关于原点O的对称点,求△QAB的面积的取值范围.
19.(17分)[2025·东莞五校高二联考] 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体,例如y=kx+1(k∈R)表示过点(0,1)的直线族(不包括直线y轴),直线族的包络曲线定义为:直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线,且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)圆M:x2+(y-3)2=4是直线族mx+ny=1(m,n∈R)的包络曲线,求m,n满足的关系式;
(2)若点N(x0,y0)不在直线族Ω:y=tx-t2(t∈R)的任意一条直线上,求y0的取值范围及直线族Ω的包络曲线E的方程;
(3)在(2)的条件下,过直线x-4y-4=0上的动点P作曲线E的两条切线,切点分别为A,B,求原点O到直线AB的距离d的最大值.
单元素养测评卷(三)B
1.C　[解析] 由双曲线方程可得其渐近线方程为y=±x,则=,即a=b,则双曲线方程可化为-=1,由双曲线过点(2,3),得-=1,解得b2=4,a2=3,所以双曲线方程为-=1.故选C.
2.B　[解析] 由椭圆C1:+=1,可得椭圆C1的焦点为(±2,0),因为椭圆C1的两个焦点与椭圆C2的两个焦点构成正方形,所以椭圆C2:+=1(m>0)的两个焦点在y轴上,所以椭圆C2的焦点为(0,±),所以=2,解得m=2(负值舍去).故选B.
3.C　[解析] 将双曲线C:x2-y2=2的方程与直线l:y=kx的方程联立可得(1-k2)x2-2=0,因为直线l: y=kx与双曲线C:x2-y2=2交于不同的两点,所以 可得-14.B　[解析] 由椭圆的方程x2+=1,得a2=5,b2=1,∴c==2,则A(0,-2),B(0,2)为椭圆的两个焦点,∴|AC|+|BC|=2a=2.∵|PC|=|BC|,∴|PA|=|PC|+|AC|=|BC|+|AC|=2,∴点P的轨迹是以A为圆心,2为半径的圆,其方程为x2+(y+2)2=20,故选B.
5.B　[解析] 根据题意可得抛物线的焦点为F,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k=kx-k(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(3k2+6)x+k2=0,所以x1+x2=,x1x2=,因为|AB|=x1+x2+p=+3=8,解得k=±,则直线l的方程为y=x-或y=-x+.故选B.
6.C　[解析] 由题意得,c1=,c2=,所以e1====,e2====.由双曲线的渐近线的斜率k<,得00,且==-1+∈(1,4),得∈(1,2).故选C.
7.A　[解析] 由题可知,抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,过A,B作直线x=-1的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|=|AF|,|BD|=|BF|.∵-2=4,∴4x2-8x1=4,即x2-2x1=1,∴x2+1=2(x1+1),∴====.故选A.
8.D　[解析] 由f(x)==1+,得f(x)的图象的对称中心为(1,1),要使f(x)=的图象上任意一点关于点D的对称点仍在f(x)的图象上,则点D为f(x)的图象的对称中心,故点D(1,1)在椭圆C上,则+=1.又a2=b2+c2,则+=1,所以2a2-c2=a2(a2-c2),即a2==,又2a>4,所以a2>4,故>4,可得3e2>2,可得e>,又09.AD　[解析] 对于A,双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,故A正确;对于B,椭圆+=1的焦点在x轴上,双曲线-=1的焦点在y轴上,故B错误;对于C,椭圆+=1中,长半轴长a=4,半焦距c==2,所以其离心率e=,故C错误;对于D,由解得x2=,y2=,此方程组有4个解,因此椭圆和双曲线有4个公共点,故D正确.故选AD.
10.ABD　[解析] 因为抛物线C过点A(2,-4),则抛物线的开口向右或向下,当开口向右时,设方程为y2=2px,p>0,则16=2p×2,解得p=4,即y2=8x;当开口向下时,设方程为x2=-2py,p>0,则4=-2p×(-4),解得p=,即x2=-y,故A正确,B正确.当抛物线方程为y2=8x时,由过点A与抛物线只有一个公共点的直线的斜率存在,设直线方程为y+4=k(x-2),由消去x得ky2-8y-16k-32=0,当k=0时,方程y=-4只有一个解,即直线与抛物线只有一个公共点,符合题意;当k≠0时,由Δ=64+4k(16k+32)=0,解得k=-1,则直线方程为x+y+2=0,此时方程ky2-8y-16k-32=0只有一个解,即直线与抛物线只有一个公共点,符合题意.因此,当抛物线方程为y2=8x时,过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条.当抛物线方程为x2=-y时,直线x=2与抛物线只有一个公共点,当直线的斜率存在时,设直线方程为y+4=k(x-2),由消去y得x2+kx-2k-4=0,由Δ=k2+4(2k+4)=0,解得k=-4,则直线方程为4x+y-4=0,此时方程x2+kx-2k-4=0只有一个解,即直线与抛物线只有一个公共点,符合题意.因此,当抛物线方程为x2=-y时,过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条.综上所述,过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条,故C错误,D正确.故选ABD.
11.ABD　[解析] 对于A,因为点A在半圆C1上,点B在半椭圆C2上,O为坐标原点,OA⊥OB,则|OA|=3,|OB|≤4,则S△AOB=|OA||OB|=|OB|≤6,当B为半椭圆C2与y轴的交点时取等号,所以△OAB面积的最大值为6,故A正确;对于B,半圆C1上的点到点O的距离都是3,半椭圆C2上的点到点O的距离的最小值为3,最大值为4,所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7,故B正确;对于C,A(0,-),B(0,)是椭圆+=1的两个焦点,在△PAB中,|AB|=2,由余弦定理知cos∠APB===
=-1≥-1=,当且仅当|PA|=|PB|时取等号,所以cos∠APB的最小值为,故C错误;对于D,由题意知,蒙日圆的圆心为O(0,0),取椭圆C':+=1的两条互相垂直的切线x=3和y=4,它们的交点为(3,4),该点在蒙日圆上,所以蒙日圆的半径为=5,所以椭圆C'的蒙日圆的方程为x2+y2=25,故D正确.故选ABD.
12.x2=-8y(y≤0)或x=0(y>0)　[解析] 设点M(x,y),依题意,得|MF|=|y|+2,即=|y|+2,整理得x2=4(|y|-y),所以M的轨迹方程是x2=-8y(y≤0)或x=0(y>0).
13.3　[解析] 由-=1可知a=,b=,c==3,由对称性不妨设|PF1|=x,|PF2|=y(x>y),则x-y=2,因为∠F1PF2=90°,所以x2+y2=(2c)2=36,所以(x-y)2+2xy=36,所以24+2xy=36,解得xy=6,所以△F1PF2的面积为|PF1||PF2|=xy=3.
14.9　±　[解析] ∵椭圆C:+=1(m>4)是“西瓜椭圆”,∴离心率e==,解得m=9.设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y并整理得(b2+a2k2)x2-a2b2=0,易知Δ>0,∴x1+x2=0,x1x2=,∴-=,即=,∴=k2=,∴|OA|2=+=,易知F(-c,0),∵以线段AB为直径的圆经过点F,∴|OF|2=|OA|2,∴c2=①,∵e2=1-=,∴b2=a2,又c2=a2-b2,代入①式并化简得k2=,解得k=±.
15.解:(1)因为抛物线C:y2=2px过点P(1,2),
所以4=2p,即p=2,则抛物线方程为y2=4x.
(2)由题可得F(1,0),设A(x0,y0),则M,N,=4x0,
所以|MN|=,|NF|==.
因为|MN|=|NF|,所以=,解得x0=3或x0=-1(舍),
故A(3,2),M(2,),N(0,),|MN|=2.
又点G(-1,0),|GF|=2,所以|MN|=|GF|,
又MN∥GF,所以四边形GFMN是平行四边形,
设O为坐标原点,则四边形GFMN的面积为|GF|×|ON|=2×=2.
16.解:(1)设双曲线C的半焦距为c,因为抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),
所以c=2,即F1(-2,0),F2(2,0).
又点P(0,2b),F1,F2是等腰直角三角形的三个顶点,
所以2b=2,即b=1,
又c2=a2+b2,所以a2=3,所以双曲线C的方程为-y2=1.
(2)依题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得x2+3x-6=0,
则Δ=32-4××(-6)=15>0,
所以x1+x2=-12,x1x2=-24,故|AB|=·=×=10.
17.解:(1)设动圆M的半径为r,∵动圆M与圆F1外切,与圆F2内切,
∴|MF1|=2+r,且|MF2|=6-r,
于是|MF1|+|MF2|=8>|F1F2|=4,
∴动圆圆心M在焦点为F1,F2,长轴长为8的椭圆上,
故a=4,c=2,∴b2=12,∴椭圆方程为+=1.
又∵当点M为椭圆左顶点时,动圆M不存在,故不合题意,舍去,
故动圆圆心M的轨迹C的方程为+=1(x≠-4).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,显然x1≠x2,
则有+=1,+=1,两式作差可得+=0,
即+=0,
又Q(2,-1)为线段AB的中点,
则有x1+x2=4,y1+y2=-2,代入可得直线l的斜率k==,
∴直线l的方程为y-(-1)=(x-2),整理可得直线l的方程为3x-2y-8=0.
18.解:(1)依题意,双曲线C的左焦点为F'(-2,0),
由双曲线的定义知,双曲线C的实轴长2a=|MF'|-|MF|=-=2,故a=,
又c=2,所以b2=22-a2=1,
所以双曲线C的方程为-y2=1.
(2)证明:由(1)知,双曲线C的渐近线方程为y=±x,
依题意,直线l的斜率k存在,且|k|>.
设直线l的方程为x=ty+2,t=,0<|t|<,
由消去x并整理得(3-t2)y2-4ty-1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,
又点P,则=,=(2-x1,-y1).
因为=m,所以y1+=-my1,
即m=-1-,同理得n=-1-,
所以m+n=-2-=-2-·=-2-·=6,为定值.
(3)由(2)知,点Q,|PQ|=,|y1-y2|===,
S△QAB=|S△APQ-S△BPQ|=|PQ|·|x1-x2|=|ty1-ty2|=2|y1-y2|==.
令u=∈(1,2),函数y=-u在(1,2)上单调递减,
即当1因此0<-<3,所以>,
所以△QAB的面积的取值范围为.
19.解:(1)由题可得,直线族mx+ny=1(m,n∈R)为圆M的切线,
故圆M的圆心(0,3)到直线族mx+ny=1的距离d0==2,
可得5n2-4m2-6n+1=0,所以m,n满足5n2-4m2-6n+1=0.
(2)将点N(x0,y0)的坐标代入y=tx-t2(t∈R),可得关于t的方程t2-x0t+y0=0,
因为点N(x0,y0)不在直线族y=tx-t2(t∈R)的任意一条直线上,
故方程t2-x0t+y0=0无实数解,
所以Δ=-4y0<0,即y0>,故y0>0.
因为区域y0>的边界为抛物线x2=4y,
所以y=tx-t2(t∈R)的包络曲线是x2=4y.
证明如下:由可得x2-4tx+4t2=0,
所以Δ=(-4t)2-4×4t2=0,
故直线族Ω:y=tx-t2(t∈R)为抛物线x2=4y的切线.
因此直线族Ω的包络曲线E的方程为x2=4y.
(3)由(2)得曲线E的方程为x2=4y,设P(x',y')在直线x-4y-4=0上,
则x'-y'-4=0,即y'=.
设A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线PA的斜率存在,设直线PA的方程为y-y1=k(x-x1),与x2=4y联立,可得x2=4[y1+k(x-x1)],
即x2-4kx+4kx1-4y1=0.
因为直线PA与抛物线x2=4y相切,
所以Δ=(-4k)2-4(4kx1-4y1)=0,即k2-kx1+y1=0.
因为y1=,所以k2-kx1+=0,即=0,解得k=,
所以直线PA的方程为y-=(x-x1),化简得y=x-,
同理可得直线PB的方程为y=x-.
因为点P(x',y')在切线上,所以
所以直线AB的方程为y'=x-,即y=x'x-y'.
将y'=代入y=x'x-y',
得y=x'x-,化简得2x'x-4y-(x'-4)=0.
则原点O到直线AB的距离d=.
设t=4-x',则x'=4-t,
所以d==,所以d2=.
当t=0时,x'=4,y'=0,则A,B重合,不符合题意,
所以t≠0,所以d2=.
令u=,则d2=.
对于二次函数y=80u2-32u+4,其图象的对称轴方程为u=-=,
则当u=时,y=80u2-32u+4的最小值为80×-32×+4=-32×+4=,
所以d2的最大值为,即d的最大值为.