1.1.1 空间向量及其线性运算
【课前预习】
知识点一
1.大小 方向 长度 模 长度 |a|
||
2.零向量 模为1 相等 相反 -a
互相平行或重合 平行 ∥ 相同
相等 同向 等长
诊断分析
(1) × (2) √ (3)× (4) ×
[解析] (1)零向量也是有方向的,只是方向是任意的.
(2)相等向量,如果起点相同,那么终点必相同.
(3)相反向量不仅要求方向相反,而且要求模必须相等.
(4) 空间内所有单位向量的长度都相等,但其方向不一定相同.
知识点二
1.空间向量 平面向量
2.和 三角形 平行四边形 b+a
a+(b+c) 相反向量 三角形
a+(-b) 向量 数乘运算 λa
|λ||a| 相同 相反 0 λa+λb
λa+μa
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)√
2.解:因为任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,所以任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算,由此可知,空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算相同.
平面向量加、减法的运算律在空间向量中同样适用.
知识点三
1.a=λb
2.(1)非零向量a 平行 (2)方向向量
3.(1)平行 重合
(2)平行于平面α 在平面α内
(3)共面向量
4.p=xa+yb
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
[解析] (1)若存在x,y∈R,使得p=xa+yb成立,则p与a,b一定共面.
(2)当a,b共线,而p与a,b不共线时,不存在x,y∈R,使得p=xa+yb成立.
(3)若=x+y,则与,共面,又因为,,有公共点M,所以P,M,A,B共面.
(4)当,共线,而与,不共线时,=x+y不成立.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)CD (2)ABC [解析] (1)对于A,当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个空间向量相等,它们的起点和终点不一定相同,故A错误;对于B,根据相等向量的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但B中向量a与b的方向不一定相同,故B错误;对于C,根据正方体的性质,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量与向量的方向相同,模也相等,则=,故C正确;对于D,由相等向量的定义可知m=n=p,故D正确.故选CD.
(2)由题可知单位向量有,,,,,,,,共8个,故A正确;与相等的向量(不含)有,,,共3个,故B正确;向量的相反向量有,,,,共4个,故C正确;模为的向量有,,,,,,,,共8个,故D错误.故选ABC.
变式 ②③ [解析] 对于①,根据空间向量的定义,将空间中所有的单位向量的起点平移到同一个点,则它们的终点构成一个球面,故①为假命题;对于②,根据正五棱柱的性质,得==-,故②为真命题;对于③, 空间中任意两个方向相反的单位向量的模都等于1,故③是真命题.故填②③.
探究点二
例2 (1)ABD [解析] 对于A,(-)+=+=,故A符合题意;对于B,(+)+=+=,故B符合题意;对于C,++=(+)+=(+)+=+=,故C不符合题意;对于D,(+)+=+=,故D符合题意.故选ABD.
(2)解:因为M是BC的中点,所以=(+),
所以=+.
因为MN=ON,所以==+,
所以=-=-++.
因为AP=AN,所以===-++,
所以=+=+=++.
变式 (1)A (2)A [解析] (1)设E为BC的中点,连接AE,EF,BC1,则G在AE上,由题意可得=+=+=×(+)+(+)=++(-+)=-++=-++.故选A.
(2)对于A,+2+2+=(+)+(+)+(+)=+,故A中结果不一定为零向量;对于B,2+2+3+3+=2(+)+3(+)+=3+3=0,故B中结果为零向量;对于C,++=++=+=0,故C中结果为零向量;对于D,-+-=(-)+(-)=+=0,故D中结果为零向量.故选A.
探究点三
例3 (1)D (2)-5 [解析] (1)若∥,则存在唯一实数λ使得=λ,即e1-2e2+e3=λ(-5e1-6e2+4e3),所以无解,所以,不共线,则O,P,Q三点不共线,故A不正确;若∥,则存在唯一实数μ使得=μ,即7e1+2e2-2e3=μ(-5e1-6e2+4e3),所以无解,所以,不共线,则P,Q,R三点不共线,故B不正确;=+=-4e1-8e2+5e3,若∥,则存在唯一实数t使得=t,即-4e1-8e2+5e3=t(7e1+2e2-2e3),所以无解,所以,不共线,则O,Q,R三点不共线,故C不正确;=+=2e1-4e2+2e3=2,所以∥,又点P为两向量的公共点,所以O,P,R三点共线,故D正确.故选D.
(2)∵a∥b,∴存在唯一实数λ,使得b=λa,即(x+1)m+8n+2yp=3λm-2λn-4λp,∴解得则x+y=-5.
变式 解:由空间向量的线性运算法则,可得=++=++=-++=+==-,即=-,
所以与共线.
例4 解:(1)由题意知++=3,
∴-=(-)+(-),∴=+=--,∴向量,,共面.
(2)由(1)知向量,,共面,
∵它们有共同的起点M,且A,B,C三点不共线,
∴M,A,B,C四点共面,即点M在平面ABC内.
变式 证明:如图,连接PE,PF,PG,PH并延长,分别交AB,BC,CD,DA于点M,N,Q,R,
则M,N,Q,R分别为所在边的中点,作四边形MNQR,则该四边形为平行四边形,连接MQ,EG,EF,EH.
易知=,=,
=,=,
所以=-=-==(+)=(-)+(-)=+=+,所以与,共面,
又因为它们有公共点E,
所以E,F,G,H四点共面.1.1.1 空间向量及其线性运算
1.A [解析] 对于A,零向量的相反向量是它本身,故A是假命题;对于B,空间向量不能比较大小,故B是真命题;对于C,如果|a|=0,那么a=0,故C是真命题;对于D,两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同,故D是真命题.故选A.
2.C [解析] 如图所示,(+)-=+=+=.故选C.
3.D [解析] ∵空间向量a,b不共线,且-a+(3x-y)b=xa+3b,∴解得∴xy=6.故选D.
4.C [解析] 由已知可得=,所以四边形ABCD的一组对边平行且不相等,所以四边形ABCD一定是梯形,故选C.
5.D [解析] 对于A选项,a-b+(b+c)=c+a,所以a-b,b+c,c+a是共面向量;对于B选项,-a+c+(-b-c)=-a-b=-(a+b),所以-a+c,-b-c,a+b是共面向量;对于C选项,a+b-(b-c)=a+c, 所以a+b,b-c,a+c是共面向量;对于D选项,令a+b=x(a-b)+yc,显然x,y无解,故a+b,a-b,c不是共面向量.故选D.
6.ACD [解析] 因为E,F分别为棱BC,CD的中点,所以由中位线的性质可知=,故A正确;假设+=,可得=-=,由题图可知,不共线,矛盾,故B错误;++=+=,故C正确;-(+)=-×2=-=,故D正确.故选ACD.
7.相等 相反 [解析] 在三棱柱ABC-A'B'C'中,四边形ACC'A'是平行四边形,则=,即与是相等向量;四边形ABB'A'是平行四边形,则==-,即与是相反向量.
8.a+b-c [解析] 原式=a+b-c+a-b+c-3a+6b-3c=a+b-c.
9.解:(1)++=+=,如图①.
(2)--=-=,如图②.
(3)因为E是棱AB的中点,CF=2FD,
所以=,=.
连接EC,EF,所以++=++=+=,如图③.
10.A [解析] 连接AC,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段A1C上,且A1P∶PC=3∶4,可得==(-)=(+)-=-a+b+c,所以=+=a+b+c.故选A.
11.D [解析] 若,,共面,则存在唯一实数对x,y,使得=x+y,即ka+b+3c=x(2a+3b+5c)+y(a+2b-2c),所以ka+b+3c=(2x+y)a+(3x+2y)b+(5x-2y)c,因为a,b,c是空间一组不共面的向量,所以 解得故选D.
12.ABD [解析] O为平面ABC外一点,空间中四点M,A,B,C共面的充要条件是=x+y+z,其中x+y+z=1.对于A,因为2-1-1=0≠1,所以A中条件不能使空间中四点M,A,B,C共面;对于B,因为++=≠1,所以B中条件不能使空间中四点M,A,B,C共面;对于C,因为++=0,所以=--,易知,,为共面向量,所以空间中四点M,A,B,C共面,所以C中条件能使空间中四点M,A,B,C共面;对于D,因为+++=0,所以=---,又-1-1-1=-3≠1,所以D中条件不能使空间中四点M,A,B,C共面.故选ABD.
13. [解析] 设=λ(λ>0),则=λ=λ(+)=λ(+)=λ(+-)=λ=λ+2λ-λ,因为A,F,E,G四点共面,所以λ+2λ-λ=1,解得λ=,故=.
14.解:(1)如图,取AA1的中点E,在D1C1上取一点F,使得D1F=2FC1,连接EF,
则++=++=.(与相等的向量都对)
(2)如图,连接BD,则M为BD的中点,所以=+=+=(+)+(+)=(-+)+(+)=++,故α=,β=,γ=.
15.4 [解析] 因为=-++,所以3=-++,不妨令=3,则=-++,又-++=1,故点H,A,B,C共面,如图,故VA-MBC=VM-ABC=VP-ABC=×6=4.
16.解:(1)=++=--+=a-b-c.
(2)证明:连接AC.∵=2,=,
∴=,=,
∴==b,=(-)=(+-)=a+b-c,
∴=-=a+b-c-b=a-b-c=,
又由(1)知=a-b-c,∴=,又与有公共点E,∴E,F,B三点共线.1.1.1 空间向量及其线性运算
【学习目标】
1.类比平面向量,能直接获得空间向量的概念,以及零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量的概念.
2.结合立体几何与空间向量的特征,知道共面向量的概念.
3.在平面向量的基础上,能应用平行四边形法则和三角形法则进行空间向量的加减运算.
4.类比平面向量,能进行空间向量的数乘运算.
◆ 知识点一 空间向量及有关概念
1.在空间,把具有 和 的量叫作空间向量,空间向量的大小叫作空间向量的 或 .
空间向量用字母a,b,c,…表示,也用有向线段表示,有向线段的 表示空间向量的模,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为 或 .
2.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫作 ,记为0
单位向量 的向量叫作单位向量
相反向量 与向量a长度 而方向 的向量,叫作a的相反向量,记为
共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ,那么这些向量叫作共线向量或平行向量. 规定:零向量与任意向量 ,即对于任意向量a,都有0 a
相等向量 方向 且模 的向量叫作相等向量.在空间, 且 的有向线段表示同一向量或相等向量
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)零向量是没有方向的. ( )
(2)两个有共同起点且相等的空间向量,其终点必相同. ( )
(3)空间中方向相反的两个向量是相反向量. ( )
(4)空间内所有单位向量都是相等的. ( )
◆ 知识点二 空间向量的线性运算
1.空间向量的自由性
任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,这样任意两个 的运算就可以转化为 的运算.
2.空间向量的线性运算
运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律
加法 求两个向量 的运算 法则 法则 (1)加法交换律: a+b= ; (2)加法结合律: (a+b)+c=
减法 减去一个向量相当于加上这个向量的 法则 a-b=
(续表)
运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律
数乘 实数λ与向量a的积是一个 ,这种运算叫作向量的 ,记作 (1)|λa|= . (2)当λ>0时,λa与a的方向 ;当λ<0时,λa与a的方向 ;当λ=0时,λa= (1)对向量加法的分配律: λ(a+b)= ; (2)对实数加法的分配律: (λ+μ)a=
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)-+=++. ( )
(2)有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变. ( )
(3)若λ∈R,则λ(a+b)=λa+λb. ( )
2.空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算是否相同 平面向量加、减法的运算律在空间向量中还适用吗
◆ 知识点三 空间向量共线与共面的充要条件
1.空间两向量共线的充要条件
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 .
2.空间直线的确定
(1)直线的方向向量的定义
在直线l上取 ,把与向量a 的非零向量称为直线l的方向向量.
(2)空间直线的确定
空间直线可以由其上一点和它的 确定.
3.共面向量的定义
(1)向量与直线平行
如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l 或 ,那么称向量a平行于直线l.
(2)向量与平面平行
如果表示向量a的有向线段所在的直线OA 或 ,那么称向量a平行于平面α.
(3)共面向量
平行于同一个平面的向量,叫作 .
4.共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于向量p,a,b,若存在x,y∈R,使得p=xa+yb成立,则向量p与a,b共面. ( )
(2)若向量p与向量a,b共面,则存在x,y∈R,使得p=xa+yb成立. ( )
(3)若=x+y,则P,M,A,B共面.( )
(4)若P,M,A,B共面,则=x+y.( )
◆ 探究点一 空间向量的有关概念及应用
例1 (1)(多选题)给出下列四个说法,其中正确的是 ( )
A.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同
B.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b
C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有=
D.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p
(2)(多选题)[2025·湖北襄阳五中高二月考] 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,则在以八个顶点中的两个顶点分别为起点和终点的向量中 ( )
A.单位向量有8个
B.与相等的向量(不含)有3个
C.的相反向量有4个
D.模为的向量有4个
变式 给出下列命题:
①将空间中所有的单位向量的起点平移到同一个点,则它们的终点构成一个圆;
②在正五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中,必有=-;
③空间中任意两个方向相反的单位向量的模必相等.
其中真命题的序号是 .
[素养小结]
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点:
(1)关键点:紧紧抓住向量的两个要素,即大小和方向.
(2)注意点:①零向量不是没有方向,它的方向是任意的.②单位向量的方向虽然不一定相同,但它们的长度都是1.③两个向量的模相等,不一定是相等向量;反之,若两个向量相等,则它们不仅模相等,而且方向相同.若两个向量的模相等,方向相反,则它们为相反向量.
◆ 探究点二 空间向量的线性运算
例2 (1)(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算结果为的有( )
A.(-)+
B.(+)+
C.++
D.(+)+
(2)[2025·无锡高二期中] 如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且MN=ON,AP=AN,用向量,,表示,.
变式 (1)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,F是CC1的中点,G为△ABC的重心,则= ( )
A.-++
B.++
C.-+-
D.-+
(2)若A,B,C,D为空间中不同的四个点,则下列各式中运算结果不一定为零向量的是 ( )
A.+2+2+
B.2+2+3+3+
C.++
D.-+-
[素养小结]
利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量的方向,必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果.
◆ 探究点三 空间向量的共线、共面问题
角度1 空间向量的共线
例3 (1)已知不共面向量e1,e2,e3,=e1-2e2+e3,=-5e1-6e2+4e3,=7e1+2e2-2e3,则一定共线的三个点是 ( )
A.O,P,Q B.P,Q,R
C.O,Q,R D.O,P,R
(2)已知非零向量a=3m-2n-4p,b=(x+1)m+8n+2yp,且m,n,p不共面.若a∥b,则x+y= .
变式 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1D1,AB的中点,E在AA1上且AE=2EA1,F在CC1上且CF=FC1,判断与是否共线.
[素养小结]
(1)证明空间向量共线的方法:证明空间向量a,b共线的关键是利用已知条件找到实数λ,使a=λb(b≠0)成立,在做题时要运用空间向量的运算法则,结合空间图形,化简得出a=λb(b≠0),从而得出a∥b.
(2)证明空间三点共线的思路:对于空间三点P,A,B,可通过证明下列结论来证明P,A,B三点共线.
①存在实数λ,使=λ成立.
②对空间中一点O,有=x+y(x+y=1).
角度2 空间向量的共面问题
例4 已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外一点,点M满足=++.
(1),,三个向量是否共面
(2)点M是否在平面ABC内
变式 如图,已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点,连接PA,PB,PC,PD,点E,F,G,H分别为△PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心,求证:E,F,G,H四点共面.
[素养小结]
(1)证明空间三向量共面的方法:证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb(x,y∈R),则向量p,a,b共面.
(2)证明空间四点共面的思路:对于空间四点P,M,A,B,可通过证明下列结论来证明P,M,A,B四点共面.
①存在实数x,y,使=x+y成立;
②对空间中一点O,存在实数x,y,使=+x+y成立;
③对空间中一点O,有=x+y+z(x+y+z=1).1.1.1 空间向量及其线性运算
1.下列命题中是假命题的是 ( )
A.任意向量与它的相反向量不相等
B.和平面向量类似,任意两个空间向量都不能比较大小
C.如果|a|=0,那么a=0
D.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同
2.[2025·湖北华中师大一附中高二期中] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,(+)-运算的结果为 ( )
A. B.
C. D.
3.若空间向量a,b不共线,且-a+(3x-y)b=xa+3b,则xy= ( )
A.1 B.2
C.4 D.6
4.已知O为空间中任意一点,若四边形ABCD满足+=(+),则四边形ABCD一定是 ( )
A.空间四边形 B.平行四边形
C.梯形 D.矩形
5.[2025·湖南名校联考联合体高二联考] 若a,b,c是空间一组不共面的向量,则下列不共面的一组向量为 ( )
A.a-b,b+c,c+a
B.-a+c,-b-c,a+b
C.a+b,b-c,a+c
D.a+b,a-b,c
6.(多选题)[2025·安康高二期中] 如图,在四面体ABCD中,点E,F分别为棱BC,CD的中点,则 ( )
A.=
B.+=
C.++=
D.-(+)=
7.[2025·河南漯河高级中学高二月考] 如图所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,与是
向量,与是 向量.(用“相等”“相反”填空)
8.已知空间向量a,b,c,化简(a+2b-3c)+5-3(a-2b+c)= .
9.(13分)如图,在四面体D-ABC中,E是棱AB的中点,F在棱CD上,且CF=2FD.化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量:
(1)++;
(2)--;
(3)++.
10.[2025·六安二中高二期中] 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,点P在线段A1C上,且A1P∶PC=3∶4,则= ( )
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b-c
D.-a+b-c
11.[2025·无锡江阴六校高二期中] 已知a,b,c是空间一组不共面的向量,设=2a+3b+5c,=a+2b-2c,=ka+b+3c,若,,共面,则k= ( )
A. B.
C. D.
12.(多选题)已知O为平面ABC外一点,则在下列条件中,不能使空间中四点M,A,B,C共面的是 ( )
A.=2--
B.=++
C.++=0
D.+++=0
13.如图,在正四棱锥P-ABCD中,过点A作一个平面分别交棱PB,PC,PD于点E,F,G,若=,=,则= .
14.(15分)如图所示,已知几何体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体.
(1)化简++(用表示),并点明E,F的具体位置;
(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1的对角线BC1上一点,且C1N=C1B,设=α+β+γ,试求α,β,γ的值.
15.[2025·福州闽侯一中高二月考] 已知三棱锥P-ABC的体积为6,M是空间中一点,=-++,则三棱锥A-MBC的体积是 .
16.(15分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且=2,F在体对角线A1C上,且=.设=a,=b,=c.
(1)用a,b,c表示;
(2)求证:E,F,B三点共线.(共90张PPT)
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
探究点一 空间向量的有关概念及应用
探究点二 空间向量的线性运算
探究点三 空间向量的共线、共面问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.类比平面向量，能直接获得空间向量的概念，以及零向量、单
位向量、相反向量、共线向量、相等向量的概念.
2.结合立体几何与空间向量的特征，知道共面向量的概念.
3.在平面向量的基础上，能应用平行四边形法则和三角形法则进
行空间向量的加减运算.
4.类比平面向量，能进行空间向量的数乘运算.
知识点一 空间向量及有关概念
1.在空间，把具有______和______的量叫作空间向量，空间向量的大
小叫作空间向量的______或____.
空间向量用字母,,， 表示，也用有向线段表示，有向线段的
______表示空间向量的模，向量的起点是，终点是，则向量 也
可以记作 ，其模记为____或_____.
大小
方向
长度
模
长度
2.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量
单位向量 _______的向量叫作单位向量
相反向量
共线向量
零向量
模为1
相等
相反
互相平行或重合
平行
//
名称 定义及表示
相等向量 方向______且模______的向量叫作相等向量.在空间，
______且______的有向线段表示同一向量或相等向量
续表
相同
相等
同向
等长
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）零向量是没有方向的.( )
×
[解析] 零向量也是有方向的，只是方向是任意的.
（2）两个有共同起点且相等的空间向量,其终点必相同.( )
√
[解析] 相等向量，如果起点相同，那么终点必相同.
（3）空间中方向相反的两个向量是相反向量.( )
[解析] 相反向量不仅要求方向相反，而且要求模必须相等.
（4）空间内所有单位向量都是相等的.( )
[解析] 空间内所有单位向量的长度都相等，但其方向不一定相同.
×
×
知识点二 空间向量的线性运算
1.空间向量的自由性
任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,这样任
意两个__________的运算就可以转化为__________的运算.
空间向量
平面向量
2.空间向量的线性运算
运 算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加 法 求两个向量 ____的运算 _____________________________________________ ________法则 ________________________________________________ ____________法则
和
三角形
平行四边形
运 算 定义 法则（或几何意义） 运算律
减 法 减去一个向量 相当于加上这 个向量的_____ _____ _________________________________________ ________法则
相反向量
三角形
续表
运 算 定义 法则（或几何意义） 运算律
数 乘
向量
数乘运算
相同
相反
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） .( )
√
（2）有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变.( )
√
（3）若，则 .( )
√
2.空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算是否相同 平
面向量加、减法的运算律在空间向量中还适用吗
解：因为任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向
量,所以任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算,
由此可知,空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算相同.
平面向量加、减法的运算律在空间向量中同样适用.
知识点三 空间向量共线与共面的充要条件
1.空间两向量共线的充要条件
对任意两个空间向量,,的充要条件是存在实数 ,使
________.
2.空间直线的确定
（1）直线的方向向量的定义
在直线上取___________,把与向量______的非零向量称为直线 的
方向向量.
非零向量
平行
（2）空间直线的确定
空间直线可以由其上一点和它的__________确定.
方向向量
3.共面向量的定义
（1）向量与直线平行
如果表示向量的有向线段所在的直线与直线 ______或______，
那么称向量平行于直线 .
平行
重合
（2）向量与平面平行
如果表示向量的有向线段所在的直线 _____________或_____
_______，那么称向量平行于平面 .
平行于平面
在平面 内
（3）共面向量
平行于同一个平面的向量,叫作__________.
共面向量
4.共面向量定理
如果两个向量，不共线,那么向量与向量， 共面的充要条件是
存在唯一的有序实数对 ,使____________.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对于向量,,,若存在,，使得成立,则向量
与, 共面.( )
√
[解析] 若存在,，使得成立,则与, 一定共面.
（2）若向量与向量,共面,则存在,，使得 成立.
( )
[解析] 当,共线,而与,不共线时,不存在, ,使得
成立.
×
（3）若,则,,, 共面.( )
[解析] 若,则与,共面,又因为， ，
有公共点，所以,,, 共面.
（4）若,,,共面,则 .( )
[解析] 当,共线,而与,不共线时,
不成立.
√
×
探究点一 空间向量的有关概念及应用
例1（1）（多选题）给出下列四个说法,其中正确的是( )
A.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同
B.若空间向量,满足,则
C.在正方体中,必有
D.若空间向量,,满足,,则
√
√
[解析] 对于A,当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量
必相等,但两个空间向量相等,它们的起点和终点不一定相同，故A错误;
对于B,根据相等向量的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,
而且方向还要相同,但B中向量与 的方向不一定相同，故B错误;
对于C,根据正方体的性质,在正方体中,向量 与向量
的方向相同,模也相等,则 ，故C正确;
对于D,由相等向量的定义可知，故D正确.故选 .
（2）（多选题）［2025·湖北襄阳五中高二月考］ 如图所示，在长
方体中，，， ，则在以八
个顶点中的两个顶点分别为起点和终点的向量中( )
A.单位向量有8个
B.与相等的向量（不含 ）有3个
C. 的相反向量有4个
D.模为 的向量有4个
√
√
√
[解析] 由题可知单位向量有， ，
，，，，， ，共8个，
故A正确；
与相等的向量（不含 ）有，， ，共3个，故B正确；
向量的相反向量有，，， ，共4个，故C正确；
模为的向量有，，，，，，， ，
共8个，故D错误.故选 .
变式 给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量的起点平移到同一个点，则它们的终点
构成一个圆；
②在正五棱柱中，必有 ；
③空间中任意两个方向相反的单位向量的模必相等.
其中真命题的序号是______.
②③
[解析] 对于①，根据空间向量的定义，将空间中所有的单位向量的
起点平移到同一个点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题；
对于②，根据正五棱柱的性质，得 ，故②为真
命题；
对于③，空间中任意两个方向相反的单位向量的模都等于1，
故③是真命题.故填②③.
［素养小结］
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点:
（1）关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.
（2）注意点：①零向量不是没有方向，它的方向是任意的.②单位向
量的方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量的模相等，
不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，
而且方向相同.若两个向量的模相等，方向相反，则它们为相反向量.
探究点二 空间向量的线性运算
例2（1）（多选题）如图所示,在正方体
中,下列各式中运算结果为
的有( )
A.
B.
C.
D.
√
√
√
[解析] 对于A, ,故A符合题意;
对于B, ,故B符合题意;
对于C,
,
故C不符合题意;
对于D, ,
故D符合题意.故选 .
（2）［2025·无锡高二期中］如图， 是四面
体的棱的中点，点在线段 上，点
在线段上，且, ，用
向量,,表示, .
解：因为是 的中点，所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
变式（1）如图，在三棱柱
中，是的中点，为 的重心，则
( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 设为的中点，连接,, ，
则在 上，由题意可得
.故选A.
（2）若,,, 为空间中不同的四个点，则下列各式中运算结果不
一定为零向量的是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 对于A，
,故A中结果不一定为零向量；
对于B，
，故B中结果为零向量；
对于C， ，
故C中结果为零向量；
对于D， ，
故D中结果为零向量.故选A.
［素养小结］
利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要
注意和向量的方向，必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确
的结果.
探究点三 空间向量的共线、共面问题
角度1 空间向量的共线
例3（1）已知不共面向量，，， ，
， ，则一定共线的三
个点是( )
A.,, B.,, C.,, D.,,
√
[解析] 若，则存在唯一实数 使得 ，即
，所以 无解，所以
,不共线，则,,三点不共线，故A不正确；
若 ，则存在唯一实数 使得 ，即
，所以 无解，所
以,不共线，则,, 三点不共线，故B不正确；
，若，则存在唯一实数
使得，即 ，所以
无解，所以,不共线，则,, 三点不共线，故C不正确；
，所以 ，又点
为两向量的公共点，所以,, 三点共线，故D正确.故选D.
（2）已知非零向量， ，
且，，不共面.若，则 ____.
[解析] ， 存在唯一实数 ，使得 ，即
， 解得
则 .
变式 如图，在平行六面体 中，
，分别是,的中点，在 上且
，在上且，判断 与
是否共线.
解：由空间向量的线性运算法则，可得
所以与 共线.
，即 ，
［素养小结］
（1）证明空间向量共线的方法:证明空间向量,共线的关键是利用
已知条件找到实数 ，使成立，在做题时要运用空间
向量的运算法则，结合空间图形，化简得出，从而得
出.
（2）证明空间三点共线的思路:对于空间三点，，，可通过证明
下列结论来证明，，三点共线.
①存在实数 ，使成立.
②对空间中一点，有.
角度2 空间向量的共面问题
例4 已知,,三点不共线,是平面外一点，点 满足
.
（1）,, 三个向量是否共面
解：由题意知 ,
,
, 向量,, 共面.
（2）点是否在平面 内
解：由（1）知向量,, 共面,
它们有共同的起点,且,, 三点不共线,
,,,四点共面,即点在平面 内.
变式 如图，已知是平面四边形所在平面外一点，连接 ，
，，，点，，，分别为，， ，
的重心，求证：，，， 四点共面．
证明：如图，连接，，， 并延长，分
别交，，，于点，，， ，
则，，， 分别为所在边的中点，作四边形
，则该四边形为平行四边形，连接 ，
，， .
易知， ，
， ，
所以 ，
所以与， 共面，
又因为它们有公共点 ,所以，，， 四点共面．
［素养小结］
（1）证明空间三向量共面的方法:证明其中一个向量可以表示成另
两个向量的线性组合,即若,则向量,,共面.
（2）证明空间四点共面的思路:对于空间四点，，，，可通过
证明下列结论来证明，，，四点共面.
①存在实数,，使成立；
②对空间中一点，存在实数，，使成立；
③对空间中一点，有.
1.空间向量的概念
（1）两向量的关系:空间向量是具有大小和方向的量,两个向量之间
只有等与不等之分，但不能比较大小，向量的模能比较大小.
（2）有向线段与向量:向量可用有向线段来表示,但是有向线段不是
向量,它只是向量的一种表示方法.
（3）相等向量:方向相同且模相等的向量叫作相等向量.
（4）向量的平移:任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内,成
为同一个平面内的两个向量.
（5）方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零
向量.一条直线的方向向量有无数个,它们的方向相同或相反.
2.共线向量
（1）类比理解:空间共线向量与平面共线向量的定义从本质上是一
样的,平面共线向量的结论在空间共线向量中仍然成立.
（2）共线向量与直线平行的区别：直线平行一般不包括两直线重合
的情况,若,是两个共线向量,即,则说明表示向量, 的有向线
段所在的直线既可以是同一条直线,也可以是两条平行直线.
3.共面向量
（1）共面向量的充要条件给出了同一平面内向量的表示方法,说明空
间中任意一个平面内的向量都可以由两个不共线的平面向量表示出来.
（2）空间中一点位于平面 内的充要条件是存在有序实数对
,使.这说明满足这个关系式的点 都在平面
内;反之,平面内的任意一点 都满足这个关系式.
1.空间向量的运算类似于平面向量的运算.向量加法运算的技巧是“首
尾相接”,结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点;向量减法
运算的技巧是“起点相同”,结果为减向量的终点指向被减向量的终点.
例1 ［2025·江西新余一中月考］ 在空间四边形中， 为
的重心，，，分别为，和 的中点，化简下列各
表达式.
（1） ；
解：根据空间向量的运算法则，可得
.
（2） .
解：如图，分别取，的中点， ，连接
，，，，则四边形 为平行四
边形，且有, ,
, ,
根据空间向量的运算法则，可得
.
2.在利用空间向量解决三点共线问题时，通常先通过线性运算表示两
个向量，然后通过判断两个向量是否共线得到结论.
例2 如图，在长方体中，
为的中点，在上，且，
为的中点.求证：,, 三点共线.
证明：连接,,,, （图略）.
设，， ，则
，
，所以
，故，， 三点共线.
3.共面问题的常用结论:设,,三点不共线,①四点,,,共面 存
在有序实数对,使;②四点,,,共面 对空
间任意一点,都有,且 .
例3 如图所示,在平行六面体
中,已知,, 分别是
, ,上的点,且 ,
, ,求平面 截体
对角线所得的线段与 的长度的
比值.
解：设,由 ,得
,因为,,, 四点共面,所以
,解得,故 .
练习册
1.下列命题中是假命题的是( )
A.任意向量与它的相反向量不相等
B.和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C.如果，那么
D.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
√
[解析] 对于A，零向量的相反向量是它本身，故A是假命题；
对于B，空间向量不能比较大小，故B是真命题；
对于C，如果 ，那么 ，故C是真命题；
对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，故D是真命题.
故选A.
2.［2025·湖北华中师大一附中高二期中］在长方体
中， 运算的结果为( )
A. B. C. D.
[解析] 如图所示， .故选C.
√
3.若空间向量,不共线，且，则
( )
A.1 B.2 C.4 D.6
[解析] 空间向量,不共线，且 ，
解得 .故选D.
√
4.已知为空间中任意一点,若四边形 满足
,则四边形 一定是( )
A.空间四边形 B.平行四边形 C.梯形 D.矩形
[解析] 由已知可得，所以四边形 的一组对边平行且
不相等,所以四边形 一定是梯形,故选C.
√
5.［2025·湖南名校联考联合体高二联考］若，， 是空间一组不
共面的向量，则下列不共面的一组向量为( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
√
[解析] 对于A选项，，所以， ，
是共面向量；
对于B选项，，所以，
，是共面向量；
对于C选项， ，所以，，
是共面向量；
对于D选项，令，显然,无解，故，
， 不是共面向量.故选D.
第6题图
6.（多选题）［2025·安康高二期中］ 如图，
在四面体中，点，分别为棱，
的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
√
√
√
第6题图
[解析] 因为，分别为棱， 的中点，所
以由中位线的性质可知 ，故A正确；
假设，可得 ，
由题图可知, 不共线，矛盾，故B错误；
，故C正确；，故D正确.故选 .
第7题图
7.［2025·河南漯河高级中学高二月考］如图
所示，在三棱柱中，与
是______向量，与 是______向量.
（用“相等”“相反”填空）
相等
相反
[解析] 在三棱柱中，四边形 是平行四边形，则
，即与是相等向量；四边形 是平行四边形，
则，即与 是相反向量.
8.已知空间向量，， ，化简
_____________．
[解析] 原式
.
9.（13分）如图，在四面体中， 是棱
的中点，在棱上，且 .化简下列
各式，并在图中标出化简得到的向量：
（1） ；
解： ，如图①.
（2） ；
解：
，
如图②.
（3） .
解：因为是棱的中点， ，
所以， .
连接，，所以 ，如图③.
10.［2025·六安二中高二期中］如图，在平行
六面体中， ，
，，点在线段 上，且
，则 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 连接 ，在平行六面体
中，点在线段 上，且
，可得 ，
所以 .故选A.
11.［2025·无锡江阴六校高二期中］已知，， 是空间一组不共面
的向量，设， ，
，若，，共面，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 若，，共面，则存在唯一实数对, ，使得
，即 ，
所以，
因为，， 是空间一组不共面的向量，
所以 解得 故选D.
12.（多选题）已知为平面 外一点，则在下列条件中,不能使空
间中四点，,, 共面的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 为平面外一点，空间中四点，，， 共面的充要条
件是,其中 .
对于A,因为,所以A中条件不能使空间中四点，，
， 共面;
对于B,因为
，，共面;
对于C,因为 ，所以,易知,,
为共面向量,所以空间中四点 ，,,共面，所以C中条件能
使空间中四点，，， 共面;
对于D, 因为,所以 ,又
,所以D中条件不能使空间中四点，，，
共面.故选 .
13.如图，在正四棱锥中，过点 作一
个平面分别交棱，，于点，， ，
若，，则 __.
[解析] 设 ，则
因为,,,四点共面，所以，解得，故 .
，
14.（15分）如图所示，已知几何体
是平行六面体.
（1）化简（用表示），并点明，
的具体位置；
14.（15分）如图所示，已知几何体
是平行六面体.
（1）化简（用表示），并点明，
的具体位置；
14.（15分）如图所示，已知几何体
是平行六面体.
（1）化简（用表示），并点明，
的具体位置；
解：如图，取的中点，在 上取一点，
使得，连接 ，则
.（与 相等的向量都对）
（2）设是底面的中心， 是侧面
的对角线上一点，且 ，
设，试求 ， ，
的值.
解：如图，连接，则为 的中点，所以
.
，故， ，
15.［2025·福州闽侯一中高二月考］已知三棱锥 的体积为
6，是空间中一点， ，则三棱锥
的体积是___.
4
[解析] 因为 ，所以
，
不妨令 ，则，
又，故点 ,,,共面，如图，
故 .
16.（15分）如图，在正方体
中，在 上，且
，在体对角线 上，且
.设，， .
（1）用，，表示 ；
解： .
（2）求证：，， 三点共线.
证明：连接， ，
， ，
， ，
，
又由（1）知， ，又与有公共点，，， 三点共线.
快速核答案（导学案）
知识点一 1.大小 ，方向，长度，模，长度，， 2.零向量，模为1，相等，相反，，互相平行或重合，平行，
//，相同，相等，同向，等长 【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）× （4）×
知识点二 1.空间向量，平面向量 2.和，三角形，平行四边形，，，相反向量，三角形，,向量，数乘运算,,,相同,相反,,, 【诊断分析】 1.（1）√ （2）√ （3）√ 2.略
知识点三 1. 2.（1）非零向量,平行 （2）方向向量 3.（1）平行,重合 （2）平行于平面,在平面 内 （3）共面向量 4. 【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）√ （4）×
课中探究 例1.（1）CD （2）ABC 变式.②③ 例2.（1）ABD （2）. .变式.（1）A （2）A 例3.（1）D （2） 变式.共线，例4. 向量,,共面.（2）,,,四点共面,即点在平面内. 变式.证明略
快速核答案（练习册 ）
1.A 2.C 3.D 4.C 5.D 6.ACD 7.相等,相反 8.
9.（1）解：，图略.
（3），图略.
. .
（2），图略.
10.A 11.D 12.ABD 13.
14.（1）.（与相等的向量都对）
（2），，.
15.4 16.（1）解：. （2）证明略
