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高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.2 空间向量的数量积运算

1.1.2 空间向量的数量积运算（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

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名称 1.1.2 空间向量的数量积运算（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册
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文件大小 10.5MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版（2019）
科目 数学
更新时间 2025-09-08 22:46:11

文档简介

1.1.2　空间向量的数量积运算
【课前预习】
知识点一
1.夹角　
2.[0,π]　相同　相反　互相垂直
诊断分析
(1)×　 (2) ×　[解析] (1)<,>表示向量,的夹角,<,>表示向量,的夹角,它们之间的关系为<,>=π-<,>.
(2)若向量与的夹角为α,则直线AB与CD所成的角为α或π-α.
知识点二
1.|a||b|cos　|a||b|cos
2.(1)0　(2)|a|2　(3)
3.|a|cos
4.(1)λ(a·b)　(2)b·a　(3)a·c+b·c
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
[解析] (1)非零向量a,b垂直时也有a·b=0.
(2)向量的数量积运算不满足消去律.
(3)若a·b<0,则是钝角或=π.
(4)向量e1在向量e2上的投影向量为1×cos 120°×e2=-e2.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)·=·=||||·cos<,>=
cos 60°=.
(2)·=·=||2=.
(3)·=·=||·||cos<,>=cos 120°=-.
(4)·=·(-)=·-·=||||cos<,>-||||cos<,>=cos 60°-cos 60°=0.
变式　(1)AB　(2)-
[解析] (1)如图,对于A,·=·=×1×=1,A正确.对于B,·=·(+)=·+·=·(+)=+·=1,B正确.对于C,·=·(+)=·+·=-1,C错误.对于D,因为BA⊥侧面ADD1A1,A1D 侧面ADD1A1,所以BA⊥A1D,故·=0,D错误.故选AB.
(2)∵点D是△PAB的重心,∴=(+),又正四面体P-ABC的棱长为2,∴·=(+)·(-)=(·-·+·-)=×=-.
探究点二
例2　解:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,AB 平面ABC,AC 平面ABC,
则A1A⊥AB,A1A⊥AC,
故·=0,·=0.
由AC=AB=,BC=2,得AB2+AC2=BC2,
则AB⊥AC,故·=0,
又BC=2AE=2, 所以E为BC的中点,所以=(+).
由AC=AA1=,
得A1C==2.
因为·=(+)·(-)==1,所以cos<,>==,
又0°≤<,>≤180°,所以<,>=60°,
即向量与的夹角为60°.
变式　(1)A　(2)-
[解析] (1)如图,由题意知,=+=++=++,所以·=·=,设AB=2,则OC1=,OC=,所以异面直线OC与AB所成角的余弦值为==.
(2)如图,连接OB,OD,易知OB⊥AC,OD⊥AC,所以∠BOD=,不妨设正方形ABCD的边长为2,则OA=OB=OC=OD=,OE=OF=BC=1,=(+),=(+),所以·=(+)·(+)=(·+·+·+·)==-,所以cos∠EOF=cos<,>==-.
探究点三
例3　解:由AC⊥α,AB 平面α,得AC⊥AB.如图,过点D作DD'⊥α于点D',
连接BD',CD,则∠DBD'=30°,<,>=120°,
所以||2=·=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=b2+a2+b2+2b2cos 120°=a2+b2,
故CD=,即C,D间的距离为.
变式　(1)A　[解析] 如图,设=a,=b,=c,因为正四面体ABCD的棱长为1,所以a·b=|a|·|b|cos∠BAC=,同理可得a·c=b·c=.因为点M为CD的中点,点O为AM的中点,所以==(+)=(b+c),所以=-=-a+b+c,所以||==
=
.故选A.
(2)解:因为∠ACD=90°,所以·=0,同理,·=0.
因为AB与CD所成的角为60°,
所以<,>=60°或120°.
连接BD,因为=++,
所以||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=||2+||2+||2+2·=3+2×1×1×cos<,>.
若<,>=60°,则||2=4,此时||=2;
若<,>=120°,则||2=2,此时||=.
综上,B,D间的距离为2或.
探究点四
例4　证明:设=a,=b,=c,则=-=a-b.
因为底面ABCD是菱形,所以|a|=|b|.由∠C1CB=∠C1CD=∠BCD,知,,两两的夹角相等,设为θ,
则·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c|·|a|cos θ-|c|·|b|cos θ=0,
所以⊥,即CC1⊥BD.
变式　证明:设=a,=b,=c,则a·b=0,b·c=0,a·c=0,|a|=|b|=|c|.
∵=-=a-c,=(+)=(a+c),
∴·=(a-c)·b=a·b-c·b=0,·=(a-c)·(a+c)=(a2-c2)=0,∴PB⊥AD,PB⊥AF.
又AD∩AF=A,AD 平面ADEF,AF 平面ADEF,
∴PB⊥平面ADEF,又PB 平面PBC,
∴平面PBC⊥平面ADEF.1.1.2　空间向量的数量积运算
1.B　[解析] 当=π时,a·b<0,但不是钝角,即由“a·b<0”不能推出“为钝角”,又当为钝角时,a·b<0,所以“a·b<0”是“为钝角”的必要不充分条件.故选B.
2.B　[解析] ·=(++)·=·++·.因为AB⊥BD,CD⊥BD,所以·=0,·=0,所以·=0+12+0=1,故选B.
3.B　[解析] 由正方体的性质可得,⊥,⊥,故·=0,·=0,∵=a,=b,=c,∴a·(b+c)=·(+)=·+·=0.故选B.
4.D　[解析] 如图,连接BD,A'D,则=,∴<,>是∠DBA'的补角.∵A'D=A'B=BD,∴∠DBA'=60°,∴<,>=120°.故选D.
5.D　[解析] 如图,连接AQ.由已知得||=||=||=6,∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°,所以·=·=·=6×6×cos 60°=18.因为=-=(+)-=-++,所以||2==||2+||2+||2-·-·+·=16+9+9-12-12+9=19,所以||=.故选D.
6.BC　[解析] 如图.对于A,因为AA1⊥BC,所以·=0,故A错误;对于B,·=·(+)==a2,故B正确;对于C,·=·(++)==a2,故C正确;对于D,·=·=a2,故D错误.故选BC.
7.⊥　[解析] 由·=·,得·(-)=·=0,所以⊥.
8.　[解析] 连接OB,如图.∵在正三棱锥P-ABC中,O是△ABC的中心,∴PO⊥平面ABC,又OB 平面ABC,∴PO⊥BO,即·=0.∵PA=AC=2,AB=CB=AC=2,∴BO=·AB·
sin 60°=,PB=2,∴·=·(+)=||2+·=PB2-BO2=4-=.
9.解:(1)因为M为BD的中点,P为BB1的中点,=a,=b,=c,所以=+=+=-+(-)=--=(--)=(b-a-c).
(2)因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA1=4,且∠A1AD=∠A1AB=60°,所以|a|=|b|=2,|c|=4,a·b=0,a·c=b·c=2×4×=4,
所以||2=(b-a-c)2=(b2+a2+c2-2a·b-2b·c+2a·c)=×(4+4+16-0-8+8)=6,
所以||=,即线段PM的长度为.
10.A　[解析] 如图,设=c,=a,=b,则a·b=,b·c=,a·c=.∵=a+c,=+=b-a+c,∴·=(a+c)·(b-a+c)=a·b-a2+a·c+b·c-a·c+c2=a·b-a2+b·c+c2=-1++1=1,||===,||===,∴cos<,>===,∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.故选A.
11.ABD　[解析] 对于A,因为=+=+(+)=+(-+)=(++),故A正确;对于B,不妨设=a,=b,=c,则|a|=|b|=1,|c|=2,a·b=0,b·c=1,a·c=-1,由A可得,=(a+b+c),则||2=(a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c)=(1+1+4+0+2-2)=,则||=,故B正确;对于C,因为=b-a,所以·=(a+b+c)·(b-a)=(-1+1+1+1)=1≠0,故C错误;对于D,如图,取BC的中点E,连接AE,则=(+)=(a+b),因为AB=AC,E为BC的中点,所以AE⊥BC,因为·=(a+b)·c=(a·c+b·c)=(-1+1)=0,所以AE⊥BB1,又BC∩BB1=B,BC,BB1 平面B1BCC1,所以AE⊥平面B1BCC1,又AE 平面ABC,故平面ABC⊥平面B1BCC1,故D正确.故选ABD.
12.或　[解析] 由已知得·=1×2×cos 60°=1或·=1×2×cos(180°-60°)=-1.设AA'=d,因为·=0,·=0,而=++,所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·.当·=1时,可得1+d2+4+2=9,可得d=;当·=-1时,可得1+d2+4-2=9,可得d=.综上可知,公垂线段AA'的长为或.
13.　[解析] 如图,取AC的中点O,连接OB,OD,则AC⊥OB,AC⊥OD,因为OB∩OD=O且OB,OD 平面OBD,所以AC⊥平面OBD.设=a,=b,=c,且=θ,因为正方形ABCD的边长为2,所以|a|=|b|=|c|=且a⊥b,a⊥c.由=-=c-a,=-=-a-b,且·=,可得·=(c-a)·(-a-b)=2-2cos θ=,解得cos θ=,所以sin θ=,所以S△OBD=OB·
ODsin θ=×××=,所以三棱锥D-ABC的体积V=S△OBD·AC=××2=.
14.解:设=a,=b,=c,正四面体V-ABC的棱长为1,则|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=a·c=.
(1)证明:由题意知=(a+b+c),则=+=+=-a+(a+b+c)=(b+c-5a),
同理可得=(a+c-5b),=(a+b-5c),
所以·=(b+c-5a)·(a+c-5b)=×=0,所以⊥,即AO⊥BO.
同理可得AO⊥CO,BO⊥CO,所以AO,BO,CO两两垂直.
(2)=+=-(a+b+c)+c=(-2a-2b+c),所以||==.
又||==,·=(-2a-2b+c)·(b+c-5a)=(-2a·b-2a·c+10a2-2b2-2b·c+10a·b+b·c+c2-5a·c)=,
所以cos<,>==,故<,>=.
15.C　[解析] 对于A,S△ABO=||||sin∠AOB,而|×|=||||sin∠AOB,
故S△ABO=|×|,故A中结论正确;对于B,·=||||cos∠AOB,当∠AOB∈时,tan∠AOB有意义,则·tan∠AOB=||||sin∠AOB=|×|,故B中结论正确;对于C,因为||=||=2,·=2,所以cos∠AOB=,sin∠AOB=,所以|×|=2,故C中结论错误;对于D,×的模即为平行六面体的底面OACB的面积,且×的方向垂直于底面OACB,由数量积的几何意义可知,|·(×)|就是在垂直于底面OACB的方向上的投影向量的模(即为平行六面体的高)乘底面的面积,即为平行六面体的体积,故D中结论正确.故选C.
16.解:(1)连接AM,则=-=-(+)=λ(+)-[+λ(-)]=λ(a+c)-[b+λ(a-b)]=(λ-1)b+λc,
当λ=时,=-b+c,
所以||==
=,
又=+=a+c,
所以·=(c-b)·(a+c)=(a·c+c2-b·a-b·c)=×=,
又易知||=5,所以cos<,>===,故MN与AE夹角的余弦值为.
(2)假设存在λ使得MN⊥平面ABCD,
因为AB,AD 平面ABCD,
所以MN⊥AB,MN⊥AD,
则·=[(λ-1)b+λc]·a=(λ-1)b·a+λc·a=0,显然成立,
又·=[(λ-1)b+λc]·b=(λ-1)b2+λc·b=0,即9(λ-1)+=0,解得λ=,满足题意,
故存在λ=,使得MN⊥平面ABCD.1.1.2　空间向量的数量积运算
【学习目标】
　　1.结合立体几何与空间向量的特征,知道投影向量的概念.
　　2.类比平面向量,能进行空间向量的数量积运算.
　　3.类比平面向量并借助空间图形,知道空间向量的有关运算律,能运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题.
◆ 知识点一　空间向量的夹角
1.概念:如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫作向量a,b的　　　　,记作　　　　.
2.夹角的取值范围:a与b的夹角的取值范围是　　　　,其中当=0时,a与b方向　　　　;当=π时,a与b方向　　　;当=时,a与b　　　　.反之,若a∥b,则=0或π;若a⊥b,则=.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与的夹角等于向量与的夹角. (　 )
(2)若向量与的夹角为α,则直线AB与CD所成的角也为α. (　 )
◆ 知识点二　数量积的相关概念及性质
1.概念:已知两个非零向量a,b,则　　　　　　　　叫作a,b的数量积,记作a·b,即a·b=　　　　　　　　.
特别地,零向量与任意向量的数量积为0.
2.空间向量数量积的性质(a≠0,b≠0)
(1)a⊥b a·b=　　　　.
(2)a2=a·a=|a||a|cos=　　　　.
(3)cos=　　　　　　　　.
3.投影向量的概念
作法 图形表示 符号表示
向量a在向量b上的投影向量 将向量a,b(直线l)平移到同一个平面α内,利用平面上向量的投影,得到与向量b(直线l的方向向量)共线的向量c c= 　　　　　
向量a在直线l上的投影向量
向量a在平面β上的投影向量 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量
注:向量a,的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
4.空间向量数量积的运算律
(1)(λa)·b=　　　　,λ∈R.
(2)a·b=　　　　(交换律).
(3)(a+b)·c=　　　　(分配律).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于向量a,b,若a·b=0,则一定有a=0或b=0. (　 )
(2)对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c. (　 )
(3)若a·b<0,则是钝角. (　 )
(4)已知e1,e2是夹角为120°的两个单位向量,则向量e1在向量e2上的投影向量为-e2. (　 )
◆ 探究点一　空间向量的数量积运算
例1 如图所示,在棱长为1的正四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求:
(1)·;(2)·;(3)·;(4)·.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 (1)(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则 (　 )
A.·=1 B.·=1
C.·=1 D.·=1
(2)正四面体P-ABC的棱长为2,点D是△PAB的重心,则·= 　　　　.
[素养小结]
(1)空间向量数量积运算的两种方法:
①已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积公式计算.
②如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用a·a=|a|2及数量积公式进行计算.
(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤:
①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.
③代入a·b=|a||b|cos求解.
◆ 探究点二　利用向量的数量积解决夹角问题
例2 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E在棱BC上, AC=AB=AA1=,BC=2AE=2,求向量与的夹角.
变式 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1∩B1D1=O,则异面直线OC与AB所成角的余弦值为 (　 )
A. B.
C. D.
(2)[2025·成都石室中学高二月考] 把正方形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角,E,F分别是BC,AD的中点,O是AC的中点,则∠EOF的余弦值为　　　　 .
[素养小结]
(1)求两个空间向量的夹角的两种方法:
①结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹角的范围.
②先求a·b,再利用公式cos=求cos,最后确定.
(2)用向量法求两直线的夹角:
①取向量:在两直线上分别取方向向量a,b;
②运算:求cos=;
③结论:设两直线的夹角为θ,则cos θ=|cos|,进而得到θ.
◆ 探究点三　利用向量的数量积解决长度问题
例3 已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且与α所成的角是30°,如果AB=a,AC=BD=b,求C,D间的距离.
变式 (1)正四面体ABCD的棱长为1,点M为CD的中点,点O为AM的中点,则BO的长为 (　 )
A. B.
C. D.
(2)如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD所成的角为60°,求此时B,D间的距离.
[素养小结]
求两点间的距离或线段的长度的步骤:
(1)将两点间的连线(或此线段)用向量表示;
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;
(3)利用|a|=,计算出|a|,即得所求距离或长度.
◆ 探究点四　利用空间向量的数量积判断或证明垂直问题
例4 [2025·泰安二中高二月考] 如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.求证:CC1⊥BD.
变式 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,AP=AB,F,E分别是PB,PC的中点.证明:平面PBC⊥平面ADEF.1.1.2　空间向量的数量积运算
1.对于空间任意两个非零向量a,b,“a·b<0”是“为钝角”的 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.在三棱锥A-BCD中,若AB⊥BD,CD⊥BD,BD=1,则·= (　 )
A. B.1
C. D.0
3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,则a·(b+c)= (　 )
A.2 B.0 C.-1 D.-2
4.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,<,>=(　 )
A.30° 　　　B.60°
C.90° 　　　D.120°
5.[2025·湖北云学名校联盟高二联考] 在棱长为6的正四面体ABCD中,点P与Q满足=,且=2,则||的值为 (　 )
A. B.
C. D.
6.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,A1C∩AC1=O,则 (　 )
A.·=a2 B.·=a2
C.·=a2 D.·=a2
7.已知空间中不同的四点A,B,E,C,若·=·,则　　　 .(填“⊥”“∥”或“=”)
8.[2025·深圳实验学校高二月考] 在正三棱锥P-ABC中,O是△ABC的中心,PA=AC=2,则·=　　　　.
9.(13分)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA1=4,且∠A1AD=∠A1AB=60°,M为BD的中点,P为BB1的中点,设=a,=b,=c.
(1)用向量a,b,c表示向量;
(2)求线段PM的长度.
10.[2025·南通二中高二月考] 在棱长均为1的三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AB=∠A1AC=,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　 )
A. B. C. D.
11.(多选题)[2025·淄博六中高二月考] 如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=,
∠BAA1=,∠CAA1=,AB=AC=1,AA1=2,点O是B1C与BC1的交点,则下列结论正确的是 (　 )
A.=(++)
B.||=
C.AO⊥BC
D.平面ABC⊥平面B1BCC1
12.[2025·茂名高二期中] 如图,两条异面直线a,b所成的角为60°,在直线a,b上分别取点A',E和A,F,使AA'⊥a,且AA'⊥b.已知AF=2,A'E=1,EF=3,则公垂线段AA'的长为　　　　.
13.如图,将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠,使·=,则三棱锥D-ABC的体积为　　　　.
14.(15分)如图,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.
(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;
(2)求<,>的大小.
15.[2025·郴州高二期中] 已知一对不共线的向量a,b的夹角为θ,定义a×b为一个向量,其模为|a×b|=|a|·|b|sin θ,其方向同时与向量a,b垂直,如图①所示.在如图②所示的平行六面体OACB-O'A'C'B'中,下列结论错误的是 (　 )
A.S△ABO=|×|
B.当∠AOB∈时,|×|=·tan∠AOB
C.若||=||=2,·=2,则|×|=
D.平行六面体OACB-O'A'C'B'的体积V=|·(×)|
16.(15分)如图,在矩形ABCD和矩形ABEF中,AB=4,AD=AF=3,
∠DAF=,=λ,=λ,0<λ<1,记=a,=b,=c.
(1)当λ=时,求MN与AE夹角的余弦值.
(2)是否存在λ使得MN⊥平面ABCD 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
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