1.2 空间向量基本定理
【课前预习】
知识点一
1.两两垂直 xi,yj,zk
2.不共面 唯一 p=xa+yb+zc 基底
基向量 不共面
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)×
[解析] (1)空间中的任何一个向量都可以用其他三个不共面的向量表示.
(2)若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c不共面,所以a,b,c全不是零向量.
(3)由空间向量基本定理可知,只有不共面的三个向量才可以构成空间的一个基底,若向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则向量a,b与任何向量都共面,故a与b一定共线.
(4)空间的一个基底是由三个不共面的向量构成的.
知识点二
1.两两垂直 1 {i,j,k} 2.两两垂直
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C [解析] 对于选项A,由=x+y+z(x+y+z=1),得M,A,B,C四点共面,则,,共面,故,,不能构成空间的一个基底;对于选项B,D,易知,,一定共面,故,,不能构成空间的一个基底.故选C.
(2)解:假设,,共面,则存在实数λ,μ使得=λ+μ,即e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3.
∵{e1,e2,e3}是空间的一个基底,∴e1,e2,e3不共面,
∴此方程组无解,∴,,不共面,
∴,,能构成空间的一个基底.
变式 (1)B (2)AD [解析] (1)因为{,,}是空间的一个基底,所以非零向量,,不共面,即O,A,B,C四点不共面,所以A,C,D中说法正确,B中说法错误.故选B.
(2)对于A选项,假设a-b,b+c,c-a共面,则存在实数x,y,使a-b=x(b+c)+y(c-a),即(1+y)a-(1+x)b-(x+y)c=0,由{a,b,c}是空间的一个基底,得方程组无解,故假设错误,故a-b,b+c,c-a不共面,故A符合题意;对于B选项,由(a-c)-(b-c)=a-b可知,a-c,b-c,a-b共面,故B不符合题意;对于C选项,由-(b-a)-c=a-b-c可知,b-a,a-b-c,c共面,故C不符合题意;对于D选项,假设a,b-a,c-b共面,则存在实数m,n,使a=m(b-a)+n(c-b),即(1+m)a+(n-m)b-nc=0,由{a,b,c}是空间的一个基底,得方程组无解,故假设错误,故a,b-a,c-b不共面,故D符合题意.故选AD.
探究点二
例2 解:(1)如图,连接AC,AC',==(+)=(++)=a+b+c.
(2)连接AD',=(+)=(+2+)=a+b+c.
(3)=(+)=[(++)+(+)]=(+2+2)=a+b+c.
变式 解:(1)连接ON,则=+=+=+(-)=+=+×(+)=++.
(2)由题意得Q为MP的中点,∴=(+)=+=++,
又=x+y+z,
∴x=,y=,z=.
探究点三
例3 证明:(1)由题意得=-,且∠BAA1=∠CAA1,AB=AC,
所以·=(-)·=·-·=||·||·cos∠CAA1-||·||·cos∠BAA1=0,
所以⊥,即BC⊥AA1.
(2)由题意得=++=++=(+)++=++=+,所以,,共面,
又MN 平面ACC1A1,AA1∩AC=A,AA1 平面ACC1A1,AC 平面ACC1A1,所以MN∥平面ACC1A1.
变式 解:以{,,}为空间的一个基底,
则=+=+=--,=+=+=-+,=+=--,=+=-+,所以=,=,
则EF∥B1C,EG∥AC,
又EF 平面AB1C,B1C 平面AB1C,所以EF∥平面AB1C.
同理EG∥平面AB1C,又EF∩EG=E,EF,EG 平面EFG,
所以平面EFG∥平面AB1C.
例4 解:设=a,=b,=c,由题意得=+=a+b,=++=-a+b+c.
由∠A1AD=∠A1AB=120°,AA1=,AB=1,AD=1,可得a2=1,b2=1,c2=2,a·b=0,a·c=b·c=-,
所以=(a+b)2=a2+2a·b+b2=2,=(-a+b+c)2=a2+b2+c2+2b·c-2a·b-2a·c=4,
·=(a+b)·(-a+b+c)=-a2+a·c+b2+b·c=-,
所以cos<,>===-,
故异面直线AC与BD1所成角的余弦值为.
变式 解:记=a,=b,=c,这三个向量不共面,则{a,b,c}为空间的一个基底,且|a|=|b|=|c|=1,
===60°,
所以a·b=b·c=c·a=.
(1)证明:因为=-=-(+)=-a+b-c,=-=-a+c,
所以·=·(-a+c)=a2-a·b+a·c-a·c+b·c-c2=-×+×-×+×-=0,
所以⊥,即EF⊥BC.
(2)因为=(+)=a+c,所以||===
×=.
又因为=-=b-c,所以·=·(b-c)=a·b+c·b-a·c-c2=×+×-×-=-,
又因为||=1,所以cos<,>===-,故异面直线AE与CD所成角的余弦值为.1.2 空间向量基本定理
1.D [解析] 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=,所以=++=-++=-a+b+c,故选D.
2.D [解析] 对于①,若{a,b,c}是空间的一个基底,d与c共线且d≠0,则a,b,d不共面,故a,b,d可以构成空间的一个基底,①为真命题;对于②,若向量a∥b,则a,b与任何向量都共面,故a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,②为真命题;对于③,,,不能构成空间的一个基底,则,,必共面,故点A,B,M,N共面,③为真命题;对于④,若a,b,m共面,则 x,y∈R,使xa+yb=m,即xa+yb=a+c,即(x-1)a+yb=c,故a,b,c也共面,与题设矛盾,所以a,b,m不共面,故a,b,m可以构成空间的一个基底,④为真命题.综上,①②③④均为真命题.故选D.
3.A [解析] 由题意得d=xa+yb+zc=x(e1+e2+e3)+y(e1+e2-e3)+z(e1-e2+e3)=(x+y+z)e1+(x+y-z)e2+(x-y+z)e3,∵d=e1+2e2+3e3,∴解得故选A.
4.C [解析] 连接AM,因为=-=-=--(-)=--,所以x=-,y=-,z=,故xyz=.故选C.
5.A [解析] 设=i,=j,=k,则{i,j,k}为空间的一个正交基底.=++=i+j+(-j+k)=i+j+k,故||2=a2+a2+a2=a2,所以MN=a.故选A.
6.ACD [解析] 对于A,=+=++,可得x=1,故A选项正确;对于B,如图,连接A'E,=+=+=++,所以x=y=,故B选项错误;对于C,=+,则当x=1,y=0时,,,x+y共面,故C选项正确;对于D,连接C'D,因为AD=B'C',AD∥B'C',所以四边形ADC'B'为平行四边形,所以,,,都在平面ADC'B'内,所以对任意x,y,都有,,x+y共面,故D选项正确.故选ACD.
7.{c,a+b,a-b}(答案不唯一)
[解析] 不共面的三个向量均可构成空间的一个基底,如{c,a+b,a-b}.
8. [解析] 如图,连接AE.由F为BE的中点,得=+,又=++,所以=+.由=λ,得-=λ(-),即=λ+(1-λ),所以λ=.
9.解:(1)由M是BC'的中点,得=,则=+=+=+(+)=b+(+)=b+(-+)=b+(c-b+a)=a+b+c.
(2)因为N是B'C'的中点,所以=,则=++=b++=b+a+(-)=b+a+(-)=b+a+(c-b)=a+b+c.
10.B [解析] 设=λ,因为=+++=-λ-++=-λ-++=-++,所以x=-1,y=1,z=-λ.又因为x+y+z=-λ=,所以λ=.故选B.
11.ACD [解析] 由题意得,=+=+(-)=-a+b+c,故A正确.因为=++=a+b+c,a·b=2×2×cos=2,b·c=a·c=0,所以||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=4+4+4+4=16,所以AC1=4,故B错误.因为=+=+=a+c,所以·=·=-a2+a·b+a·c-a·c+b·c+c2=0,所以⊥,所以AN⊥BM,故C正确.取BC的中点H,连接DH,易知DH⊥平面BCC1B1,且DH=.由球的半径为,知球面与平面BCC1B1的交线是以H为圆心,=2为半径的圆,如图,在正方形BCC1B1内,以H为圆心,2为半径作圆弧,所得的圆弧PQ即为所求交线.由题意可知∠PHQ=,所以弧PQ的长为π,故D正确.故选ACD.
12. [解析] 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,=a,=b,=c,则a,b,c不共面且两两垂直,故{a,b,c}为空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0.因为M,N分别为棱A1A和B1B的中点,所以=++=a-b+c,=++=a+b-c,则||==,||==,·=-,所以cos<,>===-,故异面直线CM和D1N所成角的余弦值为.
13.4 [解析] 如图所示,设BC的中点为H,连接AH,AM,因为点G为△ABC的重心,所以点G在线段AH上.因为=+=+=+×(+)=+(+++)=++,所以=2=(++)=,所以=++,若M,D,E,F四点共面,则++=1,解得+=4.
14.解:(1)设=a,=b,=c,
则=++=+-=b+c-a,
所以||==
=
=
,即线段EF的长度为.
(2)·=a·=a·b+a·c-a2=0+3-=-,则|cos<,>|===,
故异面直线AD 与EF夹角的余弦值为.
15.或 [解析] 因为Ω={P|=λ+μ+η,0≤λ≤1,0≤μ≤2,0≤η≤3},所以Ω中所有的点构成的几何体的体积是直三棱柱ABC-A1B1C1体积的2×3×2=12(倍),则12×||×||sin<,>×||=3,又||=||=||=1,所以sin<,>=,因为<,>∈[0,π],所以<,>=或,所以与夹角的大小为或.
16.证明:设=a,=b,=c,
连接AG,则=-=(+)-=-a+b+c=(-a+b+c),
连接AF,则=-=-(+)=c-a-b=(-a-b+c),
∵EG=FH,∴||=||,
∴=,
则(-a+b+c)2=(-a-b+c)2,
∴a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c,∴4a·b=4b·c,则a·b-b·c=0,即b·(a-c)=0,
又b=,a-c=,∴·=0,∴⊥,∴AC⊥DB,同理可证AD⊥BC,AB⊥CD,得证.1.2 空间向量基本定理
【学习目标】
1.在平面向量基本定理的基础上,能借助投影进行向量分解,知道空间向量基本定理.
2.知道基底、单位正交基底,并能在选定基底下进行向量的表示及运算.
◆ 知识点一 空间向量基本定理
1.分向量
如果i,j,k是空间三个 的向量,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xi+yj+zk.称 分别为向量p在i,j,k上的分向量.
2.空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c ,那么对任意一个空间向量p,存在 的有序实数组(x,y,z),使得 .
我们把{a,b,c}叫作空间的一个 ,a,b,c都叫作 .空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中的任何一个向量都可以用三个给定的向量表示. ( )
(2)若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c全不是零向量. ( )
(3)若向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则a与b不一定共线. ( )
(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底. ( )
◆ 知识点二 空间向量正交分解
1.单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量 ,且长度都为 ,那么这个基底叫作单位正交基底,常用 表示.
2.空间向量的正交分解
把一个空间向量分解为三个 的向量,叫作把空间向量进行正交分解.
◆ 探究点一 空间向量的基底
例1 (1)已知M,A,B,C为空间的四个点,且任意三点不共线,O为空间中一点,下列可能使,,构成空间的一个基底的关系式是 ( )
A.=++
B.=+
C.=++
D.=3-
(2)已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断,,能否构成空间的一个基底.
变式 (1)已知空间四点O,A,B,C,若{,,}是空间的一个基底,则下列说法不正确的是 ( )
A.O,A,B,C四点不共线
B.O,A,B,C四点共面,但不共线
C.O,A,B,C四点不共面
D.O,A,B,C四点中任意三点不共线
(2)(多选题)若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列向量不共面的是 ( )
A.a-b,b+c,c-a B.a-c,b-c,a-b
C.b-a,a-b-c,c D.a,b-a,c-b
[素养小结]
基底的判断思路:判断给出的三个向量能否构成基底,关键是要判断这三个向量是否共面.首先应考虑三个向量中是否有零向量,其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断,那么可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程,若方程的解唯一,则三个向量共面;否则,三个向量不共面.
◆ 探究点二 用基底表示空间向量
例2 如图所示,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,=a,=b,=c,P是CA'的中点,M是CD'的中点,N是C'D'的中点,用基底{a,b,c}表示以下向量:
(1);(2);(3).
变式 如图所示,在四面体O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,P,Q是MN的两个三等分点(点P靠近点N,点Q靠近点M).
(1)用基底{,,}表示向量;
(2)若=x+y+z,求实数x,y,z的值.
[素养小结]
用基底表示向量的步骤:
(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
(3)下结论:利用空间的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.
◆ 探究点三 空间向量基本定理的应用
角度一 垂直平行关系的证明
例3 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2MA1,B1N=2NC1.用空间向量解决如下问题:
(1)若∠BAA1=∠CAA1,AB=AC,证明:BC⊥AA1;
(2)证明:MN∥平面ACC1A1.
变式 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点,请选择恰当的基底,证明:平面EFG∥平面AB1C.
角度二 求两直线的夹角
例4 [2025·佛山顺德区一中高二月考] 如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=.若∠A1AD=∠A1AB=120°,求异面直线AC与BD1所成角的余弦值.
变式 已知正四面体A-BCD的棱长为1,E,F分别是BC,AD的中点.
(1)证明:EF⊥BC;
(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值.
[素养小结]
用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤:首先根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底,如果存在三个两两垂直的空间向量,那么可以确定一个单位正交基底;然后根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底(或已知基底)表示目标向量;最后把空间向量的运算转化为基向量的运算.涉及异面直线所成的角时,可用已知向量代入公式cos θ=求解,其中a,b用基向量表示.1.2 空间向量基本定理
1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知=a,=b,=c,则用向量a,b,c可表示向量为 ( )
A.a+b+c B.a-b+c
C.a+b-c D.-a+b+c
2.给出下列命题:
①若{a,b,c}是空间的一个基底,d与c共线,d≠0,则a,b,d可以构成空间的一个基底;
②若向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底;
③A,B,M,N是空间四点,如果,,不能构成空间的一个基底,那么点A,B,M,N共面;
④已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则a,b,m可以构成空间的一个基底.
其中真命题的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,向量a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,若d=xa+yb+zc,则x,y,z的值分别为 ( )
A.,-1,- B.,1,
C.-,1,- D.,1,-
4.如图,在四面体ABCD中,点M是棱BC上的点,且BM=2MC,点N是棱AD的中点.若=x+y+z,其中x,y,z为实数,则xyz的值是 ( )
A.- B.-
C. D.
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点,若AB=a,则MN的长为 ( )
A.a B.a
C.a D.a
6.(多选题)[2025·杭州重点中学高二期中] 如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是上底面A'B'C'D'和侧面CDD'C'的中心,则下列结论正确的是 ( )
A.存在x,使得=x(++)
B.对任意x,y,都有=+x+y
C.存在x,y,使得,,x+y共面
D.对任意x,y,都有,,x+y共面
7.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以从向量a,b,c,a+b,a-b,a+c,a-c,b+c,b-c中选出三个向量构成空间的一个基底,请你写出一个不同于{a,b,c}的基底: .
8.在四面体ABCD中,点E满足=λ,F为BE的中点,且=++,则实数λ= .
9.(13分)如图所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,设=a,=b,=c,M是BC'的中点,N是B'C'的中点,用基底{a,b,c}表示以下各向量:
(1);(2).
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱BB1和DD1上,且DF=DD1.记=x+y+z,若x+y+z=,则= ( )
A. B. C. D.
11.(多选题)[2025·石家庄精英中学高二期中] 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=2,∠BAD=,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列说法正确的有 ( )
A.=-a+b+c
B.AC1=2
C.若=,则AN⊥BM
D.以D为球心,为半径的球与四边形BCC1B1的交线长为π
12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱A1A和B1B的中点,则异面直线CM和D1N所成角的余弦值为 .
13.[2025·成都树德中学高二期中] 已知三棱锥P-ABC,如图所示,G为△ABC的重心,点M,F分别为PG,PC的中点,点D,E分别在PA,PB上,=m,=n(mn≠0),若M,D,E,F四点共面,则+= .
14.(15分)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,CD的中点,且∠B1BC=∠B1BA=,∠CBA=,AB=BC=3,BB1=2.
(1)求线段EF的长度;
(2)求异面直线AD 与EF夹角的余弦值.
15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=1,Ω={P|=λ+μ+η,0≤λ≤1,0≤μ≤2,0≤η≤3},若Ω中所有的点构成的几何体的体积为3,则与夹角的大小为 .
16.(15分)如图,在四面体A-BCD中,E,F,G,H,K,M分别为棱AB,BC,CD,DA,BD,AC的中点,且EG=FH=KM,求证:AB⊥CD,AC⊥BD,AD⊥BC.(共72张PPT)
1.2 空间向量基本定理
探究点一 空间向量的基底
探究点二 用基底表示空间向量
探究点三 空间向量基本定理的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.在平面向量基本定理的基础上，能借助投影进行向量分解，知
道空间向量基本定理.
2.知道基底、单位正交基底，并能在选定基底下进行向量的表示
及运算.
知识点一 空间向量基本定理
1.分向量
如果，， 是空间三个__________的向量，那么对任意一个空间向
量，存在唯一的有序实数组，使得 .称
__________分别为向量在，， 上的分向量.
两两垂直
,,
2.空间向量基本定理
如果三个向量,,________,那么对任意一个空间向量 ,存在______
的有序实数组 ,使得_________________.
我们把{,,}叫作空间的一个______,,, 都叫作________.空间任
意三个________的向量都可以构成空间的一个基底.
不共面
唯一
基底
基向量
不共面
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）空间中的任何一个向量都可以用三个给定的向量表示.( )
×
[解析] 空间中的任何一个向量都可以用其他三个不共面的向量表示.
（2）若{,,}为空间的一个基底,则,, 全不是零向量.( )
√
[解析] 若,,为空间的一个基底，则,,不共面，所以,, 全不
是零向量.
（3）若向量,与任何向量都不能构成空间的一个基底,则与 不一
定共线.( )
[解析] 由空间向量基本定理可知,只有不共面的三个向量才可以构成
空间的一个基底,若向量, 与任何向量都不能构成空间的一个基底,
则向量,与任何向量都共面,故与 一定共线.
（4）任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.( )
[解析] 空间的一个基底是由三个不共面的向量构成的.
×
×
知识点二 空间向量正交分解
1.单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量__________，且长度都为___，
那么这个基底叫作单位正交基底，常用_______表示.
两两垂直
1
,,}
2.空间向量的正交分解
把一个空间向量分解为三个__________的向量,叫作把空间向量进行
正交分解.
两两垂直
探究点一 空间向量的基底
例1（1）已知,,,为空间的四个点，且任意三点不共线， 为空
间中一点，下列可能使,, 构成空间的一个基底的关系式是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于选项A,由 ，得
,,,四点共面,则,,共面，故，， 不能构成空
间的一个基底;
对于选项B,D,易知,,一定共面，故 ，， 不能构成
空间的一个基底.故选C.
（2）已知{，， 是空间的一个基底，且
，， ，
试判断，， 能否构成空间的一个基底．
解：假设，，共面，则存在实数 ， 使得
，即 .
,,}是空间的一个基底，，， 不共面，
此方程组无解，，， 不共面，
，， 能构成空间的一个基底．
变式（1）已知空间四点，，，，若，， }是空间的
一个基底，则下列说法不正确的是( )
A.，，， 四点不共线
B.，，， 四点共面，但不共线
C.，，， 四点不共面
D.，，， 四点中任意三点不共线
[解析] 因为，，}是空间的一个基底，所以非零向量 ，
，不共面，即，，， 四点不共面，所以A，C，D中说法
正确，B中说法错误.故选B.
√
（2）（多选题）若{,, }是空间的一个基底，则下列向量不共面的
是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
[解析] 对于A选项，假设,,共面，则存在实数, ，
使 ，即，
由{,, }是空间的一个基底，得方程组无解，
故假设错误，故,, 不共面，故A符合题意；
√
√
对于B选项，由 可知，,, 共面，
故B不符合题意；
对于C选项，由可知，,, 共面，
故C不符合题意；
对于D选项，假设,,共面，则存在实数, ，使
，即 ，
由{,,}是空间的一个基底，得 方程组无解，故假设错误，
故,,不共面，故D符合题意.故选 .
［素养小结］
基底的判断思路：判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判
断这三个向量是否共面.首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次
判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断，那么可假设
三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程，若方程的解唯
一，则三个向量共面；否则，三个向量不共面.
探究点二 用基底表示空间向量
例2 如图所示，在平行六面体
中，，，，是 的中
点，是的中点，是 的中点，用基底
{,， }表示以下向量：
（1） ；
解：如图，连接， ，
.
（2） ；
解：连接 ，
.
（3） .
解：
.
变式 如图所示，在四面体中，， 分
别是，的中点，，是 的两个三等分
点（点靠近点，点靠近点 ）．
（1）用基底，，}表示向量 ；
解：连接,则 .
（2）若，求实数，， 的值．
解：由题意得为 的中点，
，， .
，
又 ，
［素养小结］
用基底表示向量的步骤:
（1）定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个
基底.
（2）找目标:用确定的基底（或已知基底）表示目标向量,需要根据
三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进
行变形、化简,最后求出结果.
（3）下结论:利用空间的一个基底{,,}可以表示出空间所有向量.
表示要彻底,结果中只能含有,,,不能含有其他形式的向量.
探究点三 空间向量基本定理的应用
角度一 垂直平行关系的证明
例3 如图所示，在三棱柱 中，
，分别是， 上的点，且
, ．用空间向量解决如下问题：
（1）若, ，
证明： ;
证明：由题意得 ，且,
,所以
,
所以,即 .
（2）证明：平面 .
[证明] 由题意得
又 平面,， 平面，
平面，所以平面 .
,所以 ， 共面，
变式 如图，在平行六面体
中，点,, 分别是，，
的中点，请选择恰当的基底，
证明：平面平面 .
解：以,, }为空间的一个基底，
， ，
所以， ，则， ，
则 ，
，
又 平面, 平面 ,
所以平面 .
同理平面，又, , 平面 ，
所以平面平面 .
角度二 求两直线的夹角
例4 ［2025·佛山顺德区一中高二月考］如图，
平行六面体中，底面 是
边长为1的正方形， .若
，求异面直线与
所成角的余弦值.
解：设，， ，由题意得 ，
.
由 ， ，，，
可得, ，
所以 ，
，
，
所以, ，
故异面直线与所成角的余弦值为 .
变式 已知正四面体的棱长为1,,分别是, 的中点.
证明：记,,,这三个向量不共面,则{,, }为空间
的一个基底,且,,,, ,
所以 .
因为 ,
,
所以
,
所以,即 .
（1）证明: ;
（2）求异面直线与 所成角的余弦值.
解： 因为 ,
所以 .
又因为 ,所以
,
又因为,所以, ,
故异面直线与所成角的余弦值为 .
［素养小结］
用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤:首先根据已知条件,确
定三个不共面的向量构成空间的一个基底,如果存在三个两两垂直的
空间向量，那么可以确定一个单位正交基底；然后根据三角形法则
及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底
（或已知基底）表示目标向量；最后把空间向量的运算转化为基向
量的运算.涉及异面直线所成的角时，可用已知向量代入公式
求解，其中,用基向量表示.
1.空间向量基本定理的三个关注点
（1）空间向量的任意性:用空间三个不共面的向量,, 可以线性表
示空间中任意一个向量,而且表示的结果是唯一的.
（2）基底选取的任意性:空间中任意三个不共面的向量都可以作为
空间的一个基底.
（3）基底的顺序性:空间中任意一个向量在基向量上的分向量是唯
一确定的,即若基底为{,,, ,则在该基底下
与对应的有序实数组为 .
2.单位正交基底的特点
（1）位置:三个向量两两垂直且有公共起点 .
（2）模长:每个向量的模都等于1.
（3）记法:一般记作{,,,,, }等.
1.空间向量基本定理的应用：要用,, 表示所给的向量,需要结合图
形,充分运用空间向量的加、减法和数乘运算,再结合空间向量的基本
定理即可.
（1） ;
解:, .
例1 如图，在平行六面体 中，,,,
,,分别是, , 的中点，点在上，且 ,
用空间的一个基底{,, }表示下列向量:
（2） ;
解:连接, ，
, .
例1 如图，在平行六面体 中，,,,
,,分别是, , 的中点，点在上，且 ,
用空间的一个基底{,, }表示下列向量:
（3） ;
解: .
例1 如图，在平行六面体 中，,,,
,,分别是, , 的中点，点在上，且 ,
用空间的一个基底{,, }表示下列向量:
（4） .
解: .
例1 如图，在平行六面体 中，,,,
,,分别是, , 的中点，点在上，且 ,
用空间的一个基底{,, }表示下列向量:
2.利用向量解几何题的一般方法:把线段或角度转化为向量表达式,并
用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算去计算或证明.
例2 如图，在三棱柱 中，
, ，
，，， 分别是
， 的中点.
（1）求 的长；
所以
，
所以 .
解：由题可得 ，
因为是 的中点，所以 .
因为, ， ， ，
（2）求与 所成角的余弦值.
解：因为是 的中点，
， ，
所以 .
由题图可得 ，
由（1）可得 ，设与所成的角为 ，
则 ，
所以与所成角的余弦值为 .
练习册
1.如图，在平行六面体 中，
已知,,，则用向量 ,
,可表示向量 为( )
A. B.
C. D.
[解析] 在平行六面体中， ,所以
,故选D.
√
2.给出下列命题：
①若,,是空间的一个基底，与共线，，则,, 可以构
成空间的一个基底；
②若向量，则, 与任何向量都不能构成空间的一个基底；
③，，，是空间四点，如果，， 不能构成空间的一
个基底，那么点，，， 共面；
④已知{,,}是空间的一个基底，若，则,, 可以构成
空间的一个基底.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 对于①，若,,是空间的一个基底，与共线且 ，
则,,不共面，故,, 可以构成空间的一个基底，①为真命题；
对于②，若向量，则,与任何向量都共面，故， 与任何向量
都不能构成空间的一个基底，②为真命题；
对于③，，， 不能构成空间的一个基底，则，，必
共面，故点， ，，共面，③为真命题；
对于④，若,,共面，则, ，使，
即，即，故,, 也共面，与题设矛盾，
所以,,不共面，故,, 可以构成空间的一个基底，④为真命题.
综上，①②③④均为真命题.故选D.
3.已知，,是空间的一个基底，向量 ，
，， ，若
，则,， 的值分别为( )
A.，， B.，1， C.，1， D.，1，
[解析] 由题意得，，解得 故选A.
√
4.如图，在四面体中，点是棱 上的点，且，
点是棱 的中点.若，
其中,, 为实数，则 的值是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 连接 ，因为 ，
所以,,，故 .故选C.
5.如图，在正方体中，， 分别为，
的中点，若，则 的长为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设，，，则{,, }
为空间的一个正交基底.
，
故 ，所以 .故选A.
6.（多选题）［2025·杭州重点中学高二期中］ 如图，已知正方体
中,,分别是上底面和侧面 的中心，
则下列结论正确的是( )
A.存在，使得
B.对任意,，都有
C.存在,，使得,, 共面
D.对任意,，都有,, 共面
√
√
√
[解析] 对于A，，
可得 ，故A选项正确；
对于C，，则当,时，,, 共面，
故C选项正确；
对于D，连接,因为， ，所以四边形为
平行四边形，所以,, ,都在平面内，所以对任意, ，
都有,, 共面，故D选项正确.故选 .
对于B，如图，连接，所以 ，故B选项错误；
7.已知,,是空间的一个基底，则可以从向量,,,, ,
,,, 中选出三个向量构成空间的一个基底，请你
写出一个不同于,, 的基底：_____________________________.
,,（答案不唯一）
[解析] 不共面的三个向量均可构成空间的一个基底，如,, .
8.在四面体中，点满足，为 的中点，且
，则实数 __.
[解析] 如图，连接.由为 的中点，
得，又 ，
所以.由 ，
得，即，所以 .
9.（13分）如图所示,在三棱柱 中,
设,,,是的中点, 是
的中点,用基底,, 表示以下各向量：
（1） ；
解：由是的中点,得,则 .
（2） .
解：因为是的中点,所以,则 .
9.（13分）如图所示,在三棱柱 中,
设,,,是的中点, 是
的中点,用基底,, 表示以下各向量：
10.如图，在正方体中，， 分
别在棱和上，且 .记
，若 ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设 ，
因为，
所以， .
又因为 ，所以 .故选B.
11.（多选题）［2025·石家庄精英中学高二期中］ 如图，在直四棱柱
中，，，为 与
的交点.若，， ，则下列说法正确的有( )
A.
B.
C.若，则
D.以为球心，为半径的球与四边形 的交
线长为
√
√
√
[解析] 由题意得，
，故A正确.
因为 ，
所以
，所以，所以 ，故C正确
因为 ，，
，所以
，所以，故B错误.
取的中点，连接，易知 平面，
且. 由球的半径为 ，知球面与平面的
交线是以为圆心， 为半径的圆，如图，
在正方形内，以 为圆心，2为半径作圆弧，
所得的圆弧 即为所求交线.
由题意可知，所以弧的长为 ，故D正确.故选 .
12.如图，在正方体中，，分别为棱和
的中点，则异面直线和 所成角的余弦值为__.
[解析] 设正方体 的棱长为1,
，，，则,， 不共面
且两两垂直，故{,, }为空间的一个基底，
， .
因为，分别为棱和 的中点，
所以 ，
，
则 ，
， ，
所以， ，
故异面直线和所成角的余弦值为 .
13.［2025·成都树德中学高二期中］已知三棱锥
，如图所示，为的重心，点 ，
分别为，的中点，点，分别在，
上，，，若 ，
，，四点共面，则 ___.
4
[解析] 如图所示，设的中点为，连接 ,
，因为点为的重心，所以点 在线段上.
所以 ，
因为 ，
所以，
若，，， 四点共面，则，解得 .
14.（15分）如图，在平行六面体中，， 分别为
棱，的中点，且， ，
， .
（1）求线段 的长度；
解：设,, ,
则 ，
所以，即线段的长度为 .
（2）求异面直线与 夹角的余弦值.
故异面直线与夹角的余弦值为 .
解： ，
则, ，
15.在直三棱柱中， ，
,,, ，
若 中所有的点构成的几何体的体积为3，则与 夹角的大小为
______.
或
[解析] 因为,, ,
，所以 中所有的点构成的几何体的体积是直三棱柱
体积的 （倍），
则, ，
又，所以,，
因为 ,，所以,或，
所以与夹角的大小为 或 .
16.（15分）如图，在四面体中，，，，，， 分别
为棱，，，，，的中点，且 ，求
证：，， .
证明：设,, ，连接 ，
则 ，
连接 ，则 ，
， ，
，
则 ，
，,则,即 ，
又,,，, ，
同理可证, ，得证.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.两两垂直,,, 2.不共面,唯一,,基底,基向量,不共面
【诊断分析】（1）× （2）√ （3）× （4）×
知识点二 1.两两垂直,1,,,} 2.两两垂直
课中探究 例1.（1）C （2）能 变式.（1）B （2）AD
例2.（1）.（2）. （3）.
变式.（1）.（2），，.
例3. 证明略 变式.证明略
例4. . 变式.（1）证明略（2）
快速核答案（练习册）
1.D 2.D 3.A 4.C 5.A 6.ACD 7.,,（答案不唯一） 8.
9.（1）.（2）.
10.B 11.ACD 12. 13.4 14.（1） （2）.
15.或
16.证明略