1.3.1 空间直角坐标系 1.3.2 空间向量运算的坐标表示
【课前预习】
知识点一
1.坐标轴 原点 坐标向量 坐标平面
2.(1)135°(或45°) 90° (2)z轴的正方向
知识点二
1.xi+yj+zk A(x,y,z)
2.(x,y,z) a=(x,y,z)
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)×
[解析] (1)空间中的点和向量都可以用有序实数组(x,y,z)表示,(x,y,z)具有双重意义,它既可以表示向量,也可以表示点,在表述时要注意区分.
(2)点(2,0,3)在空间直角坐标系中的Ozx平面上.
(3)点(0,0,3)在空间直角坐标系中的z轴上.
(4)由=-i+j-k只能确定向量=(-1,1,-1),而向量的起点A的坐标未知,故终点B的坐标不确定.
知识点三
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3) a1b1+a2b2+a3b3
诊断分析
(1)√ (2)√ [解析] (1)因为向量a=(1,-1,-2),b=(-4,2,0),所以a+b=(-3,1,-2).
(2)∵a=(3,5,1),b=(2,2,3),c=(4,-1,-3),∴2a-3b+4c=2(3,5,1)-3(2,2,3)+4(4,-1,-3)=(16,0,-19).
知识点四
a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0
(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)√
[解析] (1)向量的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标.
(2)虽然b≠0,但当x2,y2,z2中有一个为0时,由a∥b无法得到==.
(3)若四边形ABCD是平行四边形,则=,故与的坐标相同.
(4)根据向量的数量积坐标运算法则,易知是正确的.
【课中探究】
探究点一
例1 解:设i,j,k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位坐标向量.
(1)连接OB,因为点B在Oxy平面内,且底面正方形的中心为O,边长为2,所以=i+j,所以向量的坐标为(1,1,0),即点B的坐标为(1,1,0),
同理可得点A的坐标为(1,-1,0),点C的坐标为(-1,1,0),点D的坐标为(-1,-1,0).
因为点P在z轴的正半轴上,正四棱锥P-ABCD的高为2,所以=2k,所以向量的坐标为(0,0,2),即点P的坐标为(0,0,2).
连接OF,因为F为侧棱PB的中点,所以=(+)=(i+j+2k)=i+j+k,所以向量的坐标为,即点F的坐标为,
同理可得点E的坐标为.
综上可知,A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,2),E,F.
(2)因为底面正方形ABCD的中心为O,边长为2,所以OA=,又因为点A在x轴的正半轴上,所以=i,即点A的坐标为(,0,0),同理可得点B的坐标为(0,,0),点C的坐标为(-,0,0),点D的坐标为(0,-,0).
因为点P在z轴的正半轴上,正四棱锥P-ABCD的高为2,所以=2k,所以向量的坐标为(0,0,2),即点P的坐标为(0,0,2).
连接OE,因为E为侧棱PA的中点,所以=(+)=(i+2k)=i+k,
所以向量的坐标为,即点E的坐标为,同理可得点F的坐标为.
综上可知,A(,0,0),B(0,,0),C(-,0,0),D(0,-,0),P(0,0,2),E,F.
变式 (1)ACD (2)A [解析] (1)由已知可得,若P(x,y,z)为正方体内或正方体表面上的一个点,则0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1.分析四个选项,A,C,D中点的坐标均符合上述条件,只有B中点的坐标不符合上述条件.故选ACD.
(2)棱长为的正四面体ABCD可以放到棱长为1的正方体中,且D,O两点的连线是正方体的体对角线,故点D的坐标为(1,1,1),故点D关于z轴的对称点的坐标为(-1,-1,1).故选A.
探究点二
例2 解:(1)因为OA=6,OC=8,OO'=5,
所以点B'的坐标为(6,8,5),从而=6i+8j+5k.
(2)因为C'在坐标平面Oyz内,OC=8,OO'=5,所以点C'的坐标为(0,8,5),所以=0i+8j+5k=(0,8,5).
变式 解:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
因为E,F分别是D1D,BD的中点,所以=,==+,所以=-=+-,
所以=.
因为CG=CD,所以=,
又因为H为C1G的中点,所以==(+)=+,所以=.
探究点三
例3 (1)B (2)2 [解析] (1)若a,b,c共面,则a=λb+μc,即(-2,1,m)=λ(1,-1,0)+μ(-1,2,n),可得所以故选B.
(2)由题意可得(a-b)·(a+2b)=(1,1,-3)·(7,4,3)=7+4-9=2.
变式 (1)AC [解析] 对于A,因为a=(1,2,2),b=(6,-3,2),所以a+b=(7,-1,4),故A正确;对于B,因为a=(1,2,2),b=(6,-3,2),所以a-b=(-5,5,0),故B错误;对于C,因为a=(1,2,2),b=(6,-3,2),所以a·b=1×6-2×3+2×2=4,故C正确;对于D,因为a=(1,2,2),所以|a|==3,故D错误.故选AC.
(2)解:根据题意可得D(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),A1(2,0,2),
又E,F分别为棱BB1,DC的中点,可得E(2,2,1),F(0,1,0),
可得=(0,1,0)-(2,2,1)=(-2,-1,-1),即=(-2,-1,-1);
=(0,1,0)-(2,2,2)=(-2,-1,-2),即=(-2,-1,-2);
=(2,2,1)-(2,0,2)=(0,2,-1),即=(0,2,-1).
所以=(-2,-1,-1),=(-2,-1,-2),=(0,2,-1).
探究点四
例4 解:(1)由题意得,p+q=(3,1+b,a+1),p-q=(-1,1-b,a-1),
∵(p+q)∥(p-q),
∴解得
(2)由题意得,p-2q=(-3,1-2b,a-2),p-r=(1-c,0,a),
∵|r|=且(p-2q)⊥(p-r),
∴可得
变式 (1)C [解析] 因为向量a=(x,1,0),b=(2,y,2),c=(1,-2,1),且a⊥b,b∥c,所以2x+y+2×0=0,=,解得y=-4,x=2,所以向量a=(2,1,0),b=(2,-4,2),所以a+b=(4,-3,2),所以|a+b|==,故选C.
(2)解:假设在线段A1C1上存在一个定点P,使得D1P总垂直于AE.如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
依题意可设AB=BC=a,AA1=b,EC=t,则D1(0,0,b),A(a,0,0),E(0,a,t),
设P(x,a-x,b),则=(x,a-x,0),=(-a,a,t).
由·=x×(-a)+(a-x)×a+0×t=0,得x=,即P,此时P为A1C1的中点,
∴在线段A1C1上存在一个定点P,使得D1P总垂直于AE.
探究点五
例5 解:(1)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,
以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),F(0,1,0),C(0,2,0),E(2,1,2),
所以=(2,-1,2),所以||==3,故CE=3.
(2)由(1)可得=(2,-1,2),=(-2,1,0),
所以cos<,>===-,所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为.
变式1 ∪
[解析] 由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×=3t-,因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0,即3t-<0,解得t<.若a与b的夹角为180°,则存在λ<0,使得a=λb,即(5,3,1)=λ,即解得综上可知,实数t的取值范围是∪.
变式2 解:(1)以点A为原点,AD,AA1,AB所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图,则F(1,4,0),G(0,2,4),所以=(-1,-2,4),
所以||==,
即线段FG的长度为.
(2)由题意可得C(2,0,2),E(2,2,0),
则=(-2,2,2),=(-1,2,0),
所以·=2+4+0=6.
拓展 D [解析] 因为OB,OC,OD两两垂直,所以将它们整体旋转一下,如图,以O为原点,OB,OC,OD所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设OB=OC=OD=1,可得B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,1),所以=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1).设点A(a,b,c),可得=(a,b,c),则||==t,由cos<,>===-,可得a=-t,由cos<,>===-,可得b=-t,所以c=-=-t,即=,所以cos<,>===-.故选D.1.3.1 空间直角坐标系
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
1.A [解析] 由点P与点A关于Oyz平面对称,可得P(-1,1,1),所以=(-3,2,1).故选A.
2.B [解析] 设B(x,y,z),因为A(1,-1,3),=(5,0,2),所以=(x,y,z)-(1,-1,3)=(x-1,y+1,z-3)=(5,0,2),解得x=6,y=-1,z=5,故B(6,-1,5).故选B.
3.B [解析] 因为A(3,2,6),B(5,4,0),所以根据中点坐标公式,得AB的中点D的坐标为(4,3,3).又C(0,7,1),所以根据空间两点间的距离公式,得CD==6.故选B.
4.D [解析] 因为a=2+-3=2--3,DA=1,DC=4,DD1=3,所以所求a的坐标为(-1,8,-9).故选D.
5.C [解析] 因为C,D(x,y,0),所以=,又∥,所以==,解得x=3,y=-1,故选C.
6.AC [解析] 对于A,由A(1,3,-5),B(-2,1,1),得=(-3,-2,6),故||==7,A正确;对于B,·=1×(-2)+3×1+(-5)×1=-4,B错误;对于C,当t=时,n=,得n·=-12-4+16=0,故n⊥,C正确;对于D,当k=-3时,m=(1,1,-3),≠=,故m与不平行,D错误.故选AC.
7.8 [解析] ∵点P(1,a,b)与点Q(c,-2,4)关于原点对称,∴a=2,b=-4,c=-1,则abc=2×(-4)×(-1)=8.
8.(4,3,-2) [解析] 设DA=a,DC=b,DD1=c,依题意可得A(a,0,0),C1(0,b,c),则=(-a,b,c,)=(-4,3,2),所以a=4,b=3,c=2,则点D1(0,0,2),B(4,3,0),所以=(4,3,-2).
9.解:(1)由已知得a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),
因为b∥c,所以==,解得y=-2,所以b=(1,-2,1),
又a⊥b,则a·b=x-2+1=0,解得x=1,所以x=1,y=-2.
(2)由(1)可知a=(1,1,1),b=(1,-2,1),则a+b=(2,-1,2),
所以|a+b|==3.
10.A [解析] 点P(1,y,2)(y∈R)的集合为横、竖坐标不变,而纵坐标变化的点的集合,由空间直角坐标的意义知,点P(1,y,2)(y∈R)的集合为垂直于Ozx平面的一条直线,故选A.
11.AC [解析] 空间四点O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,-1),C(3,2,1),则=(0,1,2),=(2,0,-1),所以||=,||=.对于A,·=-2,故A正确;对于B,cos<,>==-,所以sin∠AOB=,所以以OA,OB为邻边的平行四边形的面积S=||||sin∠AOB=,故B错误;对于C,因为=(2,0,-1),=(1,2,2),所以·=0,故⊥,所以点O到直线BC的距离d=||=,故C正确;对于D,假设OA,OB,OC共面,则存在实数λ和μ,使得=λ+μ,因为=(0,1,2),=(2,0,-1),=(3,2,1),所以方程组无解,则OA,OB,OC不共面,故D错误.故选AC.
12.(-2,4)∪(4,+∞) [解析] 由题意知=(2,1,1),=(λ,2,2),∵,的夹角为锐角,∴·=2λ+2+2>0,且≠,解得λ>-2且λ≠4,故λ的取值范围为(-2,4)∪(4,+∞).
13.(4,-2,-2) [解析] 由题得,=(5,-6,4),=(-2,1,1),所以·=-10-6+4=-12,||==,则在上的投影向量的坐标为||cos<,>·=||··=·=-2=(4,-2,-2).
14.解:(1)以C为原点,建立空间直角坐标系Cxyz,如图所示,
依题意得B(0,1,0),M(1,0,1),
故=(1,-1,1),所以||==,即线段BM的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),所以=(1,-1,2),=(0,1,2),所以·=3,||=,||=,所以cos<,>==.
(3)证明:依题意得C1(0,0,2),N,所以=,
又=(-1,1,-2),所以·=-++0=0,所以⊥,即A1B⊥C1N.
15. [解析] 设△ABC的中心为O,连接PO,则PO⊥平面ABC,延长PO至Q,使得PO=QO,连接NQ,MQ,则NP=NQ,∴NM+NP=NM+NQ≥MQ.∵三条侧棱PA,PB,PC两两垂直且相等,∴以P为原点,PA,PB,PC所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图.由PA=2,得P(0,0,0),M(0,0,1),AB=AC=BC=2,∴PO==,由对称性可设Q(a,a,a),则PQ==2×=,可得a=,故Q,∴QM==,∴NM+NP的最小值为.
16.解:由题意知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),C(0,2,0),所以=(-2,2,-2).
设E(0,a,2)(0≤a≤2),F(b,2,2)(0≤b≤2),则=(b,2-a,0),=(-2,a,2),=(b-2,0,2),
所以·=4-2(a+b),·=8-2b.
因为(+)⊥(-),所以(+)·(-)=-=0,即=,
又=(0,a,2),=(b,0,2),所以a2+4=b2+4,所以a=b.
若·=4-2(a+b)=0,则a=b=1,
故存在点E(0,1,2),F(1,2,2),使得·=0,此时·=8-2×1=6.1.3.1 空间直角坐标系
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
【学习目标】
1.在空间向量基本定理的基础上,知道空间直角坐标系的概念.
2.结合简单几何体,能写出有关点和向量的坐标.
3.类比平面向量,知道空间向量及其运算的坐标表示.
4.基于运算,能探究空间向量模的坐标公式、空间两点间的距离公式.
5.类比平面向量,知道空间向量平行、垂直、夹角的坐标表示.
◆ 知识点一 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
定义:如图,在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫作 .这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫作 ,i,j,k都叫作 ,通过每两条坐标轴的平面叫作 ,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.
2.空间直角坐标系的画法
(1)空间直角坐标系的画法:画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy= ,∠yOz= .
(2)右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向 ,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
◆ 知识点二 空间向量的坐标
1.空间中点的坐标
如图,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使= .在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫作点A在空间直角坐标系中的坐标,记作 ,其中x叫作点A的横坐标,y叫作点A的纵坐标,z叫作点A的竖坐标.
2.空间中向量的坐标
如图,在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组 叫作a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)(x,y,z)既可以表示向量,也可以表示点. ( )
(2)点(2,0,3)在空间直角坐标系中的y轴上. ( )
(3)点(0,0,3)在空间直角坐标系中的Oxy平面上. ( )
(4)已知i,j,k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量,且=-i+j-k,则点B的坐标一定是(-1,1,-1).( )
◆ 知识点三 空间向量运算的坐标表示
若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
加法 a+b=
减法 a-b=
数乘 λa= ,λ∈R
数量积 a·b=
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知向量a=(1,-1,-2),b=(-4,2,0),则a+b=(-3,1, -2). ( )
(2)已知向量a=(3,5,1),b=(2,2,3),c=(4,-1,-3),则向量2a-3b+4c的坐标为(16,0,-19). ( )
◆ 知识点四 空间向量运算的坐标表示的应用
若a≠0,b≠0,a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
共线 a∥b (λ∈R)
垂直 a⊥b
向量长度 |a|= =
向量夹角公式 cos
= =
空间两点间 的距离公式 设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,O为原点,则=-= ,P1P2=| |=
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在空间直角坐标系中,向量的坐标与终点B的坐标相同. ( )
(2)设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)且b≠0,若a∥b,则==. ( )
(3)若四边形ABCD是平行四边形,则与的坐标相同. ( )
(4)已知非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),若a⊥b,则x1x2+y1y2+z1z2=0. ( )
◆ 探究点一 求空间点的坐标
例1 已知在正四棱锥P-ABCD中,O为底面中心,底面边长和高都是2,E,F分别是侧棱PA,PB的中点.
(1)如图①,以O为坐标原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,写出点A,B,C,D,P,E,F的坐标;
(2)如图②,以O为坐标原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,写出点A,B,C,D,P,E,F的坐标.
变式 (1)(多选题)在棱长为1的正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,则下列各点在正方体内或正方体表面上的是 ( )
A.(1,0,1)
B.
C.
D.
(2)如图,棱长为的正四面体A-BCD的三个顶点A,B,C分别在空间直角坐标系的x,y,z轴的正半轴上,则顶点D关于z轴的对称点的坐标为 ( )
A.(-1,-1,1) B.(-,-,)
C.(1,1,-1) D.(2,2,-2)
[素养小结]
(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则:①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内;②充分利用几何图形的对称性.
(2)求某点M的坐标的方法:作MM'垂直于平面Oxy,垂足为M',求M'的横坐标x,纵坐标y,即点M的横坐标x,纵坐标y,再求点M在z轴上射影的竖坐标z,即为点M的竖坐标z,于是得到点M的坐标(x,y,z).
(3)在空间直角坐标系中,点P(x,y,z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标满足“关于谁谁不变,其余的相反”的原则.如关于x轴的对称点,横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于Oxy平面的对称点,横坐标、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数.
◆ 探究点二 空间向量的坐标
例2 如图,在空间直角坐标系Oxyz中有一长方体OABC-O'A'B'C',且OA=6,OC=8,OO'=5.
(1)写出点B'的坐标,并将用单位正交基底{i,j,k}表示;
(2)求的坐标.
变式 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点.建立适当的空间直角坐标系,写出和的坐标.
[素养小结]
用坐标表示空间向量的步骤:
◆ 探究点三 空间向量的坐标运算
例3 (1)[2025·清远高二期中] 已知空间向量a=(-2,1,m),b=(1,-1,0),c=(-1,2,n),若a,b,c共面,则m+n= ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
(2)已知a=(3,2,-1),b=(2,1,2),则(a-b)·(a+2b)= .
变式 (1)(多选题)已知向量a=(1,2,2),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是 ( )
A.a+b=(7,-1,4)
B.a-b=(-5,-1,0)
C.a·b=4
D.|a|=
(2)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,写出向量,,的坐标.
◆ 探究点四 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
例4 [2025·衡水高二期中] 已知p=(1,1,a)(a>0),q=(2,b,1),r=(c,1,0)(c>0).
(1)若(p+q)∥(p-q),求a,b的值;
(2)若|r|=且(p-2q)⊥(p-r),求a,c的值.
变式 (1)设x,y∈R,向量a=(x,1,0),b=(2,y,2),c=(1,-2,1),且a⊥b,b∥c,则|a+b|= ( )
A. B.
C. D.2
(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,E是侧棱CC1上的任意一点,在线段A1C1上是否存在一个定点P,使得D1P总垂直于AE 请说明理由.
[素养小结]
利用空间向量证明垂直、平行的一般步骤:
(1)建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系.
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素.
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量,再研究平行、垂直关系.
(4)根据运算结果解释相关问题.
◆ 探究点五 利用空间向量的坐标运算求夹角及长度
例5 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1B1,CD的中点.
(1)求CE的长;
(2)求异面直线CE与AF所成角的余弦值.
变式1 已知向量a=(5,3,1),b=,若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围是 .
变式2 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AB⊥AD,AA1=AB=2AD=2CD=4,E,F,G分别为棱DD1,A1D1,BB1的中点.
(1)求线段FG的长度;
(2)求·.
拓展 [2025·阜阳高二期中] 斗拱是中国建筑上特有的构件,是较大建筑物的柱与屋顶之间的过渡部分,用于支撑上部突出的屋檐,如图①,其简化结构如图②,其中OB,OC,OD是两两互相垂直的线段,OA为斗拱,满足OB=OC=OD,且∠AOB,∠AOC和∠AOD都为钝角.若cos<,>=-,cos<,>=-,则cos<,>= ( )
A.- B.-
C.- D.-1.3.1 空间直角坐标系
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
1.在空间直角坐标系Oxyz中,已知点A(1,1,1),B(2,-1,0),若点P与点A关于Oyz平面对称,则= ( )
A.(-3,2,1) B.(-1,0,1)
C.(-1,0,-1) D.(3,-2,-1)
2.[2025·广东普宁二中高二月考] 在空间直角坐标系中,若A(1,-1,3),=(5,0,2),则点B的坐标为 ( )
A.(-4,-1,1) B.(6,-1,5)
C.(4,1,-1) D.(6,-1,-1)
3.在△ABC中,已知A(3,2,6),B(5,4,0),C(0,7,1),则AB边上的中线长为 ( )
A. B.6
C.4 D.7
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量a=2+-3.若分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则a的坐标为 ( )
A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3)
C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)
5.已知=(2,-3,2),C,D(x,y,0),且∥,则x,y的值分别为 ( )
A.3,1 B.4,-
C.3,-1 D.1,1
6.(多选题)[2025·湖北部分名校高二期中] 在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,3,-5),B(-2,1,1),下列结论正确的是 ( )
A.||=7
B.·=4
C.若n=(4,2,t),则当t=时,n⊥
D.若m=(1,1,k),则当k=-3时,m∥
7.在空间直角坐标系中,点P(1,a,b)与点Q(c,-2,4)关于原点对称,则abc= .
8.[2025·山东名校考试联盟高二期中] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以点D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,若向量的坐标为(-4,3,2),则向量的坐标为 .
9.(13分)[2025·黄石六中高二月考] 已知a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),x,y∈R,且a⊥b,b∥c.
(1)求x,y的值;
(2)求|a+b|.
10.设y∈R,则点P(1,y,2)的集合为 ( )
A.垂直于Ozx平面的一条直线
B.平行于Ozx平面的一条直线
C.垂直于y轴的一个平面
D.平行于y轴的一个平面
11.(多选题)已知空间四点O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,-1),C(3,2,1),则下列说法正确的是 ( )
A.·=-2
B.以OA,OB为邻边的平行四边形的面积为
C.点O到直线BC的距离为
D.O,A,B,C四点共面
12.已知点A(1,2,1),B(3,3,2),C(λ+1,4,3),若,的夹角为锐角,则λ的取值范围为 .
13.[2025·山东百师联盟高二期中] 在空间直角坐标系中,点A(-1,1,3),点B(4,-5,7),点C(1,0,2),则在上的投影向量的坐标为 .
14.(15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别是A1A,A1B1的中点.
(1)求线段BM的长;
(2)求cos<,>的值;
(3)求证:A1B⊥C1N.
15.如图,正三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直且相等,PA=2,M为PC的中点,N为平面ABC内一动点,则NM+NP的最小值为 .
16. (15分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点,建立空间直角坐标系Dxyz.已知点D1的坐标为(0,0,2),E为棱D1C1上的动点,F为棱B1C1上的动点,且(+)⊥(-),是否存在点E,F,使得·=0 若存在,求出·的值;若不存在,请说明理由.(共93张PPT)
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
探究点一 求空间点的坐标
探究点二 空间向量的坐标
探究点三 空间向量的坐标运算
探究点四 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
探究点五 利用空间向量的坐标运算求夹角及长度
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.在空间向量基本定理的基础上，知道空间直角坐标系的概念.
2.结合简单几何体，能写出有关点和向量的坐标.
3.类比平面向量,知道空间向量及其运算的坐标表示.
4.基于运算,能探究空间向量模的坐标公式、空间两点间的距离公式.
5.类比平面向量,知道空间向量平行、垂直、夹角的坐标表示.
知识点一 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系定义：如图，在空间选定一
点和一个单位正交基底｛，,｝.以点 为
原点，分别以,, 的方向为正方向、以它们的
长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、 轴，
它们都叫作________.这时我们就建立了一个
坐标轴
原点
坐标向量
坐标平面
空间直角坐标系，叫作______，,, 都叫作__________，通
过每两条坐标轴的平面叫作__________，分别称为平面， 平
面， 平面.
2.空间直角坐标系的画法
（1）空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系 时，一般使
____________， ____.
或
（2）右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴
的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向_____________，
则称这个坐标系为右手直角坐标系.
轴的正方向
知识点二 空间向量的坐标
1.空间中点的坐标如图,由空间向量基本定理,
存在唯一的有序实数组,使 ______
_______.在单位正交基底{,,}下与向量 对
应的有序实数组,叫作点 在空间直角
坐标系中的坐标,记作_________,其中 叫作点
的横坐标,叫作点的纵坐标,叫作点 的竖坐标.
2.空间中向量的坐标如图,在空间直角坐标系
中,给定向量,作 .由空间向量基
本定理,存在唯一的有序实数组 ,使
.有序实数组________叫作
在空间直角坐标系 中的坐标,可简记作
____________.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） 既可以表示向量,也可以表示点.( )
√
[解析] 空间中的点和向量都可以用有序实数组表示,
具有双重意义,它既可以表示向量,也可以表示点,在表述时要注意区分.
（2）点在空间直角坐标系中的 轴上.( )
×
[解析] 点在空间直角坐标系中的 平面上.
（3）点在空间直角坐标系中的 平面上.( )
[解析] 点在空间直角坐标系中的 轴上.
（4）已知，，分别是空间直角坐标系中轴、轴、 轴的
正方向上的单位向量，且，则点 的坐标一定是
.( )
[解析] 由只能确定向量 ，而向量
的起点的坐标未知，故终点 的坐标不确定.
×
×
知识点三 空间向量运算的坐标表示
若, ,则
加法
减法
数乘
数量积
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知向量,,则 .
( )
√
[解析] 因为向量, ,
所以 .
（2）已知向量,, ,则向量
的坐标为 .( )
√
[解析] ,, ,
.
知识点四 空间向量运算的坐标表示的应用
若，，, ,则
共线
垂直
向量长 度
向量夹 角公式
,,
空间两 点间的 距离公 式
续表
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在空间直角坐标系中,向量的坐标与终点 的坐标相同.( )
×
[解析] 向量的坐标等于终点的坐标减去起点 的坐标.
（2）设,且,若,则 .
( )
[解析] 虽然,但当,,中有一个为0时,由 无法得到
.
×
（3）若四边形是平行四边形,则与 的坐标相同.( )
[解析] 若四边形是平行四边形，则，故与 的坐
标相同.
（4）已知非零向量，，若 ，则
.( )
[解析] 根据向量的数量积坐标运算法则，易知是正确的.
√
√
探究点一 求空间点的坐标
例1 已知在正四棱锥中， 为底面中心，底面边长和高都
是2，，分别是侧棱， 的中点．
（1）如图①，以为坐标原点，分别以，，
的方向为轴、轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标
系，写出点,,,,,, 的坐标；
解：设，，分别是与轴、轴、 轴的正方向方向
相同的单位坐标向量．
连接，因为点在平面内，且底面正方形的
中心为 ，边长为2，所以，所以向量的坐标为，
即点 的坐标为 ，
同理可得点的坐标为，点 的坐标为，
点的坐标为 ．
因为点在轴的正半轴上，正四棱锥 的高为2，所以，
所以向量的坐标为 ，即点的坐标为 ．
连接，因为为侧棱 的中点，所以
，所
以向量的坐标为，即点的坐标为 ，
同理可得点的坐标为 .
综上可知，，， ，
，，， .
（2）如图②，以为坐标原点，分别以，，
的方向为轴、轴、 轴的正方向，建立空间直角坐
标系，写出点,,,,,, 的坐标.
解： 因为底面正方形的中心为，边长为2，所以 ，
又因为点在轴的正半轴上，所以，即点 的坐标为，
同理可得点的坐标为，点的坐标为 ，
点的坐标为 .
因为点在轴的正半轴上，正四棱锥 的高为2，所以，
所以向量的坐标为 ，即点的坐标为 .
连接，因为为侧棱 的中点，
所以 ，
所以向量的坐标为，即点 的坐标为 ，
同理可得点的坐标为 .
综上可知，，， ，
，，， .
变式（1）（多选题）在棱长为1的正方体中,建立
如图所示的空间直角坐标系,则下列各点在正方体
内或正方体表面上的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由已知可得,若 为正方体内或正方体表面上的一个点,
则,, .分析四个选项,A,C,D中点的坐标均
符合上述条件,只有B中点的坐标不符合上述条件.故选 .
√
√
√
（2）如图,棱长为的正四面体 的三个顶
点,,分别在空间直角坐标系的,, 轴的正半轴上,
则顶点关于 轴的对称点的坐标为( )
A. B.
C. D.
[解析] 棱长为的正四面体 可以放到棱长为1的正方体中,且
, 两点的连线是正方体的体对角线,故点的坐标为,故点
关于轴的对称点的坐标为 .故选A.
√
［素养小结］
（1）建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则:①让尽可能多的点
落在坐标轴上或坐标平面内;②充分利用几何图形的对称性.
（2）求某点的坐标的方法:作垂直于平面,垂足为,求
的横坐标,纵坐标,即点的横坐标,纵坐标,再求点在轴上射影
的竖坐标,即为点的竖坐标,于是得到点的坐标.
（3）在空间直角坐标系中,点关于坐标轴和坐标平面的对称
点的坐标满足“关于谁谁不变,其余的相反”的原则.如关于轴的对称
点,横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于平面的对
称点,横坐标、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数.
探究点二 空间向量的坐标
例2 如图，在空间直角坐标系 中有一
长方体，且 ，
， .
（1）写出点的坐标，并将 用单位正
交基底{,, }表示；
解：因为，， ，所以点的坐标为，
从而 .
（2）求 的坐标.
解：因为在坐标平面内，，，
所以点 的坐标为，
所以 .
变式 如图，在棱长为1的正方体中,, 分别是
,的中点,在棱上,且,为 的中点.建立适当的
空间直角坐标系,写出和 的坐标.
解：以为原点,,,所在直线分别为轴、 轴、
轴,建立如图所示的空间直角坐标系 .
因为,分别是,的中点,所以 ,
,所以 ,
所以 .
因为,所以 ，
又因为为 的中点,所以
,
所以 .
［素养小结］
用坐标表示空间向量的步骤：
探究点三 空间向量的坐标运算
例3（1）［2025·清远高二期中］已知空间向量 ,
,，若，，共面，则 ( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 若，，共面，则 ，
即，可得
所以 故选B.
√
（2）已知,，则 ___.
2
[解析] 由题意可得
.
变式（1）（多选题）已知向量， ，则下列
结论正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，因为， ，
所以，故A正确；
对于B，因为 ，，所以 ，故B错误；
对于C，因为，，
所以 ，故C正确；
对于D，因为，所以 ，故D错误．故选 .
√
√
（2）已知正方体的棱长为2，， 分别为棱
，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，写出向量 ，
， 的坐标.
解：根据题意可得,, ,
, ，
又，分别为棱， 的中点，可得, ，
可得 ，即 ；
，即 ；
，即 .
所以，， .
探究点四 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
例4 ［2025·衡水高二期中］已知, ,
.
（1）若，求， 的值；
解：由题意得，, ，
，
解得
（2）若且，求， 的值.
解：由题意得，, ，
且 ，
可得
变式（1）设,，向量，， ，
且，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为向量，， ，且
，，所以，，解得, ，
所以向量，，所以 ，所以
，故选C.
√
（2）如图，在长方体 中，
，是侧棱上的任意一点，在线段 上
是否存在一个定点，使得总垂直于 ？请说明
理由.
解：假设在线段上存在一个定点，使得 总垂
直于.如图，以为原点，分别以，， 所在
直线为轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系.
依题意可设,,,则 ,
, ，
设,则, .
由，
得 ，即，此时为 的中点，
在线段上存在一个定点，使得总垂直于 .
［素养小结］
利用空间向量证明垂直、平行的一般步骤:
（1）建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系.
（2）建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中
所涉及的点、直线、平面的要素.
（3）通过空间向量的运算求出直线的方向向量,再研究平行、垂直关系.
（4）根据运算结果解释相关问题.
探究点五 利用空间向量的坐标运算求夹角及长度
例5 如图，在棱长为2的正方体
中，，分别为， 的中点．
（1）求 的长；
解：在棱长为2的正方体 中，
以为原点，,,所在直线分别为 ，
轴建立如图所示的空间直角坐标系,则
,, ,
所以 ，所以，故 .
（2）求异面直线与 所成角的余弦值.
解：由（1）可得, ，
所以 , ，
所以异面直线与所成角的余弦值为 ．
变式1 已知向量，，若与 的夹角为钝角，
则实数 的取值范围是___________________．
[解析] 由已知得，
因为与的夹角为钝角，所以，即，解得.
若的夹角为 ，则存在，使得 ，即
，即解得综上可知，实数
的取值范围是 .
变式2 如图，在直四棱柱中， ，
，，，，分别为棱 ，
， 的中点.
（1）求线段 的长度；
解：以点为原点，，， 所在直线分别为
，， 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则, ，所以 ，
所以 ，
即线段的长度为 .
（2）求 .
解：由题意可得, ，
则, ，
所以 .
拓展 ［2025·阜阳高二期中］ 斗拱是中国建筑上
特有的构件，是较大建筑物的柱与屋顶之间的过渡
A. B. C. D.
部分，用于支撑上部突出的屋檐，如图①，其简化结构如图②，其
中,,是两两互相垂直的线段， 为斗拱，满足
，且, 和都为钝角.若 , ，
,，则, ( )
√
[解析] 因为,, 两两垂直，所以将它们整体旋转
一下，如图，以为原点，,, 所在的直线分别为
,, 轴，建立空间直角坐标系，
设，可得,, ，
所以,,.
设点 ，可得，则，
由 ,，可得，
由，可得 ，
所以 ，
即 ，
所以, .故选D.
1.对空间直角坐标系的理解
（1）在空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向,食指指向
轴的正方向,如果中指指向 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角
坐标系.
（2）在数轴上确定一个点的位置只需一个实数,在平面直角坐标系中
需一对有序实数来确定一个点的位置,在空间直角坐标系中则需要三
个实数组成的有序实数组 才能确定一个点的位置.
（3）确定空间某个点的坐标除了利用点到坐标平面的距离外,还可用
几何图形的特点.比如中点坐标:在空间直角坐标系中,已知点
和,则的中点 的坐标为
.
（4）若四边形是平行四边形，则向量与 的坐标相同.
2.坐标平面与坐标轴上的点的坐标特征
（1）坐标平面上的点的坐标特征: 平面上的点的竖坐标为0,即坐
标为;平面上的点的横坐标为0,即坐标为; 平面
上的点的纵坐标为0,即坐标为 .
（2）坐标轴上的点的坐标特征: 轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0,
即坐标为; 轴上的点的横坐标、竖坐标都为0,即坐标为
;轴上的点的横坐标、纵坐标都为0,即坐标为 .
3.空间向量的坐标运算
（1）空间向量的坐标:一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向
线段的终点坐标减去起点坐标.注意:向量的坐标与点的坐标表示方法
不同,如向量,点 .
（2）类比平面向量的坐标运算学习空间向量的坐标运算:空间向量
的加法、减法、数乘和数量积运算公式与平面向量的类似,学习中可
以类比推广.推广时注意向量坐标表示的元素个数不同,向量在平面上
用二元有序实数对表示,如 ,而在空间中,向量用三元有序实
数组表示，如 .
4.空间向量数量积及其性质的坐标表示
（1）两个空间向量平行、垂直与两个平面向量平行、垂直的表达式
实质上是一致的.判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的
方向向量是否平行或垂直即可.
（2）空间两条直线夹角的取值范围与向量夹角的取值范围不同,当两
直线方向向量的夹角为钝角时,两直线的夹角是与此钝角互补的锐角.
1.（1）空间直角坐标系中点的坐标的确定方法:垂面法与垂线法.遇
到中点可直接用公式.
（2）求关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标可按“关于谁对称谁
不变,其余的符号均相反”的规律写出.如关于 轴对称的点,其横坐标
不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于 平面对称的点,其横
坐标、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数.特别地,若关于原点对称,
则横坐标、纵坐标、竖坐标均变为原来的相反数.
例1 在长方体 中,
,,点是的中点,点 是
的中点.建立如图所示的空间直角坐标系，写
出点,, 的坐标.
解：因为是原点,所以 .
由, ,得,,, .
因为是的中点,所以 .同理可得 .
例2 （多选题）［2025·河南许平汝名校高二月
考］ 如图，已知直三棱柱 中，
，，是棱 的中
点，建立空间直角坐标系，点 关于坐标平
面的对称点为 ，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 由题意知， ，
，，点 关于坐标平面
的对称点为 ，所以A，B，D正确，
C错误.故选 .
2.空间向量坐标的求解
根据题设条件，建立适当的坐标系，然后进行向量的运算，再写出
向量的坐标.
例3 在直三棱柱中,, ,
,,为 的中点,在如图所示的空间直
角坐标系中,求, 的坐标.
连接 ,
所以 .
解：设,,为空间的一个单位正交基底,则 ,
, .
连接,所以 .
3.求解向量运算的坐标表示问题通常利用坐标运算的公式即可.
例4 已知是原点,且,,三点的坐标分别是, ,
,求适合下列条件的点 的坐标:
（1） ;
解：由题意知,, .
,则点 的坐标为 .
（2） .
解： 设,则 .
因为 ,
所以解得 则点的坐标为 .
4.注意区别向量平行与垂直的坐标表示.
例5（1）［2025·黄山八校联盟高二期中］已知, ，向量
,，且，则 ( )
A.1 B. C.2 D.
[解析] 因为向量,，且，所以 ,
，所以 .故选A.
√
（2）［2025·湖北部分重点高中高二月考］已知空间向量
，，，若，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，且 ，所以，
即，即 ，解得 .故选C.
√
5.利用向量的坐标解决探究性问题,一般先假设满足题意的元素存在，
再建立坐标系，转化为向量求解.
例6 ［2025·吉安高二期末］在空间直角坐标系中， ，
，， .
（1）求 ；
解：由题意知， ，
.
（2）判断点，，， 是否共面，并说明理由.
解：，， ，
假设，，共面，则， ， ，
则 无解，
即不存在实数 ， 使得，， 共面，故点，，， 不共面.
练习册
1.在空间直角坐标系中，已知点,，若点 与
点关于平面对称，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由点与点关于平面对称，可得 ，所以
.故选A.
√
2.［2025·广东普宁二中高二月考］在空间直角坐标系中，若
，，则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，因为， ，
所以 ，
解得,,，故 .故选B.
√
3.在中，已知，，，则 边上的中线
长为( )
A. B.6 C. D.7
[解析] 因为，，所以根据中点坐标公式，得 的中
点的坐标为.又 ，所以根据空间两点间的距离公式，
得 .故选B.
√
4.在长方体中，，， ，已知
向量．若分别以，，的方向为
轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为， ，
，,所以所求的坐标为 ．故选D.
√
5.已知，，，且，则，
的值分别为( )
A.3，1 B.4， C.3， D.1，1
[解析] 因为，，所以 ，
又，所以，解得， ，故选C.
√
6.（多选题）［2025·湖北部分名校高二期中］ 在空间直角坐标系
中，已知， ，下列结论正确的是( )
A.
B.
C.若，则当时，
D.若，则当时，
√
√
[解析] 对于A，由，，得 ，故
，A正确；
对于B， ，B错误；
对于C，当时，，得，
故 ，C正确；
对于D，当时，,，故 与不平行，
D错误.故选 .
7.在空间直角坐标系中，点与点 关于原点对称，
则 ___.
8
[解析] 点与点关于原点对称，
, ,,则 .
8.［2025·山东名校考试联盟高二期中］如图，
在长方体中，以点 为原点，
，，所在的直线分别为轴、 轴、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，若向量的
坐标为，则向量 的坐标为_________.
[解析] 设，，，依题意可得 ，，
则，所以， ，，
则点,，所以 .
9.（13分）［2025·黄石六中高二月考］ 已知 ,
,,,，且, .
（1）求, 的值；
解：由已知得,, ，
因为，所以，解得，所以 ，
又，则，解得，所以， .
9.（13分）［2025·黄石六中高二月考］ 已知 ,
,,,，且, .
（2）求 .
解：由（1）可知，，则 ，
所以 .
10.设，则点 的集合为( )
A.垂直于平面的一条直线 B.平行于 平面的一条直线
C.垂直于轴的一个平面 D.平行于 轴的一个平面
[解析] 点 的集合为横、竖坐标不变,而纵坐标变化的
点的集合,由空间直角坐标的意义知,点 的集合为垂直
于 平面的一条直线,故选A.
√
11.（多选题）已知空间四点，， ，
，则下列说法正确的是( )
A.
B.以，为邻边的平行四边形的面积为
C.点到直线的距离为
D.，，， 四点共面
[解析] 空间四点，，， ，则
，，所以， .
√
√
对于A，，故A正确；
对于B， ，，所以，所以
以， 为邻边的平行四边形的面积 ，
故B错误；
对于C，因为，，所以 ，故
，所以点到直线的距离 ，故C正确；
对于D，假设
，所以方程组无解，则,, 不共面，
故D错误.故选 ．
12.已知点，，，若, 的夹角为锐角，
则 的取值范围为________________.
[解析] 由题意知，，, 的夹角为锐
角，，且,解得且,故
的取值范围为 .
13.［2025·山东百师联盟高二期中］在空间直角坐标系中，点
，点，点，则在 上的投影向量的
坐标为___________.
[解析] 由题得，, ，
所以，，
则上的投影向量的坐标为 ,
.
14.（15分）如图，在直三棱柱中， ，
，，，分别是, 的中点.
（1）求线段 的长；
解：以为原点，建立空间直角坐标系 ，如图
所示，依题意得， ，故 ,
所以，
即线段 的长为 .
（2）求, 的值；
解：依题意得,, , ，
所以, ,
所以,, ,
所以, .
（3）求证： .
证明：依题意得, ,所以 ,
又 ,所以,
所以 ,即 .
15.如图，正三棱锥中，三条侧棱, ,
两两垂直且相等，,为的中点， 为
平面内一动点，则 的最小值为_ ___.
[解析] 设的中心为，连接，则
平面，延长至，使得 ，连接
，，则 ,
三条侧棱 , ,两两垂直且相等，
以为原点，, ,所在的直线分别为
轴，
建立空间直角坐标系，如图.
由，得，， ,
，
由对称性可设 ，则
，
可得，故 ，
，
的最小值为 .
16.（15分）如图,在正方体中,
以 为原点,建立空间直角坐标系.
已知点 的坐标为, 为棱上的动点,
为棱 上的动点,且 ,
是否存在点,,使得
若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
解：由题意知正方体 的
棱长为2,，， ，
， ，所以 .
设 ， ，
则，， ，
所以， .
因为 ，
所以 ，
即 ，
又， ，
所以，所以 .
若 ，则 ，
故存在点， ，使得 ，
此时 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.坐标轴,原点,坐标向量,坐标平面 2.（1）或, （2）轴的正方向
知识点二 1., 2., 【诊断分析】 （1）√（2）×（3）×（4）×
知识点三 ,,, 【诊断分析】（1）√（2）√
知识点四 ,,,,,,,,,
,,, 【诊断分析】（1）×（2）×（3）√（4）√
课中探究 例1.（1），，，． ，.
（2），，，，，.
变式.（1）ACD （2）A 例2.（1），.（2）. 变式...
例3.（1）B （2）2 变式.（1）AC （2），，.
例4.（1） （2）变式.（1）C （2）存在
例5..（2）．变式1.变式2.（1）.（2）.拓展.D
快速核答案（练习册）
1.A 2.B 3.B 4.D 5.C 6.AC 7.8 8.
9.（1），.（2）.
10.A 11.AC 12. 13.
14.（1） （2）. （3）证明略 15.
16.存在，.
