1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
【课前预习】
知识点
1.定点O 位置向量
2.t +t
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)当k=0时,ka=0不是直线l的方向向量,故错误.
(2)∵=(2,-2,2),∴与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量,故正确.
(3)以这两个向量为方向向量的直线也可能重合,故错误.
2.解:平面的法向量有无数个,它们是平行向量.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由已知,得=2,即-=2(-),则=+.
设点P的坐标为(x,y,z),则(x,y,z)=(2,4,0)+(1,3,3),即x=+=,y=+1=,z=0+1=1,
所以点P的坐标为.
(2)因为AQ∶QB=2∶1,所以=-2,所以-=-2(-),则=-+2,
设点Q的坐标为(x',y',z'),则(x',y',z')=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6),所以点Q的坐标为(0,2,6).
变式 C [解析] 设C(x,y,z),∵C为线段AB上一点且=,∴=,即(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2),∴∴
因此点C的坐标为.故选C.
探究点二
例2 解:(1)∵=++=++=a+c+b,∴直线AP的一个方向向量为a+c+b.
(2)∵=++=-++=-a+b+c,
∴直线A1N的一个方向向量为-a+b+c.
(3)∵=++=++=a+c+b,∴直线MP的一个方向向量为a+c+b.
变式 (1)(2,2,4)(答案不唯一) (2)D [解析] (1)因为点A(1,2,1),点B(3,4,5)在直线上,所以直线的一个方向向量为=(2,2,4),当λ≠0时,λ=(2λ,2λ,4λ)也都是直线的方向向量.
(2)连接AB,由题意得=(-1,2-a,b-3),因为直线l过点A和点B,且直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),所以∥m,所以存在实数λ,使得=λm,即(-1,2-a,b-3)=(2λ,-λ,3λ),即解得所以a+b=3.故选D.
探究点三
例3 解:∵=(-1,0,1),=(0,1,1),=(-1,1,0),
∴=-=(1,1,0),=-=(-1,0,-1).
设平面BCD的法向量为n=(x,y,z),
则即令x=1,得y=-1,z=-1,
∴n=(1,-1,-1),∴平面BCD的一个法向量为(1,-1,-1).
变式1 解:连接OB,因为AB=BC,O为AC的中点,所以OB⊥AC.
又因为A1O⊥平面ABC,所以OA1⊥OA,OA1⊥OB,
所以OA1,OA,OB两两垂直.
以O为原点,OA,OB,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),A1(0,0,),所以=(-1,0,),=(-1,1,0).
易知向量=(0,1,0)是平面AA1C1C的一个法向量.
设平面A1ABB1的法向量为n=(x,y,z),则即
取z=1,则平面A1ABB1的一个法向量为n=(,,1).
变式2 A [解析] 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,2AB=2AD=AA1,∠BAD=∠BAA1=
∠DAA1=60°,令AB=2,则a·b=2×2cos 60°=2,a·c=b·c=2×4cos 60°=4.设平面A1BD的法向量为n=xa+yb+zc,又=a-b,=a-c,
则
整理得令z=-1,得n=6a+6b-c,所以平面A1BD的一个法向量为6a+6b-c.故选A.1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
1.B [解析] 由题意得O,E,则=,所以u=(-1,1,-1)为直线OE的一个方向向量.故选B.
2.C [解析] y轴的一个方向向量j=(0,1,0),z轴的一个方向向量k=(0,0,1),设坐标平面Oyz的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则n=(1,0,0),故选C.
3.D [解析] 因为直线l过点A(0,a,3)和B(-1,2,b)两点,所以=(-1,2-a,b-3),又直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),所以∥m,所以=λm,所以(-1,2-a,b-3)=(2λ,-λ,3λ),所以解得所以a+b=3.故选D.
4.C [解析] 设Q(x,y,z),=λv(λ>0),则(x-1,y-2,z-3)=λ(-1,2,2)=(-λ,2λ,2λ),由||=6得=6,解得λ=2或λ=-2(舍去),∴(x-1,y-2,z-3)=(-2,4,4),∴x-1=-2,y-2=4,z-3=4,∴x=-1,y=6,z=7,即Q(-1,6,7).故选C.
5.B [解析] 设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),∴=(0,2,1),=(-1,0,2),设向量n=(x,y,z)是平面AEF的法向量,则取y=1,得z=-2,x=-4,则n=(-4,1,-2)是平面AEF的一个法向量,故所求向量与n=(-4,1,-2)共线,结合选项可知,A,C,D中向量均不与n=(-4,1,-2)共线.故选B.
6.ABC [解析] 依题意得A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),C1(1,1,1),B(1,0,0),C(1,1,0),所以=(0,0,1),所以直线DD1的一个方向向量为(0,0,1),故A正确;=(0,1,1),所以直线BC1的一个方向向量为(0,1,1),故B正确;因为=(0,1,0),且易知AD⊥平面ABB1A1,所以平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0),故C正确;设m=(1,1,1),因为=(1,0,0),所以·m=1≠0,所以向量m=(1,1,1)不是平面B1CD的一个法向量,故D错误.故选ABC.
7.-1 [解析] 根据题意,=(m,-2,1),若直线AB的一个方向向量为(1,2,-1),则=λ(1,2,-1),即(m,-2,1)=λ(1,2,-1)=(λ,2λ,-λ),则解得m=-1.
8.(1)(-1,,0)(答案不唯一) (2)(答案不唯一) (3)(1,,0)(答案不唯一) [解析] 由题意可得OA=OB=1,OC=×2=,OH=OC=,DH===.由题图,可得O(0,0,0),B(1,0,0),C(0,,0),H,D.
(1)直线BC的一个方向向量为=(-1,,0).
(2)直线OD的一个方向向量为=.
(3)=,=.设n=(x,y,z)为平面BHD的法向量,则不妨设x=1,则n=(1,,0),故平面BHD的一个法向量为(1,,0).
9.解:取BC的中点D,连接AD,OD,因为=+=+=+(-)=+×(+)-=(++)=(a+b+c),所以直线OG的一个方向向量为(a+b+c).
因为=-=-=×(+)-=(b+c)-(a+b+c)=-a,所以直线GH的一个方向向量为-a.
10.A [解析] 由题意可得=(-2,2,0),=(-2,0,2),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则n=(1,1,1).设P,则=,所以n·=-×1+×1+1×1=0,所以点在平面ABC内,故A正确;设Q(2,0,2),则=(0,0,2),所以n·=2,所以点(2,0,2)不在平面ABC内,故B错误;设R(1,2,0),则=(-1,2,0),所以n·=1,所以点(1,2,0)不在平面ABC内,故C错误;设T(2,2,2),则=(0,2,2),所以n·=4,所以点(2,2,2)不在平面ABC内,故D错误.故选A.
11.BC [解析] 对于A ,=(2,1,0),=(-1,2,1),所以不存在实数λ,使得=λ,则不是直线AB的一个方向向量,所以A中说法正确;对于B,因为=(2,1,0),||=,所以直线AB的单位方向向量是=或-=,所以B中说法错误;对于C,向量=(2,1,0),=(-3,1,1),所以cos<,>===-,所以C中说法错误;对于D,=(2,1,0),=(-1,2,1),设平面ABC的法向量是n=(x,y,z),所以则
令x=1,可得n=(1,-2,5),所以D中说法正确.故选BC.
12.2∶3∶(-4) [解析] 由A,B,C,得=,=,因为a为平面ABC的法向量,所以即
可得所以x∶y∶z=∶∶z=2∶3∶(-4).
13.x-y+2z+1=0 [解析] 连接AP,由题意可知=(x,y-3,z-1),∵平面α的一个法向量是n=(1,-1,2),∴·n=(x,y-3,z-1)·(1,-1,2)=0,即x-y+3+2z-2=0,即x-y+2z+1=0,故所求点P的坐标满足的方程是x-y+2z+1=0.
14.解:以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
设DA=2,则D(0,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),B(2,2,0),
∴=(2,2,-2),=(0,1,1),
∵·=2×0+2×1+(-2)×1=0,∴⊥,∴PB⊥DE.
设F(x,y,z),=λ(0≤λ≤1),
则(x,y,z-2)=λ(2,2,-2),
∴∴F(2λ,2λ,2-2λ),
∴=(2λ,2λ,2-2λ).
由题意可知,要使为平面DEF的一个法向量,则需·=0,即4λ+4λ-2(2-2λ)=0,解得λ=,
故当点F为棱PB上靠近点P的一个三等分点时,为平面DEF的一个法向量.
15.A [解析] 由题意可得平面x-2y+2=0与平面2x-z+1=0的一个法向量分别为m1=(1,-2,0)和m2=(2,0,-1),设直线l的方向向量为n0=(x,y,z),则不妨取x=2,则n0=(2,1,4),故选A.
16.解:(1)证明:∵平面PBC∩平面BCFE=BC,平面PBC⊥平面BCFE,CF 平面BCFE,且CF⊥BC,∴CF⊥平面PBC,
又PB 平面PBC,∴CF⊥PB.
(2)如图,取BC的中点O,连接PO,
∵PB=PC,∴PO⊥BC,又平面PBC∩平面BCFE=BC,平面PBC⊥平面BCFE,PO 平面PBC,
∴PO⊥平面BCFE.
以C为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,设BC=2,则P(1,0,1),C(0,0,0),D(0,2,0),设F(0,t,0)(0由||=||,得=2-t,解得t=,∴F.设E(m,2-m,0)(0,解得m=1,
∴E(1,1,0),则=,=(0,-1,1).设平面PEF的法向量为n=(x,y,z),
则即令y=2,得n=(-1,2,2),故平面PEF的一个法向量为n=(-1,2,2).1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
【学习目标】
1.联系空间向量与立体几何,知道直线的方向向量和平面的法向量.
2.结合空间几何体,能求出有关直线的方向向量和平面的法向量.
3.在空间点的向量表示的基础上,能借助直线的方向向量和平面的法向量来刻画直线和平面.
◆ 知识点 空间元素的向量表示
1.空间中点的向量表示
如图,在空间中,我们取一 作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的 .
2.空间中直线的向量表示
确定直线的条件 图形表示 向量表示 作用
a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,P是直线l上的任意一点 =ta= 空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定
a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,P是直线l上的任意一点,O是空间中的任意一点 =+ta=
3.空间中平面的向量表示
确定平面的条件 图形表示 向量表示
两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a,b,P为平面α内任意一点 =xa+yb
P是平面ABC内的任意一点,O是空间中的任意一点 =+ x+y
给定点A和平面α的法向量a,以及平面α内一点P {P|a·=0}
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量. ( )
(2)若A(-1,2,1),B(1,0,3)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(1,-1,1). ( )
(3)若向量n1,n2为同一平面的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线一定平行. ( )
2.平面的法向量有几个 它们的关系是怎样的
◆ 探究点一 确定空间中点的位置
例1 已知点A(2,4,0),B(1,3,3),在直线AB上取P,Q两点,位置如图所示,求满足下列条件的点P和点Q的坐标.
(1)AP∶PB=1∶2;
(2)AQ∶QB=2∶1.
变式 已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点且=,则点C的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
求空间中点的坐标,一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标,然后列出方程组,把向量运算转化为代数运算,解方程组可得点的坐标.
◆ 探究点二 求空间直线的方向向量
例2 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,以{a,b,c}为空间的一个基底.
(1)求直线AP的一个方向向量;
(2)求直线A1N的一个方向向量;
(3)求直线MP的一个方向向量.
变式 (1)[2025·成都高二期中] 经过点A(1,2,1),点B(3,4,5)的直线的一个方向向量是 .
(2)已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过点A(0,a,3)和点B(-1,2,b),则a+b= ( )
A.0 B.1
C. D.3
[素养小结]
求直线的方向向量的关键是找到直线上的两个点,用所给的基向量表示以这两个点为起点和终点的向量,其难点是向量的运算.
◆ 探究点三 求平面的法向量
例3 [2025·江门高二期中] 在空间直角坐标系中,已知向量=(-1,0,1),=(0,1,1),=(-1,1,0),求平面BCD的一个法向量.
变式1 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC=2,AB=BC,AB⊥BC,O为AC的中点,A1O⊥平面ABC.建立适当的空间直角坐标系,分别求平面A1ABB1与平面AA1C1C的一个法向量.
变式2 [2025·芜湖一中高二期中] 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,2AB=2AD=AA1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°.设=a,=b,=c,则平面A1BD的一个法向量为 ( )
A.6a+6b-c B.2a+3b+c
C.2a+3b-c D.a+b-c
[素养小结]
利用待定系数法求平面的法向量的步骤:
①设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z).
②选向量:在平面内选取两个不共线向量,.
③列方程组:列出方程组并解方程组.
④赋非零值:取其中一个为非零值(常取±1),得到平面的一个法向量.1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
1.[2025·郑州外国语学校高二期中] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为平面A1ABB1的中心,E为BC的中点.以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则直线OE的一个方向向量u= ( )
A.(-1,1,1) B.(-1,1,-1)
C.(-1,2,1) D.(-1,2,-1)
2.在空间直角坐标系中,坐标平面Oyz的一个法向量可以是 ( )
A.n=(0,0,1) B.n=(0,1,0)
C.n=(1,0,0) D.n=(1,1,1)
3.[2025·广安二中高二月考] 已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过点A(0,a,3)和B(-1,2,b)两点,则a+b= ( )
A.0 B.1
C. D.3
4.[2025·泰安高二期中] 已知点P(1,2,3)沿着向量v=(-1,2,2)的方向移动到点Q,且||=6,则点Q的坐标为 ( )
A.(0,0,-1) B.(3,-2,-1)
C.(-1,6,7) D.(-2,4,4)
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是 ( )
A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2)
C.(2,-2,1) D.(1,2,-2)
6.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,下列结论正确的是 ( )
A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)
B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)
C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)
D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
7.已知=(m,-2,1),若直线AB的一个方向向量为(1,2,-1),则m= .
8.如图,放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体A-BCD中,H是底面中心,DH⊥平面ABC,写出:
(1)直线BC的一个方向向量: ;
(2)直线OD的一个方向向量: ;
(3)平面BHD的一个法向量: .
9.(13分)如图所示,在四面体O-ABC中,G,H分别是△ABC,△OBC的重心,设=a,=b,=c,以{a,b,c}为空间的一个基底,求直线OG和GH的一个方向向量.
10.[2025·泉州高二期中] 在空间直角坐标系中,已知A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),则下列在平面ABC内的点为 ( )
A. B.(2,0,2)
C.(1,2,0) D.(2,2,2)
11.(多选题)[2025·海口实验中学高二期中] 已知空间中的三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法错误的是 ( )
A.不是直线AB的一个方向向量
B.直线AB 的一个单位方向向量是
C.与夹角的余弦值是
D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)
12.已知A,B,C,设平面ABC的法向量为a=(x,y,z),则x∶y∶z= .
13.在空间直角坐标系Oxyz中,已知平面α的一个法向量为n=(1,-1,2),且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α内的任意一点,则点P的坐标满足的方程是 .
14.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=AD=DC,底面ABCD为正方形,E为棱PC的中点,点F在棱PB上,问当点F在何位置时,为平面DEF的一个法向量
15.[2025·成都树德中学高二期中] 给出下面的材料:在空间直角坐标系Oxyz中,过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为m=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0,过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为n=(u,v,w)(uvw≠0)的直线l的方程为==.根据上述材料,解决下面的问题:直线l是两个平面x-2y+2=0与2x-z+1=0的交线,则l的一个方向向量是 ( )
A.(2,1,4) B.(1,3,5)
C.(1,-2,0) D.(2,0,-1)
16.(15分)在四边形ABDC中(如图①),∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,BC=CD,E,F分别是边BD,CD上的点,将△ABC沿BC翻折,将△DEF沿EF翻折,使得点D与点A重合(记为点P),且平面PBC⊥平面BCFE(如图②).
(1)求证:CF⊥PB;
(2)求平面PEF的一个法向量.
① ②(共72张PPT)
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
探究点一 确定空间中点的位置
探究点二 求空间直线的方向向量
探究点三 求平面的法向量
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.联系空间向量与立体几何，知道直线的方向向量和平面的法向量.
2.结合空间几何体，能求出有关直线的方向向量和平面的法向量.
3.在空间点的向量表示的基础上，能借助直线的方向向量和平面
的法向量来刻画直线和平面.
知识点 空间元素的向量表示
1.空间中点的向量表示
如图，在空间中,我们取一_______作为基点,那么空间中任意一点 就
可以用向量来表示.我们把向量称为点 的__________.
定点
位置向量
2.空间中直线的向量表示
确定直线的条件 图形表示 向量表示 作用
______________________________________ 空间任意
直线由直
线上一点
及直线的
方向向量
唯一确定
_____________________________________
3.空间中平面的向量表示
确定平面的条件 图形表示 向量表示
__________________________________________________
_____________________________________________
______________________________________________
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若向量是直线的一个方向向量，则向量也是直线 的一个
方向向量.( )
×
[解析] 当时，不是直线 的方向向量，故错误.
（2）若，在直线上，则直线 的一个方向向量为
.( )
√
[解析] ， 与共线的非零向量都可以作为直线
的方向向量，故正确.
（3）若向量, 为同一平面的法向量，则以这两个向量为方向向
量的直线一定平行.( )
×
[解析] 以这两个向量为方向向量的直线也可能重合，故错误.
2.平面的法向量有几个 它们的关系是怎样的
解：平面的法向量有无数个,它们是平行向量.
探究点一 确定空间中点的位置
例1 已知点，，在直线
上取， 两点，位置如图所示，求满足下
列条件的点和点 的坐标.
（1） ；
解：由已知，得 ，即 ，
则 .
设点的坐标为 ，
则 ,
即,, ，
所以点的坐标为 .
（2） .
解：因为，所以 ，
所以 ，
则 ，
设点的坐标为 ,
则 ,
所以点的坐标为 .
变式 已知点,,为线段上一点且,则点
的坐标为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设,为线段上一点且, ,
即,
因此点的坐标为 .故选C.
［素养小结］
求空间中点的坐标，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐
标，然后列出方程组，把向量运算转化为代数运算，解方程组可得
点的坐标.
探究点二 求空间直线的方向向量
例2 如图所示，在平行六面体
中，设 ，
，，，，分别是 ，
，的中点，以{，， }为空间的
一个基底.
（1）求直线 的一个方向向量；
解：，
直线的一个方向向量为 .
（2）求直线 的一个方向向量；
解： ，
直线的一个方向向量为 .
（3）求直线 的一个方向向量.
解：,
直线的一个方向向量为 .
变式（1）［2025·成都高二期中］经过点，点 的直
线的一个方向向量是______________________.
（答案不唯一）
[解析] 因为点，点 在直线上，所以直线的一个方向
向量为，当时， 也都是直线的
方向向量.
（2）已知直线的一个方向向量，且直线 过点
和点，则 ( )
A.0 B.1 C. D.3
√
[解析] 连接，由题意得，因为直线过点
和点，且直线的一个方向向量，所以 ，所以
存在实数 ，使得，即 ，
即解得所以 .故选D.
［素养小结］
求直线的方向向量的关键是找到直线上的两个点，用所给的基向量
表示以这两个点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算.
探究点三 求平面的法向量
例3 ［2025·江门高二期中］在空间直角坐标系中，已知向量
，，，求平面 的一个
法向量.
解：，， ，
， .
设平面的法向量为 ，则即
令，得， ，
， 平面的一个法向量为 .
变式1 如图所示，在三棱柱 中，
,，, 为的中点，
平面 .建立适当的空间直角坐标系,
分别求平面 与平面 的一个法向量.
解：连接，因为，为的中点，所以 .
又因为 平面，所以, ,
所以，， 两两垂直.
以为原点，,,所在直线分别为轴、 轴、
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，,, ,所以
, .
易知向量是平面 的一个法向量.
设平面的法向量为 ，
则即
取，则平面的一个法向量为 ,,1 .
变式2 ［2025·芜湖一中高二期中］已知平行六面体
中, ,
.设,,
，则平面 的一个法向量为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 在平行六面体 中, ,
，令 ，
则 , .
设平面 的法向量为，
又, ，
则
整理得令 ，得，
所以平面 的一个法向量为 .故选A.
［素养小结］
利用待定系数法求平面的法向量的步骤:
①设向量：设平面的法向量为.
②选向量：在平面内选取两个不共线向量，.
③列方程组：列出方程组并解方程组.
④赋非零值：取其中一个为非零值（常取）,得到平面的一个法向量.
1.对平面的法向量的理解
（1）平面 的一个法向量垂直于平面 内所有直线的方向向量.
（2）一个平面的法向量有无数个,它们互相平行.
2.直线的方向向量和平面的法向量的作用
（1）可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面
的平行、垂直等位置关系.
（2）可以利用它们求直线与平面所成的角.
（3）可以解决有关线段的长度或点、线、面之间的距离问题.
1.求法向量的关键是转化为空间向量的数量积运算.
例1 ［2025·北京大兴区高二期中］已知平面 过点 ,
,三点，直线与平面 垂直，则直线 的一个方向向
量可以是_______________________.
（答案不唯一）
[解析] 设平面 的法向量为 ，
由题意知,，， ，
所以即取，得 ，
又因为直线与平面 垂直，所以直线的方向向量与平面 的法向量
共线，所以可取方向向量为 （不唯一，非零共线即可）.
2.求平面法向量的三个注意点.
（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量.
（2）取特值：在求法向量的坐标时，可令，， 中的
一个为特殊值即可求得另两个值，这样就得到了平面的一个法向量.
（3）注意0：令法向量 的某个坐标为某特殊值时一定要
注意这个坐标不为0.
例2 如图，平面 平面， 是边长为1的正三角形，
四边形是菱形， ，是的中点，是 的中点，
试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 的一个法向量.
解：连接，因为，为的中点，所以 ，
又因为平面 平面，平面 平面 ，
平面 ，
所以 平面.连接，，因为， ，
所以是等边三角形，所以 .
以为原点，，，所在直线分别为轴、
轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意得，， ，
所以， .
设平面的法向量为 ，
则即
所以令，则， ，
所以平面的一个法向量为 .
例3 在四棱锥中，底面 是直角梯形，
， ， 平面，
， ，建立适当的空间直角
坐标系，并求平面 和平面 的法向量．
解：因为 平面，, 平面，所以 ,
，
又 ，，所以 ，
所以以为原点，以，，的方向分别为 轴、轴、 轴的正方向
建立空间直角坐标系，如图所示，则,,, .
易知是平面 的一个法向量．
，，
设平面 的法向量为 ，则
取，得 ,，
故是平面 的一个法向量．
练习册
1.［2025·郑州外国语学校高二期中］在棱长为
1的正方体中， 为平面
的中心，为的中点.以 为原点，建
立如图所示的空间直角坐标系，则直线 的一
个方向向量 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得,，则 ，
所以为直线 的一个方向向量.故选B.
√
2.在空间直角坐标系中，坐标平面 的一个法向量可以是( )
A. B. C. D.
[解析] 轴的一个方向向量， 轴的一个方向向量，
设坐标平面的法向量为，则
即令，则 ，故选C.
√
3.［2025·广安二中高二月考］已知直线 的一个方向向量，
且直线过点和两点，则 ( )
A.0 B.1 C. D.3
√
[解析] 因为直线过点和 两点，
所以，又直线的一个方向向量 ，
所以，所以，所以 ，
所以解得所以 .故选D.
4.［2025·泰安高二期中］已知点沿着向量 的方
向移动到点，且，则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 设, ，则
，
由 得，解得或 （舍去），
，, ,
，,,，即 .故选C.
√
5.如图，在正方体中，以
为原点建立空间直角坐标系，为 的中
点，为 的中点，则下列向量中，能作
为平面 的法向量的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设正方体的棱长为2，则， ，
，， ，
设向量是平面 的法向量，
则取，得, ，
则是平面 的一个法向量，
故所求向量与 共线，
结合选项可知，A，C，D中向量均不与 共线.故选B.
6.（多选题）在如图所示的空间直角坐标系中，正方体
的棱长是1，下列结论正确的是( )
A.直线的一个方向向量为
B.直线的一个方向向量为
C.平面的一个法向量为
D.平面的一个法向量为
√
√
√
[解析] 依题意得，， ，
，，，所以 ，
所以直线的一个方向向量为 ，故A正确；
，所以直线 的一个方向向量
为，故B正确；
因为，且易知 平面 ，所以平面的
一个法向量为，故C正确；
设 ,因为，所以，所以
向量 不是平面的一个法向量，故D错误. 故选 .
7.已知，若直线的一个方向向量为 ，则
____.
[解析] 根据题意，，若直线 的一个方向向量为
，则 ，即
，则解得 .
8.如图，放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正
四面体中，是底面中心， 平面
，写出：
（1）直线 的一个方向向量：_________________________；
（答案不唯一）
[解析] 直线的一个方向向量为 .
（2）直线 的一个方向向量：__________________；
（答案不唯一）
[解析] 直线 的一个方向向量为 .
（3）平面 的一个法向量：_______________________.
（答案不唯一）
[解析] , .
设为平面 的法向量，
则不妨设 ，
则，故平面的一个法向量为 .
[解析] 由题意可得 ,
, ，
.由题图，
可得，， ，
， .
9.（13分）如图所示，在四面体中，，分别是 ，
的重心，设，，，以，， 为空间
的一个基底，求直线和 的一个方向向量.
解：取的中点，连接， ，因为
所以直线的一个方向向量为 .
，
因为，所以直线的一个方向向量为 .
10.［2025·泉州高二期中］在空间直角坐标系中，已知 ，
，，则下列在平面 内的点为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得,，设平面 的法
向量为，则即
√
令.设，则 ，所以
，所以点在平面 内，
故A正确；
设，则，所以 ，所以点不在平面
内，故B错误；
设，则 ，所以，所以点不在
平面 内，故C错误；
设，则，所以，所以点 不在平面
内，故D错误.故选A.
11.（多选题）［2025·海口实验中学高二期中］ 已知空间中的三点
，， ，则下列说法错误的是( )
A.不是直线 的一个方向向量
B.直线的一个单位方向向量是
C.与夹角的余弦值是
D.平面的一个法向量是
√
√
对于B，因为，，所以直线 的单位方
向向量是或 ，所以B中说法
错误；
对于C，向量，，所以 ,
，所以C中说法错误；
[解析] 对于A ，，，所以不存在实数 ，
使得，则不是直线 的一个方向向量，所以A中说法正确；
对于D，，，设平面的法向量是
，所以则
令，可得，所以D中说法正确.故选 .
12.已知，，，设平面 的法向量为
，则 __________.
[解析] 由,,，得 ,
，因为为平面的法向量，所以
即
可得所以 .
13.在空间直角坐标系中,已知平面 的一个法向量为
,且平面 过点.若是平面 内的任意
一点,则点 的坐标满足的方程是__________________.
[解析] 连接，由题意可知,
平面 的一个法向量是,
,即,
即,故所求点 的坐标满足的方程是 .
14.（15分）如图，在四棱锥中， 底面 ，
，底面为正方形，为棱的中点，点 在棱
上，问当点在何位置时，为平面 的一个法向量
解：以为原点，，，所在直线分别为
轴、轴、 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则,,, ，
， ,
，
， .
设， ，
则 ，
，
.
由题意可知，要使为平面 的一个法向量，则
需，即 ，解得 ，
故当点为棱上靠近点的一个三等分点时，
为平面 的一个法向量．
15.［2025·成都树德中学高二期中］给出下面的材料：在空间直角坐
标系中，过点且一个法向量为的平面
的方程为，过点 且
一个方向向量为的直线 的方程为
.根据上述材料，解决下面的问题：直线 是两个平
面与的交线，则 的一个方向向量是 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可得平面与平面 的一个
法向量分别为和，设直线 的方向向量
为，则不妨取 ，则
，故选A.
16.（15分）在四边形中（如图①）， ，
，，，分别是边，上的点，将 沿
翻折，将沿翻折，使得点与点重合（记为点 ），且
平面 平面 （如图②）.
①
②
（1）求证： ；
①
②
证明： 平面 平面，平面 平面 ，
平面，且， 平面 ，
又 平面， .
（2）求平面 的一个法向量．
②
解：如图，取的中点，连接 ，
，，又平面 平面
，平面 平面，
平面 ， 平面 .
以为原点，，，的方向分别为轴、
轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设，则，， ，
设 ，由，
得 ，解得， .
设，由 ,
得 ，解得 ，
，则 ，.
设平面 的法向量为 ，
则即令 ，得
，故平面 的一个法向量为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 1.定点,位置向量 2.,
【诊断分析】1.（1）×（2）√（3）× 2.无数个,平行向量.
课中探究 例1.（1）.（2）.变式.C
例2.（1）. （2）.（3）.
变式.（1）（答案不唯一） （2）D
例3.. 变式1.,,1. 变式2.A
快速核答案（练习册 ）
1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.ABC 7. 8.（1）（答案不唯一）
（2）（答案不唯一）（3）m>（答案不唯一）
9.的一个方向向量为. 的一个方向向量为.
10.A 11.BC 12. 13.
14.点为棱上靠近点的一个三等分点 15.A
16.（1）证明略 （2）.
