第3课时 空间中直线、平面的垂直
【课前预习】
知识点
u1⊥u2 u1·u2=0 u1∥n1 u1=λn1
n1⊥n2 n1·n2=0
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)B [解析] (1)因为m=(-2,t,5),n=(3,-2,t)分别是平面α,β的一个法向量,且α⊥β,所以m⊥n,即m·n=(-2,t,5)·(3,-2,t)=-6-2t+5t=-6+3t=0,解得t=2,故选B.
(2)对于A,一条直线的方向向量不唯一,A错误;对于B,若直线l的方向向量与平面α的法向量平行,则l⊥α,B正确;对于C,若平面α的法向量与平面β的法向量平行,则α∥β,C错误;对于D,若直线l的方向向量与平面α的法向量垂直,则l∥α或l α,D错误.故选B.
变式 (1)A (2)(-1,0,2)
[解析] (1)以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),设F(a,1,1-a)(0≤a≤1),故=(a-1,1,-a),=(-1,-1,-1),=(-1,-1,0),=(0,1,1),所以·=1-a-1+a=0,即A1F⊥B1D,故A正确;显然当点F在BC1上运动的过程中,A1F可能与B1D相交,故B错误;若A1F⊥平面BDC1,则
显然不存在满足该方程组的a值,故C错误;若=λ且λ∈R,则显然不存在满足该方程组的λ值,故D错误.故选A.
(2)由题意得=(-x,1,-z),=(-1,-1,-1),=(2,0,1).设平面ABC的法向量为n=(a,b,c),由得令a=1,则平面ABC的一个法向量为n=(1,1,-2).因为PA⊥平面ABC,所以∥n,即存在实数λ,使得=λn,即解得故P(-1,0,2).
探究点二
例2 证明:(1)取BC的中点O,连接PO,
∵BC=PB=PC,
∴PO⊥BC,又∵侧面PBC⊥底面ABCD,侧面PBC∩底面ABCD=BC,PO 侧面PBC,
∴PO⊥底面ABCD.
以O为原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,
OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=,∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,),∴=(-2,-1,0),=(1,-2,-).
∵·=-2×1+(-1)×(-2)+0×(-)=0,
∴⊥,∴PA⊥BD.
(2)取PA的中点M,连接DM,
则M,
∵=,=(1,0,-),∴·=0,
∴⊥,即DM⊥PB.
同理可得DM⊥PA,
又∵PA∩PB=P,PA,PB 平面PAB,
∴DM⊥平面PAB.
∵DM 平面PAD,
∴平面PAD⊥平面PAB.
变式 证明:(1)根据题意可知,平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,
又四边形ADEF是正方形,所以AD⊥ED,ED 平面ADEF,
所以ED⊥平面ABCD,又AD⊥CD,所以DA,DC,DE两两垂直.
以D为原点,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),
又M为CE的中点,所以M(0,2,1),
则=(-2,0,1),且平面ADEF的一个法向量为n=(0,1,0),
因为n·=0,所以n⊥,
又BM 平面ADEF,
所以BM∥平面ADEF.
(2)由(1)知D(0,0,0),=(-2,2,0),=(2,2,0),=(0,0,2),
易知·=-4+4=0,所以BC⊥DB,·=0,所以BC⊥DE.
又DB∩DE=D,DB,DE 平面BDE,
所以BC⊥平面BDE.
拓展 解:(1)证明:∵DE⊥AB,∴BE⊥DE,又∵BE⊥A1D,DE∩A1D=D,DE 平面A1DE,A1D 平面A1DE,
∴BE⊥平面A1DE.
∵A1E 平面A1DE,∴A1E⊥BE,
又∵A1E⊥DE,BE∩DE=E,BE 平面BCDE,DE 平面BCDE,∴A1E⊥平面BCDE.
(2)存在,理由如下:
∵A1E⊥平面BCDE,BE⊥DE,
∴以E为原点,分别以EB,ED,EA1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,0),B(1,0,0),D(0,,0),A1(0,0,1).
假设在线段BD上存在一点P,使得平面A1EP⊥平面A1BD,设P(x,y,z),=λ(0≤λ≤1),
则(x-1,y,z)=λ(-1,,0),∴P(1-λ,λ,0),
∴=(0,0,1),=(1-λ,λ,0).
设平面A1EP的法向量为m=(x1,y1,z1),由
得
令x1=λ,得m=(λ,λ-1,0).
设平面A1BD的法向量为n=(x2,y2,z2),又=(1,0,-1),=(0,,-1),
故取x2=,得n=(,1,).
∵平面A1EP⊥平面A1BD,∴m·n=3λ+λ-1=0,
解得λ=,满足0≤λ≤1,∴在线段BD上存在点P,使得平面A1EP⊥平面A1BD,且此时=.第3课时 空间中直线、平面的垂直
1.D [解析] 因为α⊥β,所以n1⊥n2,故n1·n2=x+2x-6=0,解得x=2.故选D.
2.C [解析] 由题意得a·b=-28+4x+5y=0,即4x+5y=28,将各选项中的值代入计算,只有C满足2×4+4×5=28.故选C.
3.B [解析] ∵直线l的一个方向向量为a=(2,2,-2),平面α的一个法向量为b=(1,1,-1),∴a=2b,∴l⊥α,故选B.
4.B [解析] 以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),E,∴=,=(-1,1,0),=(-1,-1,0),=(-1,0,-1),=(0,0,-1).∵·=×(-1)+×(-1)+1×0=0,∴CE⊥BD.∵·=-1≠0,·=-≠0,·=-1≠0,∴CE与AC,A1D,A1A均不垂直.故选B.
5.B [解析] 连接NC1,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图,则D(0,0,0),C(0,2,0),M(2,0,1),N(1,2,0),C1(0,2,2),则=(-1,0,2),=(0,2,0),=(2,0,1),故·=(-1,0,2)·(0,2,0)=0,·=(-1,0,2)·(2,0,1)=-2+2=0,所以⊥,⊥,即NC1⊥DC,NC1⊥DM,又DC∩DM=D,DC,DM 平面MDC,所以NC1⊥平面MDC,故当点P在线段NC1上时,满足NP⊥平面MDC,点P的轨迹长度为NC1==.故选B.
6.ABC [解析] 对于A选项,a·b=1-1-1=-1≠0,则l不与m垂直,故A为假命题;对于B选项,令a=λn,得则λ不存在,即直线l不与平面 α垂直,故B为假命题;对于C选项,n1·n2=6≠0,则α不与β垂直,故C为假命题;对于D选项,=(-1,1,1),=(-1,2,3),则
所以y+2z=0,故D为真命题.故选ABC.
7.0 [解析] 因为a·b=(0,1,1)·(1,1,0)=1≠0,a·c=(0,1,1)·(1,0,1)=1≠0,b·c=(1,1,0)·(1,0,1)=1≠0,所以a,b,c 中任意两个都不垂直,即α,β,γ中任意两个都不垂直.
8.24 [解析] 因为l⊥α,所以u∥n,所以存在实数λ,使得u=λn,即(2,a,b)=λ(1,3,2),所以2=λ,a=3λ=3×2=6,b=2λ=2×2=4,所以2a+3b=2×6+3×4=12+12=24.
9.证明:方法一:取BC的中点O,连接AO.∵△ABC为正三角形,∴AO⊥BC.
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,易得平面ABC⊥平面BCC1B1,
∵平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO 平面ABC,∴AO⊥平面BCC1B1.
如图,取B1C1的中点O1,连接OO1,以O为原点,OB,OO1,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0).
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则即又=(-1,2,),=(-2,1,0),
∴取x=1,得n=(1,2,-).
∵=(1,2,-),
∴=n,∴AB1⊥平面A1BD.
方法二:设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m,则存在实数λ,μ,使得m=λ+μ.令=a,=b,=c,显然它们不共面,且|a|=|b|=|c|=2,a·b=a·c=0,b·c=2,将{a,b,c}作为空间的一个基底,
则=+=+=a+c,=+=+=a+b,=-=a-c,故m=λ+μ=a+μb+λc,故·m=(a-c)·=4-2μ-4λ=0,故⊥m,∴AB1⊥平面A1BD.
方法三:令=a,=b,=c,显然它们不共面,且|a|=|b|=|c|=2,a·b=a·c=0,b·c=2,将{a,b,c}作为空间的一个基底,则=+=+=a+c,=+=+=a+b,=-=a-c.∵·=(a-c)·(a+c)=|a|2-|c|2=0,·=(a-c)·=|a|2+a·b-a·c-b·c=0,∴⊥,⊥,即AB1⊥BA1,AB1⊥BD,又BA1∩BD=B,∴AB1⊥平面A1BD.
10.D [解析] 以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(4,0,2),C(0,4,0),D1(0,0,4),B(4,4,0),设M(4,a,b)(a,b∈[0,4]),则=(4,a,b-4),=(4,-4,2).因为D1M⊥CP,所以·=16-4a+2b-8=0,得b=2a-4,所以M(4,a,2a-4),||==,所以当a=时,||取得最小值.易知BC=4,BM⊥BC,所以S△BCM的最小值为×4×=.故选D.
11.ABD [解析] 以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1),∴=(1,1,0),=(-1,0,1),∵点M在线段BD上,点N在线段AD1上,∴设=λ(0≤λ≤1),=μ(0≤μ≤1),∴=(λ,λ,0),=(-μ,0,μ),∵D(0,0,0),A(1,0,0),∴M(λ,λ,0),N(1-μ,0,μ).对于A,当M为BD的中点,N为AD1的中点时,M,N,∴=,∵=(0,1,1),=(-1,0,0),∴·=0×0+×1+×1=0,·=0×(-1)+×0+×0=0,∴MN⊥AB1,MN⊥B1C1,∵AB1∩B1C1=B1,AB1 平面AB1C1D,B1C1 平面AB1C1D,∴MN⊥平面AB1C1D,故A正确;对于B,当M为BD的中点时,M,∴=,又=(-1,-1,-1),∴·=×(-1)+×(-1)+μ×(-1)=0,∴MN⊥B1D,故B正确;对于C,易知平面CC1D1D的一个法向量为=(1,0,0),=(1-μ-λ,-λ,μ),∵MN∥平面CC1D1D,∴·=0,即1-μ-λ=0,∴λ=1-μ,∴||====,所以当μ=时,||min==,故C错误;对于D,当MN的长度最小时,MN⊥AD1,MN⊥DB,又=(1-μ-λ,-λ,μ),=(-1,0,1),=(1,1,0),
∴
即
即解得λ=μ=,此时=,∴||==,故MN长度的最小值为,故D正确.故选ABD.
12. [解析] 由题意得D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),所以=(0,2,-1),=(-1,2,0).因为点P在平面A1B1C1D1上,所以设点P(m,n,1),所以=(m,n,1).若DP⊥平面ACD1,则即解得所以点P的坐标是.
13. [解析] 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(4,-3,0),P(0,0,4),C(4,3,0),D(0,5,0),E,所以=,=(0,5,-4),=(4,3,-4).设=λ(0≤λ≤1),则=(0,5λ,-4λ),=-=(4,3-5λ,4λ-4).因为AE⊥CF,所以·=0,即2×4-×(3-5λ)+2×(4λ-4)=0,解得λ=,所以==.
14.证明:(1)以P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,0),A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),∴=(0,-1,-1),=(1,-1,-1).设平面GEF的法向量为n=(x,y,z),
则即
取y=1,得n=(0,1,-1).显然=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量.
∵n·=0,∴n⊥,∴平面GEF⊥平面PBC.
(2)由(1)知,=(1,-1,-1),=(1,1,0),=(0,-3,3),∴·=0,·=0,∴EG⊥PG,EG⊥BC,∴EG与直线PG和BC都垂直.
15.BD [解析] 点P满足=λ+μ,λ∈[0,1],μ∈[0,1],即点P在正方形BCC1B1内(包括正方形的四条边)上运动.对于A,取棱CC1的中点E,过点B,E,D1作正方体的截面BED1F,如图①,因为平面BCC1B1∥平面ADD1A1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,所以根据面面平行的性质定理知,BE∥D1F,ED1∥BF,即四边形BED1F为平行四边形,又E为CC1的中点,由△BCE≌△D1C1E可得BE=ED1,所以四边形BED1F为菱形,所以当点P在线段BE上时,过D1,B,P的平面截正方体所得的截面是菱形,故有无穷多个点P,使得过D1,B,P的平面截正方体所得的截面是菱形,A错误;以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图②,令AD=1,P(x,1,z)(0≤x≤1,0≤z≤1),则A(1,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),D(0,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),则=(x-1,1,z),=(-1,-1,0),=(-1,0,-1),若AP⊥平面B1D1C,则
解得即存在唯一一点P(0,1,1),使得AP⊥平面B1D1C,故B正确;=(1,0,1),=(0,1,0),设平面A1CD的法向量为m=(a,b,c),则令a=1,则m=(1,0,-1),若AP∥平面A1CD,则·m=x-1-z=0,即x=1+z≥1,所以只有当x=1,z=0时方程有解,即存在唯一一点P(1,1,0),使得AP∥平面A1CD,故C错误;=(x,1,z-1),=(-1,0,1),若D1P⊥BC1,则·=-x+z-1=0,由x=z-1≥0,可得z=1,x=0,所以存在唯一一点P(0,1,1),使得D1P⊥BC1,故D正确.故选BD.
16.解:(1)证明:在△ABC中,∵点D,E分别为边AC,AB的中点,∴DE∥BC,
又∠ABC=,∴AE⊥ED.
又∵平面AED⊥平面BCDE,平面AED∩平面BCDE=ED,AE 平面AED,∴AE⊥平面BCDE.
又∵DC 平面BCDE,∴DC⊥AE.
(2)由(1)知,AE⊥ED,AE⊥EB,EB⊥ED.以点E为原点,以EB,ED,EA所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Exyz,如图.
则E(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,1,0),A(0,0,2),
∴=(0,0,2),=(2,0,-2),=(0,1,-2).
设平面ABD的法向量为m=(x,y,z),
则即令z=1,则m=(1,2,1).
假设在平面ACD内存在点M,使得平面AEM⊥平面ABD.
若∥,则设=μ=μ(2,1,0)=(2μ,μ,0).设平面AEM的法向量为n=(a,b,c),
则即令a=1,则n=(1,-2,0).
平面ABD的一个法向量为m=(1,2,1),由m·n≠0知此情况不成立.
若与不共线,则设AM∩CD=N,连接EN.
设=λ=λ(2,1,0)=(2λ,λ,0),则=+=(2λ,λ+1,0).
设平面AEN的法向量为t=(p,q,s),则即
令p=λ+1,则t=(λ+1,-2λ,0).
若平面ABD⊥平面AEM,即平面AEN⊥平面ABD,则m⊥t,故m·t=λ+1-4λ=0,解得λ=,∴在平面ACD内存在点M,当点M在直线AN上时,平面AEM⊥平面ABD.第3课时 空间中直线、平面的垂直
【学习目标】
1.能用直线的方向向量和平面的法向量刻画直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直.
2.能分析和解决一些立体几何中的垂直问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方向向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具.
◆ 知识点 用空间向量描述空间线面的垂直关系
设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则
垂直关系 对应线面 图形 满足条件
线线垂直 l1与l2 l1⊥l2
线面垂直 l1与α l1⊥α λ∈R,使得
面面垂直 α与β α⊥β
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两条直线的方向向量垂直,则这两条直线垂直. ( )
(2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直. ( )
(3)两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直. ( )
(4)若直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则l1⊥l2. ( )
◆ 探究点一 空间向量与垂直关系
例1 (1)[2025·嘉兴八校联盟高二期中] 已知m=(-2,t,5),n=(3,-2,t)分别是平面α,β的一个法向量,且α⊥β,则t的值为 ( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
(2)下列说法正确的是 ( )
A.一条直线的方向向量是唯一的
B.若直线l的方向向量与平面α的法向量平行,则l⊥α
C.若平面α的法向量与平面β的法向量平行,则α⊥β
D.若直线l的方向向量与平面α的法向量垂直,则l∥α
变式 (1)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,当点F在线段BC1上运动时,下列结论正确的是 ( )
A.A1F与B1D始终垂直
B.A1F与B1D始终异面
C.A1F与平面BDC1可能垂直
D.A1F与BD可能平行
(2)已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为 .
[素养小结]
在探究空间的垂直关系时,通常的做法是看到直线找直线的方向向量,看到平面找平面的法向量,然后通过向量的运算得到直线的方向向量与直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、平面的法向量与平面的法向量之间的关系,从而确定线面之间的关系.
◆ 探究点二 利用空间向量证明垂直关系
例2 [2025·上饶一中高二月考] 已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=
∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明:
(1)PA⊥BD;
(2)平面PAD⊥平面PAB.
变式 [2025·菏泽高二期中] 如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点.
(1)求证:BM∥平面ADEF;
(2)求证:BC⊥平面BDE.
[素养小结]
(1)用向量法证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直;②证明直线的方向向量与平面的法向量平行.
(2)证明面面垂直的方法:①利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明;②证明两个平面的法向量互相垂直.
拓展 如图①,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,DE⊥AB,垂足为E,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥BE,如图②.
(1)求证:A1E⊥平面BCDE.
(2)在线段BD上是否存在点P,使得平面A1EP⊥平面A1BD 若存在,求的值;若不存在,说明理由.第3课时 空间中直线、平面的垂直
1.已知n1=(1,x,),n2=(x,2,-2)分别是平面α,β的法向量,若α⊥β,则x= ( )
A.1 B.7 C.-2 D.2
2.已知向量a=(4,4,5),b=(-7,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1⊥l2,则下列几组解中可能正确的是 ( )
A.x=1,y=3 B.x=4,y=3
C.x=2,y=4 D.x=0,y=2
3.若直线l的一个方向向量为a=(2,2,-2),平面α的一个法向量为b=(1,1,-1),则 ( )
A.l∥α B.l⊥α
C.l α D.l∥α或l α
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于 ( )
A.AC B.BD
C.A1D D.A1A
5.[2025·重庆育才中学高二月考] 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为棱AA1,BC的中点,若点P为正方体表面上一动点,且满足NP⊥平面MDC,则点P的轨迹长度为 ( )
A.2 B. C. D.2
6.(多选题)下列命题为假命题的是 ( )
A.若直线l的一个方向向量a=(1,-1,2),直线m的一个方向向量b=,则l⊥m
B.若直线l的一个方向向量a=(0,1,-1),平面α的一个法向量n=(1,-1,-1),则l⊥α
C.若平面α,β的一个法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α⊥β
D.若平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(0,2,2),向量n=(x,y,z)(x,y,z∈R)是平面α的法向量,则y+2z=0
7.已知a=(0,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)分别是平面α,β,γ的一个法向量,则α,β,γ三个平面中互相垂直的有 对.
8.[2025·南宁邕宁高级中学高二月考] 已知u=(2,a,b)(a,b∈R)是直线l的方向向量,n=(1,3,2)是平面α的法向量,如果l⊥α,那么2a+3b= .
9.(13分)如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.
10.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,P是AA1的中点,点M在侧面AA1B1B内(含边界),若D1M⊥CP,则△BCM面积的最小值为 ( )
A.8 B.4
C.8 D.
11.(多选题)[2025·南通高二期中] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在线段BD上,点N在线段AD1上,则 ( )
A.当M为BD的中点,N为AD1的中点时,MN⊥平面AB1C1D
B.当M为BD的中点时,MN⊥B1D
C.当MN∥平面CC1D1D时,MN长度的最小值为
D.MN长度的最小值为
12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BC=2CC1=2,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.若点P在平面A1B1C1D1上,且DP⊥平面ACD1,则点P的坐标是 .
13.[2025·乐山一中高二月考] 在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AD=AB=AC=5,BC=6,AP=4,E为棱PB的中点,F为棱PD上一点,当CF⊥AE时,= .
14.(15分)如图,在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=3,G是△PAB的重心,E,F分别为棱BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证:
(1)平面GEF⊥平面PBC;
(2)EG与直线PG和BC都垂直.
15. (多选题)[2025·南京高二期中] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点P满足=λ+μ,λ∈[0,1],μ∈[0,1],则下列说法正确的是 ( )
A.存在唯一一点P,使得过D1,B,P的平面截正方体所得的截面是菱形
B.存在唯一一点P,使得AP⊥平面B1D1C
C.存在无穷多个点P,使得AP∥平面A1CD
D.存在唯一一点P,使得D1P⊥BC1
16.(15分)[2025·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟联考] 如图①,在△ABC中,∠ABC=,AB=2BC=4,点D,E分别为边AC,AB的中点,将△AED沿DE折起,使得平面AED⊥平面BCDE,如图②.
(1)求证:DC⊥AE.
(2)在平面ACD内是否存在点M,使得平面AEM⊥平面ABD 若存在,指出点M的位置;若不存在,说明理由.(共84张PPT)
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第3课时 空间中直线、平面的垂直
探究点一 空间向量与垂直关系
探究点二 利用空间向量证明垂直关系
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能用直线的方向向量和平面的法向量刻画直线与直线、直线与
平面、平面与平面的垂直.
2.能分析和解决一些立体几何中的垂直问题，体会向量方法与综
合几何方法的共性和差异，体会直线的方向向量和平面的法向量的
作用，感悟向量是研究几何问题的有效工具.
知识点 用空间向量描述空间线面的垂直关系
设直线，的方向向量分别为，，平面 ， 的法向量分别
为， ，则
垂直 关系 对应线 面 图形 满足条件
线线 垂直 ________________________________________________
垂直 关系 对应线 面 图形 满足条件
线面 垂直 _________________________________________________
面面 垂直 __________________________________________________
续表
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两条直线的方向向量垂直，则这两条直线垂直.( )
√
（2）直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与
平面垂直.( )
√
（3）两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直.( )
√
（4）若直线,的方向向量分别为, ,则
.( )
√
探究点一 空间向量与垂直关系
例1（1）［2025·嘉兴八校联盟高二期中］已知 ，
分别是平面 ， 的一个法向量，且 ，则 的值
为( )
A.1 B.2 C. D.
[解析] 因为，分别是平面 ， 的一个
法向量，且 ，所以 ，
即 ，
解得 ，故选B.
√
（2）下列说法正确的是( )
A.一条直线的方向向量是唯一的
B.若直线的方向向量与平面 的法向量平行，则
C.若平面 的法向量与平面 的法向量平行，则
D.若直线的方向向量与平面 的法向量垂直，则
√
[解析] 对于A，一条直线的方向向量不唯一，A错误；
对于B，若直线的方向向量与平面 的法向量平行，则 ，B正确；
对于C，若平面 的法向量与平面 的法向量平行，则 ，C错误；
对于D，若直线的方向向量与平面 的法向量垂直，则 或 ，
D错误.故选B.
变式（1）如图，在正方体
中，当点在线段 上运动时，下列结论正
确的是( )
A.与 始终垂直
B.与 始终异面
C.与平面 可能垂直
D.与 可能平行
√
[解析] 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，， ，
， ，
设 ，故 ，
， ， ，
所以 ，即，故A正确；
显然当点在 上运动的过程中,可能与 相交，故B错误；
若
显然不存在满足该方程组的 值，故C错误；
若且，则
显然不存在满足该方程组的 值，故D错误. 故选A.
（2）已知点,,,,若 平面
,则点 的坐标为_________.
[解析] 由题意得,, .
设平面的法向量为,由得
令,则平面的一个法向量为.
因为，所以,即存在实数 ,使得,
即 解得故
［素养小结］
在探究空间的垂直关系时，通常的做法是看到直线找直线的方向向
量，看到平面找平面的法向量，然后通过向量的运算得到直线的方
向向量与直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、平面
的法向量与平面的法向量之间的关系，从而确定线面之间的关系.
探究点二 利用空间向量证明垂直关系
例2 ［2025·上饶一中高二月考］已知四棱锥
的底面是直角梯形，
，
，侧面 底面
.证明：
（1） ；
证明：取的中点，连接 ， ，，
又 侧面 底面 ，侧面 底面，
侧面 ， 底面 .
以为原点，以所在直线为轴，过点与平行的
直线为 轴，所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
不妨设，则, ，,,
, ，， .
，
， .
（2）平面 平面 .
证明：取的中点，连接 ，则 ，
， ， ，
，即 .
同理可得 ，
又,, 平面 ， 平面 .
平面 ， 平面 平面 .
变式 ［2025·菏泽高二期中］如图，正方形与梯形 所在
的平面互相垂直，，，，，
为 的中点.
（1）求证：平面 ；
证明：根据题意可知，平面 平面，
平面 平面 ，
又四边形是正方形，所以， 平面 ，
所以 平面，又，所以，， 两两垂直.
以为原点，分别以，，所在直线为 轴、
轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则,, ,
又为的中点，所以 ，
则，且平面 的一个法向量为 ，
因为，所以 ，
又 平面 ，所以平面 .
（2）求证： 平面 .
证明： 由（1）知， ,
, ，
易知，
所以，所以 .
又，, 平面 ，所以 平面 .
［素养小结］
（1）用向量法证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面
内的两条相交直线的方向向量垂直;②证明直线的方向向量与平面的
法向量平行.
（2）证明面面垂直的方法:①利用面面垂直的判定定理转化为线面
垂直、线线垂直去证明；②证明两个平面的法向量互相垂直.
拓展 如图①，在边长为2的菱形中， , ，垂
足为，将沿折起到的位置，使 ，如图②.
（1）求证： 平面 .
证明：，，又, ,
平面, 平面 ， 平面 .
平面， ，
又,, 平面, 平面 ，
平面 .
（2）在线段上是否存在点，使得平面 平面 ？若
存在，求 的值；若不存在，说明理由.
解：存在，理由如下：
以为原点，分别以,, 所在直线为
,, 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,, , .
假设在线段上存在一点，使得平面 平面 ，
设, ，
则， ，
, .
设平面的法向量为 ，
由 得
令 ，得 .
设平面的法向量为 ，
又, ，
故取 ，得 .
平面 平面 ， ，
解得，满足，
在线段上存在点，使得平面 平面 ，且此时 .
空间垂直关系的向量表示
（1）线线垂直
设直线的方向向量为，直线 的方向向量为
，则 .
（2）线面垂直
设直线的方向向量为，平面 的法向量为
，则 ,
, .
（3）面面垂直
若平面 的法向量为，平面 的法向量为
，则
.
空间垂直关系的解题策略
几何法 向量法
线 线 垂 直 两直线的方向向量
互相垂直
几何法 向量法
线 面 垂 直 （1）证明直线的
方向向量分别与平
面内两条相交直线
的方向向量垂直；
（2）证明直线的
方向向量与平面的
法向量平行
续表
几何法 向量法
面 面 垂 直 证明两个平面的法
向量互相垂直
续表
例1 如图，在正三棱柱 中，，，
，分别是棱， 上的点，.
证明：平面 平面 .
证明：分别取,的中点,，连接, ，
在正三棱柱中， 为正三角形，
所以.因为, 底面 ，
所以 底面 .
以为坐标原点，,, 所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
因为，且 ，
所以,, , , ，
则, , , .
设平面的法向量为 ，则即
令，则 .
设平面的法向量为 ，则
令，则 .
因为，所以 ，所以平面 平面 .
例2 ［2025·广东珠海一中高二月考］如图，在三棱柱
中， ，
，是棱 的中点.
（1）证明： .
证明：如图，取的中点，连接,, .
,, ,
,
，， .
，， 平面，
平面 . 平面， .
（2）若三棱锥的体积为，在棱
上是否存在一点，使得 平面 ？若存在，
请求出线段 的长度；若不存在，请说明理由.
解：不存在，理由如下：由（1）得， 平面 ，
平面， 平面 平面 ，如图，过点作
于点 .
平面 平面， 平面，
平面 .由题意得,, ，
, ， ，
设三棱柱的高为， 三棱锥的体积为 ，
三棱锥的体积为 ，即 ，
，即 ，
， 点为 的中点.
取的中点，连接，则， .
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则，，， ，
，
， ，
， .
设，，则 ，
，
要使 平面，则需且 ，
由得，，解得 ，
由得， ，解得
，由于两个方程解出的 值不同,所以在棱上不存在点 ，
使得 平面 .
练习册
1.已知,分别是平面 , 的法向量，
若 ，则 ( )
A.1 B.7 C. D.2
[解析] 因为 ，所以，故 ，解
得 .故选D.
√
2.已知向量，分别是直线， 的方向向量，
若 ，则下列几组解中可能正确的是( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 由题意得，即 ，将各
选项中的值代入计算，只有C满足 .故选C.
√
3.若直线的一个方向向量为，平面 的一个法向量为
，则( )
A. B.
C. D. 或
[解析] 直线的一个方向向量为，平面 的一个法向
量为，， ，故选B.
√
4.如图，在正方体中,若 为
的中点,则直线 垂直于( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则 , ,,
, ,,
, ,,
,
,,
,
，，
，
与，， 均不垂直.故选B.
5.［2025·重庆育才中学高二月考］如图，已知正方体
的棱长为2，， 分别为棱，
的中点，若点 为正方体表面上一动点，且满足
平面，则点 的轨迹长度为( )
A. B. C. D.2
√
[解析] 连接，以为原点，,, 所在直线
分别为,, 轴，建立空间直角坐标系，
如图，则,, ,
，
则 , , ，
故 ,
，所以 ,，
即，，又，, 平面，
所以 平面，故当点 在线段上时，
满足 平面，点 的轨迹长度为
.故选B.
6.（多选题）下列命题为假命题的是( )
A.若直线的一个方向向量，直线 的一个方向向量
，则
B.若直线的一个方向向量，平面 的一个法向量
，则
C.若平面 ， 的一个法向量分别为， ，
则
D.若平面 经过三点，， ，向量
是平面 的法向量，则
√
√
√
[解析] 对于A选项，，则不与 垂直，
故A为假命题；
对于B选项，令，得则 不存在，即直线不与平面
垂直，故B为假命题；
对于C选项，，则 不与 垂直，故C为假命题；
对于D选项，，，
则 所以，故D为真命题.故选 .
7.已知，，分别是平面 , , 的
一个法向量，则 , , 三个平面中互相垂直的有___对.
0
[解析] 因为 ，
， ，
所以,, 中任意两个都不垂直，即 , , 中任意两个都不垂直.
8.［2025·南宁邕宁高级中学高二月考］已知 是
直线的方向向量，是平面 的法向量，如果 ，那
么 ____.
24
[解析] 因为 ，所以，所以存在实数 ，使得 ，
即，所以 ， ，
，所以 .
9.（13分）如图所示,正三棱柱的棱长均为2,为 的中点.
求证: 平面 .
证明：方法一:取的中点 ,连接
为正三角形, .
在正三棱柱 中,易得平面 平面 ,
平面 平面， 平面，
平面 .
如图，取的中点,连接,以 为原点,,,所在直线
分别为 轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系,
则,, , , .
设平面的法向量为 ,则
即
又, ,
取 ,得 .
,, 平面 .
方法二:设平面 内的任意一条直线的方向向量为，则存在实
数 , ,使得.令 ,, ,
显然它们不共面,且, ,
,将,, 作为空间的一个基底,
则 ,
,
,故,故 ,
故, 平面 .
方法三:令,, ,显然它们不共面,且 ,,,将,, 作为空间的一个基底,
则 ,
,
.
,
,
,,即 ,
,又, 平面 .
10.如图，已知正方体 的棱
长为4，是的中点，点在侧面
内（含边界），若，则 面积
的最小值为( )
A.8 B.4 C. D.
√
[解析] 以为原点，所在直线为 轴，所在直线为轴，
所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，， ，
设 ，
则， .
因为 ，所以，
得 ，所以 ，
，
所以当时，取得最小值 .
易知，，所以 的最
小值为． 故选D．
11.（多选题）［2025·南通高二期中］ 在棱长为1的正方体
中，点在线段上，点在线段 上，则( )
A.当为的中点，为的中点时， 平面
B.当为的中点时，
C.当平面时，长度的最小值为
D.长度的最小值为
√
√
√
[解析] 以 为原点，建立如图所示的空间直角
坐标系，则,, ,
,,,
, ,
点在线段上,点 在线段上,
设 ,,
, ，
,, ,.对于A,当为 的中
点,为的中点时,,, ,
, ,
,
,
,,,
平面, 平面,
平面,故A正确;
对于B,当为 的中点时,,,
又 , ,故B正确;
对于C,易知平面 的一个法向量为，
,平面 ,
,即, ,,所以当 时,,故C错误；
对于D,当 的长度最小时,,,
又 ,, ,
即解得 ,此时 ，
,故 长度
的最小值为,故D正确.故选 .
12.如图，在长方体中， ，
以为原点，,,所在直线分别为轴、轴、 轴，建立空间
直角坐标系.若点在平面上，且 平面，则点
的坐标是________.
[解析] 由题意得， ，, ，所以
，.
因为点 在平面上，所以设点 ，
所以.若 平面 ，
则即
解得所以点的坐标是 .
13.［2025·乐山一中高二月考］在四棱锥中， 底面
,,,,,为棱 的中
点，为棱上一点，当时， ___.
[解析] 以 为原点建立如图所示的空间直角坐标
系，则，,, ,
，,所以 ，
, .
设，则 ，
.
因为，所以 ，
即，解得 ，
所以 .
14.（15分）如图，在三棱锥 中,三条侧棱
,,两两垂直,且, 是
的重心,,分别为棱, 上的点,且
.
求证：（1）平面 平面 ;
证明：以为原点,,, 所在直线分别为轴、轴、
轴，建立如图所示的空间直角坐标系,则，
, ,,,, ，
,
设平面的法向量为 ,
则即
取,得.显然 是平面 的一个法向量.
,, 平面 平面 .
（2）与直线和 都垂直.
证明：由（1）知, ,
, ,
,,
,,与直线 和 都垂直.
15.（多选题）［2025·南京高二期中］ 已知正方体
，点满足,, ，
则下列说法正确的是( )
A.存在唯一一点，使得过,, 的平面截正方体所得的截面是菱形
B.存在唯一一点，使得 平面
C.存在无穷多个点，使得平面
D.存在唯一一点，使得
√
√
[解析] 点满足,,，即点 在正方
形内（包括正方形的四条边）上运动.
对于A，取棱 的中点，过点,,作正方体的截面 ，如图①，
因为平面平面，平面平面 ，
所以根据面面平行的性质定理知，,，
即四边形 为平行四边形，
又为的中点，由可得 ，
所以四边形为菱形，所以当点在线段上时，
过,, 的平面截正方体所得的截面是菱形，故有无穷多个点，
使得过,, 的平面截正方体所得的截面是菱形，A错误；
以为原点，,,所在直线分别为,, 轴
建立空间直角坐标系，如图②，
令, ，
则,,, ,,
， ,，
则,, ，
若 平面，则
解得即存在唯一一点，
使得 平面 ，故B正确；
,，设平面 的法向量为
，则
令，则 ，
若平面，则，
即 ，所以只有当,时方程有解，
即存在唯一一点 ，使得平面，故C错误；
， ，
若，则，
由 ，可得,，所以存在唯一
一点，使得 ，故D正确.故选 .
16.（15分）［2025·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟联考］
如图①，在中，,，点， 分别为边
，的中点，将沿折起，使得平面 平面 ，
如图②.
（1）求证： .
证明：在中， 点，分别为边，的中点，
，又, .
又 平面 平面，
平面 平面, 平面，
平面 .
又 平面, .
（2）在平面内是否存在点，使得平面 平面 ？若
存在，指出点 的位置；若不存在，说明理由.
解：由（1）知，,, .
以点为原点，以,，所在直线分别为 ，
，轴，建立空间直角坐标系 ，如图.
则，，， ， ，
，， .
设平面的法向量为 ，则
即令 ，则 .
假设在平面内存在点，使得平面 平面 .
若 ，则设.
设平面 的法向量为 ，
则即
令 ，则 .平面的一个法向量为 ，
由 知此情况不成立.
若与不共线，则设，连接 .
设 ，则 .
设平面的法向量为 ，
则即
令，则 .
若平面 平面，即平面 平面，
则，故 ，解得，
在平面内存在点，当点 在直线
上时，平面 平面 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 ,,,,,
【诊断分析】（1）√（2）√（3）√（4）√
课中探究 例1.（1）B （2）B 变式.（1）A （2）
例2.（1）证明略 （2）略 变式.证明略
拓展.（1）证明略 （2）存在 .
快速核答案（练习册）
1.D 2.C 3.B 4.B 5.B 6.ABC 7.0 8.24
9.证明略 10.D 11.ABD 12. 13.
14.证明略 15.BD 16.（1）证明略 （2）存在，当点在直线
上
