滚动习题(一)
1.D [解析] 对于A选项,在直线l上取非零向量a,把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量,A错误;对于B选项,方向相同且模相等的两个向量是相等向量,B错误;对于C选项,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底,C错误;对于D选项,任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,D正确.故选D.
2.C [解析] =-,=-,=-,=-,所以-=-+=-,故A错误;-=-+=-,故B错误;+++=----=-(+++),故C正确;-=-+=- ,故D错误.故选C.
3.A [解析] 由题意可得=++=-+-=-a-b+c.故选A.
4.B [解析] 由题意得=,所以·=·=×1×1×cos 60°=,故选B.
5.C [解析] ∵(++2)·(-)=0,∴(+)·(-)=0,可得=,即AB=AC,则△ABC一定是等腰三角形.故选C.
6.D [解析] 因为=x+y-(x,y∈R),点D在△ABC确定的平面内,所以x+y-1=1,即x=2-y,所以x2+y2=(2-y)2+y2=2y2-4y+4=2(y-1)2+2,所以当x=y=1时,x2+y2取得最小值2.故选D.
7.ABD [解析] 对于选项A,根据向量共面的充要条件可知,p与x,y共面,所以选项A正确;对于选项B,根据向量共面的充要条件可知,,,共面,由于它们有公共点M,所以M,P,A,B共面,所以选项B正确;对于选项C,举反例说明,若,,是一个正方体过同一个顶点O的三条棱所对应的向量(以O为起点),则它们的和向量是过点O的体对角线对应的向量(以O为起点),当是该向量的相反向量时,显然四个点A,B,C,D不在同一个平面上,所以选项C错误;对于选项D,由=+-可得6=3+5-2,则0=3-3+5-5+2-2,即0=3+5+2,则=+,此时同选项B,可知P,A,B,C共面,所以选项D正确.故选ABD.
8.ACD [解析] 因为=++,所以=(++)2=+++2·+2·+2·=1+1+1+2×1×1×cos 90°+2×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 60°=5,即||=,故A正确;=+=+=+(-)=-++,故B错误;因为·=·=(-)·=·-·=1×1×cos 60°-1×1×cos 60°=0,所以BB1⊥BD,四边形B1BDD1为矩形,其面积S=B1B×BD=1×=,故C正确;=+-,因为+-1=1,所以M,O,O1,B1四点共面,即M在平面B1BDD1内,故D正确.故选ACD.
9.-6 [解析] 由题意知,存在实数λ,使得n=λm,则xa-2yb+2c=λ(a+3b-c)=λa+3λb-λc.又{a,b,c}为空间的一个基底,则解得则xy=-6.
10. [解析] 如图,设D为AB的中点,连接OD,CD,则=+.因为G是△ABC的重心,所以G在CD上,且CG=2GD,即=2,则-=2(-),所以=+=+=++,可得x=y=z=,则xyz=.
11. [解析] 如图,两条异面直线a,b所成的角为θ.∵AA1⊥a,AA1⊥b,A1E=AF=1,EF=,AA1=2,<,>=θ或π-θ,∴·=0,·=0,∵=++,∴=(++)2=+++2·+2·+2·,∴5=1+4+1±2×1×1×cos θ,解得cos θ=或cos θ=-(舍去).
12.解:(1)因为E是AB的中点,F在OC上,且=2,
所以=(+),=,所以=-=-(+)=--+.
(2)由(1)得=(+),=-=-,
所以||==×
=,
||==
=,
又因为·=(+)·=×=-,所以向量与向量所成角的余弦值为==-.
13.解:(1)设=a,=b,=c,则{a,b,c}可以作为空间的一个基底,
且|a|=|b|=1,a·b=0,a·c=|c|,b·c=|c|.
=a+b+c,
则||==
=
=,
可得|c|=4,所以AA1=4.
(2)证明:连接BD,依题意得==a-b,
因为·=(a+b+c)·=0,
所以⊥,则AC1⊥MN.
14.解:(1)证明:在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,∵A1E=2EA,BF=2FB1,DG=2GD1 ,
∴=,=-,=,
又=,==,
∴=++=+-=+=+=,
又EG,FC1不重合,∴EG∥FC1.
(2)由题意可知A1A⊥AD,AB⊥AD,平面ABCD∩平面AA1D1D=AD,
∴∠A1AB为二面角A1-AD-B的平面角,即∠A1AB=120°,
∴·=2×2×=-2.
连接AC1,AG,∵P是C1G的中点,
∴=(+)=(++++)=++,
∴==+++·+·+·=4+×4+×4+0+×(-2)+0=,则||=,即AP=.滚动习题(一)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.下列关于空间向量的说法正确的是 ( )
A.零向量是任意直线的方向向量
B.方向相同的两个向量是相等向量
C.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
D.任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则下列各结论中正确的是 ( )
A.-与-是一对相反向量
B.-与-是一对相反向量
C.+++与+++是一对相反向量
D.-与-是一对相反向量
3.[2025·天津经开区一中高二期中] 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,设=a,=b,=c,则= ( )
A.-a-b+c B.a-b+c
C.a-b-c D.a+b-c
4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为1,F,G分别是AD,DC的中点,则·= ( )
A. B. C. D.
5.空间中有四个互异的点A,B,C,D,已知(++2)·(-)=0,A,B,C不共线,则△ABC一定是 ( )
A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.等腰三角形 D.无法确定
6.已知点D在△ABC确定的平面内,O是平面ABC外任意一点,且满足=x+y-(x,y∈R),则x2+y2的最小值为 ( )
A. B. C.1 D.2
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.[2025·聊城二中高二月考] 下列说法正确的是 ( )
A.若p=2x+3y,则p与x,y共面
B.若=2+3,则M,P,A,B共面
C.若O为空间中一点,+++=0,则A,B,C,D共面
D.若O为空间中一点,=+-,则P,A,B,C共面
8.[2025·河南九师联盟高二期末] 平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,AA1=AB=1,∠A1AB=∠A1AD=60°,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,则下列说法正确的是 ( )
A.AC1=
B.=-+
C.四边形B1BDD1的面积为
D.若=+-,则点M在平面B1BDD1内
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.已知空间的一个基底为{a,b,c},m=a+3b-c,n=xa-2yb+2c,且满足m∥n,则xy= .
10.[2025·华东师大二附中高二期中] 如图,在四面体OABC中,G是△ABC的重心,若=x+y+z,则xyz= .
11.[2025·佛山石门中学高二月考] 两条异面直线a,b所成的角为θ,在直线a,b上分别取点A1,E和点A,F,使得AA1⊥a,且AA1⊥b.已知A1E=AF=1,EF=,AA1=2,则cos θ= .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)如图,四面体O-ABC的各条棱长均为2,E是AB的中点,F在OC上,且=2.
(1)用,,表示;
(2)求向量与向量所成角的余弦值.
13.(15分)[2025·厦门二中高二月考] 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形, ∠BAA1=∠DAA1=,AC1=.
(1)求侧棱AA1的长;
(2)若M,N分别为D1C1,C1B1的中点,求证:AC1⊥MN.
14.(15分)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别在A1A,B1B,D1D上,且A1E=2EA,BF=2FB1,DG=2GD1.
(1)求证:EG∥FC1;
(2)若底面ABCD和侧面A1ADD1都是正方形,且二面角A1-AD-B的大小为120°,AB=2,P是C1G的中点,求AP的长度.(共27张PPT)
滚动习题（一）
范围1.1~1.2
A.零向量是任意直线的方向向量
B.方向相同的两个向量是相等向量
C.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
D.任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.下列关于空间向量的说法正确的是( )
√
[解析] 对于A选项，在直线上取非零向量，把与向量 平行的非零
向量称为直线 的方向向量，A错误；
对于B选项，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误；
对于C选项，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，
C错误；
对于D选项，任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的
向量，D正确.故选D.
2.已知正方体的中心为 ，则下列各结论中正确的
是( )
A.与 是一对相反向量
B.与 是一对相反向量
C.与 是一对相反向量
D.与 是一对相反向量
√
[解析] ,,, ，所以
，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.故选C.
3.［2025·天津经开区一中高二期中］如图，在平
行六面体中，为 的中点，
设,,，则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可得
.故选A.
√
4.已知空间四边形的每条边和对角线的长都为1,,分别是 ,
的中点,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得 ,
所以 ,故选B.
√
5.空间中有四个互异的点，，， ，已知
，，，不共线，则 一
定是( )
A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.等腰三角形 D.无法确定
[解析] ，
，可得，即 ，
则 一定是等腰三角形.故选C.
√
6.已知点在确定的平面内，是平面 外任意一点，且满
足，则 的最小值为( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 因为，点在 确定的
平面内，所以，即 ，
所以 ，
所以当时， 取得最小值2．故选D.
√
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
7.［2025·聊城二中高二月考］下列说法正确的是( )
A.若，则与， 共面
B.若，则,,, 共面
C.若为空间中一点，，则,,, 共面
D.若为空间中一点，，则,,, 共面
[解析] 对于选项A，根据向量共面的充要条件可知，与， 共面，
所以选项A正确；
√
√
√
对于选项B，根据向量共面的充要条件可知，,共面，
由于它们有公共点，所以，，， 共面，所以选项B正确；
对于选项C，举反例说明，若，， 是一个正方体过同一个
顶点的三条棱所对应的向量（以 为起点），则它们的和向量
是过点的体对角线对应的向量（以为起点），当 是该
向量的相反向量时，显然四个点，，， 不在同一个平面上，
所以选项C错误；
对于选项D，由
可得 ，
则 ，
即，则 ，此时同选项B，
可知，，，共面，所以选项D正确.故选 .
8.［2025·河南九师联盟高二期末］平行六面体 的
底面是正方形，, ,
, ，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.四边形的面积为
D.若，则点在平面 内
√
√
√
[解析] 因为 ，所以
，故B错误；
，即 ，故A正确;
因为，所以 ，四边形为矩形，其面积 ，故C正确；
，因为，所以,,, 四点共面，即在平面内，故D正确.故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
9.已知空间的一个基底为{,,},, ，
且满足，则 ____.
[解析] 由题意知，存在实数 ，使得 ，则
.
又{,, }为空间的一个基底，则解得则 .
10.［2025·华东师大二附中高二期中］如图，在四面体中，
是的重心，若，则 ___.
[解析] 如图，设为的中点，连接， ，
则.因为是 的重心，所以在
上，且，即 ，
则，所以，
可得，则 .
11.［2025·佛山石门中学高二月考］两条异面直线， 所成的角为
， 在直线，上分别取点，和点，，使得 ，且
.已知，，，则 __.
[解析] 如图，两条异面直线， 所成的角为.
， ，，，
， , 或 ，
,，
， ，
，
解得或 （舍去）.
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.（13分）如图，四面体 的各条棱长均为
2，是的中点，在上，且 .
（1）用,,表示 ；
解：因为是的中点，在上，且 ，
所以, ，
所以 .
（2）求向量与向量 所成角的余弦值.
解：由（1）得, ，
所以 ，
，
又因为
，
所以向量与向量所成角的余弦值为 .
，
可得，所以 .
13.（15分）［2025·厦门二中高二月考］ 在平行六面体
中，底面 是边长为1的正方形，
， .
（1）求侧棱 的长；
解：设，，，则{,, }
可以作为空间的一个基底，且，， ，
. ，则
（2）若,分别为，的中点，求证： .
证明：连接，依题意得 ，
因为 ，
所以，则 .
14.（15分）如图，在平行六面体中，，， 分别
在，，上，且，， ．
（1）求证： ；
证明：在平行六面体 中，
，， ，
，， ，
又， ,
，又，不重合， .
（2）若底面和侧面 都是正方形，且二面角
的大小为 ，，是的中点，求 的长度．
解：由题意可知，，
平面 平面 ，
为二面角的平面角，
即 ， .
连接,,是 的中点
，
，则，即 ．
快速核答案
1.D 2.C 3.A 4.B 5.C 6.D 7.ABD 8.ACD 9. 10. 11.
12.（1）.（2）
13.（1）（2）证明略 14.（1）证明略 （2）
