滚动习题(二)
1.A [解析] ∵a=(1,y,2),b=(-1,1,1),且a⊥b,∴a·b=-1+y+2=0,解得y=-1.故选A.
2.D [解析] 因为A(0,0,0),B(1,-1,2),C(-1,-2,1),所以=(1,-1,2),=(-1,-2,1),则||=,||=,·=3,所以cos<,>==,又因为0≤<,>≤π,所以sin<,>=,则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积S=||·||sin<,>=3.故选D.
3.C [解析] 由题意可知·n=0.对于A,=(-4,-4,-3),因为·n=12+0-12=0,所以点(5,5,5)在平面α内,故点P的坐标可能为(5,5,5);对于B,=(-8,-6,-6),因为·n=24+0-24=0,所以点(9,7,8)在平面α内,故点P的坐标可能为(9,7,8);对于C,=(8,-1,10),因为·n=-24+0+40≠0,所以点(-7,2,-8)不在平面α内,故点P的坐标不可能为(-7,2,-8);对于D,=(4,1,3),因为·n=-12+0+12=0,所以点(-3,0,-1)在平面α内,故点P的坐标可能为(-3,0,-1).故选C.
4.C [解析] 由题可知D(,0,0),B(0,,0),E(0,0,1),A(,,0),所以=(,-,0),=(-,0,1),设平面BDE的法向量为n=(a,b,c),则令a=1,得n=(1,1,).设点M的坐标为(x,x,1),则=(x-,x-,1),因为AM∥平面BDE,所以·n=0,即x-+x-+=0,解得x=,所以点M的坐标为.故选C.
5.B [解析] 以C为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),E(2,0,2),F(0,2,1),G(0,0,3),所以=(0,0,2),=(-2,0,1),=(-2,2,-1).设n=(x,y,z)为平面EFG的法向量,则即
令x=1,得y=2,z=2,故n=(1,2,2),则点A到平面EFG的距离为=.故选B.
6.D [解析] 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图.设AA1=2,则AB=1,故C1(0,1,2),G,E(0,1,1),F,所以=,=,故|cos<,>|==
==,故异面直线C1G与EF所成角的余弦值为.故选D.
7.ACD [解析] 因为A(1,0,-1),B(0,1,0),所以=(-1,1,1),则=a,故直线AB的一个方向向量为a=(-2,2,2),故A正确;线段AB的长度为||=,故B错误;向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,=(-1,1,1),=(-2,2,1),则解得则u+t=1,故C正确;=(-1,1,1),=(-1,1,0),则向量与向量夹角的余弦值为==,故D正确.故选ACD.
8.ACD [解析] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E,F.对于A,=(-1,0,1),=,=,显然=-,所以BC1∥平面B1DE或BC1 平面B1DE,又BC1 平面B1DE,所以BC1∥平面B1DE,A正确.对于B,连接A1C1,因为=(-1,0,1),=(-1,1,0),=(0,0,1),=(1,1,0),所以·=0,·=0,即A1C1⊥DD1,A1C1⊥DB,又DD1∩DB=D,DD1 平面BB1D1D,DB 平面BB1D1D,所以A1C1⊥平面BB1D1D,所以是平面BB1D1D的一个法向量.设直线BC1与平面BB1D1D所成的角为θ,则sin θ=|cos<,>|==,可得θ=30°,所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°,B错误.对于C,=,=(0,0,1),=,故·=0,·=1×+×1=0,即DE⊥AA1,DE⊥AF,又AA1∩AF=A,AA1,AF 平面A1AF,故DE⊥平面A1AF,又DE 平面B1DE,所以平面A1AF⊥平面B1DE,C正确.对于D,=,=(1,0,0),设平面A1D1F的法向量为n=(x,y,z),则令y=1,得x=0,z=1,则n=(0,1,1).连接A1E,易知=,所以点E到平面A1D1F的距离为==,D正确.故选ACD.
9.-2 [解析] 因为a,b分别是平面α,β的一个法向量,且α∥β,所以a∥b,故存在实数λ,使得b=λa,即(2,n,1)=λ(-m,1,3),故解得故mn=-2.
10. [解析] 由题意得=(-1,1,0),=(1,1,1),所以A到直线BC的距离为=.设平面ABC的法向量为n=(a,b,c),则即令a=1,得b=1,c=-2,所以n=(1,1,-2),又=(0,2,4),所以P(1,2,3) 到平面ABC的距离为=.
11.∪ [解析] 以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,4),C(0,,0),设N(x,,z)(012.解:(1)由题意,以D1为原点,分别以D1A1,D1C1,D1D所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,
则F(0,1,2),E(2,0,1),B1(2,2,0),D(0,0,2),则=(-2,1,1),=(-2,-2,2).
设异面直线EF与B1D所成的角为α,
则cos α==
==,可得sin α==.
(2)由(1)可知=(2,1,-2),=(2,-1,-1),
则直线FB1的一个单位方向向量u==(2,1,-2)=,
所以点E到直线FB1的距离为=
=.
13.解:(1)证明:因为底面ABCD是菱形,所以AD∥BC,
又BC 平面PBC,AD 平面PBC,所以AD∥平面PBC.
因为点E在棱PC上,平面ADE与棱PB交于点F,
所以平面ADE∩平面PBC=EF,又AD 平面ADE,所以AD∥EF.
因为AD 平面ABCD,EF 平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.
(2)取AD的中点O,连接OP,OB,如图所示,
因为△PAD是正三角形,AD=2,O为AD的中点,
所以OP⊥AD,OA=1,OP=,
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,OP 平面PAD,所以OP⊥平面ABCD,
又OB 平面ABCD,所以OB⊥OP,
又PB=,所以OB=.
在△OAB中,AB=2,OA=1,OB=,结合勾股定理易得OB⊥OA.
以O为原点,OA,OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则O(0,0,0),A(1,0,0),C(-2,,0),D(-1,0,0),P(0,0,).
设=t,t∈[0,1],E(a,b,c),则(a,b,c-)=t(-2,,-),
故a=-2t,b=t,c=(1-t),
所以点E(-2t,t,(1-t)),=(-2,0,0),=(-2t-1,t,(1-t)).
设平面ADE的法向量为n=(x,y,z),
则
即
令z=t,则x=0,y=t-1,
故平面ADE的一个法向量为n=(0,t-1,t),易知平面ABCD的一个法向量为=(0,0,),
故|cos|===,
解得t=或t=-1(舍去),
所以=.
设点E到平面ABCD的距离为d,
则d===.
14.解:(1)证明:在△MBC中,因为A,D分别为MB,MC的中点,所以AD∥BC.
因为BM⊥BC,所以BM⊥AD,所以PA⊥AD,
又PA⊥AB,AB∩AD=A,AB,AD 平面ABCD,
所以PA⊥平面ABCD.
(2)由题意知AP,AB,AD两两垂直.以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
依题意有A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E(1,1,1),则=(1,0,1),=(-2,1,0),=(-2,0,2).
设平面PBD的法向量为n=(x1,y1,z1),则
令y1=2,得x1=1,z1=1,所以n=(1,2,1)是平面PBD的一个法向量.
因为cos<,n>====,所以直线DE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)假设存在λ,使平面PAD与平面ADG夹角的正弦值为,
则平面PAD与平面ADG夹角的余弦值为.
由(2)得,=λ=(2λ,2λ,-2λ)(0≤λ≤1),
所以G(2λ,2λ,2-2λ).
易得平面PAD的一个法向量为n1=(1,0,0).
=(0,1,0),=(2λ,2λ,2-2λ),
设平面ADG的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则
令z2=λ,得y2=0,x2=λ-1,
则n2=(λ-1,0,λ)是平面ADG的一个法向量.
由平面PAD与平面ADG夹角的余弦值为,得|cos|===,即=,
因为0≤λ≤1,所以λ=,故存在λ=,使平面PAD与平面ADG夹角的正弦值为.滚动习题(二)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.设向量a=(1,y,2),b=(-1,1,1),且a⊥b,则y等于 ( )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
2.已知空间中三点A(0,0,0),B(1,-1,2),C(-1,-2,1),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为 ( )
A. B. C.3 D.3
3.已知平面α过点A(1,1,2),它的一个法向量为n=(-3,0,4),P为平面α内一点,则点P的坐标不可能是 ( )
A.(5,5,5) B.(9,7,8)
C.(-7,2,-8) D.(-3,0,-1)
4.在如图所示的空间直角坐标系中,正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直,||=,||=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为 ( )
A.(1,1,1) B.
C. D.
5.[2025·晋城高二期中] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=2,AA1=4,且=,3=,=3,则点A到平面EFG的距离为 ( )
A.1 B.
C. D.
6.[2025·烟台高二期中] 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E,F,G分别是CC1,BD,A1B1的中点,则异面直线C1G与EF所成角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.[2025·南京秦淮区高二期中] 平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则下列选项中正确的是 ( )
A.直线AB的一个方向向量为a=(-2,2,2)
B.线段AB的长度为3
C.u+t=1
D.向量与向量夹角的余弦值为
8.[2025·广东省实验中学高二期中] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,则 ( )
A.BC1∥平面B1DE
B.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
C.平面A1AF⊥平面B1DE
D.点E到平面A1D1F的距离为
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.[2025·上海崇明中学高二期中] 已知a=(-m,1,3),b=(2,n,1)分别是平面α,β的一个法向量,且α∥β,则mn= .
10.[2025·天津滨海新区高二期中] 若空间中有三点A(1,0,-1),B(0,1,-1),C(1,2,0),则A到直线BC的距离为 ,点P(1,2,3) 到平面ABC的距离为 .
11.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=4,AB=,点N为侧面BCC1B1上的动点(不含边界),且满足D1N⊥CN.记直线D1N与平面BCC1B1所成的角为θ,则tan θ的取值范围为 .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,E,F分别为AA1,CD的中点.
(1)求异面直线EF与B1D所成角的正弦值;
(2)求点E到直线FB1的距离.
13.(15分)[2025·福州三中高二期中] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,△PAD是正三角形,PB=,平面PAD⊥平面ABCD,点E在棱PC上.
(1)若平面ADE与棱PB交于点F,求证:EF∥平面ABCD;
(2)若二面角E-AD-B的余弦值为,求点E到平面ABCD的距离.
14.(15分)如图①,在△MBC中,BM⊥BC,A,D分别为边MB,MC的中点,且BC=AM=2,将△MAD沿AD折起到△PAD的位置,使PA⊥AB,如图②,连接PB,PC.
(1)求证:PA⊥平面ABCD.
(2)若E为PC的中点,求直线DE与平面PBD所成角的正弦值.
(3)棱PC上一动点G满足=λ(0≤λ≤1),是否存在λ,使平面PAD与平面ADG夹角的正弦值为 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
① ②(共39张PPT)
滚动习题（二）
范围
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.设向量，，且，则 等于( )
A. B.1 C. D.2
[解析] ，，且 ，
，解得 .故选A.
√
2.已知空间中三点，，，则以，
为邻边的平行四边形的面积为( )
A. B. C.3 D.
[解析] 因为，， ，所以
，，则， ，
，所以,，又因为 ,
，所以,，则以， 为邻边的平行四边形
的面积, .故选D.
√
3.已知平面 过点，它的一个法向量为， 为平
面 内一点，则点 的坐标不可能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知.对于A， ，因为
，所以点在平面 内，故点 的坐标
可能为；
对于B， ，因为，
所以点在平面 内，故点 的坐标可能为；
对于C， ，因为，所以
点不在平面 内，故点的坐标不可能为；
对于D， ，因为，所以
点在平面 内，故点 的坐标可能为 .故选C.
4.在如图所示的空间直角坐标系中，正方形与矩形 所在
的平面互相垂直，，，在上，且 平面
，则点 的坐标为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题可知， ，，， ，）
所以， ，
设平面的法向量为 ，
则令 ，得.
设点的坐标为，则 ，
因为平面，所以，即
解得，所以点的坐标为 ．故选C．
5.［2025·晋城高二期中］如图，在直三棱柱
中，， ，
，且，， ，
则点到平面 的距离为( )
A.1 B. C. D.
√
[解析] 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐
标系，则，，， ，
所以， ，
.设为平面 的法向
量，则即
令，得，，故，则点
到平面的距离为 .故选B.
6.［2025·烟台高二期中］在正四棱柱 中，
，，，分别是，， 的中点，则异面直线
与 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以为坐标原点，,, 所在直线分别为,, 轴，建立空间直角坐标系，如图.
设,则，故 , ,, ，所以， ，故, ，故异面直线与所成角的余弦值为 .故选D.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
7.［2025·南京秦淮区高二期中］平面 经过三点 ，
，，向量是平面 的一个法向量，则
下列选项中正确的是( )
A.直线的一个方向向量为
B.线段 的长度为3
C.
D.向量与向量夹角的余弦值为
√
√
√
[解析] 因为，，所以，则 ，
故直线的一个方向向量为，故A正确；
线段 的长度为，故B错误；
向量是平面 的一个法向量，，，
则 解得则，故C正确；
， ，则向量与向量夹角的余弦值
为 ，故D正确.故选 .
8.［2025·广东省实验中学高二期中］在棱长为1的正方体
中，，分别是， 的中点，则( )
A.平面
B.直线与平面所成的角为
C.平面 平面
D.点到平面的距离为
√
√
√
[解析] 在棱长为1的正方体 中，
以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，， ，，
，， ， .
对于A，，， ，显然
，所以平面或 平面 ，又
平面，所以平面，A正确.
对于B，连接 ，因为， ，
， ，
所以， ，
即，，又 ，
平面， 平面 ，
所以 平面，所以 是平面
的一个法向量.
设直线 与平面所成的角为 ，
则 ,，可得， 所以
直线与平面所成的角为 ，B错误.
对于C，，， ，
故 ， ，
即，，
又 ，， 平面，
故 平面 ，
又 平面，所以平面 平面，C正确.
对于D， ，，
设平面 的法向量为，
则
令，得,，则 .
连接，易知，所以点 到平面的距离
为 ，D正确.故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
9.［2025·上海崇明中学高二期中］已知，
分别是平面 ， 的一个法向量，且 ，则 ____.
[解析] 因为,分别是平面 ， 的一个法向量，且 ，
所以，故存在实数 ，使得，即 ，
故解得故 .
10.［2025·天津滨海新区高二期中］若空间中有三点 ，
，，则到直线的距离为____，点 到平
面 的距离为____.
[解析] 由题意得,，所以到直线 的距
离为.
设平面的法向量为 ，则即
令，得, ，所以，
又，所以到平面 的距离为 .
11.在正四棱柱中，，，点 为侧
面上的动点（不含边界），且满足.记直线 与
平面所成的角为 ，则 的取值范围为
_ ________________.
[解析] 以 为原点，建立如图所示的空间直角
坐标系，则， ，
设 ，
则， ，
因为，所以 ，
则，又 ，所以，
解得或 .
易知平面的一个法向量为 ，
所以 ，
则，所以 ，
所以 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.（13分）如图，在正方体中，,, 分别
为, 的中点.
（1）求异面直线与 所成角的正弦值；
解：由题意，以为原点，分别以, , 所在直线为,, 轴
建立空间直角坐标系，如图，则,,, ，
则, .
设异面直线与所成的角为 ，
则 ，
可得 .
（2）求点到直线 的距离.
解：由（1）可知, ，
则直线 的一个单位方向向量
，
所以点到直线 的距离为
.
13.（15分）［2025·福州三中高二期中］ 如图，在四棱锥
中，底面是边长为2的菱形，是正三角形， ，
平面 平面，点在棱 上.
（1）若平面与棱交于点，求证：平面 ；
解：证明：因为底面 是菱形，所以 ，
又 平面， 平面，所以 平面 .
因为点在棱上，平面与棱交于点 ，
所以平面 平面，又 平面，
所以 .
因为 平面， 平面，所以平面 .
（2）若二面角的余弦值为，求点到平面 的距离.
解：取的中点，连接， ，如图所示，
因为是正三角形，，为 的中点，
所以，， ，
又平面 平面，平面 平面，
平面，所以 平面 ，
又 平面，所以 ，又，所以 .
在中，，， , 结合勾股定理易得 .
以为原点，，， 所在直线分别为轴、轴、 轴建立如图
所示的空间直角坐标系，则，， ，
， .
设，， ,则
，故,, ，
所以点 ， ，
.
设平面的法向量为 ，则
即
令，则， ，
故平面 的一个法向量为，
易知平面 的一个法向量为 ，
故,， 解得或 （舍去），
所以 .
设点到平面的距离为 ，则 .
14.（15分）如图①，在中，，，分别为边 ，
的中点，且，将沿折起到 的位置，
使，如图②，连接， .
①
②
证明：在中，因为，分别为， 的中点，所以 .
因为，所以，所以 ，
又，，, 平面 ，
所以 平面 .
（1）求证： 平面 .
（2）若为的中点，求直线与平面 所成角的正弦值.
解：由题意知，，两两垂直.以 为坐标原点，
,, 所在直线分别为,, 轴，建立如图所示的
空间直角坐标系 ，依题意有，，
，，， ，
则， ， .
设平面的法向量为 ，
则 令，得， ，
所以是平面 的一个法向量.
因为 , ，
所以直线与平面 所成角的正弦值为 .
（3）棱上一动点满足，是否存在 ，使平面
与平面夹角的正弦值为？若存在，求出 的值；若不存
在，请说明理由.
①
②
解：假设存在 ，使平面与平面夹角的正弦值为 ，
则平面与平面夹角的余弦值为 .
由（2）得， ，
所以 .
易得平面的一个法向量为 .
， ，
设平面的法向量为 ，
则
令 ，得， ，
则是平面 的一个法向量.
由平面与平面夹角的余弦值为，
得 ,，即 ，
因为，所以，故存在，使平面与平面 夹
角的正弦值为 .
快速核答案
1.A 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D 7.ACD 8.ACD
9. 10., 11. 12.（1） （2）
13.（1）证明略 （2）
14.（1）证明略 （2）（3）存在
