第18讲 任意角和弧度制、三角函数的概念
【知识点1】角及其表示 3
【知识点2】弧度制及其应用 5
【知识点3】三角函数的概念 8
【知识点4】三角函数的性质 10
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α，＝tan α(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
(3)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
常用结论
1．象限角
2．轴线角
3．若角α∈，则sin α<α【知识点1】角及其表示
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．
例1：
【例1】（2025春 辽宁期中）若角，，则符合条件的角的最大负角为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据负角可得，从而可求最大负角．
【解答】解：令，解得．
所以的最大负角为．
故选：．
【例2】（2024秋 铜陵期末）的终边在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
【分析】根据终边相同的角和象限角的定义计算．
【解答】解：因为，因为的终边在第二象限，
且角的终边与的终边位置相同，
故角的终边在第二象限．
故选：．
【例3】（2025春 抚州月考）已知是钝角三角形中最大的角，则是
A．第一象限角 B．第三象限角
C．第四象限角 D．小于的正角
【答案】
【分析】先得到钝角的取值范围，进而求得的取值范围，从而确定正确答案．
【解答】解：由题可得：，
则，故是第一象限角．
故选：．
【例4】（2024秋 广州月考）已知第二象限角，钝角，大于的角，那么、、关系是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】第二象限角是指终边落在第二象限的角，钝角范围为，大于的角指，再考虑它们的关系即可．
【解答】解：第二象限角是指终边落在第二象限的角，
钝角范围为，角的终边落在第二象限；
大于的角指，
．
故选：．
【例5】（2025春 怀柔区期中）将化成角度是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由，得，代入计算即可得解．
【解答】解：因为由，得，
所以．
故选：．
【知识点2】弧度制及其应用
应用弧度制解决问题时应注意
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角
【例6】（2025春 陕西期中）将化为弧度制，正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合弧度制的定义，即可求解．
【解答】解：．
故选：．
【例7】（2024秋 柳州期末）已知扇形的圆心角为，面积为24，则该扇形的弧长为
A．4 B． C．12 D．
【答案】
【分析】先由扇形的面积公式可得半径，进而由弧长公式可得答案．
【解答】解：设该扇形的弧长为，圆心角为，半径为，
因为扇形的圆心角为，面积为24，
由，可得，解得，
故，
则该扇形的弧长为12．
故选：．
【例8】（2025春 河南期中）已知某扇形的圆心角为，半径为11，则该扇形的周长为
A．7 B．18 C．22 D．29
【答案】
【分析】设该扇形的圆心角为，半径为，弧长为，利用扇形的弧长和周长公式列式求解即可．
【解答】解：因为扇形的圆心角为，半径为11，
设该扇形的圆心角为，半径为，弧长为，
可得，
可得扇形的弧长，
可得扇形的周长为．
故选：．
【例9】（2025 潮阳区模拟）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于
A．1 B． C．3 D．6
【答案】
【分析】根据扇形面积公式计算求解．
【解答】解：设圆心角为，
因为扇形的半径等于2，面积等于6，
所以，解得．
故选：．
【例10】（2024秋 梅州期末）图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设的长为，的长为，若，，且，则几何图形的面积为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由题意利用扇形的弧长公式可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：由题意，，设，
则的长为，的长为，
若，，
则，解得，
可得，，
则几何图形的面积
．
故选：．
【知识点3】三角函数的概念
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．
(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
例1：
【例11】（2025 盈江县模拟）若角的终边经过点，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求出值，再根据同角三角函数的基本关系求出的值．
【解答】解：角的终边经过点，则，
故有．
故选：．
【例12】（2025 天心区模拟）已知点在角的终边上，且，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据任意角的三角函数的定义即可求解．
【解答】解：因为点在第一象限，
根据三角函数的定义可知，，且，可得．
故选：．
【例13】（2025 宁夏模拟）在的终边上取一点为，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先求出点到原点的距离，然后按照的定义求出结果．
【解答】解：，，，由任意角的三角函数的定义知，
，
故选：．
【例14】（2025春 海淀区月考）已知角终边上一点坐标为，则值为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据正弦函数的定义求解即可．
【解答】解：由角终边上一点坐标为，
可得：．
故选：．
【例15】（2024秋 泰州期末）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解．
【解答】解：因为在平面直角坐标系中，角的终边经过点，
则．
故选：．
【知识点4】三角函数的性质
已知象限判符号：由角所在象限直接判断．
已知符号定范围：依据符号反向推导角的象限．
解三角不等式：结合单位圆、三角函数图象，找临界角，再扩展周期．
比较大小：通过单位圆中三角函数线长度．
解不等式：结合单位圆上三角函数线位置．
推导公式：用单位圆对称关系．
求周期：套公式；复杂函数通过变形．
周期性求值：利用周期化简自变量．
解周期方程/不等式：先解一个周期内的解，再扩展周期
例1：
【例16】（2025春 朝阳月考）在下列三角函数值中，为负数的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合弧度角所在的象限，即可求解．
【解答】解：，则，故错误；
，则，故错误；
，则，故正确；
，
则，故错误．
故选：．
【例17】（2025春 湖北月考）若，则下列说法正确的是
A． B．
C． D．是第三象限角
【答案】
【分析】根据弧度制定义即可判断其所在象限，再利用正弦函数和余弦函数以及正切函数的性质即可判断．
【解答】解：对，因为在上单调递增，，
所以，故错误；
对，因为，所以是第二象限角，
，故错误，正确，错误．
故选：．
【例18】（2025春 广东月考）函数的最小正周期是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合正切函数的图象求解即可．
【解答】解：由于函数的最小正周期为，
故函数的周期与的最小正周期一致也是，
所以函数的最小正周期为．
故选：．
【例19】（2025 金昌模拟）已知函数的最小正周期为，则
A． B． C． D．2025
【答案】
【分析】根据三角函数的周期公式列式求得的值，得到的解析式，进而运用诱导公式与特殊角的三角函数值求得的值．
【解答】解：由题意得的最小正周期，解得，所以，
可得．
故选：．
【例20】（2025春 昌乐县期中）点在平面直角坐标系中位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
【分析】先根据角的终边所在象限判断三角函数值的符，得到点的坐标的符号进而判断出点所在的象限．
【解答】解：因为，所以，又，所以，
所以点在平面直角坐标系中位于第四象限．
故选：．第18讲 任意角和弧度制、三角函数的概念
【知识点1】角及其表示 3
【知识点2】弧度制及其应用 4
【知识点3】三角函数的概念 5
【知识点4】三角函数的性质 6
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α，＝tan α(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
(3)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
常用结论
1．象限角
2．轴线角
3．若角α∈，则sin α<α【知识点1】角及其表示
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．
例1：
【例1】（2025春 辽宁期中）若角，，则符合条件的角的最大负角为
A． B． C． D．
【例2】（2024秋 铜陵期末）的终边在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例3】（2025春 抚州月考）已知是钝角三角形中最大的角，则是
A．第一象限角 B．第三象限角
C．第四象限角 D．小于的正角
【例4】（2024秋 广州月考）已知第二象限角，钝角，大于的角，那么、、关系是
A． B． C． D．
【例5】（2025春 怀柔区期中）将化成角度是
A． B． C． D．
【知识点2】弧度制及其应用
应用弧度制解决问题时应注意
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角
【例6】（2025春 陕西期中）将化为弧度制，正确的是
A． B． C． D．
【例7】（2024秋 柳州期末）已知扇形的圆心角为，面积为24，则该扇形的弧长为
A．4 B． C．12 D．
【例8】（2025春 河南期中）已知某扇形的圆心角为，半径为11，则该扇形的周长为
A．7 B．18 C．22 D．29
【例9】（2025 潮阳区模拟）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于
A．1 B． C．3 D．6
【例10】（2024秋 梅州期末）图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设的长为，的长为，若，，且，则几何图形的面积为
A． B． C． D．
【知识点3】三角函数的概念
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．
(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
例1：
【例11】（2025 盈江县模拟）若角的终边经过点，则
A． B． C． D．
【例12】（2025 天心区模拟）已知点在角的终边上，且，则的值为
A． B． C． D．
【例13】（2025 宁夏模拟）在的终边上取一点为，则
A． B． C． D．
【例14】（2025春 海淀区月考）已知角终边上一点坐标为，则值为
A． B． C． D．
【例15】（2024秋 泰州期末）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则
A． B． C． D．
【知识点4】三角函数的性质
已知象限判符号：由角所在象限直接判断．
已知符号定范围：依据符号反向推导角的象限．
解三角不等式：结合单位圆、三角函数图象，找临界角，再扩展周期．
比较大小：通过单位圆中三角函数线长度．
解不等式：结合单位圆上三角函数线位置．
推导公式：用单位圆对称关系．
求周期：套公式；复杂函数通过变形．
周期性求值：利用周期化简自变量．
解周期方程/不等式：先解一个周期内的解，再扩展周期
例1：
【例16】（2025春 朝阳月考）在下列三角函数值中，为负数的是
A． B． C． D．
【例17】（2025春 湖北月考）若，则下列说法正确的是
A． B．
C． D．是第三象限角
【例18】（2025春 广东月考）函数的最小正周期是
A． B． C． D．
【例19】（2025 金昌模拟）已知函数的最小正周期为，则
A． B． C． D．2025
【例20】（2025春 昌乐县期中）点在平面直角坐标系中位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
