22.1.3 二次函数y=a（x-h）? +k的图象和性质（同步练习.含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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22.1.3 二次函数y=a（x-h） +k的图象和性质
一．选择题（共8小题）
1．（2025 南岗区模拟）抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣3
2．（2024秋 桐柏县期末）抛物线y＝﹣（x+2）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
3．（2024秋 全椒县期末）抛物线y＝（x﹣2024）2﹣2023的对称轴是（　　）
A．直线x＝2024 B．直线x＝2023
C．直线x＝﹣2024 D．直线x＝﹣2023
4．（2025春 从江县校级月考）二次函数y＝﹣（x﹣3）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，5） B．（3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，﹣5）
5．（2025 哈尔滨一模）抛物线y＝（x+1）2﹣2的对称轴是直线（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝1
6．（2025 双城区一模）二次函数y＝5（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
7．（2025 湖北模拟）已知二次函数y＝（x﹣2）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2），如果y1＞y2，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞0或a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＜2 D．1＜a＜3
8．（2025 乌鲁木齐一模）对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1，下列判断不正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标是（2，1）
C．对称轴为直线x＝﹣2
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
二．填空题（共4小题）
9．（2025 南岗区校级三模）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+5的对称轴为直线　 　 ．
10．（2025 涟水县二模）二次函数y＝3（x+2）2+1的图象的顶点坐标是 　 　 ．
11．（2025 普陀区三模）已知二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象经过原点，那么m＝ 　 　 ．
12．（2025 大丰区一模）二次函数y＝2（x﹣1）2+5的图象的顶点坐标为　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2024秋 上城区校级月考）已知二次函数y＝（x﹣1）2+2．
（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值；
（2）当x＝6时，求y的值．
14．（2024秋 大荔县校级月考）已知抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，函数有最大值，则当x为何值时，y随x的增大而减小？
15．（2024秋 靖西市期中）画函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答：
（1）当x为何值时，y随x的增大而减小．
（2）当x为何值时，y＞0．
22.1.3 二次函数y=a（x-h） +k的图象和性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 南岗区模拟）抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣3
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】二次函数的顶点式y＝（x﹣h）2+k，对称轴为x＝h．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是直线x＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式y＝（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h．
2．（2024秋 桐柏县期末）抛物线y＝﹣（x+2）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+2）2+5，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣2，5），
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，由函数的顶点式可以直接写出顶点坐标．
3．（2024秋 全椒县期末）抛物线y＝（x﹣2024）2﹣2023的对称轴是（　　）
A．直线x＝2024 B．直线x＝2023
C．直线x＝﹣2024 D．直线x＝﹣2023
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣2024）2﹣2023的对称轴是直线x＝2024，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2025春 从江县校级月考）二次函数y＝﹣（x﹣3）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，5） B．（3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，﹣5）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】对于二次函数y＝a（x﹣h）2+k（其中a、b、c是常数，a≠0），其顶点坐标是（h，k），据此可得答案．
【解答】解：二次函数的顶点坐标是（3，5），
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键．
5．（2025 哈尔滨一模）抛物线y＝（x+1）2﹣2的对称轴是直线（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝1
【考点】二次函数的性质．
【专题】常规题型；二次函数图象及其性质．
【答案】B
【分析】由抛物线的顶点式即可求得答案．
【解答】解：
∵y＝（x+1）2﹣2，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为直线x＝h，顶点坐标为（h，k）．
6．（2025 双城区一模）二次函数y＝5（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】根据函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝5（x﹣1）2+2，
∴该函数的顶点坐标（1，2），
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，由函数的顶点式可以写出顶点坐标．
7．（2025 湖北模拟）已知二次函数y＝（x﹣2）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2），如果y1＞y2，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞0或a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＜2 D．1＜a＜3
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】由二次函数解析式，利用二次函数的性质，可得出抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝2，当x≤2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，分a+1≤2，a﹣1＜2＜a+1，及a﹣1≥2三种情况考虑，根据y1＞y2，即可求出a的取值范围．（其实利用点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离来解决很简单）
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2+2m+1，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴当x≤2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，
∴当a+1≤2，即a≤1时，显然成立；
当a﹣1＜2＜a+1，即1＜a＜3时，2﹣（a﹣1）＞a+1﹣2，
解得：a＜2，
∴1＜a＜2；
当a﹣1≥2，即a≥3时，显然不成立．
综上所述，a的取值范围为a＜2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，牢记“在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，当a＞0时，抛物线开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大；当a＜0时，抛物线开口向下，离对称轴越远的点，函数值越小”是解题的关键．
8．（2025 乌鲁木齐一模）对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1，下列判断不正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标是（2，1）
C．对称轴为直线x＝﹣2
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】根据解析式y＝﹣（x﹣2）2+1，可判定抛物线开口向下，顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2，当x＜2时，y随x的增大而增大，解答即可．
【解答】解：由解析式可知：抛物线开口向下，（2，1）为顶点，
对称轴为直线x＝2，
当x＜2时，y随x的增大而增大．
故A，B，D正确，C错误，
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握解题方法是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
9．（2025 南岗区校级三模）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+5的对称轴为直线　x＝1　 ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】x＝1．
【分析】根据二次函数的顶点坐标式解析式，可知y＝﹣3（x﹣1）2+5的对称轴是直线x＝1．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+5的顶点坐标是（1，5），
∴抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+5的对称轴是直线x＝1，
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握其性质是解题的关键．
10．（2025 涟水县二模）二次函数y＝3（x+2）2+1的图象的顶点坐标是 　（﹣2，1）　 ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；符号意识．
【答案】（﹣2，1）．
【分析】根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的性质求解即可．
【解答】解：∵y＝3（x+2）2+1，
∴二次函数y＝3（x+2）2+1的图象的顶点坐标是（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知对于二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），其顶点坐标为（h，k）是解题的关键．
11．（2025 普陀区三模）已知二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象经过原点，那么m＝ 　﹣4　 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】﹣4．
【分析】将（0，0）代入解析式求解．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象经过原点，
∴0＝（0﹣2）2+m，
解得m＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
12．（2025 大丰区一模）二次函数y＝2（x﹣1）2+5的图象的顶点坐标为　（1，5）　 ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为y＝2（x﹣1）2+5是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+5，
∴二次函数图象的顶点坐标是（1，5）．
故答案为（1，5）
【点评】此题主要考查了二次函数性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等．
三．解答题（共3小题）
13．（2024秋 上城区校级月考）已知二次函数y＝（x﹣1）2+2．
（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值；
（2）当x＝6时，求y的值．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的三种形式．
【专题】转化思想；模型思想；应用意识．
【答案】（1）a＝1，b＝﹣2，c＝3；
（2）x＝6时，y＝27．
【分析】（1）由y＝（x﹣1）2+2利用完全平方公式展开为y＝x2﹣2x+3，则abc即可确定；
（2）将x＝6代入y＝（x﹣1）2+2即可．
【解答】解：（1）由y＝（x﹣1）2+2，
则y＝x2﹣2x+3，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝3；
（2）y＝（x﹣1）2+2．
当x＝6时，y＝（6﹣1）2+2＝27，
故x＝6时，y＝27；
【点评】本题考查二次函数的解析式顶点式与一般式的互化，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
14．（2024秋 大荔县校级月考）已知抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，函数有最大值，则当x为何值时，y随x的增大而减小？
【考点】二次函数的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】该函数有最大值，则该抛物线的开口方向向下，且对称轴是直线x＝2．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2有最大值，
∴该抛物线的开口方向向下．
又∵当x＝2时，函数有最大值，
∴对称轴是直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查了二次函数的性质．根据题意推知x＝2是对称轴和抛物线的开口方向向下是解题的关键．
15．（2024秋 靖西市期中）画函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答：
（1）当x为何值时，y随x的增大而减小．
（2）当x为何值时，y＞0．
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【专题】函数及其图象．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据y＝（x﹣2）2﹣1可以画出函数的图象，然后根据函数图象可以解答问题（1），（2）．
【解答】解：函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象如图所示，
（1）由函数图象可知，当x＜2时，y随x的增大而减小；
（2）由函数图象可知，当x＜1或x＞3时，y＞0．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解答问题．
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