22.1.4 二次函数y=ax?+ bx+ c的图象和性质（同步练习.含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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22.1.4 二次函数y=ax + bx+ c的图象和性质
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 滦南县期末）下列二次函数中，最大值为1的是（　　）
A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝﹣x2﹣1 D．y＝﹣x2+1
2．（2025 赤坎区校级四模）抛物线y＝﹣（x﹣1）2的图象一定经过（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
3．（2025 亭湖区校级三模）函数y＝|x|﹣1的图象如图所示，类似地，函数y＝x2﹣4|x|﹣2的图象为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025 浙江模拟）已知二次函数，则下列结论正确的是（　　）
A．若﹣2＜a＜0＜b，则y1＜y2 B．若﹣2＜a＜b＜0，则y1＜y2
C．若0＜a＜2＜b，则y1＜y2 D．若0＜a＜b＜2，则y1＜y2
5．（2025 清城区一模）若将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3
6．（2025 陕西校级二模）已知关于x的二次函数y＝x2+（b﹣3）x﹣b的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（　　）
A．b＜3 B．b＞3 C．b≤0 D．b＜0
7．（2025 杞县三模）已知抛物线y＝ax2+4ax（a＜0）经过点A（m，y1），B（m+1，y2），若0＜y1＜y2，则m的取值范围是（　　）
A． B． C．﹣4＜m≤﹣3 D．﹣3＜m＜﹣2
8．（2025 哈尔滨模拟）二次函数y＝﹣x2+2x﹣5图象的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣4） B．（1，﹣4） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
二．填空题（共5小题）
9．（2025春 秦淮区校级期末）若y＝﹣4t2+12t+6，则y的取值范围是 　 　 ．
10．（2025春 西城区校级月考）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+2ax+3a﹣2的图象的最低点在x轴上，则a＝　 　 ．
11．（2025 徐州校级模拟）已知抛物线y＝x2+2x﹣3，经过（﹣2，y1）和（2，y2）两点，则y1　 　 y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
12．（2025 樟树市校级模拟）二次函数y＝x2+12x+10的顶点坐标为　 　 ．
13．（2025春 长宁区校级月考）如果点A（﹣2，m），B（1，n）是抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＜0）上的两个点，那么m和n的大小关系是m 　 　 n．（填“＞”，“＜”或“＝”）
三．解答题（共2小题）
14．（2025 五华区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线（a为常数，a≠0）与y轴交于点（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线记为L1，将抛物线y＝﹣x2+4x+4（x≤0）记为L2，L1与L2合起来的图象记为L．对于L上的两点M（x1，y1）和N（x2，y2），当x1≥4，t≤x2≤t+2时，总有y1＜y2，求t的取值范围．
15．（2025 河南模拟）已知二次函数y＝﹣2x2+8x﹣2，函数值y和自变量x的部分对应取值如表：
x … 0 3 4 …
y … ﹣2 b c …
请观察表格，解决下列问题．
（1）填空：b＝　 　 ，c＝　 　 ；
（2）当0≤x≤m时，该二次函数的最大值与最小值的差为6，求m的值；
（3）已知M（n，4），N（n+1，4），若线段MN与抛物线有交点，求n的取值范围．
22.1.4 二次函数y=ax + bx+ c的图象和性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 滦南县期末）下列二次函数中，最大值为1的是（　　）
A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝﹣x2﹣1 D．y＝﹣x2+1
【考点】二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】D
【分析】当a＜0时，y＝ax2+k有最大值，为k，据此即可作答．
【解答】解：A、y＝x2+1，1＞0，开口方向向上，有最小值，且为1，不符合题意；
B、y＝x2﹣1，1＞0，开口方向向上，有最小值，且为﹣1，不符合题意；
C、y＝﹣x2﹣1，﹣1＜0，开口方向向下，有最大值，且为﹣1，不符合题意；
D、y＝﹣x2+1，﹣1＜0，开口方向向下，有最大值，且为1，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2025 赤坎区校级四模）抛物线y＝﹣（x﹣1）2的图象一定经过（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】依据题意，根据抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断得解．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2的顶点为（1，0）且开口向下，当x＝0时，y＝﹣1，
∴抛物线一定经过第三，四象限．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，根据解析式开口方向及顶点位置求解．
3．（2025 亭湖区校级三模）函数y＝|x|﹣1的图象如图所示，类似地，函数y＝x2﹣4|x|﹣2的图象为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】C
【分析】分别求出当x＜0时和当x≥0时的函数解析式，进而得到当x＜0时和当x≥0时函数的开口方向和对称轴，再结合函数图象即可得到答案．
【解答】解：当x＜0时，函数解析式为y＝x2﹣4（﹣x）﹣2＝x2+4x﹣2，
当x≥0时，y＝x2﹣4x﹣2，
∴当x＜0时，该函数是二次函数，开口向上，对称轴为直线，
当x≥0时，该函数是二次函数，开口向上，对称轴为直线，
故函数y＝|x|﹣1的图象如图所示，类似地，函数y＝x2﹣4|x|﹣2的图象，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的识别，正确记忆相关知识点是解题关键．
4．（2025 浙江模拟）已知二次函数，则下列结论正确的是（　　）
A．若﹣2＜a＜0＜b，则y1＜y2 B．若﹣2＜a＜b＜0，则y1＜y2
C．若0＜a＜2＜b，则y1＜y2 D．若0＜a＜b＜2，则y1＜y2
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】先构造差函数，再根据二次函数图象与性质，以及对应图象与x轴的交点问题求解即可．
【解答】解：根据题意得，
要使y1＜y2，只需y＞0恒成立，
当a＝1时，函数y＝（1﹣b）x+4是一次函数，显然y＞0不恒成立，
当a＞1时，二次函数y的图象开口向下，
∴y＞0不是恒成立，故选项C、D不符合题意；
∴只需1﹣a＞0，且Δ＝（a﹣b）2﹣16（1﹣a）＜0恒成立，
当﹣2＜a＜0＜b时，满足1﹣a＞0，当b很大时，Δ可能大于0，故选项A不符合题意；
当﹣2＜a＜b＜0时，满足1﹣a＞1，﹣2＜a﹣b＜0，
∴Δ＝（a﹣b）2﹣16（1﹣a）＜0恒成立，故选项B符合题意，
故选：B．
【点评】本题二次函数的图象与性质、二次函数与不等式、二次函数图象与x轴的交点问题，理解并灵活运用相关知识是解答的关键．
5．（2025 清城区一模）若将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【答案】B
【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后的抛物线顶点坐标为（2，3），
∴得到的抛物线解析式是y＝（x﹣2）2+3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便．
6．（2025 陕西校级二模）已知关于x的二次函数y＝x2+（b﹣3）x﹣b的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（　　）
A．b＜3 B．b＞3 C．b≤0 D．b＜0
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】先求出抛物线y＝x2+（b﹣3）x﹣b的开口方向，对称轴直线、与y轴的交点坐标（0，﹣b），再根据不经过第三象限得出0且﹣b≥0，即可作答．
【解答】解：∵a＝1，
∴开口向上，
对称轴是直线，
当x＝0时，y＝﹣b，
∴二次函数图象与y轴的交点坐标（0，﹣b），
∵关于x 的二次函数y＝x2+（b﹣3）x﹣b的图象不经过第三象限，
∴且﹣b≥0，
解得：b≤0，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数的性质．
7．（2025 杞县三模）已知抛物线y＝ax2+4ax（a＜0）经过点A（m，y1），B（m+1，y2），若0＜y1＜y2，则m的取值范围是（　　）
A． B． C．﹣4＜m≤﹣3 D．﹣3＜m＜﹣2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】利用二次函数的性质可得抛物线y＝ax2+4ax（a＜0）开口向下，对称轴为x＝﹣2，令y＝0，求出抛物线与x轴的交点为（﹣4，0）和（0，0），再由抛物线经过点A（m，y1），B（m+1，y2），且0＜y1＜y2，结合二次函数的图象即可求解．
【解答】解：将抛物线解析式配方得y＝ax2+4ax＝a（x+2）2﹣4a（a＜0），
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，
令ax2+4ax＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝0，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣4，0）和（0，0），
由条件可知，
解得：．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
8．（2025 哈尔滨模拟）二次函数y＝﹣x2+2x﹣5图象的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣4） B．（1，﹣4） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
【考点】二次函数的性质．
【答案】B
【分析】本题利用顶点坐标公式或者配方法求解．
【解答】解：解法1：利用公式法
y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，），代入数值求得顶点坐标为（1，﹣4）；
解法2：利用配方法
y＝﹣x2+2x﹣5＝﹣（x2﹣2x+1）﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣4，故顶点的坐标是（1，﹣4）．
故选：B．
【点评】求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．
二．填空题（共5小题）
9．（2025春 秦淮区校级期末）若y＝﹣4t2+12t+6，则y的取值范围是 　y≤15　 ．
【考点】二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】y≤15．
【分析】依据题意，由y＝﹣4t2+12t+6＝﹣4（t2﹣3t）+15＝﹣4（t）2+15，可得当t时，y取最大值为15，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵y＝﹣4t2+12t+6＝﹣4（t2﹣3t）+15＝﹣4（t）2+15，
∴当t时，y取最大值为15．
∴y≤15．
故答案为：y≤15．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用顶点式进行判断是关键．
10．（2025春 西城区校级月考）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+2ax+3a﹣2的图象的最低点在x轴上，则a＝　2　 ．
【考点】二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据二次函数的最小值为0列式求解即可得到a的值，即可作答．
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2+2ax+3a﹣2的图象的最低点在x轴上
∴且a﹣1＞0，
整理得，2a2﹣5a+2＝0且a＞1，
解得a1＝2，（舍去），
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最值公式并列出方程和不等式是解题的关键．
11．（2025 徐州校级模拟）已知抛物线y＝x2+2x﹣3，经过（﹣2，y1）和（2，y2）两点，则y1　＜　 y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】＜．
【分析】根据解析式可得对称轴和离对称轴越远函数值越大，再求出两个点到对称轴的距离即可得到答案．
【解答】解：由条件可知抛物线对称轴为直线x＝﹣1，且开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵2﹣（﹣1）＝3＞﹣1﹣（﹣2）＝1，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握该知识点是关键．
12．（2025 樟树市校级模拟）二次函数y＝x2+12x+10的顶点坐标为　（﹣6，﹣26）　 ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（﹣6，﹣26）．
【分析】利用二次函数的性质，可求出二次函数y＝x2+12x+10的顶点坐标．
【解答】解：∵a＝1，b＝12，c＝10，
∴6，26，
∴二次函数y＝x2+12x+10的顶点坐标为（﹣6，﹣26）．
故答案为：（﹣6，﹣26）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记“二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，）”是解题的关键．
13．（2025春 长宁区校级月考）如果点A（﹣2，m），B（1，n）是抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＜0）上的两个点，那么m和n的大小关系是m 　＜　 n．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】＜．
【分析】利用二次函数图象的对称性以及增减性，即可得到m与n的大小关系．
【解答】解：由题意得，对称轴为直线，
所以点A（﹣2，m）关于对称轴的对称点为（4，m），
因为开口向下，
所以当x≥1时，y随x的增大而减小，而1＜4，
所以n＞m，即m＜n，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2025 五华区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线（a为常数，a≠0）与y轴交于点（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线记为L1，将抛物线y＝﹣x2+4x+4（x≤0）记为L2，L1与L2合起来的图象记为L．对于L上的两点M（x1，y1）和N（x2，y2），当x1≥4，t≤x2≤t+2时，总有y1＜y2，求t的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝（x+2）2﹣8；
（2）0＜x＜2或．
【分析】（1）将点（0，﹣4）代入求得a的值即可解答；
（2）先根据题意画出图象，然后再根据图形分两种情况解答即可．
【解答】解：（1）由条件可得，，解得：a＝2．
∴y＝（x+2）2﹣8．
（2）由题意，可在平面直角坐标系中作抛物线L1和L2如图所示：
易知，L2与y轴交于点（0，4），L1与y轴交于点（0，﹣4）．
∴x1＝4时，．
①当点N在y轴右侧和点（4，4）之间时，总有y1＜y2，
∴0＜x2＜4．
∵t≤x2≤t+2，
∴t＞0，t+2＜4，解得：0＜t＜2．
②y＝4时，代入L1得4＝（x+2）2﹣8，
解得：或，
结合图象知，应舍去，
当点N在点的左侧时，总有y1＜y2，
∴．
∵t≤x2≤t+2，
∴，
∴．
综上，t的取值范围为0＜t＜2或．
【点评】本题主要考查了求函数解析式、求函数自变量的参数等知识点，正确画出图象、并灵活运用分类讨论思想成为解题的关键．
15．（2025 河南模拟）已知二次函数y＝﹣2x2+8x﹣2，函数值y和自变量x的部分对应取值如表：
x … 0 3 4 …
y … ﹣2 b c …
请观察表格，解决下列问题．
（1）填空：b＝　4　 ，c＝　﹣2　 ；
（2）当0≤x≤m时，该二次函数的最大值与最小值的差为6，求m的值；
（3）已知M（n，4），N（n+1，4），若线段MN与抛物线有交点，求n的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）4；﹣2；
（2）m的值为1；
（3）0≤n≤1或2≤n≤3．
【分析】（1）把x＝3，x＝4分别代入y＝﹣2x2+8x﹣2求出结果即可；
（2）先求出当x＝0时，y＝﹣2，先求出当x＝2时，抛物线有最大值y＝6，根据6﹣（﹣2）＝8＞6得出0＜m＜2，根据二次函数的最大值与最小值的差为6得出﹣2m2+8m﹣2﹣（﹣2）＝6，求出结果即可；
（3）先求出抛物线上纵坐标为4的两点间的距离为3﹣1＝2，MN＝n+1﹣n＝1，得出线段MN与抛物线只有1个交点，分两种情况：当线段MN与抛物线在对称轴左侧有交点时，当线段MN与抛物线在对称轴右侧有交点时，分别求出n的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵抛物线表达式为y＝﹣2x2+8x﹣2，
当x＝3时，y＝4，
∴b＝4，
当x＝4时，y＝﹣2×42+8×4﹣2＝﹣2．
∴c＝﹣2；
故答案为：4，﹣2；
（2）由条件可知抛物线二次项系数为﹣2＜0，对称轴为直线，
①当m≥2时，当x＝2时，抛物线有最大值y＝6，但无最小值；
此情况不存在．
②当0＜m＜2时，y＝﹣2x2+8x﹣2＝﹣2（x﹣2）2+6，
当x＝0时，y最小＝﹣2，
∵二次函数的最大值与最小值的差为6，
∴y＝4，
令﹣2m2+8m﹣2＝4，
解得m＝1或m＝3（舍去），
∴m的值为1；
（3）把y＝4代入y＝﹣2x2+8x﹣2得4＝﹣2x2+8x﹣2，
解得：x＝1或x＝3，
∴此时抛物线上纵坐标为4的两点间的距离为3﹣1＝2，
∵M（n，4），N（n+1，4），
∴MN＝n+1﹣n＝1，
∴线段MN与抛物线只有1个交点，
当线段MN与抛物线在对称轴左侧有交点时，n≤1且n+1≥1，
∴此时0≤n≤1；
当线段MN与抛物线在对称轴右侧有交点时，n≤3且n+1≥3，
∴2≤n≤3；
综上所述，0≤n≤1或2≤n≤3．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数值，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
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