24.1.2 垂直于弦的直径（同步练习.含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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24.1.2 垂直于弦的直径
一．选择题（共9小题）
1．（2025 玄武区二模）在直径为26cm的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（　　）
A．5cm B．7cm C．8cm D．10cm
2．（2025春 拱墅区校级月考）如图，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB＝8dm，DC＝2dm，则圆的半径为（　　）
A．5dm B．10dm C．4dm D．6dm
3．（2025 岳麓区校级模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”其意思为：现有圆柱状的木材，埋在墙壁里．不知道其宽度的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度为一寸的时候；锯开的宽度为一尺（一尺等于十寸），问木材的直径是多少？如图所示，用数学语言可表示为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为线段OC上的一点E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”那么直径CD的长为（　　）
A．5 B．12 C．13 D．26
4．（2025 鲁山县一模）如图，BC是⊙O的弦，点A是圆上一点，OA⊥BC于点D．若OA＝5，BC＝8，则AD的长是（　　）
A．3 B．2 C． D．
5．（2025 济源一模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心交⊙O于点E，并且CD＝4m，EM＝6m．则⊙O的半径为（　　）
A．3m B． C．4m D．
6．（2025 宜宾）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则OD的长是（　　）
A．3 B．2 C．6 D．
7．（2025 襄州区模拟）如图，AB是⊙O的直径，分别以点A，O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交⊙O于C，D两点，交AB于点E，若AB＝4，则CD等于（　　）
A．2 B． C． D．
8．（2025 朝阳区校级模拟）如图，在⊙O中，弦AB的长为2，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　）
A．4 B．2 C． D．1
9．（2025 长沙模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝16，OD＝10，则AE的长为（　　）
A．12 B．16 C．18 D．20
二．填空题（共4小题）
10．（2025 长沙）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，则OA的长为 　 　 ．
11．（2025 石景山区二模）如图，AB为⊙O的弦，AB＝8，OA＝5，半径OD⊥AB于点C，则CD的长为 　 　 ．
12．（2025 西陵区模拟）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是 　 　 ．
13．（2025 碑林区模拟）如图，A，B为⊙O上的两点，OC⊥AB，且AB＝8，延长射线OC交⊙O于点M．若CM＝3OC，则⊙O的半径为　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2025 青龙县一模）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下：
信息二：点O为喷泉中心，AB是喷泉边缘的一条弦，AB＝8米，D是弦AB的中点，连接OD并延长，交劣弧AB于点C，CD＝2米．
信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题：
（1）求喷泉的半径；
（2）要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（π取3.14，结果保留整数）
15．（2025春 徐汇区校级月考）如图，已知点O是两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆交于点C、D．
（1）求证：AC＝BD；
（2）如果AB＝8，CD＝4，大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长．
24.1.2 垂直于弦的直径
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2025 玄武区二模）在直径为26cm的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（　　）
A．5cm B．7cm C．8cm D．10cm
【考点】垂径定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝24cm，
∴BDAB＝12（cm），
∵⊙O的直径为26cm，
∴OB＝OC＝13cm，
在Rt△OBD中，OD5（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
2．（2025春 拱墅区校级月考）如图，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB＝8dm，DC＝2dm，则圆的半径为（　　）
A．5dm B．10dm C．4dm D．6dm
【考点】垂径定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】利用垂径定理、勾股定理解答即可．
【解答】解：∵点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，AB＝8dm，
∴ADAB＝4dm，
设圆形标志牌的半径为r dm，
在Rt△OAD中，DC＝2dm，OA2＝AD2+OD2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
解得：r＝5，
故选：A．
【点评】此题主要考查了垂径定理、勾股定理，关键是利用垂径定理解答．
3．（2025 岳麓区校级模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”其意思为：现有圆柱状的木材，埋在墙壁里．不知道其宽度的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度为一寸的时候；锯开的宽度为一尺（一尺等于十寸），问木材的直径是多少？如图所示，用数学语言可表示为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为线段OC上的一点E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”那么直径CD的长为（　　）
A．5 B．12 C．13 D．26
【考点】垂径定理的应用；勾股定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：连接OA，如图所示，
设直径CD的长为2x寸，则半径OC＝x寸，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，
∴AE＝BEAB10＝5寸，
连接OA，则OA＝x寸，
根据勾股定理得，OA2＝AE2+OE2，
x2＝52+（x﹣1）2，
解得x＝13，
CD＝2x＝2×13＝26（寸）．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理．正确的作出辅助线是解题的关键．
4．（2025 鲁山县一模）如图，BC是⊙O的弦，点A是圆上一点，OA⊥BC于点D．若OA＝5，BC＝8，则AD的长是（　　）
A．3 B．2 C． D．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】B
【分析】由垂径定理得，进而由勾股定理得，再根据线段的和差关系即可求解．
【解答】解：由条件可知，∠ODB＝90°，
∵OA＝5，
∴OB＝5，
∴OD3，
∴AD＝OA﹣OD＝5﹣3＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
5．（2025 济源一模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心交⊙O于点E，并且CD＝4m，EM＝6m．则⊙O的半径为（　　）
A．3m B． C．4m D．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】B
【分析】由根据垂径定理可得EM⊥CD，则CM＝DM＝2，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，然后求解即可解答．
【解答】解：如图：连接OC，
由条件可知EM⊥CD，
又∵CD＝4，
∴，
设圆的半径是x米，OC＝x，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即x2＝22+（6﹣x）2，解得：，
所以圆的半径长是．
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键．
6．（2025 宜宾）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则OD的长是（　　）
A．3 B．2 C．6 D．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由垂径定理求出ADAB＝4，由勾股定理即可求出OD的长．
【解答】解：∵半径OC⊥AB于点D，
∴ADAB8＝4，
∵OA＝OC＝5，
∴OD3．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到ADAB，由勾股定理求出OD的长．
7．（2025 襄州区模拟）如图，AB是⊙O的直径，分别以点A，O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交⊙O于C，D两点，交AB于点E，若AB＝4，则CD等于（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】垂径定理；作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据作图知CD垂直平分AO，根据勾股定理求出CE，再根据垂径定理求解即可．
【解答】解：如图，连接OC．
根据作图知CE垂直平分AO，
∴EOOA，
∵直径AB＝4，
∴OA＝OC＝2，
∴EO＝1，
∴CE，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CD＝2CE＝2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理是解题的关键．
8．（2025 朝阳区校级模拟）如图，在⊙O中，弦AB的长为2，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　）
A．4 B．2 C． D．1
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．
【解答】解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CBAB2＝1，
即CD的最大值为1，
故选：D．
【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．
9．（2025 长沙模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝16，OD＝10，则AE的长为（　　）
A．12 B．16 C．18 D．20
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据垂径定理得出DE的长，再利用勾股定理求出OE的长，进而完成解答．
【解答】解：由条件可知，
∵OD＝10＝OA，
∴，
∴AE＝OA+OE＝10+6＝16．
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键．
二．填空题（共4小题）
10．（2025 长沙）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，则OA的长为 　6　 ．
【考点】垂径定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】6．
【分析】由垂径定理得到AB＝2AC＝6，即可得到OA的长．
【解答】解：∵OC⊥AB于点C，
∴AB＝2AC＝2×3＝6，
∴OA＝AB＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查垂径定理，关键是由垂径定理推出AB＝2AC．
11．（2025 石景山区二模）如图，AB为⊙O的弦，AB＝8，OA＝5，半径OD⊥AB于点C，则CD的长为 　2　 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】2．
【分析】连接OA，先根据垂径定理求出AC的长，再由勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．
【解答】解：连接OA，
∵AB＝8，OD⊥AB，OA＝5，
∴ACAB＝4，
∴OC3，
∴CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
12．（2025 西陵区模拟）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是 　1cm　 ．
【考点】垂径定理；勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】1cm．
【分析】连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB一点E，交⊙O于点F．利用垂径定理，勾股定理求出OE，EF，再求出FG可得结论．
【解答】解：如图2，连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB于点E，交⊙O于点F．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∵AC＝BD，
∴四边形ACDB是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDB是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，
∵OG⊥CD，
∴OG⊥AB，
∴AE＝EB＝8cm，
∴OE6（cm），
∴EF＝OF﹣OE＝10﹣6＝4（cm），
∵EG＝AC＝BD＝5cm，
∴FG＝EG﹣EF＝5﹣4＝1（cm），
∴圆盘离桌面CD最近的距离是1cm，
故答案为：1cm．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
13．（2025 碑林区模拟）如图，A，B为⊙O上的两点，OC⊥AB，且AB＝8，延长射线OC交⊙O于点M．若CM＝3OC，则⊙O的半径为　　 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】．
【分析】连接OA，根据垂径定理得出，根据勾股定理可得OA2＝OC2+AC2，列出方程求解即可．
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB
∴，
由条件可知OA＝OM＝4OC
∵OC⊥AB
∴OA2＝OC2+AC2，即（4OC）2＝OC2+42，
解得：，
∴⊙O的半径为，
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．
三．解答题（共2小题）
14．（2025 青龙县一模）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下：
信息二：点O为喷泉中心，AB是喷泉边缘的一条弦，AB＝8米，D是弦AB的中点，连接OD并延长，交劣弧AB于点C，CD＝2米．
信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题：
（1）求喷泉的半径；
（2）要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（π取3.14，结果保留整数）
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】（1）喷泉的半径为5米；
（2）大约需要安装25盏景观灯．
【分析】（1）连接OA，设喷泉的半径为r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可；
（2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可．
【解答】解：（1）连接OA，设喷泉的半径为r，则：OA＝OC＝r，
∴OD＝OC﹣CD＝r﹣2，
由条件可知OC平分弦AB，，
∴OC⊥AB，
∴OA2＝AD2+OD2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5米；
答：喷泉的半径为5米；
（2）由题意得：R＝6米，
2×6×3.14÷1.5≈25（盏）；
答：大约需要安装25盏景观灯．
【点评】本题考查垂径定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
15．（2025春 徐汇区校级月考）如图，已知点O是两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆交于点C、D．
（1）求证：AC＝BD；
（2）如果AB＝8，CD＝4，大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）过点O作OE⊥AB于E，根据垂径定理得AE＝BE，CE＝DE，所以AE﹣CE＝BE﹣DE，即可求解；
（2）连接AO、CO，在Rt△AOE与Rt△COE中，由勾股定理得：OE2＝OA2﹣AE2，OE2＝OC2﹣CE2，再结合AB＝8，CD＝4得OA2﹣OC2＝12，又大圆面积是小圆面积的3倍，即可求解大圆半径的长．
【解答】（1）证明：过点O作OE⊥AB于E，
∴AE＝BE，CE＝DE，
∴AE﹣CE＝BE﹣DE，
∴AC＝BD；
（2）解：连接AO、CO，
在Rt△AOE与Rt△COE中，OE2＝OA2﹣AE2，OE2＝OC2﹣CE2，
∴OC2﹣CE2 ＝OA2﹣AE2，
∴OA2﹣OC2＝AE2﹣CE2，
∵CD＝4，AB＝8，
∴CE＝2，AE＝4，
∴OA2﹣OC2＝42﹣22＝12①，
∵大圆面积是小圆面积的3倍，
∴π OA2＝3π OC2，
即OA2＝3OC2②，
根据①②可得：OA2＝18，
∴．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
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