第12章《函数与一次函数》复习题：一次函数与面积（含答案）初中数学沪科版（2024）八年级上册

第12章《函数与一次函数》复习题--一次函数与面积
【题型1 求已知直线与坐标轴围成的三角形的面积】
1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，则为此函数的坐标三角形．
(1)求函数的坐标三角形的面积；
(2)若函数（b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积．
2．已知是的一次函数，根据下表提供的数据：
3
5
(1)求关于的函数表达式；
(2)求该函数图象和坐标轴围成的三角形面积．
3．一个一次函数的图象平行于直线，并且经过点，求这个一次函数的解析式，并求出函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积．
4．如图，直线与坐标轴交于，两点，与直线交于点，直线交轴于点，交轴于点．
(1)求，值；
(2)求的面积.
5．在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题：
(1)画出一次函数的图象；
(2)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______；
(3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后的直线与x轴的交点坐标．
6．已知一次函数的图象与坐标轴分别交于点A、点B，函数与的图象交于点，如图所示．
(1)填空：______，______；
(2)求直线和直线与x轴所围成的三角形的面积；
(3)根据图象，直接写出不等式的解集．
7．已知一次函数的图象经过，两点，如图所示．
(1)求这个函数的表达式；
(2)求这条直线与坐标轴围成的的面积．
8．如图，一次函数 、为常数，且与正比例函数，交于点，与坐标轴分别交于点和点，
(1)求一次函数的解析式；
(2)求三角形的面积；
(3)已知过点的直线将三角形的面积分成，求该直线的解析式．
【题型2 由已知直线与三角形的面积求点的坐标】
9．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点．
(1)求直线的解析式．
(2)求的面积．
(3)在直线上是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
10．如图，已知直线：与直线平行，与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线与轴交于点，与x轴交于点D，与直线交于点．
(1)求直线对应的函数表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)点F是线段的一个动点，连接，若线段将四边形的面积分成的两部分，请求出点F的坐标．
11．在平面直角坐标系中，点，且m，n满足，．
(1)直接写出m，n的值；
(2)求三角形的面积；
(3)点P以每秒3个单位的速度从点A出发在射线上运动（点P不与点A和点B重合），同时，点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴运动，连接，是否存在某一时刻t，使三角形的面积是三角形的面积的2倍．若存在，请求出t值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．综合与探究
如图1，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
(1)求点C的坐标及直线的解析式；
(2)若D是y轴上一点，且的面积是面积的，求点D的坐标；
(3)如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线轴，交直线于点F，交直线于点，若的长为3．求点的坐标；
13．如图，已知直线经过点，交轴于点，直线与直线交于点，交轴于点．
(1)求的值；
(2)求的面积；
(3)若在轴上存在一点，使得的面积为6，求点坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动．
(1)求直线的解析式．
(2)求的面积．
(3)当的面积是的面积的二分之一时，求出这时点的坐标．
15．如图，已知函数的图像为直线，函数的图像为直线，直线，分别交x轴于点B，，分别交y轴于点D，E，和相交于点
(1)求m，k，b的值；
(2)若点P在x轴上且在点C的右侧，连接，当的面积是面积的2倍时，直接写出符合条件的点P的坐标．
16．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点,直线经过点，点P在直线上,横坐标为m；点M的坐标为,当点P和点M的横坐标不相同时，以PM为对角线构造矩形，其中轴．
(1)求该直线的函数表达式；
(2)证明：矩形的边的长恒为3；
(3)当矩形为正方形时，求点P的坐标；
(4)当直线将矩形的面积分成两部分时，直接写出m的值．
17．如图，直线：交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合），．
(1)求点、的坐标；
(2)设的面积为，点的横坐标为，写出与之间的函数关系式，并求出的取值范围；
(3)当的面积为时，点的坐标；
(4)的面积能达到1吗？请说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，一条直线与轴相交于点，与正比例函数（，且为常数）的图象相交于点．
(1)求的值；
(2)求的面积；
(3)点为y轴上一点，若的面积为，求点的坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点．
(1)求出点和点的坐标；
(2)点在直线上（不与重合），当的面积等于的面积时，求出点的坐标；
20．已知一次函数图象经过点：
(1)求的值．
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
(3)若点是轴上一点，且的面积是6，直接写出点的坐标．
【题型3 直线解析式与面积】
21．如图，已知直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，另一直线经过点，且把分成两部分．
(1)若被分成的两部分面积相等，求k和b的值；
(2)当时，，直接写出k的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴、轴分别交于点A，B，与正比例函数图象交于点．
(1)求点的坐标，并求的面积；
(2)若直线与轴交于点，与直线或交于点，且的面积为的面积的2倍，求的值．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线交直线于点B，若的面积是，试求的解析式；
24．一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象由直线y=3x向下平移得到，且过点A(1，2)．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求直线y=kx＋b与x轴的交点B的坐标；
(3)设坐标原点为O，一条直线过点B，且与两条坐标轴围成的三角形的面积是，这条直线与y轴交于点C，求直线AC对应的一次函数的解析式．
25．在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣2x+6与坐标轴交于A，B两点，直线l2：y＝kx+2（k＞0）与坐标轴交于点C，D，直线l1，l2与相交于点E．
（1）当k＝2时，求两条直线与x轴围成的△BDE的面积；
（2）点P（a，b）在直线l2：y＝kx+2（k＞0）上，且点P在第二象限．当四边形OBEC的面积为时．
①求k的值；
②若m＝a+b，求m的取值范围．
26．如图，在直角坐标系中，直线y=kx+4与x轴正半轴交于一点A，与y轴交于点B，已知△OAB的面积为10，

（1）求这条直线的解析式；
（2）若将这条直线沿x轴翻折，求翻折后得到的直线的解析式．
27．如图，正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第二象限．过点A作AH⊥x轴，垂足为H．已知点A的横坐标为﹣3，且△AOH的面积为4.5．
（1）求该正比例函数的解析式．
（2）将正比例函数y＝kx向下平移，使其恰好经过点H，求平移后的函数解析式．
28．在平面直角坐标系中，直线和直线都经过点．
(1)求直线的解析式和n的值；
(2)若直线，与y轴所围成的三角形面积为5，求的值；
(3)将直线向下平移6个单位，直线向右平移4个单位，若平移后的两条直线交点在第三象限，求的取值范围．
29．已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形的面积为，求此直线的函数表达式．
30．在平面直角坐标系中，已知直线AB：y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）分别与x轴、y轴的正半轴相交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为A（2，0），B（0，4）时，求k，b的值；
（2）若直线CD平行于（1）中的直线AB，且分别与x，y的正半轴相交于点C，D，已知四边形ACDB的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）已知P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为8，求直线AB的函数表达式．
【题型4 平分面积】
31．如图，正比例函数与一次函数（k，b是常数且）交于点C，一次函数与x，y轴分别交于点A与点B，已知．
(1)求点C的坐标；
(2)已知过点C的直线将的面积平分，求该直线的解析式．
32．如图，直线：交x轴，y轴于A，B两点，直线：交x轴，y轴于C，D两点，直线，相交于点E．
(1)点E的坐标为________；
(2)直线，与x轴围成的三角形面积为________；
(3)过点E的直线把面积两等分，求这条直线的表达式．
33．如图，直线分别交轴、轴于点，．
(1)求点，的坐标．
(2)过点作于点，求的长．
(3)过的任意一个顶点总能画出一条直线，把分成面积相等的两部分，请你直接写出这样的直线对应的函数表达式．
34．已知一条直线经过点，点，将这条直线向左平移与轴负半轴、轴负半轴分别交于点、点，使．
(1)求以直线为图象的解析式；
(2)过顶点的直线将的面积平分，请直接写出直线的解析式．
35．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于，两点，正比例函数的图像与交于点．
(1)当平分的面积时，求此时这个正比例函数的表达式；
(2)当的面积为的面积的2倍时，求此时这个正比例函数的表达式．
36．【情景再现】如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点，，与正比例函数的图像交于点，点的横坐标为2．在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和的图像于点C，D．
（1）求点A的坐标：
【解决问题】
（2）在点运动的过程中，当是等腰直角三角形时，若点与点不重合，求此时的长；
（3）在点运动的过程中，若一次函数的图像恰好平分的面积，求此时的值．
37．在平面直角坐标系中，直线上有一点，其横坐标为1，经过点的直线交轴负半轴于一点，且，
(1)求的面积；
(2)求经过点且平分面积的直线解析式．
38．如图，在平面直角坐标系中，直线与过点的直线交于y轴上的点B，点A，D分别为直线，与x轴的交点．
(1)求点B的坐标及直线的函数表达式；
(2)若过点B的直线把的面积平分，直接写出直线的表达式．
39．在平面直角坐标系中，已知直线经过定点P．

(1)求点P的坐标；
(2)一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点B、C（如图），如果直线将的面积平分，求k的值；
(3)在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线l，点A是直线l上的点，如果，求点A的坐标．
40．在平面直角坐标系中，已知点，，，且．
(1)求点A，点B的坐标；
(2)点P为边上的一点，点P和它所对顶点的连线能平分的面积，请直接写出P点的坐标；
(3)过点B作轴，交AC于点D，求点D的坐标．
【题型5 等积变形】
41．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
(1)求直线的函数表达式；
(2)轴上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
42．如图，直线分别与x轴，y轴相交于点B和点，与交于点，点M在直线上．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
43．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标，三角形的面积是4．
(1)求点B的坐标；
(2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，连接，点E是x轴正半轴上一点，且，连接．
①如图2，若三角形的面积是8，求m的值；
②如图3，点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），连接，，当四边形的面积与三角形的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形的面积，并说明理由．
44．如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E．
(1)直接写出A、C的坐标；
(2)写出直线的解析式；
(3)若与的面积相等，求点E的坐标．
45．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴、x轴分别交于点A、B，点P为直线位于第一象限内一点，已知点．
(1)求的长；
(2)设点P的横坐标为a．
①直接写出a的取值范围为：___________；
②若的面积与的面积相等，求a的值．
46．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，连接．
(1)方程组的解是________；
(2)求的面积；
(3)若在轴上存在点（点与点不重合），使得的面积与的面积相等，请直接写出点的坐标．
47．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 分别与 轴交于 两点，正比例函数的图象与 交于点 ．
(1)求 的值及直线 的表达式；
(2)若点 是直线 上一点，连接 ，当 的面积是 的面积的 2 倍时， 求点 的坐标．
参考答案
【题型1 求已知直线与坐标轴围成的三角形的面积】
1．（1）解：∵直线与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为，
∴函数的坐标三角形的面积为；
（2）解：直线与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为，
根据勾股定理，得坐标三角形的斜边的长为，
当时，，得，此时，坐标三角形面积为；
当时，，得，此时，三角形面积．
综上，当函数的坐标三角形周长为16时，面积为．
2．（1）解：设一次函数的表达式为（），
将，和，分别代入上式，得
，解得，
一次函数的表达式为．
（2）解：取，得，得到点，
取，则，得，得到点，
三角形的面积．
3．解：依题意，设这个一次函数的解析式为，代入，得
，
解得：，
∴这个一次函数的解析式为 ；
当时，，
当时，
∴一次函数与坐标轴的两个交点分别为，
∴函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为．
4．（1）解：把点代入得：，
∴，
把，代入得，，
解得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，；
（2）解：当时，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
5．（1）解：令，解得，令，则，
一次函数的图象如图：
（2）令，解得，令，则，
直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为，
函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是；
故答案为：4；
（3）将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即，
令，则，解得，
平移后的直线与x轴的交点坐标为
6．（1）解：∵一次函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴点．
∵函数的图象经过点，
∴，
解得．
故答案为：2，4；
（2）解：当时，，
解得，
∴点，
∴，点P到x轴的距离是4，
∴；
（3）解：．
观察图象可知，当时，．
7．（1）解：设一次函数表达式为，
将，分别代入，解得，
该函数表达式为；
（2）解：在中，令，由得，
，
，
，
，
．
8．（1）解：∵，
，，
把，代入中得：，
解得，
∴一次函数解析式为：；
（2）由题意，联立，解得，
点的坐标为，
∴；
（3）设过的直线交轴与点，由题意，过点的直线将三角形的面积分成，则
①当，时，点，此时的解析式为；
②当，时，点，此时的解析式为；
综上所述，此时的解析式为或．
【题型2 由已知直线与三角形的面积求点的坐标】
9．（1）解：∵直线：与直线相交于点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴，
∴；
（3）解：∵的面积是的面积的，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，当时，，
∴点M的坐标为或．
10．（1）解：直线与直线平行，
，
直线为，
点在直线上，
，
，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：在直线中，令，则，
解得：，
，
在直线中，令，则，
解得：，
，
，，
，
，
， ，
．
故四边形的面积是．
（3）解：如图，
∵线段将四边形的面积分成的两部分，
∴或，
∴或；
设，
∴或，
∴或，
∴或．
11．（1）解：，
∵，
∴，
解得；
（2）过点B作交x轴于点H，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点O作于点F，
∵，
∴，
解得.
当点P在线段上
∵点P的运动速度是3个单位长度，点Q的运动速度是2个单位长度，
∴.
∵点，
∴.
∵，
∴，
解得,
∴.
∵点Q在x轴上，
∴点Q的坐标是；
如图，当点P在的延长线上时，
∵点P的运动速度是3个单位长度，点Q的运动速度是2个单位长度，
∴，
∴.
∵，
∴，
解得,
∴，
∴点Q的坐标是.
综上所述，存在某一时刻t，使得的面积是面积的2倍，t的值是或，点Q的坐标是或.
12．（1）点在直线上，
，
解得，
；
将，代入直线，得：
，
解得，
直线的解析式为：；
（2）由题意，得
，
∴，
∴D点的坐标为或；
（3）根据题意设点坐标为，
点、、三点在同一直线上，且点在直线上，点在上，
，，
又，
，
解得或，
点的坐标为或
13．（1）解：把代入，
得，
解得；
（2）解：由（1）知，直线，且．
根题意知，．
解得，
即．
又由知，当，
∴．
∴．
所以；
（3）解：∵，由（2）可知，ACP的面积为6
∴，
∴
即P点坐标为或．
14．（1）解：设直线的解析式为，
将、代入得，
解得，
则直线的解析式为．
（2）解：直线的解析式为，
时，，即，，
．
（3）解：依题得：，
动点沿路线运动，
，
，
当点在上时，
点，
直线的解析式为，
则时，，
即；
当点在上时，
直线的解析式为，
时，，
即；
综上，这时点的坐标是或．
15．（1）解：∵函数的图象过、，
，
解得，
，，
函数的图象过点，
，
解得，
故，，；
（2）解：由（1）可知：的解析式为，的解析式为，
由函数可知，由函数可知，
，
的面积是面积的2倍时，
，
．
16．（1）解：将点代入，
，
解得，
；
（2）证明：四边形是矩形，轴，
∴轴，轴，
∵，
，
；
（3）解：矩形为正方形，
，
，
解得或，
或；
（4）解：设直线与矩形的另一交点为点，
当点在上时，
∵直线将矩形的面积分成两部分，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴点为中点，
∴，即，
代入，得，
解得；
当点在上时，
同理得点为中点，
∴，即，
代入，得，
解得；
综上所述：或时，直线将矩形的面积分成两部分．
17．（1）解：对于直线，
当，
当，，
解得：，
∴，；
（2）解：由题意得，
∴，
∴与之间的函数关系式为：，
的取值范围为：；
（3）解：由题意得，当时，，
解得：，
∴；
（4）解：不能，理由如下：
当时，，
解得：，不在范围内，
故不能．
18．（1）解：把点代入正比例函数中得，；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：设，
如图所示，，当点在点上方，

∴，
，
解得，，
∴；
如图所示，当点在线段上时，则，

∴，
，
解得，，不符合题意，
∴点在线段上的情况不存在；
如图所示，点在轴下方，

∴，
解得，，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
19．（1）解：在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点，
令，则；令，则，
∴，；
（2）解：设，
∴，
∵的面积等于的面积，
∴，
解得（舍）或，
∴．
20．（1）解：一次函数图象经过点，
将代入得到，
解得；
（2）解：由（1）知一次函数，
当时，，即一次函数图象与轴交于；
当时，，即一次函数图象与轴交于；
由描点法作一次函数的图象，如图所示：
（3）解：如图所示：
，点是轴上一点，且的面积是6，
设，
则，
即，解得或，
点的坐标为或．
【题型3 直线解析式与面积】
21．（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，
∴，
∵点，
被分成的两部分面积相等，
∴点C是的中点，
∴直线一定是过点C的的中线所在直线，
∴也必过点B，
∴，
解得，
故k和b的值分别为和2；
（2）解：根据题意，得过点，
故，
解得，
，
当时，
时，，，
，
解得：，
，
当时，
，
解得：，
当时，，
，
此时，一定成立，
；
综上所述：或．
22．（1）解方程组，解得：，
点坐标为；
对于，当时，由得：，
点坐标为，，
；
（2）对于，当时，，
点A坐标为．
对于，当时，，
点D坐标为．
，
由题知，
设点的横坐标为，则，
解得：．
当点为直线与直线的交点时，
将代入得：，则，
将代入得；
将代入得：，则，
将代入得；
当点为直线与直线的交点时，
将代入得：，则，
将代入得；
将代入得：，则，
将代入得；
综上，满足条件的的值为或或或．
23．解：令时，，
解得，
∴点A的坐标为，
∴，
又∵，
解得，
将代入得，
∴点B的坐标为，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为；
24．解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由直线y=3x向下平移得到，
∴k=3，
将点A(1,2)代入y=3x+b，
得3+b=2，解得b= 1，
∴一次函数的解析式为y=3x 1；
(2)在y=3x－1中，当y=0时，
∴点B的坐标为
(3)设直线AC的解析式为y=mx＋n(其中m≠0)，则点C的坐标为(0，n)，根据题意得
∴|n|=3，∴n=±3.
当n=3时，m＋n=2，解得m=－1，
∴y=－x＋3；当n=－3时，m＋n=2，
解得m=5，
∴y=5x－3.
∴直线AC的解析式为y=－x＋3或y=5x－3.
25．解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+6与坐标轴交于A，B两点，
∴当y＝0时，得x＝3，当x＝0时，y＝6；
∴A（0，6）B（3，0）；
当k＝2时，直线l2：y＝2x+2（k≠0），
∴C（0，2），D（﹣1，0）
解得，
∴E（1，4），
，点E到x轴的距离为4，
∴△BDE的面积＝×4×4＝8．
（2）①连接OE．设E（n，﹣2n+6），
∵S四边形OBEC＝S△EOC+S△EOB，
∴×2×n+×3×（﹣2n+6）＝，
解得n＝，
∴E（，），
把点E代入y＝kx+2中，＝k+2，
解得k＝4．
②∵直线y＝4x+2交x轴于D，
∴D（﹣，0），
∵P（a，b）在第二象限，即在线段CD上，
∴﹣＜a＜0，
∵点P（a，b）在直线y＝kx+2上
∴b＝4a+2，
∴m＝a+b＝5a+2，
∴﹣＜m＜2．
26．（1）解：当y=0时，kx+4=0，解得x=﹣，则A（﹣，0）
当x=0时，y=kx+4=4，则B（0，4），
因为△OAB的面积为10，
所以×（﹣）×4=10，
解得k=﹣，
所以直线解析式为y=﹣x+4.
（2）解：因为关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，
所以将直线y=﹣x+4沿x轴翻折，翻折后得到的直线的解析式为﹣y=﹣x+4，
即y=x-4．
27．（1）∵点A的横坐标为﹣3，且△AOH的面积为4.5
∴AH=4.5×2÷OH=9÷3=3
∴点A的纵坐标为3，点A的坐标为（﹣3，3），
∵正比例函数y＝kx经过点A，
∴﹣3k＝3解得k＝﹣1
∴正比例函数的解析式是y＝﹣x；
（2）∵AH＝3，
∴将正比例函数y＝﹣x向下平移3个单位后经过点H，
∴平移后的函数解析式为y＝﹣x﹣3．
28．（1）解：将点坐标代入直线的函数解析式得，
，
解得，
所以直线的解析式为．
将点坐标代入直线的函数解析式得，
，
则．
因为，
所以，
解得．
（2）令直线与轴的交点为，如图所示，
因为直线，与轴所围成的三角形面积为5，
所以，
则，
所以点的坐标为或．
当点坐标为时，
，
解得；
当点坐标为时，
，
解得；
综上所述，的值为．
（3）直线向下平移6个单位所得到的直线解析式为：
直线向右平移4个单位所得到的直线解析式为：
直线与x，y轴交点坐标为，，
直线过定点
当直线与x轴交于点时，
得，即
解得
当直线与y轴交于点时，
得，即
解得
直线、平移后的两直线交点在第三象限
由下图可得，的取值范围为
29.解：当时，，
则直线与y轴的交点坐标为，
根据题意，得，解得或．
当时，，把代入，得，
解得；
当时，，把代入，得，
解得．
所以此直线的函数表达式为或．
30．解：（1）∵直线AB分别与x轴、y轴的正半轴相交于A，B两点
∴将代入中得：
解得：
（2）由题意，作图如下：
由第一问知，直线AB的函数表达式为：
∵直线CD平行于直线AB
∴
设直线CD的函数表达式为：
∵直线CD分别与x，y的正半轴相交于点C，D
∴当时，，即；
当时，，即
此时，
∵四边形ACDB的面积为12且
∴
∴
∵，，，且
∴
∴
解得：
∵
∴
∴设直线CD的函数表达式为：
（3）过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥x轴与点F，如下图：
设点
∵点P在第一象限
∴
∴
又∵长方形的周长为8
∴
∴
则：
∵点P在直线AB上
∴直线AB的函数表达式为：
【题型4 平分面积】
31．（1）解：∵，
∴，
∴，解得：，
∴，
联立，解得：，
∴C的坐标为；
（2）设该直线过点C且与y轴交于点D，
由题意可知是的中线，
由条件可知点D的坐标为．
设直线的表达式为，代入点C，D的坐标，
得，
解得，
∴该直线的解析式为．
32．（1）解：∵直线：和直线：相交于点．
∴点坐标为的解，
解得：．
∴．
（2）解：把代入，得：和，
∴，
∵，
∴直线，与轴围成的三角形面积为：.
（3）解：把分别代入，得：
和，
∴，
∴的中点为，
∵过点E的直线把面积两等分，
∴这条直线过E点以及的中点，
设过E点且把面积两等分的直线的解析式为
把点代入得:，
解得：，
∴这条直线的解析式为.
33．（1）解：在直线中，当时，；当时，，
，；
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，
；
（3）解：，；
线段的中点坐标，
设过点的三角形中线解析式为，代入坐标得：，
解得：，
过点的中线解析式为；
由条件可知线段的中点坐标为，设过点的中线所在直线的解析式为，
代入坐标和得：，
解得，
过点的中线所在直线的解析式为；
由条件可知线段的中点坐标为，设过点的中线所在直线的解析式为，
代入坐标和得：，
解得，
过点的中线所在直线的解析式为．
综上分析可知三条均分三角形面积的直线解析式为：，；．
34．（1）解：设直线解析式为，且过点，点，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∵ ，
∴，
∵点，
∴点，
∵将这条直线向左平移与轴负半轴、轴负半轴分别交于点、点，
设直线为图象的解析式为，
∴，解得：，
∴直线为图象的解析式；
（2）解：如图，设中点为，中点为，中点为，
∴，，，
∵点，点，点，
∴，，，
∴设直线即直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
同理：直线解析式为，直线解析式为，
综上可知：直线的解析式为或或．
35．（1）解：∵一次函数的图像分别与轴、轴交于A，B两点，
∴令，则，
令，则，
∴，，
当平分的面积时，则，即点为线段的中点，
∴，
将代入得，，
解得：，
即正比例函数的表达式为；
（2）解：由（1）可得，，
∴，
∵的面积为的面积的2倍，
∴，，
过点作于点，作于点，
∴，
，
∴，，
∴，
将代入得，，
解得：，
即正比例函数的表达式为．
36．解：（1）∵点的横坐标为2 ， 且点 M 在直线上，
∴点 M 的纵坐标为2 ，
，
把代入得，， 解得，，
，
当时，，
．
（2）∵点，
，
，
，
当是等腰直角三角形时，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
当时，，
当时，（舍去），
∴．
（3）当点位于第二时，一次函数的图像上方，无法平分，
故当点位于第一或第四象限时，一次函数可能平分的面积，
假设中边上的高线为，
则当一次函数平分的面积，即时，
此时，，
即，此时，，
将代入解得：．
37．（1）解：将代入，得，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，点P在x轴的负半轴，
∴；
∵经过点的直线平分面积，
∴该直线经过线段的中点，
∵，
∴线段的中点坐标为，
设该直线的解析式为，
将、代入，得，解得，
∴经过点且平分面积的直线解析式为．
38．（1）解：在直线中，令，得，即，
设直线为，根据题意得：
，
解得：，
即直线的解析式为．
（2）解：在直线中，令，解得，即，
在直线中，令，得，即，
中点的横坐标为，
∴的中点坐标为，
由题意知直线经过的中点和点，
设直线的表达式为，
代入得，
解得，
∴直线的表达式为．
39．（1）解：把代入，得，
∴直线经过定点．
（2）解：令，则，
∴，
∴，
令，则，解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线与直线相交于，如图，
∵直线将的面积平分，
∴
∴，
解得：，
把代入，得，
∴，
解得：．
（3）解：由（2）知：，
直线向上平移2个单位后得到直线l，
则直线l解析式为，
如图，过点A作于E，
∵，，
∴
∴点A的纵坐标为2，
把代入，得，
解得：，
∴点A的坐标为．
40．（1）∵
∴ 解得
∴，；
（2）因为点P和它所对顶点的连线能平分的面积，
所以点P在三角形边的中点，
但题中没有说明P点在哪个边，所以需要分情况讨论
①当点P在边AB上时，
∵，，点P是中点
∴；
②当点P在边BC上时，
∵，，点P是中点
∴；
③当点P在边AC上时，
∵，，点P是中点
∴；
所以点P的坐标有，，；
（3）设
∴ 解得
∴
∵轴
∴
令x=2，此时
∴．
【题型5 等积变形】
41．（1）解：设直线的函数表达式为，
把、分别代入，得
，解得：，
∴．
（2）解：∵，，
∴
设点的坐标为，
∵、，
∴
∵
∴
解得：，．
∴存在，点的坐标为，．
42．（1）解；∵点在直线上，
∴，
，
∴，
∵直线经过和，

解得：，
直线的解析式为：；
（2）解：在中，当时，解得：，
∴，
，
∴的面积
（3）解： ，
，
∵的面积与的面积相等，
∴，
∴，
∴
点的横坐标为或；
当的横坐标为时，
在中，当时，，则的坐标是；
当的横坐标为时，
在中，当时，，则的坐标是
综上所述：点的坐标为或．
43．（1）解：∵A点坐标，
∴
∵三角形的面积是4．
∴
∴
∴；
（2）解：①∵点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，
∴
∴
∴
∴
∵三角形的面积是8
∴，即
∴；
②∵点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），
∴设
∴，
∵四边形的面积与三角形的面积相等
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
44．（1）解：∵，，
∴，
∴，；
（2）解：设直线的解析式为．
∴
解得
∴直线的解析式为；
（3）解：∵，
∴，
即，
∵点E在线段上，
∴点E在第一象限，且，
∴
∴
把代入直线的解析式得：
∴
∴．
45．（1）解：∵直线与轴交于点，
∴当时，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①∵直线与轴分别交于点，
∴点，
∵为直线位于第一象限内一点，点的横坐标为
∴，
∴，
解得：；
故答案为：．
②∵点的横坐标为，点在直线上，
∴点，
∴，，
∵的面积与的面积相等，
∴，
∴．
46．（1）解：方程组可转化为，
所以这个方程组的解为直线与直线的交点的横坐标、纵坐标，
即方程组的解是，
故答案为：．
（2）解：如图，设直线与轴的交点为点，
将点代入得：，解得，
∴，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，解得，即，
∴，
∵，
∴的边上的高为，
∴的面积为．
（3）解：如图，设直线与轴的交点为点，
由（2）已得：，
当时，，解得，即，
设点的坐标为，则，
∵，，
∴的边上的高为，的边上的高为，
∵的面积与的面积相等，且的面积为10，
∴，
解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去），
所以点得坐标为．
47．（1）解：设正比例函数解析式为：，
∵与交于点，
∴，，
∴，，
正比例函数解析式为： ．
（2）解：如图，连接，
当 时， ，
∴，
∴，
∴，
点 M 的横坐标为 4或 ，
∴或，
∴ 的坐标为 ．