第十二章《函数与一次函数》单元测试卷（含解析）初中数学 沪科版（2024）八年级上册

第十二章《函数与一次函数》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知正比例函数（k是常数，）的图象经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一次函数，若当x增加3时，y增加6，则k的值是（　　）
A．-2 B．-3 C．2 D．3
3．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点，无论取何值，点均在直线（为常数，）上方．当时，函数大于函数的值，则应该满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小聪根据图象得到下列结论，其中结论不正确的是（ ）
A．
B．关于x的方程 的解为
C．关于，的方程组的解为
D．关于的不等式的解为
6．如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　）
第25天的销售量为200件
B．第6天销售一件产品的利润是19元
C．第20天和第30天的日销售利润相等
D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润
7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线和直线，其中k为不小于2的自然数．当，3，4，…，2025时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
9．直线（k，b为常数且k，）和直线（k，b为常数且k，）在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则下列结论错误的是（ ）

A．甲车速度是 B．A、两地的距离是
C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知正比例函数经过点，点P在第二象限，且在该正比例函数的图象上，点B的坐标为，且，则点P的坐标为 ．
12．将的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是 1，正方形的顶点都在格点上，若直线与正方形有两个公共点，则k的取值范围是 ．
13．将一次函数的图象向上平移3个单位长度，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则 ．
14．若关于的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与轴相交于正半轴，则整数的值为 ．
15．如图，正方形，，，按其所示放置，点，，，和，，，分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ．
16．点在平面直角坐标系中，其中点A在y轴正半轴上，点C在x轴上，若的面积为5，则a的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知：与成正比例，且时，．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若点在这个函数的图象上，求a的值：
(3)当时，则x的取值范围是______．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，与直线交于点，直线的表达式为（，是常数且），与轴交于点．
(1)求，，的值；
(2)求的面积；
(3)若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
19．（8分）如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点
(1)若点P在y轴上，且，求点P的坐标；
(2)若点M在直线上，点M的横坐标为m，且，过点M作直线平行于y轴，与直线交于点N，且，求点M的坐标．
20．（8分）某中学计划在总费用2460元的限额内，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师，现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表所示．设租车总费用为y元，租用甲型客车x辆．
甲型客车 乙型客车
载客量（人辆） 45 30
租金（元/辆） 400 280
(1)共需租______辆客车；
(2)求y关于x的函数解析式，并求出共有几种租车方案；
(3)因汽油价格上涨，甲型客车每辆租金上调m元，乙型客车每辆租金上调元（），若租车的最高费用是2460元，求m的值．
21．（10分）小明和爸爸周末前往游泳馆进行游泳训练，他们都在长为的笔直泳道进行匀速往返游泳．起点和终点分别为泳道两端，两人同时从起点出发，到达终点后，立即转身游向起点，到达起点后，又立即转身游向终点……已知爸爸游泳的速度大于小明游泳的速度．训练过程中，父子间的距离和游泳时间的部分图象如图所示：
(1)爸爸的速度为_______，小明的速度为______；点代表的实际意义是：______：
(2)求线段的函数解析式；
(3)在15分钟内，两人一共相遇_______次．
22．（10分）小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决相关问题．
(1)下表是y与x的几组对应值：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 2 m 2 0 …
写出表中m的值：______．
(2)如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象．
(3)小明结合该函数图象，解决了以下问题：
①对于函数，当时，的取值范围是______；
②方程有______个解；
③直接写出不等式的解集为______．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点为．
(1)求和的值；
(2)不等式的解集为________；
(3)设一次函数的图象与轴交于点，将一次函数的图象向右平移个单位长度，交的图象于点，交轴于点，四边形的面积为________．
24．（12分）
主题 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题
问题情境 随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少．近期有一条运营线路处于亏损运营状态．
问题探究 （1）公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图像如图1所示），写出图1中点A和点B的实际意义．
（2）汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案．在讨论中，有乘客代表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本．客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能扭亏． 你认为图2和图3两个图示中，反映乘客代表意见的是_______，反映客运公司行政代表意见的是_______．
问题解决 汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内每天的乘客数量如下表所示： 星期一二三四五六日x/万人1.41.11.11.31.41.41.4
经过讨论，得到三种扭亏方案，具体如下： 方案1：票价不变，将运营成本降低到0.8万元； 方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.8万元； 方案3：将运营成本降低到0.9万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元． 你认为哪种方案更有利于汽车客运公司扭转亏损？请说明理由
参考答案
一．选择题
1．B
【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点满足函数解析式成为解题的关键．
先利用已知点求出正比例函数的比例系数k，得到函数解析式，再逐项判断即可．
【详解】解：将点代入正比例函数解析式，得：，解得：．
∴正比例函数解析式为，
A．将代入得，即不在该正比例函数图象上，故该选项不符合题意；
B．将代入得，即在该正比例函数图象上，故该选项符合题意；
C．将代入得，即在该正比例函数图象上，故该选项符合题意；
D．将代入得，即在该正比例函数图象上，故该选项不符合题意．
故选B．
2．C
【分析】本题主要考查一次函数的性质，熟练运用一次函数的性质是解题的关键．根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：当x增加3时，y增加6，
，
即，
，
，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、有理数的加法法则，根据一次函数与均为随增大而减小，可得：，，所以可得：，，根据一次函数与轴交点在轴上方，可得：，根据一次函数与轴交点在轴下方，，从而可得：，，根据计算结果进行判断即可．
【详解】解：由函数图象可知，一次函数与均为随增大而减小，
，，
，，
故A选项错误，C选项正确；
一次函数与轴交点在轴上方，
，
一次函数与轴交点在轴下方，
，
，，
故B选项和D选项错误．
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了一次函数和一元一次不等式．
由点A在直线上方求出，；由x>4时，函数大于函数的值求出，综合结论作答即可．
【详解】解：∵已知点，无论取何值，点均在直线上方，
∴，
即，
∴，
解得：，
此时，
解得；
∵函数即大于函数的值，
∴，
解得：，
∵当时，函数大于函数的值，
∴；
综上所述，，，
故选：D．
5．D
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式的关系．
根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、与一元一次方程、与一元一次不等式的关系对各项判断即可解答．
【详解】解：∵由图象可知：一次函数与x轴的交点为，
∴当时，，即，
故结论A正确；
∵由图象可知：一次函数与（）的图象相交于点，
∴关于x的方程的解为，
故结论B正确；
∵由图象可知：一次函数与（）的图象相交于点，
∴关于x，y的方程组的解为，
故结论C正确；
∵由图象可知：一次函数图象不在（）的图象上方时，
∴的解为
故结论D错误；
故选：D．
6．C
【分析】根据函数图象分别求出当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为，当时，产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．
【详解】A、根据图①可得第25天的销售量为200件，
故此选项正确，不符合题意；
B、设当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为，
把代入得：
，
解得：，
∴，
当时，，
故此选项正确，不符合题意；
C、当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为，
把代入得：
，
解得：，
∴，
当时，日销售利润为（元）；
当时，日销售利润为（元），
∴第20天和第30天销售利润不相等，
故此选项错误，符合题意；
D、当时，日销售利润为（元），
当时，日销售利润为（元）．
∴第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润，
故此选项正确，不符合题意．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了求一次函数解析式，轴对称问题．
分别求出直线、直线的解析式，求出点Q的运动范围，再根据轴对称的性质即可求出a的取值范围．
【详解】解：设直线的解析式为，
将，代入得：
解得：
∴直线的解析式为，
当时，；
设直线的解析式为，
将，代入得：
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，；
即点Q在范围内运动，
∵点关于y轴的对称点Q，
∴
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离是解题的关键．
先求出两个函数与轴的交点坐标，从而求出的值，分别代入，求出、值，将其相加即可得出结论．
【详解】解：当时，有，
解得：，
∴直线与轴的交点坐标为，
同理，可得出：直线与轴的交点坐标为 ，
∴两直线与轴交点间的距离 ．
联立直线成方程组，
得：，
解得：，
∴直线的交点坐标为．
∵，
∴当时，，
当时，；
当时，；
当时，；
，
故选D．
9．B
【分析】本题主要考查了一次函数图象，先根据直线经过的象限，得出k和b的符号，然后再判断直线的k和b的符号是否与直线一致，据此即可得出答案．
【详解】解：A．直线中，，，中，，不一致，故本选项不符合题意；
B．直线中，，，中，，则，一致，故本选项符合题意；
C．直线中，，，中，，不一致，故本选项不符合题意；
D．直线中，，，中，，不一致，故本选项不符合题意．
故选：B．
10．D
【分析】分析两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解．
【详解】解：点中可知，乙1小时行驶了，可求乙的速度，
点中可知，后，甲追上乙，可求甲的速度为：
，
由点可知，甲到地，且甲乙相差，则：
，
点可知，休息30分钟，
∴，；
点可知，甲乙再次相遇，；
A．甲车的速度是，故A正确，不符合题意；
B．由以上分析已知甲出发后到达B地，且甲速度为，所以A，B两地为，故B正确，不符合题意；
C．甲车到达B地，乙车比甲车早出发，所以乙车出发时甲车到达地，故C正确，不符合题意；
D．从上中和可知，甲出发和与乙车相遇，故D错误，符合题意．
故选：D．
二．填空题
11．
【分析】本题考查了待定系数法，正比例函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．设正比例函数的解析式为，再把代入求出k的值，设出P点坐标，画出图形，结合列式求解即可．
【详解】解：设正比例函数为，
∵正比例函数经过点，
∴，
解得，
∴正比例函数的解析式为：．
设
如图所示，
，
解得，
∴；
故答案为．
12．
【分析】分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围．
本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是求得点A和点C的坐标．
【详解】解：由题意得：点A的坐标为，点C的坐标为，
当正比例函数经过点A时，，
当经过点C时，，
解得，
∵直线与正方形有两个公共点，
∴k的取值范围是，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了一次函数的平移规律．
根据一次函数的平移规律求出m、n的值，即可求出的值．
【详解】解：将一次函数的图象向上平移3个单位长度得：
，
∵平移后的函数图象与一次函数的图象重合，
∴，，
即，，
∴，
故答案为：．
14．1
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
根据已知条件可知y随x的增大而增大，进而得到一次项系数大于零，列出关于m的不等式；再结合函数的图象与y轴相交于正半轴可知常数m大于零，通过解不等式求出m的取值范围，最后求得整数m的值即可．
【详解】解：∵关于x的一次函数的图象经过点和点，，
当时，，
∴函数值y随x的增大而增大，
∴，解得：
，
∵函数的图象与y轴相交于正半轴，
∴，
∴m的取值范围是，
∵m的值为整数，
∴m的值为1．
故答案为：1．
15．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标．根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点的坐标，根据点坐标的变化找出点的坐标，依此即可得出结论．
【详解】解：当时，，
，
在正方形中，则，
同理，得：，
，
则点的横坐标是，
故答案为：．
16．1或
【分析】本题考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数的解析式等知识，全面分类、正确求解是解题的关键；
分四种情况，分别画出图形（如解析图），利用三角形面积间的关系列出方程求解即可．
【详解】解：当即时，此时轴，
∴当时，作轴于H，如图，
，
即，
解得：；
当A、B、C共线时，设的解析式为，
把点A、B的坐标代入得，解得，
则当时，作轴于H，如图，
，
即，
解得：（舍去）；
当时，作轴于H，如图，
，
即，
解得：（舍去）；
当时，作轴于H，如图，
，
即，
解得：；
综上，或
故答案为：1或．
三．解答题
17．（1）解：设，
∵时，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为：．
（2）解：∵点在的图象上，
∴，
解得．
（3）解：根据可得，
当时，；
当时，；
∵y随x的增大而增大，
∴当时，．
故答案为：．
18．（1）解：∵直线：的图象过，
∴，解得：；
∵直线：的图象过，，
∴，解得：，
∴，，；
（2）解：由（）得，，，，
∴直线的表达式为，直线的表达式为，
当时，，
∴，
∴，
∴的面积为；
（3）解：∵点在线段上，点在直线上，
∴，，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值为．
19．（1）解：直线与坐标轴分别交于A，B两点，
令，解得，
，
，，
，
由点P在y轴上，可设，
，
，
，
解得，
，
即或；
（2）解：∵点M在直线上，点M横坐标为m，
，，
，
在N点的上方，
，
即，
解得，
．
20．（1）解：设租车总数量为，
∵有6名教师，每辆汽车上至少要有1名教师，
则，
又甲型每个客车载客量大于乙型，且当全部租用甲型客车时：
当时，载客量：，不满足要求，
∴，
∴，且为整数，
∴．
故答案为：6．
（2）租车费用，
由题意，需满足∶
，
解得，
又为整数，
或5或6．
共有3种租车方案．
（3）设新的租车总费用为w元，
，
由（2）知为整数，且或5或6．
①若，则，w随x的增大而增大，
∴当时，w取最大值，则，
，符合；
②若，则，此时，不成立舍去；
③若，则，w随x的增大而减小，
∴当时，w取最大值，则，
，
∵不符合，不成立舍去．
综上：m的值为10．
21．（1）解：由图象可知，爸爸用游了,此时小亮在爸爸后面,即小亮用游了,
∴爸爸的速度为，小亮的速度为，
，
∴点B表示：经过,小明和爸爸第一次相遇；
（2）解：由（1）知点B坐标为，
点C处为小明第一次到达终点，所需时间为：,
此时两人之间距离为：,
∴点C坐标为，
设段函解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴段函解析式为；
（3）解：由（1）可知，两人每经过即可相遇一次，
，
在15分钟内，两人一共相遇16次．
22．（1）解：当时，，
故答案为： 4 ；
（2）解：函数的图象如图所示：
（3）解：①由函数图象可知：当时，；
故答案为：；
②由图象可知：函数与直线有两个交点；
则方程有两个解；
故答案为：两；
③如图，画出的图象，
由图象可知不等式的解集为：或．
故答案为：或．
23．（1）解：把点代入，
可得：，
点的坐标为，
把点的坐标为的坐标代入，
可得：，
解得：；
（2）解：由（1）可知，
，
，
，
解得：；
（3）解：由（1）可知一次函数的解析式为，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
，
把一次函数向右平移了个单位长度，
平移后的函数解析式经过点，
，
设平移后的函数解析式是，
可得：，
解得：，
平移后的函数解析式是，
解方程组，
解得：，
点的坐标是，
，，
，
故答案为：.
24．解：（1）点的实际意义是客运公司的运营成本为1万元，点的实际意义是乘客有1.5万人时客运公司利润为0元；
（2）观察图像可知，反映乘客代表意见的是图3，反映客运公司行政代表意见的是图2；
故答案为：图3，图2；
（3）该线路一周内乘客数量为（万人），每天乘客数量平均为（万人），
设原来与的函数关系式为，把，代入，
得，解得，
原来与的函数关系式为；
方案1：票价不变，将运营成本降低到0.8万元，此时与的函数关系式为，
令得，
客运公司平均每天利润为万元；
方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.8万元，此时，
令得，
客运公司平均每天利润为0.04万元；
方案3：将运营成本降低到0.9万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元，此时，
令得，
客运公司每天平均利润为0.075万元；
，
方案3更有利于汽车客运公司扭转亏损．