第二章《 对称图形——圆》章节测试卷（含解析）初中数学 苏科版 九年级上册

第二章《 对称图形——圆》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，连接，交于点P，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，为的直径，为圆上一点，为劣弧上一点，将劣弧沿弦所在的直线翻折，翻折后点恰好与圆心重合，则的大小等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是半径为1的的两条弦，于点D，于点E，连接．若，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．
4．“七巧板”是我国古代劳动人民的发明，被誉为“东方魔方”．小洁同学用一个边长为的正方形纸片制作出如图①的七巧板，并拼出如图②的轴对称图形．过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，的半径为2.5，直线的解析式为，那么直线与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
6．如图，的半径4，直线l与相交于A，B两点，点M，N 在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形的面积的最大值是（ ）
A．9 B． C．18 D．
7．如图，圆O是等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接、．以点D为圆心，的长为半径在圆O内画弧，阴影部分的面积为，则等边三角形的边长为（ ）
A．4 B． C． D．2
8．如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
10．如图，内接于，为的直径，且与的边交于点E，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则 ．
12．如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则 ．
13．如图，是正五边形和正六边形的外接圆，连接和，则的度数为 ．
14．如图，在中，，，点D为的中点，点E在上，且．经过点A，D，E，与交于点G，与交于点F，则的度数为 °．
15．半径为6的是锐角三角形的外接圆，，连接，，延长交弦于点D，若是直角三角形，则弦的长为 ．
16．如图，内接于，连接并延长交于点，过点作于点．连接交于点，延长交于点，连接．若，则 ， ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，连接．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数．
18．（6分）如图，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连接，，，延长，相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求直径的长．
19．（8分）如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的度数．
20．（8分）已知正方形的四个顶点在上
(1)如图1，若点在劣弧上，连接、、，若在上取一点，使得，连接，求证：
(2)若点在弧上（不与点、、重合），过点作于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图2，若正方形的边长为4，点是线段上的动点，过点作于点，将线段为边，在右侧作等边，求出点的运动轨迹长．
21．（10分）如图，正六边形内接于．
(1)如图1，若半径为2，请直接写出图中阴影部分面积；
(2)如图2，若点为上一点，连接，，，探究，，之间数量关系，并说明理由．
22．（10分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题：
(1)在图1中，画出圆心O．
(2)在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦．
(3)在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得．
23．（12分）如图，在五边形中，点，，，是上的四个点，，平分．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：；
(3)若，，求面积的最大值．
24．（12分）问题探究
（1）如图①，在中，以为直径作，、分别交于点，连接，若，点是的中点，求的长；
问题解决
（2）如图②是某生态公园的部分示意图，是一条笔直的小溪流，是小溪流旁的一块绿地，点在上，．点分别是边上的动点，连接，为使游客有更好的观景体验，需沿修建玻璃桥，根据规划要使．为节约成本，要使玻璃桥的长尽可能的小．请问玻璃桥的长度存在最小值吗？若存在，请求出玻璃桥长的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．C
【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，垂径定理等知识，根据正五边形的性质结合圆周角定理和垂径定理得，，进而可得答案．
【详解】解：∵是的直径，五边形是的内接正五边形，
∴，，，
∴，
∴，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了翻折的性质，圆周角定理，等边三角形的判定及性质，连接，，由等边三角形的判定方法得为等边三角形，结合圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接，，
，
，
由翻折得：，
，
为等边三角形，
，
∴，
∴，
，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
连接，根据圆周角定理可得，从而在中，利用勾股定理可得，然后根据垂径定理可得，从而可得是的中位线，最后利用三角形中位线定理进行计算，即可解答．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查了七巧板，正方形的性质，确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心，垂直平分交于点，为圆心，连接，先求得，，利用垂径定理求得的长，在中，由勾股定理求解即可，解题的关键是作出适当的辅助线，构造直角三角形．
【详解】解：如图，垂直平分交于点，为圆心，连接，
∵将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，
∴，，
∴，
设该圆的半径长是，则，，
在中，由勾股定理得，
解得，
∴该圆的半径长是，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长．求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系．
【详解】解：如图，直线分别与 轴交于，
过作于，
当时，，
，
当时，，
，
，
，
的面积，
，
，
到直线的距离，
的半径，
，
直线与的位置关系是相交．
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质，过点作于，交于点、两点，连接，，，，，，求出为等腰直角三角形，得出，结合得出当点到的距离最大时，的面积最大，当点到的距离最大时，的面积最大，即点运动到点，点运动到点，此时四边形的面积最大，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，交于点、两点，连接，，，，，，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴当点到的距离最大时，的面积最大，当点到的距离最大时，的面积最大，即点运动到点，点运动到点，此时四边形的面积最大，为，
故选：D．
7．C
【分析】连接、，与交于点．根据等边三角形的性质和圆内接四边形的性质，得到，再结合扇形面积公式，求出，由垂径定理可得，，，再解直角三角形，得到，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，连接、，与交于点．
是等边三角形，
，
四边形内接于，
，
，
阴影部分的面积为，
，
，
（负值舍去），
是半径，点D是弧BC的中点，
，，，
，
，
，
，
等边三角形的边长为，
故选：C．
8．B
【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，切线的性质，连接．求出，再利用圆周角定理求出，连接，可得，由得，求解即可．
【详解】解：连接，如图，
∵M，N，F分别是与的切点，
∴，，
∴，
∵正五边形中，，
∴，
∴，
连接，由对称性可得三点在同一条直线上，
在和中，
,
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断．
【详解】解：∵E是的内心，
∴平分，
∴，故①正确；
如图，连接，
∵E是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵点G为的中点，
∴G一定在上，
∴，故③正确；
平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
若，则，显然不可能，故④错误．
故选：D．
10．C
【分析】此题考查了三角形的外接圆及外心，等腰直角三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键．连接，过点E作于F，过点A作于H，先求出，则，进而再求出，则，进而得，则，进而再求出，则，从而得是等腰直角三角形，则，然后再分别求出，，进而可得的长．
【详解】解：连接，过点E作于F，过点A作于H，如图所示：
∵内接于，为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴°，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴．
故选：C．
二．填空题
11．
【分析】本题考查了已知圆内接四边形求角度，半圆（直径）所对的圆周角是直角，利用弧、弦、圆心角的关系求解，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
连接，根据圆内接四边形性质求得，结合弧、弦、圆心角的关系推出，进而得到，再利用半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到，最后根据求解，即可解题．
【详解】解：连接，
四边形内接于，，
，
，
，
，
为直径，
，
；
故答案为：．
12．8
【分析】本题主要考查了四边形的内切圆的性质、比例的应用等知识点，掌握圆的外切四边形的对边之和相等是解题的关键．
利用圆的外切四边形的性质得到，设、、，则，即，接着利用四边形的周长为32列方程求解即可．
【详解】解：如图，
∵的外切四边形，
∴，
∴，
∵，
∴设、、，则，即，
∵四边形的周长为32，
∴，解得：，
∴．
故答案为：8．
13．
【分析】本题考查正多边形与圆，连接，根据正多边形的性质可得：，进而得到，，再根据即可求解．
【详解】解：连接，
根据题意得：，
，
，
，
故答案为：．
14．60
【分析】题目主要考查等边三角形的判定和性质，圆周角定理，理解题意，作出辅助线进行求解是解题关键．
连接，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，为等边三角形，再由各角之间的关系及等量代换得出，利用圆周角定理即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为，
故答案为：60．
15．或
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质；正确的作出图形是解题的关键．如图1，当时，可得是等边三角形，解直角可求解；如图2，当，推出是等腰直角三角形，解可求解．
【详解】解：如图1，当时，
即，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图2，当，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
综上所述：若是直角三角形，则弦的长为或，
故答案为：或．
16．
【分析】过点O作于H，连接，根据圆周角定理，证明，推出，即可得出，进而求得的长；过点O作于N，于T连接，先证明，求出，再证明，求出，证明四边形为矩形，推出，设，勾股定理求出的值，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：过点O作于H，连接，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
过点O作于N，于T连接，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴
∴，
设，则：，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
即
解得或(舍去)，
∴，
∴，
在中，．
故答案为：；．
三．解答题
17．（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（1）证明：如图，延长交于点，连接．
为的直径，
，即．
点为的中点，
，
，
．
，
，
，
．
（2）解：设的半径为，则，．
，，
是的中位线，
，
．
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得：，（不合题意，舍去），
直径的长为．
19．（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：在与中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
20．（1）证明：在正方形中，，
与都对应弧，
，
在和中，
；
（2）解：满足或，理由如下：
如图，当点在弧上,过点作于点，
∵是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是矩形，
又∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，即；
当点在弧上时，在上取点，使，连接，
由（1），
，，，
在正方形中，，
，
，
，
是等腰直角三角形三角形，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴点N在以为直径的圆F上，
∵最大为，
∴最大为，即最大圆心角为，
∴点N的运动路径为．
21．（1）解：连接，过点O作于点H，
∵正六边形内接于，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴阴影部分面积为：；
（2）解：，理由如下：
如图，在上截取，连接，
多边形是正六边形，
∴，
∴
∴
同理
∵，
∴是等边三角形
∴，
∴
∴
∵
∴== =
∴ =
∴
在与中，
∴，
∴
∴．
22．（1）解：如图，点O即为所求；
（2）解：如图，点E即为所求；
（3）解：如图，即为所求．
23．（1）证明： ∵，平分，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）证明：延长至，使，
∴是等腰三角形，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
由（）知，，，
∴,
即，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：设的外心为，连接，，
∴，
∵，
∴，
∴点为定点，
∵，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示，
在等腰直角三角形中，于点，则有，
当点，，三点共线时，的面积最大，
∴，
∴，
∴．
24．解：（1）如图，连接，
为直径，
，，
点是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（2），，
，，
，
，
过作于，如下图，
，
∴，，
，，
∴，
，
，
，
，
点，，，四点共圆，
如图②，设圆心为点，半径为，连接，，连接，过点作于点，
，
是直径，
，
，
又，则，
，则，
，
要使得最小，即最小，而是直径，，
当时，取得最小值，此时最小，
此时是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故玻璃桥长的最小值为．