第一章《一元二次方程》章节测试卷（含解析）初中数学苏科版九年级上册

第一章《一元二次方程》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（ ）
A． B． C．2 D．不能确定
2．小颖在探索一元二次方程的近似解时做了下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（ ）
0 1 2
5
A． B．0 C．1 D．2
3．若分式总有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（ ）
A．或 B． C． D．
5．已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知实数，满足，且为整数，设，则的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（ ）
A． B． C． D．
8．满足方程的整数对有（ ）
A．0对 B．2对 C．4对 D．6对
9．已知方程，则此方程的所有实数根的和为（ ）
A．0 B． C．2 D．8
10．如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为，则这块地砖的面积为（ ）
A．50 B．40 C．30 D．20
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．关于的一元二次方程的常数项是，则的值为 ．
12．已知，是一元二次方程的两根，求的值为
13．设，是关于x的方程的两根，且，则m的值是 ．
14．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为 ．
15．实数a，b，c满足．
（1）当时，则 ；
（2）实数a的取值范围是 ．
16．如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，那么 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）按要求解下列关于的一元二次方程：
(1)（公式法） (2)（因式分解法）
18．（6分）小明准备进行如下实验操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于，则这两个正方形的边长各是多少？
(2)小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于．你认为他的说法正确吗？请说明理由．
19．（8分）已知关于的一元二次方程．
(1)判断此方程根的情况，并说明理由．
(2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和．
(3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值．
20．（8分）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒．
(1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
(2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
(3)取的中点，运动过程中，当时，求的值．
21．（10分）一元二次方程两根分别为且（）
(1)若此方程一根为1，则__________；
(2)当，时，求a，b的值；
(3)若，，且时，求证：．
22．（10分）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限制方程”．比如：一元二次方程的两根为，因，所以一元二次方程不是“限制方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程______“限制方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x的一元二次方程是“限制方程”，且方程的两根满足，求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程是“限制方程”，求m的取值范围．
23．（12分）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数x，y满足，求的值；
(2)设a，b满足等式，求的值；
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
24．（12分）我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．
（1）方程的解是，______，_______；
（2）用“转化”思想求方程的解；
（3）如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点处，沿草坪边沿、走到点处，把长绳段拉直并固定在点处，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点处，求的长．
参考答案
一．选择题
1．C
【分析】本题考查一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为2，且二次项系数不为0，列方程求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键．
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
，且，
解得或；且，
，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围．
【详解】解：当时，；
当时，，
∵更接近于0，
∴方程的一个解得整数部分是1，
故选：C．
3．A
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的判别式与解的关系成为解题的关键．
分式有意义的条件是分母不为零．即分母恒不为零，则对应的二次方程无实根，再运用根的判别式列不等式求得m的取值范围即可．
【详解】解：∵分式总有意义，
∴分母为二次函数恒不为零，，
∴方程无实数根，
∴，解得．
故选A．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意可得，，由可得，结合求出或，由题意可得，求出，即可得解．
【详解】解：∵a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴由可得：，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
由题意可得，
解得：，
∴，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系．分别根据一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：是方程的解，
，
，故A错误；
由题意得，该方程有两个实数根，
，
∴，故B错误；
的两个解为，，
，
，故C正确，D错误．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了解一元二次方程，将原方程变为，再转化为关于的一元二次方程，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
设，
∴，
∴，
解得：或，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，
依题意，得：，
化简，得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去，
答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为．
故选：B．
8．C
【分析】利用一元二次方程有解判断出的范围，根据是整数求出的值，进而求出的值，利用也是整数判断即可得出结论．
【详解】解：原方程可化为，
∵方程有实数根，
∴，
∴，
∵是整数，
∴，，，0，1，2，3，
当时，原方程可化为，
∴（由于为整数，所以舍去），
当时，原方程可化为，
∴（由于为整数，所以舍去），
当时，原方程可化为，
∴（由于为整数，所以舍去），
当时，原方程可化为，
∴（由于为整数，所以舍去），
当时，原方程可化为，
∴（由于为整数，所以舍去），
当时，原方程可化为，
∴或，
当时，原方程可化为，
∴或，
∴原方程的整数解为：或或或，
即：方程的整数对为、、，共四对，
故选：C．
9．A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握绝对值的意义，解一元二次方程，分类讨论，是解决问题的关键．
根据已知方程，分，，，三种情况讨论求根，取所有根的和即可．
【详解】解：①当时，
方程化为：，
即，
∴，
解得（舍去），；
②当时，
方程化为：，
即，
∴，
解得（舍去），，
③当时，方程不成立．
∴此方程的所有实数根的和为：
．
故选：A．
10．B
【分析】如图，根据题意易知，点O为正方形的中心，利用图中的面积关系最终可推出，设正方形ABCD的边长为,则,以此可得方程，解此方程，再将a的值代入即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意易知，点O为正方形的中心，
∴，即，，
∵，
∴，
∵，
∴，
设正方形ABCD的边长为,则,
∴，解得：，
∵，
∴或，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
二．填空题
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义及一般式，根据一元二次方程的常数为可得，可得的值，再根据二次项系数不等于即可求解，掌握一元二次方程的定义及一般式是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
解得或，
∵方程是关于的一元二次方程，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．100
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，从而得出，求出，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
∴，
∴
，
∴
．
故答案为：．
13．8
【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，结合，推出，代入得到关于m的方程，解方程即可．
【详解】解： ，是关于x的方程的两根，
，
，
，
将代入，得：，
解得，
故答案为：8．
14．3
【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，先解一元一次方程得出，再结合题意得出是一元二次方程的解，代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：解方程可得：，
∵关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，
∴是一元二次方程的解，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是根据式子特点，构造一元二次方程：
（1）把代入两个式子，进行求解即可；
（2）根据，得到，得到为一元二次方程的两个根，根据根的判别式，列出不等式求出的范围即可．
【详解】解：（1）把代入，得：
，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴可以看作是一元二次方程的两个根，
∴，
解得：；
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，全等三角形的性质，设，则，可得，由勾股定理可得，则，进而可得，解得，据此可得答案．
【详解】解：设，则，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
∵大正方形的面积是小正方形面积的25倍，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴
∴，
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：
∴，，，
∴，
∴，
解得：
（2）
因式分解得
移项得，
提取公因式得，
即，
解得
18．（1）设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为．依题意列方程得．
整理得：，
解得，，
因此这两个正方形的边长分别是，；
（2）两个正方形的面积之和不可能等于．理由：
若两个正方形的面积和为，则
，
∴，
，
此方程无解，
两个正方形的面积之和不可能等于．
19．（1）解：此方程总有两个实数根．
理由：，
不论为何值，，
此方程总有两个实数根．
（2）解：设方程的两个根为，
则，．
此方程的两个实数根都是整数，
的值为，
符合条件的整数的值的和为0．
（3）解：是方程的两个实数根，
，，
，，
以上两式相加，可得，
即．
20．（1）解：的长度能为，理由如下：
根据题意可知：，，，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
解得：（舍去）或，
当时的长度能为；
（2）解：不能，理由如下：
设运动秒后的面积为，则，，，，
，
，
，
，
，
即，
，
，
方程无实数根，
的面积不能为；
（3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，，
的中点为
，
又，，
取的中点，连接，则，
，
，
，
解得：，．
21．（1）解：∵一元二次方程两根分别为，其中一根为，
∴将代入，则，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
解得：，；
（3）解：当，且，
①
②
①－②得：
即
因，
∴，
∴
由题知：
∴即，故．
22．（1）解：，
，
，
，
，
不是“限制方程”；
（2）解：是的两根，
则，，
∵，
∴，
，
解得或6，
当时，，解得，
，
不符合题意，舍去，
当时，，解得，满足，
∴；
（3）解：方程的根为，
∵该方程是“限制方程”，
∴，
当时， ，解得，
当时， ，解得，
∴m的取值范围是或．
23．（1）解：设，则，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
（2）解：设，则，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
（3）解：设最小正整数为x，则，即：，
设，则，
解得：，，
∵x为正整数，
∴，
解得，（舍去），
故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4．
24．解：（1），
．
，
则或或，
解得：、、．
故答案为：；；
（2），
，即，
，
则或，
解得：，，
又∵，
∴；
（3）设，则，
，，
，，
，
，
两边平方，整理可得：
再两边平方，整理可得：，
解得、，
则的长为或．