2.1.1 倾斜角与斜率
【课前预习】
知识点一
1.向上 直线l与x轴平行或重合
2.0°≤α<180°
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ [解析] (2)直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α≤180°,所以某条直线的倾斜角不可能为-60°,也不可能为210°.
2.解:当直线的倾斜角为锐角时,直线一定过第一、三象限.
知识点二
1.倾斜角α的正切值 k=tan α
(2)k=0 k>0 k不存在 k<0
2.k= 3.(1)(1,k) (2)
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)×
[解析] (1)任意一条直线都有倾斜角,但不一定都有斜率,如与x轴垂直的直线的倾斜角为90°,但它没有斜率.
(2)由直线上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)可以确定直线的方向,求出直线的一个方向向量为=(x2-x1,y2-y1),但是当x1=x2时,无意义,直线的斜率不存在.
(4)设直线的倾斜角为α,斜率为k.当0°≤α<90°时,k≥0且k随着α的增大而增大;当90°<α<180°时,k<0且k随着α的增大而增大.但当0°≤α<180°时,k并不随着α的增大而增大.如α=60°时,k=;α=150°时,k=-.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)C [解析] (1)如图所示,直线l有两种情况,故直线l的倾斜角为60°或120°.
(2)∵直线l过原点(0,0),且不过第三象限,∴直线l与坐标轴重合或经过第二、四象限,∴ l的倾斜角α的取值范围为α=0°或90°≤α<180°,故选C.
变式 (1)BC (2)30° [解析] (1)因为直线的倾斜角的取值范围为[0,π),所以当≤α<π时,直线l1的倾斜角为α-,当0≤α<时,直线l1的倾斜角为π-=+α.故选BC.
(2)因为直线l1的倾斜角为150°,所以∠BCA=30°,所以l3的倾斜角为×(90°-30°)=30°.
探究点二
例2 (1)A (2)C [解析] (1)因为直线经过两点A(2,7),B(4,6),所以直线的斜率为=-.故选A.
(2)由直线的倾斜角为,可得斜率k=tan=,所以=,解得m=-.故选C.
变式 (1)D (2)BC [解析] (1)由题图可知l3的倾斜角小于l2的倾斜角,且l2,l3的倾斜角都是锐角,所以k2>k3>0.l1的倾斜角小于l4的倾斜角,且l1,l4的倾斜角都是钝角,所以k1(2)如图,由题知kPA==-1,kPB==1,由图可知l的斜率k∈[-1,1].设直线l的倾斜角为α,α∈[0,π),∵tan α=k∈[-1,1],∴α∈∪.故选BC.
拓展 解:(1)如图所示,由点M(x,y)在函数y=-2x+8的图象上,且2≤x≤3,可知点M(x,y)在线段AB上移动,且A(2,4),B(3,2).
的几何意义是过O,M两点的直线的斜率,又kOA=2,kOB=,
∴由图可知的最大值为2,最小值为.
(2)=,其几何意义是过M(x,y),N(-1,-1)两点的直线的斜率.
∵kNA=,kNB=,∴≤≤,∴的取值范围为.
探究点三
例3 (1)A (2)-2 (3)
[解析] (1)因为直线的斜率为,所以直线的一个方向向量为(1,),故选A.
(2)由题意知=,解得k=-2.
(3)设直线l1的倾斜角为α(0°≤α<180°),由直线l1的一个方向向量为n=(2,1),得直线l1的斜率k1=tan α=,因此直线l2的斜率k2=tan 2α==.2.1.1 倾斜角与斜率
1.C [解析] 因为直线过点A(0,4),B(,1),所以kAB==-,设直线的倾斜角为θ(0°≤θ<180°),则tan θ=-,故θ=120°,故选C.
2.D [解析] 因为经过点A(1,2),B(m,4)的直线l的斜率为2,所以m≠1,且=2,解得m=2.故选D.
3.C [解析] 易知倾斜角为30°的直线的斜率为,所以该直线的一个方向向量为.设单位方向向量为,可得λ2+=1,即λ2=1,解得λ=±,故直线的单位方向向量为或.故选C.
4.D [解析] 因为A(3,5),B(x,7),C(-1,y)是斜率k=2的直线上的三个点,所以kAB=kAC=2,即==2,解得x=4,y=-3,则x+y=1.故选D.
5.D [解析] ∵直线l1经过A(0,0),B(,1)两点,∴直线l1的斜率为=,∴直线l1的倾斜角为.∵直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍,∴l2的倾斜角为,∴l2的斜率为,故选D.
6.ABD [解析] 因为P(4,2),A(8,1),B(5,8),所以根据直线的斜率公式可得kPA==-,kPB==6.若直线l与线段AB有公共点,则kPA≤kl≤kPB,即-≤kl≤6.故选ABD.
7.10°≤α<100° [解析] 由题意得0°≤2α-20°<180°,故10°≤α<100°.
8.(-∞,-)∪(1,+∞) [解析] k=tan θ,因为k=tan θ在上单调递增,所以当θ∈时,k>tan=1.因为k=tan θ在上单调递增,所以当θ∈时,k9.解:(1)由题得kAB==0,kBC==,kAC==,
因为直线的斜率等于倾斜角的正切值,且倾斜角的取值范围是[0,π),所以直线AB的倾斜角为0,直线BC的倾斜角为,直线AC的倾斜角为.
(2)如图,由图可知kCD的取值范围为,所以直线CD的倾斜角的取值范围为.
10.A [解析] 因为点A(2,-1),B(3,m),所以直线AB的斜率kAB==m+1,又m∈,故kAB=m+1∈.直线倾斜角的取值范围是[0,π),设直线AB的倾斜角为α,则当-≤kAB<0时,≤α<π,当0≤kAB≤时,0≤α≤.综上,直线AB的倾斜角的取值范围为∪.故选A.
11.ABD [解析] 当0≤α<β<γ<或<α<β<γ时,k112.- [解析] 设直线l上任意一点P(x0,y0),将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,则点P移动后为P1(x0+3,y0),再沿y轴负方向平移2个单位长度,则点P1移动后为P2(x0+3,y0-2).∵P,P2都在直线l上,∴直线l的斜率k==-.
13. [解析] 设A,如图,则B,C(x0,log3x0).由题意可得kBO=kOC,即=,解得x0=4或x0=1,经检验,x0=1不合题意,故舍去,故直线BC的斜率为=.
14.解:(1)若直线MN的倾斜角θ为锐角,则直线MN的斜率k=tan θ>0,即k==>0,即(3m+4)(m-4)<0,解得-(2)因为直线MN的一个方向向量为a=(1,-2024),
所以直线MN的斜率k==-2024,解得m=.
15.AB [解析] 设等腰直角三角形的直角边AC所在直线的斜率为2,设其倾斜角为α,则tan α=2.以AC为等腰直角三角形的直角边,C为直角顶点可作等腰直角三角形AB1C和等腰直角三角形AB2C,如图.易得斜边AB1所在直线的倾斜角α1=α+45°,故=tan α1=tan(α+45°)==-3,斜边AB2所在直线的倾斜角α2=α-45°,
故=tan α2=tan(α-45°)==.故选AB.
16.解:(1)连接OA,OB,OP,如图所示,
=可看作是直线OP的斜率,由图知,kOB≤kOP≤kOA,
而kOB=,kOA=2,
所以的最大值为2,最小值为.
(2)因为∈,所以===1-∈,
即的取值范围是.2.1.1 倾斜角与斜率
【学习目标】
1.能理解直线的倾斜角和斜率的概念,描述两者之间的相互转换关系.
2.能说明倾斜角是刻画直线倾斜程度和确定直线的几何要素,并能根据斜率(倾斜角)的范围判断倾斜角(斜率)的范围.
3.能推导得出直线斜率的计算公式,并能灵活运用公式计算直线的斜率.
◆ 知识点一 直线的倾斜角
1.定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l 的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.特别地,当 时,我们规定它的倾斜角为0°.
2.直线的倾斜角α的取值范围: .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线的倾斜角为90°,则这条直线与x轴垂直. ( )
(2)某条直线的倾斜角可能为-60°,也可能为210°. ( )
(3)任意一条直线都有且只有一个倾斜角和它对应. ( )
2.当直线的倾斜角为锐角时,直线一定过哪两个象限
◆ 知识点二 直线的斜率
1.直线斜率的定义
我们把一条直线的 叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即 .
(1)倾斜角是90°的直线没有斜率,但并不是该直线不存在,此时,直线垂直于x轴.
(2)倾斜角α与斜率k的关系:
当α=0°时, ;当0°<α<90°时, ;当α=90°时, ;当90°<α<180°时, .
2.斜率公式
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是 .
对于上面的斜率公式要注意下面两点:
(1)斜率公式与点P1,P2的先后顺序无关.
(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直,因为当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的.
3.直线的方向向量与斜率的关系
(1)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的一个方向向量为=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1),因此,当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量为 ;
(2)若直线的一个方向向量为(x,y)(x≠0),则直线的斜率k= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任意一条直线都有且只有一个斜率和它对应. ( )
(2)已知直线上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)可以确定直线的方向,求出直线的一个方向向量,进而可以求出它的斜率. ( )
(3)直线的倾斜角是锐角时,直线的斜率为正;直线的倾斜角是钝角时,直线的斜率为负. ( )
(4)直线的倾斜角越大,它的斜率越大;反过来,直线的斜率越大,它的倾斜角也越大. ( )
◆ 探究点一 直线的倾斜角
例1 (1)若直线l向上的方向与y轴正向之间所成的角为30°,则直线l的倾斜角为 ( )
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
(2)直线l过原点(0,0),且不过第三象限,则l的倾斜角α的取值范围是 ( )
A.0°≤α≤90°
B.90°≤α<180°
C.90°≤α<180°或α=0°
D.90°≤α≤135°
变式 (1)(多选题)若直线l与x轴交于点A,其倾斜角为α,将直线l绕点A顺时针旋转后得到直线l1,则直线l1的倾斜角可能为 ( )
A.α+ B.α+
C.α- D.-α
(2)如图,已知直线l1的倾斜角为150°,l2⊥l1,垂足为B,l1,l2与x轴分别相交于点C,A,直线l3 平分∠BAC,则l3的倾斜角为 .
[素养小结]
求直线的倾斜角的方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.
◆ 探究点二 直线的斜率
例2 (1)[2025·重庆育才中学高二月考] 经过两点A(2,7),B(4,6)的直线的斜率为 ( )
A.- B.-2 C. D.2
(2)已知过两点P(0,3),Q的直线的倾斜角为,则m= ( )
A.- B. C.- D.
变式 (1)如图所示,直线l1,l2,l3,l4的斜率分别为k1,k2,k3,k4,则 ( )
A.k1B.k1C.k3D.k1(2) (多选题)[2025·青岛高二期中] 经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与A(1,-2),B(2,1)两点的连线总有公共点,则下列结论正确的是 ( )
A.l的倾斜角α的取值范围为
B.l的倾斜角α的取值范围为∪
C.l的斜率k的取值范围为[-1,1]
D.l的斜率k的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞)
[素养小结]
(1)由直线的倾斜角α的大小(或取值范围)求斜率k的值(或取值范围)时,可利用公式k=tan α(α≠90°).
(2)由直线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠x2)的坐标求斜率k时,可利用公式k=.
拓展 已知点M(x,y)在函数y=-2x+8的图象上,当x∈[2,3]时,求:
(1)的最大值与最小值;
(2)的取值范围.
◆ 探究点三 直线的方向向量的应用
例3 (1)[2025·云南师大附中高二期中] 已知直线的斜率为,则直线的一个方向向量为 ( )
A.(1,) B.(,1)
C.(1,-) D.(-,1)
(2)[2025·黄冈高二期中] 经过A(0,2),B(-1,4)两点的直线的一个方向向量为(1,k),则k的值为 .
(3)已知直线l1的一个方向向量为n=(2,1),直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍,则直线l2的斜率为 . 2.1.1 倾斜角与斜率
1.过A(0,4),B(,1) 两点的直线的倾斜角为 ( )
A.-60° B.60°
C.120° D.150°
2.[2025·苏州高二期中] 已知经过点A(1,2),B(m,4)的直线l的斜率为2,则m的值为 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
3.倾斜角为30°的直线的一个单位方向向量是 ( )
A. B.(1,)
C. D.
4.设x,y为实数,已知直线的斜率k=2,且A(3,5),B(x,7),C(-1,y)是这条直线上的三个点,则x+y= ( )
A.4 B.3
C.-1 D.1
5.直线l1经过A(0,0),B(,1)两点,直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍,则l2的斜率为 ( )
A. B.
C.1 D.
6.(多选题)[2025·南京师范大学附属实验学校高二期中] 直线l过点P(4,2),且与以A(8,1),B(5,8)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率可能是 ( )
A.1 B.2
C.8 D.6
7.已知直线l的倾斜角为2α-20°,则α的取值范围是 .
8.[2025·上海师范大学附中高二期中] 已知直线l的倾斜角θ∈∪,则直线l的斜率k的取值范围为 .
9.(13分)已知坐标平面内三点A(-1,1),B(1,1),C(2,+1).
(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角;
(2)若D为△ABC的边AB上一个动点,求直线CD的倾斜角的取值范围.
10.已知点A(2,-1),B(3,m),若m∈,则直线AB的倾斜角的取值范围为 ( )
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
11.(多选题)[2025·南阳六校高二联考] 已知直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,倾斜角分别是α,β,γ,若α<β<γ,则下列选项可能正确的是 ( )
A.k1C.k312.[2025·宁波中学高二期中] 在平面直角坐标系中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,再沿y轴负方向平移2个单位长度后回到原来的位置,则直线l的斜率k= .
13.过曲线y=log9x上一点A作平行于两坐标轴的直线,分别交曲线y=log3x于点B,C,若直线BC过原点,则直线BC的斜率为 .
14.(15分)已知坐标平面内两点M(m+3,3m+5),N(2m-1,1).
(1)当直线MN的倾斜角为锐角时,求m的取值范围;
(2)若直线MN的一个方向向量为a=(1,-2024),求m的值.
15.(多选题)[2025·吉林白山高二期中] 若等腰直角三角形的一条直角边所在直线的斜率为2,则斜边所在直线的斜率可能为 ( )
A.-3 B.
C.-4 D.
16.(15分)在平面直角坐标系xOy中,已知线段AB的两个端点为A(2,4),B(3,2),点P(x,y)是线段AB上一个动点.
(1)求的最大值和最小值;
(2)求的取值范围.(共58张PPT)
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
探究点一 直线的倾斜角
探究点二 直线的斜率
探究点三 直线的方向向量的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能理解直线的倾斜角和斜率的概念，描述两者之间的相互转换
关系.
2.能说明倾斜角是刻画直线倾斜程度和确定直线的几何要素，并
能根据斜率（倾斜角）的范围判断倾斜角（斜率）的范围.
3.能推导得出直线斜率的计算公式，并能灵活运用公式计算直线
的斜率.
知识点一 直线的倾斜角
1.定义:当直线与轴相交时,我们以轴为基准,轴正向与直线 _____
的方向之间所成的角 叫作直线 的倾斜角.特别地,当____________
___________时,我们规定它的倾斜角为 .
向上
直线与轴平行或重合
2.直线的倾斜角 的取值范围:______________.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若一条直线的倾斜角为 ,则这条直线与 轴垂直.( )
√
（2）某条直线的倾斜角可能为 ，也可能为 .( )
×
[解析] 直线的倾斜角 的取值范围是 ，所以某条直
线的倾斜角不可能为 ，也不可能为 .
（3）任意一条直线都有且只有一个倾斜角和它对应.( )
√
2.当直线的倾斜角为锐角时,直线一定过哪两个象限
解：当直线的倾斜角为锐角时,直线一定过第一、三象限.
知识点二 直线的斜率
1.直线斜率的定义
我们把一条直线的__________________叫作这条直线的斜率.斜率常
用小写字母 表示,即__________.
（1）倾斜角是 的直线没有斜率,但并不是该直线不存在,此时,直
线垂直于 轴.
（2）倾斜角 与斜率 的关系:
当 时,______;当 时,_______;当 时,
___________;当 时,______.
倾斜角 的正切值
不存在
2.斜率公式
经过两点, 的直线的斜率公式是________
____.
对于上面的斜率公式要注意下面两点:
（1）斜率公式与点， 的先后顺序无关.
（2）运用斜率公式的前提条件是“”，即直线不与 轴垂直，
因为当直线与 轴垂直时，斜率是不存在的．
3.直线的方向向量与斜率的关系
（1）经过两点, 的直线的一个方向向量
为 ,因此,当直线的斜率
存在时,直线的一个方向向量为______;
（2）若直线的一个方向向量为,则直线的斜率 __.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）任意一条直线都有且只有一个斜率和它对应.( )
×
[解析] 任意一条直线都有倾斜角,但不一定都有斜率,如与 轴垂直的
直线的倾斜角为 ,但它没有斜率.
（2）已知直线上的两点, 可以确定直线的方向,求
出直线的一个方向向量,进而可以求出它的斜率.( )
×
[解析] 由直线上的两点, 可以确定直线的方向，求
出直线的一个方向向量为，但是当
时， 无意义，直线的斜率不存在.
（3）直线的倾斜角是锐角时,直线的斜率为正;直线的倾斜角是钝角
时,直线的斜率为负.( )
√
（4）直线的倾斜角越大,它的斜率越大;反过来,直线的斜率越大,它的
倾斜角也越大.( )
×
[解析] 设直线的倾斜角为 ,斜率为.当 时,且
随着 的增大而增大;当 时,且随着 的增大
而增大.但当 时,并不随着 的增大而增大.如
时,; 时, .
探究点一 直线的倾斜角
例1（1）若直线向上的方向与轴正向之间所成的角为 ，则直
线 的倾斜角为( )
A. B. C. 或 D. 或
√
[解析] 如图所示，直线有两种情况，故直线的倾斜角为 或
.
（2）直线过原点，且不过第三象限，则的倾斜角 的取值范
围是( )
A. B.
C. 或 D.
[解析] 直线过原点，且不过第三象限，
直线 与坐标轴重合或经过第二、四象限，
的倾斜角 的取值范围为 或 ，故选C.
√
变式（1）（多选题）若直线与轴交于点，其倾斜角为 ，将直
线绕点顺时针旋转后得到直线，则直线 的倾斜角可能为 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为直线的倾斜角的取值范围为，
所以当 时，直线的倾斜角为，
当时，直线 的倾斜角为 .故选 .
√
√
（2）如图，已知直线的倾斜角为 ，，
垂足为，，与 轴分别相交于点，，
直线平分，则 的倾斜角为____.
[解析] 因为直线的倾斜角为 ，所以 ，所以 的
倾斜角为 .
［素养小结］
求直线的倾斜角的方法：结合图形，利用特殊三角形（如直角三角
形）求角．
探究点二 直线的斜率
例2（1）［2025·重庆育才中学高二月考］经过两点，
的直线的斜率为( )
A. B. C. D.2
[解析] 因为直线经过两点， ，所以直线的斜率为
.故选A.
√
（2）已知过两点,的直线的倾斜角为，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由直线的倾斜角为，可得斜率，所以 ，
解得 .故选C.
√
变式（1）如图所示，直线，，， 的斜率分别为
，，， ，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题图可知的倾斜角小于的倾斜角，且, 的倾斜角都是
锐角，所以
的倾斜角小于 的倾斜角，且，的倾斜角都是钝角，
所以 ，所以 .故选D.
√
（2）（多选题）［2025·青岛高二期中］ 经过点作直线 ，
若直线与， 两点的连线总有公共点，则下列结论正
确的是( )
A.的倾斜角 的取值范围为
B.的倾斜角 的取值范围为
C.的斜率的取值范围为
D.的斜率的取值范围为
√
√
[解析] 如图，由题知， ，
由图可知的斜率.
设直线的倾斜角为 ， ，
,.故选 .
［素养小结］
（1）由直线的倾斜角 的大小（或取值范围）求斜率的值
（或取值范围）时,可利用公式.
（2）由直线上两点,的坐标求斜率时,可
利用公式.
解：如图所示，由点 在函数的图象
上，且 ，可知点在线段上移动，
且 ，．
的几何意义是过， 两点的直线的斜率，
又， ， 由图可知的最大值为2，最小值为 .
拓展 已知点在函数的图象上，当 时，求：
（1） 的最大值与最小值；
（2） 的取值范围．
解：，其几何意义是过， 两点的直线
的斜率.
，，，的取值范围为 .
探究点三 直线的方向向量的应用
例3（1）［2025·云南师大附中高二期中］已知直线的斜率为 ，则
直线的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为 ，
故选A.
√
（2）［2025·黄冈高二期中］经过, 两点的直线的一个
方向向量为，则 的值为____.
[解析] 由题意知，解得 .
（3）已知直线的一个方向向量为,直线 的倾斜角是直线
的倾斜角的2倍,则直线 的斜率为__.
[解析] 设直线的倾斜角为，由直线 的一个方向
向量为,得直线的斜率,
因此直线 的斜率 .
1.倾斜角的定义解读
（1）倾斜角的定义含有三个条件:①直线向上的方向; 轴正方向;
③小于平角的非负角.
（2）倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对于 轴的倾斜程度.
（3）平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程
度相同的直线倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.直
线与倾斜角是多对一的关系.
2.直线的倾斜角与斜率的关系
（1）直线都存在唯一的倾斜角,但并不是每条直线都存在斜率,倾斜
角为 的直线没有斜率.
（2）直线的倾斜角是一个角（图形）,而斜率是一个实数值（数）,
斜率的绝对值越大,直线的倾斜角越接近 .
（3）不同的倾斜角对应不同的斜率,因此,要确定一条不垂直于 轴的
直线,只需知道直线上一个定点和它的斜率.
3.直线的方向向量与斜率的关系
（1）当直线的斜率存在时,若直线的斜率为 ,则直线的方向向量与向
量 共线.
（2）当直线的斜率不存在时,直线的方向向量与向量 共线.
1.求直线的倾斜角主要根据定义,其关键是根据题意画出图形,找准倾
斜角,有时要根据情况分类讨论.分类时通常分为 角;②锐角;
角;④钝角.
例1 直线与轴相交，其向上的方向与 轴正向之间所成的角为锐角
，则直线 的倾斜角为( )
A. B.
C. 或 D. 或
[解析] 当直线的倾斜角为钝角时，倾斜角为 ；当直线 的倾
斜角为锐角时，倾斜角为 .故选C.
√
2.直线的倾斜角与斜率的关系:（1）直线的倾斜角 与斜率 的关系
为.（2）当 时,且随着 的增
大而增大;当 时,且随着 的增大而增大.但当
时,并不随着 的增大而增大.
例2 ［2025·河南驻马店高二期中］已知直线的倾斜角 满足
且 ，则的斜率 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 根据正切函数的性质可知，
当 时，；
当 时，.
所以的取值范围是 . 故选C.
√
例3 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实
上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与
相关的代数问题，可以转化为点 与点
之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数 ，
的值域为______.
[解析] ，所以函数
的几何意义是过点和 的
直线的斜率，
点， 在单位圆上，且点在第一象限内或 轴
正半轴上，如图，
设，,则， ,由图可知
,所以的值域为 .
练习册
1.过， 两点的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为直线过点，，所以 ，
设直线的倾斜角为，则，故 ，
故选C.
√
2.［2025·苏州高二期中］已知经过点,的直线 的斜率
为2，则 的值为( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 因为经过点,的直线的斜率为2，所以 ，
且，解得 .故选D.
√
3.倾斜角为 的直线的一个单位方向向量是( )
A. B. C. D.
[解析] 易知倾斜角为 的直线的斜率为 ，所以该直线的一个方
向向量为.
设单位方向向量为，可得 ，即，
解得，故直线的单位方向向量为 或 .故选C.
√
4.设，为实数，已知直线的斜率，且， ，
是这条直线上的三个点，则 ( )
A.4 B.3 C. D.1
[解析] 因为，，是斜率 的直线上的三个
点，所以，即，解得， ，
则 .故选D.
√
5.直线经过，两点，直线的倾斜角是直线 的倾斜
角的2倍，则 的斜率为( )
A. B. C.1 D.
[解析] 直线经过，两点，
直线 的斜率为， 直线的倾斜角为.
直线的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，
的倾斜角为，的斜率为 ，故选D.
√
6.（多选题）［2025·南京师范大学附属实验学校高二期中］ 直线
过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线
的斜率可能是( )
A.1 B.2 C.8 D.6
[解析] 因为，， ，所以根据直线的斜率公式可得
，.
若直线与线段 有公共点，则，即.
故选 .
√
√
√
7.已知直线的倾斜角为 ，则 的取值范围是____________
____.
[解析] 由题意得 ,故 .
8.［2025·上海师范大学附中高二期中］已知直线 的倾斜角
，则直线的斜率 的取值范围为_______________
______.
[解析] ，因为 在 上单调递增,所以当
时，.因为 在 上单调递增,所
以当时，,所以直线 的斜率的取值范围
是 .
9.（13分）已知坐标平面内三点，， .
（1）求直线，， 的斜率和倾斜角；
解：由题得， ， ，
因为直线的斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的取值范围是 ，
所以直线的倾斜角为0，直线的倾斜角为，直线 的倾斜角
为 .
（2）若为的边上一个动点，求直线 的倾斜角的取值范围.
解：如图，由图可知的取值范围为，所以直线 的倾斜
角的取值范围为 .
10.已知点，，若，则直线
的倾斜角的取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为点，，所以直线 的斜率
，
又 ，故.
直线倾斜角的取值范围是，设直线 的倾斜角为 ，
则当时， ，
当时，.
综上，直线 的倾斜角的取值范围为 .故选A.
11.（多选题）［2025·南阳六校高二联考］ 已知直线,, 的斜率
分别是,,，倾斜角分别是 , , ，若 ，则下列选
项可能正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 当或 时， ；
当 时，；
当 时，.故选 .
√
√
√
12.［2025·宁波中学高二期中］在平面直角坐标系中，将直线沿 轴
正方向平移3个单位长度，再沿 轴负方向平移2个单位长度后回到原
来的位置，则直线的斜率 ____.
[解析] 设直线上任意一点，将直线沿 轴正方向平移3个
单位长度，则点移动后为，再沿 轴负方向平移2个单
位长度，则点移动后为
，都在直线上， 直线的斜率 .
13.过曲线上一点 作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线
于点，，若直线过原点，则直线 的斜率为_____.
[解析] 设 ，如图，则， .
由题意可得，即，解得 或，
经检验， 不合题意，故舍去，
故直线的斜率为 .
14.（15分）已知坐标平面内两点， .
（1）当直线的倾斜角为锐角时，求 的取值范围;
解：若直线的倾斜角 为锐角，则直线的斜率 ，
即，即 ，解得
.
（2）若直线的一个方向向量为，求 的值.
解：因为直线的一个方向向量为 ，
所以直线的斜率，解得 .
15.（多选题）［2025·吉林白山高二期中］ 若等腰直角三角形的一
条直角边所在直线的斜率为2，则斜边所在直线的斜率可能为( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 设等腰直角三角形的直角边 所在直线
的斜率为2，设其倾斜角为 ，则 .
以为等腰直角三角形的直角边， 为直角顶点可
作等腰直角三角形和等腰直角三角形 ，如图.
易得斜边所在直线的倾斜角 ，故
,斜边 所在直线的倾
斜角 ，
故 .故选 .
16.（15分）在平面直角坐标系中，已知线段 的两个端点为
，，点是线段 上一个动点．
（1）求 的最大值和最小值；
解：连接，， ，如图所示，
可看作是直线的斜率，
由图知， ，而， ，
所以的最大值为2，最小值为 .
（2）求 的取值范围．
解：因为，所以 ，
即的取值范围是 ．
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.向上,直线与轴平行或重合 2.
【诊断分析】1.(1)√(2)×(3)√2.解：当直线的倾斜角为锐角时,直线一定过第一、三象限.
知识点二 1.倾斜角 的正切值,,,,不存在, 2.
3.（1） （2） 【诊断分析】（1）×（2）×（3）√（4）×
课中探究 例1.（1）D （2）C 变式.（1）BC （2）
例2.（1）A （2）C 变式.（1）D （2）BC 拓展. （1） （2）
例3.（1）A （2） （3）
快速核答案（练习册）
1.C 2.D 3.C 4.D 5.D 6.ABD 7. 8.
9.（1）， （2） 10.A 11.ABD 12. 13.
14.（1） （2） 15.AB
16.（1）最大值为2，最小值为 （2）
