(共55张PPT)
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
探究点一 两条直线的平行问题
探究点二 两条直线的垂直问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能根据倾斜角或斜率判定两直线平行或垂直，并能用文字语言
和符号语言叙述并判断结论.
2.能描述如何利用斜率或方向向量判定两直线平行或垂直.
3.能根据给定条件求出直线的斜率或方向向量，进而判定两直线
平行或垂直.
知识点一 两条直线平行
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件
对应关系 ______ ___ 两条直线的斜率都不存在
图示 _______________________________________ ______________________________________
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）“直线与平行”是“直线与 的斜率相等”的充要条件.( )
×
[解析] 两直线平行，它们的斜率可能都不存在；两直线的斜率相等，
它们可能重合.所以是既不充分也不必要条件.
（2）如果两条直线平行，那么这两条直线的方向向量一定相等.( )
×
[解析] 如果两条直线平行，那么这两条直线的方向向量一定平行.
（3）如果两条直线平行，那么这两条直线的倾斜角一定相等.( )
√
知识点二 两条直线垂直
图示 ____________________________________ _______________________________
对应 关系 对于斜率分别为,的两条直线 , ， ___________ 若的斜率不存在，
的斜率为0，则______
_
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知直线的倾斜角为 ，直线的倾斜角为 ，若 ，
则 .( )
×
[解析] 由得 .
（2）已知直线,的一个方向向量分别为, ，
若，则，从而 .( )
√
[解析] 由得，因此，即 ，故
.
（3）“直线,的斜率之积为”是“直线， 互相垂直”的充要条
件.( )
×
[解析] 当直线,的斜率之积为时，直线， 互相垂直；
当直线，互相垂直时，直线,的斜率有不存在的情况.
故“直线, 的斜率之积为”不是“直线, 互相垂直”的充要条件.
探究点一 两条直线的平行问题
例1 根据下列条件,判断直线与直线 是否平行或重合.
（1）经过点，，经过点， ；
解：由题意知直线的斜率 ，
直线的斜率 .
因为，且，，，四点不共线，所以 .
（2）的倾斜角为 ，经过点， ；
解：由题意知直线的斜率为，直线 的斜率为
，所以或与 重合.
（3）平行于轴，经过点， .
解：由题意知的斜率不存在,且不与轴重合, 的斜率不存在,且与
轴重合,所以 .
变式（1）［2025·厦门一中高二月考］已知直线过点 ，且一
个方向向量为，直线过点 ，且一个方向向量为
，若，则 ( )
A. B.1 C. 或1 D.0或2
[解析] 因为，所以，所以 ，解得
或.
当时，两直线的斜率均为2， ，满足题意；
当时，两直线的斜率均为， ，即两直线重合，不
满足题意，故舍去.故选B.
√
（2）已知，，，若，，， 可以构成平行四
边形，求点 的坐标.
解：由题意得，， ，
设 .若四边形是平行四边形，则， ，即
解得即 .
若四边形是平行四边形，则， ，
即解得 即 .
若四边形是平行四边形，则， ，即
解得即 .
综上，点的坐标为或或 .
［素养小结］
判断两条不重合的直线是否平行有两种方法:一种是利用两条直线的
方向向量,另一种是利用两条直线的斜率.利用两条直线的斜率判断两
条直线是否平行的方法如下:
拓展 若一束光线从点发出，射到轴上的 点后被反射，反射
光线所在的直线与一条斜率为2的直线平行，则点 的坐标为______.
[解析] 方法一（利用斜率）关于轴的对称点为 ，
设，连接,则反射光线所在的直线为直线 ，又反射光线
所在的直线与一条斜率为2的直线平行，
, ,即 .
方法二（利用方向向量）关于轴的对称点为 ，
设，连接,则反射光线所在的直线为直线 ，它的一个方向
向量为，斜率为2的直线的一个方向向量为 ，
由题意知,，解得,即 .
探究点二 两条直线的垂直问题
例2 根据下列条件，判断直线与 是否垂直：
（1）的倾斜角为，经过， 两点；
解：因为的倾斜角为，所以的斜率为 .
因为经过， 两点，所以的斜率为 .
因为，所以 .
（2）的斜率为，经过， 两点；
解：因为经过，两点，所以 的斜率为.
因为的斜率为，且，所以与 不垂直.
（3）的斜率为，的倾斜角为 ， 为锐角，且 .
解：记的斜率为，因为，所以，解得
或.因为 为锐角，所以 .
因为的斜率为，且，所以 .
变式（1）已知的两个顶点为， ，其垂心为，
则顶点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 连接，，设，由已知得， ，
且直线，的斜率都存在，所以
即解得 所以顶点的坐标为 .
√
（2）已知,,，若为直角三角形，则
_______.
或2
[解析] 当 时， ，解得
；
当 时， ，无解；
当 时，，解得 .
综上， 或2.
［素养小结］
（1）利用直线的斜率判断平面图形的形状时,一般先由图形进行猜测,
然后利用直线的斜率关系进行判断.
（2）由平面图形的形状求参数（一般是点的坐标）时,要考虑到平面
图形可能出现的各种情形,设计如何运算.在运算时既要考虑运算对象,
又要考虑斜率是否存在.
解：四边形 为矩形.证明如下：
由斜率公式，得， ，
，， ，
，， ，， ，
四边形 为平行四边形.
拓展 在平面直角坐标系中，四边形 的四个顶点为
，，，，其中且 .试
判断四边形 的形状并证明.
又， .
又 ，与 不垂直，
四边形 为矩形.
1.两条直线平行条件的剖析
（1）成立的条件是:①两条直线,的斜率, 都
存在;与 不重合.
（2）或与重合,的斜率,都存在 .
（3）,分别为,的斜率或两条直线, 的斜
率都不存在.
（4）与 的方向向量共线.
2.两条直线垂直条件的剖析
（1）与 的方向向量垂直.
（2）成立的条件是两条直线,的斜率, 都
存在且都不等于0.
（3）若,则,分别为,的斜率 或其中一条直
线垂直于轴,另一条直线垂直于轴;若,则 .
（4）当两条直线的斜率都存在时,若两条直线垂直,则可以用一条直
线的斜率表示另一条直线的斜率（互为负倒数）.
1.在利用平行关系中斜率相等的结论时,一定要考虑斜率不存在的情
况;在判断两条直线的平行关系时,首先应看两条直线的斜率是否存在,
同时不要漏掉两条直线重合的情况.
例1 已知点，，，，若 ，
求 的值.
解：当时，直线的斜率不存在，而直线 的斜率存在，
与 不平行，不符合题意；
当时，直线的斜率不存在，而直线的斜率存在，
与 不平行，不符合题意；
当，且时， ， ，
因为，所以，即，解得或 ，
经检验，当或时，直线， 不重合．
综上， 的值为0或1．
2.已知两直线垂直,那么:①若两直线的斜率都存在,则两斜率互为负倒
数;②若两直线中一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为0.反
之,可判定两直线垂直.
例2 直线,的斜率,是关于的方程 的两个根，
则下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若则 D.若，则
√
√
[解析] 直线，的斜率，是关于的方程 的
两个根，由，得，
.若 ，则，得；
若，则 ，
，得．故选 .
练习册
1.若直线的斜率为2，，则直线 的斜率为( )
A. B.2 C. D.
[解析] 因为直线的斜率为2，，所以直线的斜率为 ，故
选A.
√
2.［2025·茂名高二期中］已知，， 三点，则
的边 上的高所在直线的斜率是( )
A. B. C. D.3
[解析] ， 边上的高所在直线的斜率
.故选B.
√
3.［2025·河南百师联盟高二联考］已知直线 的一个方向向量为
，直线的一个方向向量为，若 ，则
( )
A. B.1 C. 或1 D.0或2
[解析] 因为直线的一个方向向量为，直线 的一个方向
向量为，，所以，则 ，解得
或 .故选C.
√
4.在平面直角坐标系内有两点，，若在轴上存在点 ，
使 ，则点 的坐标是( )
A. B. C. D.或
[解析] 设，且,则，解得 或
， 点的坐标为或 .故选D.
√
5.已知直线的倾斜角为，直线经过点和，且直线
与平行，则实数 的值为( )
A.0 B.1 C.6 D.0或6
[解析] 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为 .
因为直线经过点和，所以直线的斜率为 ，
又直线与平行，所以，解得 ，故选C.
√
6.（多选题）若与 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为
，，斜率分别为， ，则下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
[解析] 对于A，若，则，A正确；
对于B，若 ，则，B正确；
对于C，若，则 ，C正确；
对于D，若,则,D不正确.故选 .
√
√
√
7.如图所示，直线的倾斜角 ，，则直线 的斜率为
_____．
[解析] 由题意知，直线的斜率 ，设直线
的斜率为,因为，所以，所以 ．
8.已知直线平行于第二、四象限的平分线，则直线 的倾斜角为___
（用弧度制表示）．
[解析] 设直线的倾斜角为，因为直线 平行于第二、四
象限的平分线，所以直线的斜率，所以 ，可得
.
9.（13分）已知平面直角坐标系中，,, ,
.
（1）若点在直线上，求 的值；
解：显然与，不重合，因为点在直线上，直线 的斜率存
在，所以，即，解得 .
（2）若直线与直线平行，求 的值；
解：因为直线与直线平行，直线与直线 的斜率均存在，
所以 ，即，解得,
经检验两直线不重合，所以 .
（3）若直线与直线垂直，求 的值.
解：因为直线与直线垂直，直线与直线 的斜率均存在，
所以，即，解得 .
10.张老师玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴的单位
长度相同）的纸折叠一次，使点与点 重合，点
与点重合，则 ( )
A.4048 B.4049 C.4050 D.4051
[解析] 设，，则直线的斜率 .
由题意知，过点，的直线与直线 平行，所以
，整理得 .故选B.
√
11.（多选题）已知点， ，则下列结论正确的是( )
A.若直线的一个方向向量为，则
B.若直线的斜率为，则
C.若，则 为直角三角形
D.若，，则四边形 是平行四边形
√
√
[解析] 对于A， ，A错误.
对于B，因为，所以，B正确.
对于C，因为 , 所以，所以，
故 为直角三角形，C正确.
对于D，因为,,, ，所
以四边形不是平行四边形，D错误.故选 .
12.已知两条直线，不重合，过点和点的直线
与直线平行，直线的斜率为，直线的斜率为，若 ，
则 的值为_____.
[解析] 由题意可得，直线的斜率，直线的斜率 ，
直线的斜率.
，，即 ，解得
，，即 ，解得，
.
13.在平面直角坐标系中，四边形的顶点依次为 ，
，，，其中，则四边形 的
形状为______.
矩形
[解析] 由题得， ，
，，
所以 ，，
从而，，所以四边形 为平行四边形.
又，所以，故四边形 为矩形.
14.（15分）［2025·东莞高二期中］ 已知，， .
（1）若点在轴上，且满足，求点 的坐标；
解：设，因为，，所以 ，
故，解得，所以 .
（2）若点在轴上，且，求直线 的倾斜角.
解：设，因为，所以 ，
又,，所以,解得 ，
所以，结合，得 轴，故直线的倾斜角为 .
15.直线的倾斜角为 ，点在直线上，将直线绕点
按逆时针方向旋转 后到达直线的位置，若直线与 平行，且
与直线垂直，其中，，则实数 的值是____
___．
[解析] 由题意知，直线的倾斜角为 ，所以直线
的斜率.
当时，直线 的斜率不存在，此时的斜率为0，不满足.
当时，直线的斜率为0，此时 的斜率不存在，不满足.
当且时，直线 的斜率为，
所以的斜率.
因为，所以 ，即，解得 .
16.（15分）已知，，， 四点.
（1）当直线与直线平行时，求 的值；
解：当时，直线轴，，，直线与 轴
不垂直，即直线与直线 不平行，不符合题意；
当时，直线轴，，，直线与 轴
不垂直，即直线与直线 不平行，不符合题意；
当且时，直线，的斜率都存在，且直线 的
斜率，直线的斜率 .
因为直线与直线平行，所以，即 ，整理可
得，解得或 .
经检验，， 均符合题意.
综上所述，当直线与直线平行时，或 .
（2）求证：无论取何值，总有 .
证明：若，则，，，此时 轴，
轴，所以 ；
若，则直线的斜率，直线的斜率 ，
此时 ，所以 .
综上所述，无论取何值，总有 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 【诊断分析】（1）×（2）×（3）√
知识点二 , 【诊断分析】（1）× （2）√ （3）×
课中探究 例1.（1）.（2）或与重合. （3）.
变式.（1）B （2）或或 拓展.
例2.（1）（2）与不垂直（3） 变式.（1）A （2）或2
拓展证明略
快速核答案（练习册）
1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.ABC 7. 8.
9.（1） 10.B 11.BC 12. 13.矩形
14.（1）（2）15.
16.（1）或（2）证明略（2）证明给你2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
【课前预习】
知识点一
k1=k2
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)两直线平行,它们的斜率可能都不存在;两直线的斜率相等,它们可能重合.所以是既不充分也不必要条件.
(2)如果两条直线平行,那么这两条直线的方向向量一定平行.
知识点二
k1k2=-1 l1⊥l2
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)由l1⊥l2得α-β=±90°.
(2)由l1⊥l2得a⊥b,因此a·b=0,即1×1+k1×k2=0,故k1k2=-1.
(3)当直线l1,l2的斜率之积为-1时,直线l1,l2互相垂直;当直线l1,l2互相垂直时,直线l1,l2的斜率有不存在的情况.故“直线l1,l2的斜率之积为-1”不是“直线l1,l2互相垂直”的充要条件.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由题意知直线l1的斜率k1==-,
直线l2的斜率k2==-.
因为k1=k2,且A,B,C,D四点不共线,所以l1∥l2.
(2)由题意知直线l1的斜率为tan 60°=,直线l2的斜率为=,所以l1∥l2或l1与l2重合.
(3)由题意知l1的斜率不存在,且l1不与y轴重合,l2的斜率不存在,且与y轴重合,所以l1∥l2.
变式 (1)B [解析] 因为l1∥l2,所以a1∥a2,所以k2-2=0,解得k=1或-2.当k=1时,两直线的斜率均为2,kAB=-1,满足题意;当k=-2时,两直线的斜率均为-1,kAB=-1,即两直线重合,不满足题意,故舍去.故选B.
(2)解:由题意得kAB==-,kAC==1,kBC==-2,设D(a,b).
若四边形ABCD是平行四边形,则kCD=kAB,kAD=kBC,即解得即D(-1,6).
若四边形ABDC是平行四边形,则kCD=kAB,kBD=kAC,
即解得
即D(7,2).
若四边形ACBD是平行四边形,则kBD=kAC,kAD=kBC,即解得即D(3,-2).
综上,点D的坐标为(-1,6)或(7,2)或(3,-2).
拓展 [解析] 方法一(利用斜率):P(0,1)关于x轴的对称点为P'(0,-1),设A(x0,0),连接AP',则反射光线所在的直线为直线AP',又反射光线所在的直线与一条斜率为2的直线平行,∴kAP'==2,∴x0=,即A.
方法二(利用方向向量):P(0,1)关于x轴的对称点为P'(0,-1),设A(x0,0),连接AP',则反射光线所在的直线为直线AP',它的一个方向向量为=(x0,1),斜率为2的直线的一个方向向量为n=(1,2),由题意知∥n,∴2x0-1=0,解得x0=,即A.
探究点二
例2 解:(1)因为l1的倾斜角为,所以l1的斜率为tan=-.
因为l2经过M(-4,-),N(5,2)两点,
所以l2的斜率为=.
因为-×=-1,所以l1⊥l2.
(2)因为l2经过P(3,-2),Q(-6,4)两点,所以l2的斜率为=-.因为l1的斜率为-,且-×≠-1,所以l1与l2不垂直.
(3)记l2的斜率为k,因为tan 2α=-,所以=-,解得k=3或k=-.因为α为锐角,所以k=3.
因为l1的斜率为-,且3×=-1,所以l1⊥l2.
变式 (1)A (2)-或2 [解析] (1)连接AH,BH,设A(x,y),由已知得AH⊥BC,BH⊥AC,且直线AH,BH的斜率都存在,所以即解得
所以顶点A的坐标为(-19,-62).
(2)当∠ABC=90°时,kAB·kBC=×=-1,解得m=-;当∠ACB=90°时,kAC·kBC=×=-1,无解;当∠BAC=90°时,kAC·kAB=×=-1,解得m=2.综上,m=-或2.
拓展 解:四边形OPQR为矩形.证明如下:
由斜率公式,得kOP==t,kQR===t,kOR==-,kPQ===-,kOQ=,kPR=,
∴kOP=kQR,kOR=kPQ,
∴OP∥QR,OR∥PQ,
∴四边形OPQR为平行四边形.
又kOP·kOR=-1,∴OP⊥OR.
又kOQ·kPR≠-1,
∴OQ与PR不垂直,
∴四边形OPQR为矩形.2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
1.A [解析] 因为直线l1的斜率为2,l1⊥l2,所以直线l2的斜率为-,故选A.
2.B [解析] ∵kAB==,∴AB边上的高所在直线的斜率k==-.故选B.
3.C [解析] 因为直线l1的一个方向向量为a1=(k,1),直线l2的一个方向向量为a2=(2-k,k),l1∥l2,所以a1∥a2,则k2=2-k,解得k=-2或k=1.故选C.
4.D [解析] 设C(a,0),a≠4且a≠1,则·=-1,解得a=0或a=5,∴点C的坐标为(0,0)或(5,0).故选D.
5.C [解析] 因为直线l的倾斜角为,所以直线l的斜率为tan=-1.因为直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),所以直线l1的斜率为,又直线l与l1平行,所以=-1,解得a=6,故选C.
6.ABC [解析] 对于A,若l1∥l2,则k1=k2,A正确;对于B,若k1=k2,则l1 ∥ l2,B正确;对于C,若l1 ∥ l2,则α1=α2,C正确;对于D,若l1⊥l2,则k1k2=-1,D不正确.故选ABC.
7.- [解析] 由题意知,直线l1的斜率k1=tan α1=tan 30°=,设直线l2的斜率为k2,因为l1⊥l2,所以k1·k2=-1,所以k2=-.
8. [解析] 设直线l的倾斜角为α(0≤α<π),因为直线l平行于第二、四象限的平分线,所以直线l的斜率k=-1,所以tan α=-1,可得α=.
9.解: (1)显然C与A,B不重合,因为点C在直线AB上,直线AB的斜率存在,所以kAB=kAC,即=,解得m=.
(2)因为直线AC与直线BD平行,直线AC与直线BD的斜率均存在,
所以kAC=kBD,
即=,解得m=,经检验两直线不重合,所以m=.
(3)因为直线AC与直线BC垂直,直线AC与直线BC的斜率均存在,所以kAC·kBC=-1,即·=-1,解得m=.
10.B [解析] 设A(2,0),B(-2,4),则直线AB的斜率kAB==-1.由题意知,过点(2024,2025),(a,b)的直线与直线AB平行,所以=-1,整理得a+b=2024+2025=4049.故选B.
11.BC [解析] 对于A,k=kAB==2,A错误.对于B,因为-kAB=-1,所以l⊥AB,B正确.对于C,因为kBC==-,所以kBCkAB=-1,所以AB⊥BC,故△ABC为直角三角形,C正确.对于D,因为kCD==2=kAB,kAD=,kBC=-,kAD≠kBC,所以四边形ABCD不是平行四边形,D错误.故选BC.
12.-10 [解析] 由题意可得,直线l1的斜率k1=,直线l2的斜率k2=-2,直线l3的斜率k3=-.∵l1∥l2,∴k1=k2,即=-2,解得m=-8.∵l2⊥l3,∴k2·k3=-1,即(-2)×=-1,解得n=-2,∴m+n=-10.
13.矩形 [解析] 由题得kOP==t,kRQ===t,kOR==-,kPQ===-,所以kOP=kRQ,kOR=kPQ,从而OP∥RQ,OR∥PQ,所以四边形OPQR为平行四边形.又kOP·kOR=-1,所以OP⊥OR,故四边形OPQR为矩形.
14.解:(1)设Q(0,y),因为kMN==3,PQ⊥MN,所以kPQ=-,故=-,解得y=1,所以Q(0,1).
(2)设Q(x,0),因为∠NQP=∠NPQ,所以kNQ=-kNP,
又kNQ=,kNP=-2,所以=2,解得x=1,
所以Q(1,0),结合M(1,-1),得MQ⊥x轴,
故直线MQ的倾斜角为90°.
15.4+ [解析] 由题意知,直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,所以直线l1的斜率k1=tan 60°=.当m=1时,直线AB的斜率不存在,此时l2的斜率为0,不满足l1∥l2.当m=3时,直线AB的斜率为0,此时l2的斜率不存在,不满足l1∥l2.当m≠1且m≠3时,直线AB的斜率为=,所以l2的斜率k2=.因为l1∥l2,所以k1=k2,即=,解得m=4+.
16.解:(1)当m=-2时,直线AB⊥x轴,C(1,1),D(0,3),直线CD与x轴不垂直,即直线AB与直线CD不平行,不符合题意;
当m=-1时,直线CD⊥x轴,A(-1,4),B(-2,-1),直线AB与x轴不垂直,即直线AB与直线CD不平行,不符合题意;
当m≠-2且m≠-1时,直线AB,CD的斜率都存在,且直线AB的斜率kAB=,直线CD的斜率kCD=.
因为直线AB与直线CD平行,所以kAB=kCD,即=,整理可得m2-m=0,解得m=0或m=1.
经检验,m=0,m=1均符合题意.
综上所述,当直线AB与直线CD平行时,m=0或m=1.
(2)证明:若m=1,则A(1,4),B(-2,1),C(1,1),此时AC⊥x轴,BC⊥y轴,所以∠ACB=90°;
若m≠1,则直线AC的斜率kAC=,直线BC的斜率kBC=-,此时kAC·kBC=-1,
所以∠ACB=90°.
综上所述,无论m取何值,总有∠ACB=90°.2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
【学习目标】
1.能根据倾斜角或斜率判定两直线平行或垂直,并能用文字语言和符号语言叙述并判断结论.
2.能描述如何利用斜率或方向向量判定两直线平行或垂直.
3.能根据给定条件求出直线的斜率或方向向量,进而判定两直线平行或垂直.
◆ 知识点一 两条直线平行
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°
对应关系 l1∥l2 l1∥l2 两条直线的斜率都不存在
图示
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“直线l1与l2平行”是“直线l1与l2的斜率相等”的充要条件. ( )
(2)如果两条直线平行,那么这两条直线的方向向量一定相等. ( )
(3)如果两条直线平行,那么这两条直线的倾斜角一定相等. ( )
◆ 知识点二 两条直线垂直
图示
对应关系 对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,l1⊥l2 若l1的斜率不存在,l2的斜率为0,则
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知直线l1的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为β,若l1⊥l2,则α-β=90°. ( )
(2)已知直线l1,l2的一个方向向量分别为a=(1,k1),b=(1,k2),若l1⊥l2,则a·b=0,从而k1k2=-1. ( )
(3)“直线l1,l2的斜率之积为-1”是“直线l1,l2互相垂直”的充要条件. ( )
◆ 探究点一 两条直线的平行问题
例1 根据下列条件,判断直线l1与直线l2是否平行或重合.
(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7);
(2)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(3,2),N(-2,-3);
(3)l1平行于y轴,l2经过点P(0,-2),Q(0,5).
变式 (1)[2025·厦门一中高二月考] 已知直线l1过点A(1,2),且一个方向向量为a1=(k,2),直线l2过点B(2,1),且一个方向向量为a2=,若l1∥l2,则k= ( )
A.-2 B.1
C.-2或1 D.0或2
(2)已知A(1,2),B(5,0),C(3,4),若A,B,C,D可以构成平行四边形,求点D的坐标.
[素养小结]
判断两条不重合的直线是否平行有两种方法:一种是利用两条直线的方向向量,另一种是利用两条直线的斜率.利用两条直线的斜率判断两条直线是否平行的方法如下:
拓展 若一束光线从点P(0,1)发出,射到x轴上的A点后被反射,反射光线所在的直线与一条斜率为2的直线平行,则点A的坐标为 .
◆ 探究点二 两条直线的垂直问题
例2 根据下列条件,判断直线l1与l2是否垂直:
(1)l1的倾斜角为,l2经过M(-4,-),N(5,2)两点;
(2)l1的斜率为-,l2经过P(3,-2),Q(-6,4)两点;
(3)l1的斜率为-,l2的倾斜角为α,α为锐角,且tan 2α=-.
变式 (1)已知△ABC的两个顶点为B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则顶点A的坐标为 ( )
A.(-19,-62) B.(19,-62)
C.(-19,62) D.(19,62)
(2)已知A(1,3),B(-2,4),C(m,6),若△ABC为直角三角形,则m= .
[素养小结]
(1)利用直线的斜率判断平面图形的形状时,一般先由图形进行猜测,然后利用直线的斜率关系进行判断.
(2)由平面图形的形状求参数(一般是点的坐标)时,要考虑到平面图形可能出现的各种情形,设计如何运算.在运算时既要考虑运算对象,又要考虑斜率是否存在.
拓展 在平面直角坐标系xOy中,四边形OPQR的四个顶点为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0且t≠.试判断四边形OPQR的形状并证明.2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
1.若直线l1的斜率为2,l1⊥l2,则直线l2的斜率为 ( )
A.- B.2
C. D.-2
2.[2025·茂名高二期中] 已知A(-1,0),B(2,2),C(5,-2)三点,则△ABC的边AB上的高所在直线的斜率是 ( )
A.- B.-
C. D.3
3.[2025·河南百师联盟高二联考] 已知直线l1的一个方向向量为a1=(k,1),直线l2的一个方向向量为a2=(2-k,k),若l1∥l2,则k= ( )
A.-2 B.1
C.-2或1 D.0或2
4.在平面直角坐标系内有两点A(4,2),B(1,-2),若在x轴上存在点C,使∠ACB=90°,则点C的坐标是 ( )
A.(3,0) B.(0,0)
C.(5,0) D.(0,0)或(5,0)
5.已知直线l的倾斜角为,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l与l1平行,则实数a的值为 ( )
A.0 B.1
C.6 D.0或6
6.(多选题)若l1与l2为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别为α1,α2,斜率分别为k1,k2,则下列说法正确的是 ( )
A.若l1∥l2,则k1=k2
B.若k1=k2,则l1∥l2
C.若l1∥l2,则α1=α2
D.若l1⊥l2,则k1k2=1
7.如图所示,直线l1的倾斜角α1=30°,l1⊥l2,则直线l2的斜率为 .
8.已知直线l平行于第二、四象限的平分线,则直线l的倾斜角为 (用弧度制表示).
9.(13分)已知平面直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2),C,D(0,-3).
(1)若点C在直线AB上,求m的值;
(2)若直线AC与直线BD平行,求m的值;
(3)若直线AC与直线BC垂直,求m的值.
10.张老师玩折纸游戏,他将一张画了直角坐标系(两坐标轴的单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2024,2025)与点(a,b)重合,则a+b= ( )
A.4048 B.4049
C.4050 D.4051
11.(多选题)已知点A(0,2),B(-1,0),则下列结论正确的是 ( )
A.若直线AB的一个方向向量为(1,k),则k=
B.若直线l的斜率为-,则l⊥AB
C.若C(1,-1),则△ABC为直角三角形
D.若C(1,-1),D(3,3),则四边形ABCD是平行四边形
12.已知两条直线l1,l2不重合,过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线l1与直线l2平行,直线l2的斜率为-2,直线l3的斜率为-,若l2⊥l3,则m+n的值为 .
13.在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0,则四边形OPQR的形状为 .
14.(15分)[2025·东莞高二期中] 已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).
(1)若点Q在y轴上,且满足PQ⊥MN,求点Q的坐标;
(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.
15.直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,将直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,若直线l1与l2平行,且l2与直线AB垂直,其中A(1,m-1),B(m,2),则实数m的值是 .
16.(15分)已知A(m,4),B(-2,m),C(1,1),D(m+2,3)四点.
(1)当直线AB与直线CD平行时,求m的值;
(2)求证:无论m取何值,总有∠ACB=90°.
