2.2.1 直线的点斜式方程
【课前预习】
知识点一
y-y0=k(x-x0)
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)×
[解析] (1)由直线的点斜式方程知,方程y-3=k(x+1)表示过点(-1,3),斜率为k的直线.
(2)y轴所在直线的倾斜角为90°,斜率不存在,因此没有点斜式方程,但y轴上任一点的横坐标都为0,所以y轴所在直线的方程为x=0.
(3)x轴所在直线的倾斜角为0°,斜率为0,又x轴所在直线过原点,所以x轴所在直线的点斜式方程为y-0=0×(x-0),即y=0.
(4)经过点P0(x0,y0)且垂直于x轴的直线不能用点斜式方程来表示.
知识点二
1.纵坐标b 2.y=kx+b
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)×
[解析] (1)直线l在y轴上的截距是直线l与y轴交点的纵坐标,而不是交点到原点的距离.
(2)由k1=k2可以得出两直线平行或重合,所以l1∥l2 k1=k2且b1≠b2.
(3)已知直线的斜截式方程,则两条直线的斜率都存在,因此l1⊥l2 k1k2=-1.
(4)直线x=a在x轴上的截距为a,在y轴上的截距不存在.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)因为直线l的斜率k=1,且经过点P(2,3),所以直线l的点斜式方程为y-3=x-2.
(2)直线l的倾斜角α=,则直线l的斜率k=-,又直线l经过点P(-2,-1),故直线l的点斜式方程为y+1=-(x+2).
(3)直线l的倾斜角α=,则直线l的斜率k=,
又直线l经过点P(-5,-1),故直线l的点斜式方程为y+1=(x+5).
变式 (1)y-3=2(x-1) (2)y-2=(x-1) (3)y=2(x+3)
[解析] (1)直线l的方程为y=-x-,则kl=-,根据两直线垂直知所求直线的斜率为2,又所求直线过点A(1,3),所以所求直线的点斜式方程为y-3=2(x-1).
(2)由v=(3,4)是直线l的一个方向向量,得直线l的斜率为,又直线l过点P(1,2),所以直线l的点斜式方程为y-2=(x-1).
(3)设直线l2的倾斜角为α,由题意可得α为锐角,直线l1的倾斜角为2α.因为直线l2的方程为y=x+,所以tan α=,所以直线l1的斜率k1=tan 2α==2,又直线l1过点(-3,0),所以直线l1的点斜式方程为y=2(x+3).
探究点二
例2 解:(1)所求直线的斜截式方程为y=2x+5.
(2)∵倾斜角为150°,∴斜率k=tan 150°=-,∴所求直线的斜截式方程为y=-x-2.
(3)∵直线的倾斜角为60°,∴斜率k=tan 60°=.∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3,∴直线在y轴上的截距为3或-3,∴所求直线的斜截式方程为y=x+3或y=x-3.
变式 (1)B (2)y=-3x+4
[解析] (1)直线l的斜率为tan 60°=,又直线l过点(2,),所以直线l的方程为y-=(x-2),当x=0时,y=-,所以l在y轴上的截距为-.故选B.
(2)设直线l的倾斜角为α,则tan α=2,则直线l1的斜率为tan==-3,所以直线l1的方程为y-1=-3(x-1),故直线l1的斜截式方程为y=-3x+4.
拓展 D [解析] 若a-2=0,即a=2,则直线方程可化为x=,此时直线不经过第二象限,满足条件;若a-2≠0,则直线方程可化为y=x- ,此时若直线不经过第二象限,则≥0且-≤0,解得a>2.综上,实数a的取值范围是[2,+∞).故选D.2.2.1 直线的点斜式方程
1.A [解析] 对于y=2x-,令x=0,得y=-,故直线y=2x-在y轴上的截距为-.故选A.
2.A [解析] 因为直线l在x轴上的截距为-1,所以直线l过点(-1,0),又直线l的斜率为-,故直线l的方程为y=-(x+1).故选A.
3.C [解析] 因为直线方程为y+2=k(x+1),所以由直线的点斜式方程可得直线恒过点(-1,-2).故选C.
4.A [解析] 由k<0,b<0可知直线y=kx+b过第二、三、四象限.故选A.
5.B [解析] 因为l1的倾斜角为60°, l2的倾斜角与l1的倾斜角互余,所以l2的倾斜角为30°,所以=tan 30°=.又l2过点C(2,5),所以l2的方程为y-5=(x-2).故选B.
6.BC [解析] l的斜率k==-,故A错误;设直线l的倾斜角为α,则0°≤α<180°,又tan α=-,所以α=150°,故B正确;直线l的方程为y-=-(x-3),即y=-x+2,令y=0,得x=6,令x=0,得y=2,故l在x轴上的截距为6,在y轴上的截距为2,故C正确,D错误.故选BC.
7.y=-2x+6 [解析] ∵直线l与直线y=x+4互相垂直,∴直线l的斜率为-2.∵直线l与直线y=x+6在y轴上的截距相等,∴直线l经过点(0,6),故直线l的方程为y=-2x+6.
8.y-1=-(x-1) [解析] 因为直线y=x的斜率为1,所以其倾斜角为45°.将直线y=x绕点(1,1)顺时针旋转75°,所得直线的倾斜角为45°-75°+180°=150°,所以所求直线的斜率为tan 150°=-,又所求直线过点(1,1),所以所求直线的方程为y-1=-(x-1).
9.解: (1)∵直线l的倾斜角为60°,∴直线l的斜率为tan 60°=,
又直线l过点P(,-2),
∴由直线的点斜式方程得,直线l的方程为y-(-2)=(x-),
即y=x-5.
(2)∵直线l在y轴上的截距为4,∴由直线的斜截式方程得,直线l的方程为y=x+4.
10.C [解析] 依题意得kAB==-2,∴线段AB的方程为y-1=-2(x-4),x∈[2,4],即y=-2x+9,x∈[2,4],故2x-y=2x-(-2x+9)=4x-9,x∈[2,4].设h(x)=4x-9,x∈[2,4],易知h(x)=4x-9在[2,4]上单调递增,故当x=4时,h(x)max=4×4-9=7.故选C.
11.AC [解析] 对于A,当a=1时,l1:y=x-1,l2:y=x+1,故A正确;对于B,l1:y=ax-a在x轴上的截距为1,故B错误;对于C,l1:y=ax-a在x轴上的截距为1,l2:y=x+a在x轴上的截距为-a,令-a=1,得a=-1,故C正确;对于D,l1:y=ax-a在x轴上的截距为1,l2:y=x+a在x轴上的截距为-a,由图可知-a>1,即a<-1,此时l1的斜率为负,故D错误.故选AC.
12.-2 (-6,5) [解析] 直线l:y=ax-2在y轴上的截距为-2.易知a表示直线l的斜率,直线l恒过点P(0,-2),kPA=5,kPB=-6.如图,若直线l与线段AB无交点,则a的取值范围是(-6,5).
13.y=1或y=x+1-2 [解析] 直线y=x-的斜率为,所以其倾斜角为30°,所以直线l的倾斜角为0°或60°.当直线l的倾斜角为60°时,直线l的方程为y-1=(x-2),即y=x+1-2;当直线l的倾斜角为0°时,直线l的方程为y=1.故直线l的方程为y=1或y=x+1-2.
14.解:(1)直线AC的斜率kAC==-,
所以过点B且与直线AC平行的直线的方程为y+1=-(x+2).
(2)设BC边的中点为D,因为B(-2,-1),C(4,3),
所以点D的坐标为,
即D(1,1),故kAD==-2,
所以BC边上的中线所在直线的方程为y-1=-2(x-1).
(3)因为kAB==6,
所以AB边上的高所在直线的斜率为-,
故AB边上的高所在直线的方程为y-3=-(x-4).
15.ABC [解析] 由题意知,直线l的倾斜角是或或或,所以直线l的斜率k=tan=或k=tan=或k=tan=-或k=tan=-,所以直线l的方程为y-=(x-1)或y-=(x-1)或 y-=-(x-1)或y-=-(x-1).由y-=(x-1),整理得y=x,此时直线l过原点,无法与x轴和y轴围成直角三角形,舍去.故选ABC.
16.解:由题意知k≠0,∵直线l:y=k(x-2)+3与x轴、y轴的交点分别是A,B(0,3-2k),
∴S△AOB=××|3-2k|=×.
当k>0时,S△AOB=×=×,
∵4k+≥2=12,当且仅当k=时取等号,
∴当m>0时,存在两个k(k>0)使得S△AOB=m.
当k<0时,S△AOB=×=×,
∵-4k+≥2=12,当且仅当k=-时取等号,
∴当0当m=12时,存在唯一一个k(k<0)使得S△AOB=m;
当m>12时,存在两个k(k<0)使得S△AOB=m.
综上,若使△AOB(O为坐标原点)的面积为m的直线l共有四条,则正实数m的取值范围是(12,+∞).2.2.1 直线的点斜式方程
【学习目标】
1.能根据斜率公式导出直线的点斜式方程.
2.能利用直线的点斜式方程导出直线的斜截式方程.
3.能描述点斜式方程的适用范围.
◆ 知识点一 直线的点斜式方程
直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k.设P(x,y)是直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得k=,即 ①.
(1)方程①由直线上一个定点(x0,y0)及该直线的斜率k确定,我们把它叫作直线的点斜式方程,简称点斜式.
(2)方程①适用的条件:直线的斜率存在.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1,3). ( )
(2)y轴所在直线的方程为x=0,该方程可化为点斜式方程. ( )
(3)x轴所在直线的方程为y=0,该方程可化为点斜式方程. ( )
(4)经过点P0(x0,y0)的所有直线都能用点斜式方程来表示. ( )
◆ 知识点二 直线的斜截式方程
1.我们把直线l与y轴的交点(0,b)的 叫作直线l在y轴上的截距.
2.直线的斜截式方程:如果斜率为k的直线l过点P0(0,b),这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得y-b=k(x-0),即 ②.
(1)方程②由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把②叫作直线的斜截式方程,简称斜截式.
(2)方程②适用的条件:直线的斜率存在.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l在y轴上的截距是直线l与y轴的交点到原点的距离. ( )
(2)已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2 k1=k2. ( )
(3)已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2 k1k2=-1. ( )
(4)直线x=a在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为0. ( )
◆ 探究点一 直线的点斜式方程
例1 已知直线l经过点P且倾斜角为α,斜率为k,求直线l的点斜式方程.
(1)P(2,3),k=1;
(2)P(-2,-1),α=;
(3)P(-5,-1),α=.
变式 (1)[2025·北京师范大学附中高二期中] 已知直线l的方程为y=-x-,则过点A(1,3)且与l垂直的直线的点斜式方程为 .
(2)[2025·潍坊高二期中] 已知P(1,2)是直线l上一点,且v=(3,4)是直线l的一个方向向量,则l的点斜式方程为 .
(3)[2024·福州一中高二期中] 若过点(-3,0)的直线l1的倾斜角是直线l2:y=x+的倾斜角的两倍,则直线l1的点斜式方程为 .
[素养小结]
利用点斜式求直线方程的方法
(1)用点斜式求直线的方程,首先要确定直线的斜率和该直线上一个点P(x0,y0).注意在斜率存在的条件下,才能求直线的点斜式方程;若斜率不存在,则直线方程为x=x0.
(2)已知两点坐标求直线的方程,可以先求斜率,再用点斜式求直线的方程.
◆ 探究点二 直线的斜截式方程
例2 根据下列条件写出直线的斜截式方程.
(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;
(2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2;
(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
变式 (1) [2025·镇江一中高二期中] 已知直线l的倾斜角为60°,且l过点(2,),则l在y轴上的截距为 ( )
A.-1 B.-
C.1 D.
(2)将直线l:y=2x-1绕着点A(1,1)逆时针旋转后与直线l1重合,则l1的斜截式方程是 .
[素养小结]
直线的斜截式方程的求解策略
(1)求直线的斜截式方程,首先要求出直线的斜率与它在y轴上的截距.
(2)当斜率和在y轴上的截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和在y轴上的截距,再写出直线的斜截式方程.
拓展 [2025·黄冈高二期末] 已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1,若这条直线不经过第二象限,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,2) B.(-∞,2]
C.(2,+∞) D.[2,+∞)2.2.1 直线的点斜式方程
1.[2025·泰安高二期中] 直线y=2x-在y轴上的截距是 ( )
A.- B. C.- D.
2.若直线l的斜率为-,在x轴上的截距为-1,则l的方程为 ( )
A.y=-(x+1) B.y=-(x-1)
C.y=-x+1 D.y=-x-1
3.直线y+2=k(x+1)所过定点的坐标为 ( )
A.(2,1) B.(-2,-1)
C.(-1,-2) D.(1,2)
4.若k<0,且b<0,则直线y=kx+b必不过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.[2025·湖北十堰六校教学合作体高二月考] 已知直线l1的倾斜角为60°,若直线l2过点C(2,5),且l2的倾斜角与l1的倾斜角互余,则l2的方程为 ( )
A.y-5=-(x-2)
B.y-5=(x-2)
C.y-5=-(x-2)
D.y-5=(x-2)
6.(多选题)[2025·连云港高二期中] 设直线l过两点(3,)和(9,-),则 ( )
A.l的斜率为-
B.l的倾斜角为150°
C.l在x轴上的截距为6
D.l在y轴上的截距为3
7.已知直线l与直线y=x+4互相垂直,直线l与直线y=x+6在y轴上的截距相等,则直线l的方程为 .
8.[2025·阜阳一中高二期中] 将直线y=x绕点(1,1)顺时针旋转75°得到的直线的方程是 .
9.(13分)已知直线l的倾斜角为60°.
(1)若直线l过点P(,-2),求直线l的方程;
(2)若直线l在y轴上的截距为4,求直线l的方程.
10.已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为 ( )
A.-1 B.3
C.7 D.8
11.(多选题)在同一平面直角坐标系中,直线l1:y=ax-a与l2:y=x+a的位置可能是 ( )
A B C D
12.已知点A(1,3),B(-1,4),直线l:y=ax-2与线段AB无交点,则直线l在y轴上的截距为 ,a的取值范围是 .
13.已知直线l经过点(2,1),且和直线y=x-的夹角为30°,则直线l的方程是 .
14.(15分)[2025·北京延庆区高二期中] 已知△ABC的三个顶点为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3).
(1)求过点B且与直线AC平行的直线的方程;
(2)求BC边上的中线所在直线的方程;
(3)求AB边上的高所在直线的方程.
15.(多选题)已知直线l过点P(1,),且与x轴和y轴围成一个有一个内角为的直角三角形,则满足条件的直线l的方程可以是 ( )
A.y-=-(x-1)
B.y-=-(x-1)
C.y-=(x-1)
D.y-=(x-1)
16.(15分)已知直线l:y=k(x-2)+3与x轴、y轴分别交于A,B两点,若使△AOB(O为坐标原点)的面积为m的直线l共有四条,求正实数m的取值范围.
