(共57张PPT)
2.2 直线的方程
2.2.2 直线的两点式方程
探究点一 利用两点式求直线方程
探究点二 利用截距式求直线方程
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能根据斜率公式导出直线的两点式方程.
2.能利用直线的两点式方程及截距的概念，导出直线的截距式方程.
3.能描述截距式方程的适用范围，并能依据不同条件合理选择直
线方程的形式求解.
知识点一 直线的两点式方程
当时，经过两点,的直线的斜率 .
任取,中的一点，例如，取点 ,由直线的点斜式方程，得
_____________________,当 时，上式可写为_____________.
这就是经过两点,其中, 的直线的
方程，我们把它叫作直线的两点式方程，简称两点式.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知直线过两点, ，则直线一定存在两点式
方程.( )
×
[解析] 只有当且 时，直线才存在两点式方程.
（2）经过两点, 的直线方程可以
是，也可以是 .( )
√
（3）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.( )
√
[解析] 能用两点式方程表示的直线一定不垂直于坐标轴，从而斜率
一定存在，故可用点斜式方程表示.
知识点二 直线的截距式方程
已知直线与轴的交点为，与轴的交点为,其中 ,
,将两点,的坐标代入两点式，得 ,即
__________.此方程由直线在两条坐标轴上的截距与 确定，我们把
此方程叫作直线的截距式方程，简称截距式.
（2）能用截距式方程表示的直线都能用两点式方程表示.( )
√
[解析] 截距式方程是两点式方程的特殊形式.
（3）过除原点外的一个定点,且在两坐标轴上的截距相等的直线有且
只有1条.( )
×
[解析] 这样的直线通常有两条:一条过原点；另一条不过原点，且在
轴和 轴上的截距相等.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）不经过原点的直线都可以用方程 表示.( )
×
[解析] 垂直于坐标轴的直线也不可以用截距式方程表示.
知识点三 直线方程的特殊形式
直线方程名称 直线方程形式 适用范围
点斜式 直线存在斜率
斜截式 直线存在斜率
两点式 直线不垂直于坐标轴
截距式 直线在两坐标轴上都
存在截距且都不为0
探究点一 利用两点式求直线方程
例1 在中，已知，， .
（1）求 边所在直线的方程；
解：因为边所在的直线过两点，，所以 边所
在直线的方程为，即 .
（2）求 边上的中线所在直线的方程.
解：设边的中点为，则， ，
所以 ，
又因为边上的中线所在的直线过点，所以 边上的中线
所在直线的方程为，即 .
变式（1）已知的三个顶点为，，， 为
的中点，为的中点，则中位线 所在直线的方程为_______
________.
[解析] 由中点坐标公式可得，，故中位线 所在直线
的方程为，即 .
（2）［2025·广东茂名高二期中］经过,两点的直线
的一个方向向量为，则 的方程为______________.
[解析] 由题知，解得，即，故直线 的方
程为，即 .
［素养小结］
（1）由两点式求直线方程的步骤：
①设出直线所经过的两点的坐标;
②根据题中的条件，列出相关方程，解出点的坐标;
③由直线的两点式写出直线方程.
（2）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否
满足两点式方程的适用条件（两点的连线不平行于坐标轴），若满
足，则考虑用两点式求直线方程.
拓展 一束光线从点发出，经轴反射后经过点 ，分别
求入射光线和反射光线所在直线的方程.
解：易知点关于轴的对称点为，连接 ,由已知可
得反射光线所在的直线为直线 ，其方程为 ，
即 .
点关于轴的对称点为,连接 ，由已知可得入射
光线所在的直线为直线，其方程为，即 .
故入射光线所在直线的方程为 ，反射光线所在直线的
方程为 .
探究点二 利用截距式求直线方程
例2（1）（多选题）［2025·南阳高二期中］ 已知直线 经过点
，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线 的方程可能
是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 当直线在两坐标轴上的截距均为0时，直线 的方程为，
即.
当直线 在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线的方程为，
由题意知解得 或
当时，直线的方程为；
当时，直线 的方程为.故选 .
（2）直线在轴上的截距比在轴上的截距大1，且过定点 ，
则直线 的方程为_______________________________.
或
[解析] 设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为 ，由题
易知且，所以直线的方程为，
将点 的坐标代入，解得或，
所以直线的方程为 或 .
（3）求过点，且在轴上的截距为在 轴上的截距2倍的直线的
方程.
解：设直线在轴、轴上的截距分别为, .
当且时,直线的方程为 ,
由题可知,且,解得, ,此时直线的方程为
,即 .
当时,设直线的方程为,由题可知 ,此时直线的方
程为 .综上所述,所求直线的方程为或 .
变式 求过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积是的直线
的方程．
解：由题意知直线不过原点，且直线 在两坐标轴上的截距都存在，
设直线的方程为 ．
由题意得 即或 解得
或 直线的方程为 或 ．
［素养小结］
直线的截距式方程应用的注意事项
（1）如果问题中涉及直线与坐标轴相交，那么可考虑选用直线的截
距式方程，用待定系数法确定其系数即可.
（2）选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及
能否与两坐标轴垂直.
（3）要注意直线的截距式方程的逆向应用.
拓展 在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线 分别
交，轴的正半轴于点， ．
（1）求面积的最小值及取得最小值时直线 的方程；
解：依题意设， ，则直线的方程为 ，
又直线过点，所以 ，所以，
可得，当且仅当，即 ，时取等号，
从而 ，所以面积的最小值为4，
的面积取得最小值时直线 的方程为 ．
（2）当取得最小值时，求直线 的方程.
解：由（1）可得 ，所以
，当且仅当 ，即时取等号，
此时直线 的方程为 ．
1.直线的两点式方程剖析
（1）当直线的斜率不存在即或斜率为0即 时,不能
用两点式方程表示直线.若,,则直线方程为 ;
若,,则直线方程为 .
（2）对于两点式中的两点坐标,只需是直线上的不同的两点坐标,两
点式方程与这两个点的坐标的顺序无关.
（3）要注意 与
是不同的,前者表示的直线
缺少与轴和与 轴垂直的直线,后者是过平面内任意已知两点
, 的直线的方程,但不能称为直线的两点式方程.
2.直线的截距式方程剖析
（1）截距式应用的前提是直线在轴上的截距且直线在 轴上的
截距 ,即直线过原点或与坐标轴平行时不能用截距式方程表示直线.
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等,则斜率为 或直线过原点,故
常设此直线方程为或 .
（3）截距并非距离,截距相等包括截距为零的情况.
1.求直线的方程时，首先要根据题意画出大致图形，再结合图形选择
直线方程适当的形式来求其方程.一般有两种途径：一是先求出确定
直线的几何要素，如点斜、斜截、两点、两截距等，直接写出直线
的方程；二是先根据条件设出直线的方程，再利用其他条件结合待
定系数法，得出直线方程.
例1 已知的三个顶点分别为，， ，求：
（1） 边所在直线的方程；
解：由两点式得边所在直线的方程为 ，即
.
（2）边上的中线 所在直线的方程；
解：设边的中点的坐标为，则 ，
，所以，由截距式得边上的中线 所在直线
的方程为，即 .
（3） 边的垂直平分线的方程．
解：边所在直线的斜率，则 边的垂直平分线的
斜率，又边的中点为，所以由斜截式得 边的垂直
平分线的方程为，即 ．
2.当题目中出现直线“在两坐标轴上的截距相等”“在两坐标轴上的截
距互为相反数”“在一个坐标轴上的截距是另一个坐标轴上截距的
倍”等条件时,若采用截距式求直线方程,则一定要注意考虑
“截距为零”的情况.
例2 ［2025·河北石家庄六中高二期中］已知定点 .
（1）求过点 且在两坐标轴上截距相等的直线的方程；
解：当直线在两坐标轴上的截距均为0时，设直线的方程为 ，
因为直线过点，所以 ，解得 ，
所以直线的方程为 ；
当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时，设直线的方程为 ，
因为直线过点，所以将点 的坐标代入直线的方程，得 ，
则直线的方程为 .
综上，直线的方程为或 .
（2）若直线过点且交轴负半轴于点，交轴正半轴于点 ，记
为坐标原点的面积为，求的最小值，并求此时 的方程.
解：由题意可知，直线的斜率存在，且 ，则直线的方程为
，令，得，令,得 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，所以的最小值为16，
此时直线的方程为 ，即 .
练习册
1.过两点, 的直线方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 过两点，的直线的两点式方程为 ，整
理得 .故选C.
√
2.直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 ，则( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 令，解得，故；令，解得 ，
故 ．故选B.
√
3.直线 的截距式方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 对于，令得，令得 ，
故直线的截距式方程为 .故选D.
√
4.直线与直线 在同一平面直角坐标系中的位置可
能是( )
A. B. C. D.
[解析] 直线在轴上的截距为,在轴上的截距为 ;
直线在轴上的截距为,在轴上的截距为 .故选B.
√
5.在平面直角坐标系中，方程 所表示的曲线是( )
A.两条平行线 B.一个矩形 C.一个菱形 D.两条射线
[解析] 当,时，方程为；
当, 时，方程为；
当,时，方程为；
当, 时，方程为.
因此原方程所表示的曲线是一个以 ，，， 为
顶点的菱形．
√
6.（多选题）［2025·吉林名校联盟高二联考］ 已知直线 过点
， ，则( )
A.直线的倾斜角为
B.直线的两点式方程为
C.直线的一个方向向量为
D.直线的截距式方程为
√
√
[解析] 因为直线过点，，所以直线 的斜率为，
则倾斜角为 ，一个方向向量为 ，故A正确，C错误；
直线的两点式方程为，整理易得直线 的截距式方程
为，故B错误，D正确.故选 .
7.写出过点和 的直线的一个两点式方程
_ _______________________________.
（或）
[解析] 过点和的直线的两点式方程是 或
.
8.若直线经过点 ，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则
直线 的方程为___________________________．
或
[解析] 直线经过点 ，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，
可设直线的方程为，把点 的
坐标代入可得，即，
又 ，或，
故直线的方程为 或 .
9.（13分）［2025·西安南开高级中学高二月考］ 的三个顶点
是,, .
（1）求 边所在直线的方程；
解：根据题意可知, ，
则边所在直线的方程为，即 .
（2）求经过边和 的中点的直线的方程.
解：设边和的中点分别为, ，
因为,, ，
所以,,, ,
则直线的方程为 ，即 .
10.［2025·广东五校高二联考］过点作直线 ，则满足在两坐标
轴上的截距之积为2的直线 的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由题意可设直线的方程为，将点 的坐
标代入，可得，即 .
因为，所以方程 有两个不
同的实数根，故满足题意的直线 的条数为2.故选B.
√
11.（多选题）下列说法正确的是( )
A.在轴和在轴上截距相等的直线都可以用方程 表示
B.方程能表示平行于 轴的直线
C.经过点，倾斜角为 的直线方程为
D.经过两点, 的直线方程为
√
√
[解析] 对于A，若直线过原点，则直线在轴和在 轴上的截距都为
零，但此时直线不可以用方程 表示，故A错误；
对于B，当时，方程为，此时所表示的直线与 轴平行，
故B正确；
对于C，当 时， 不存在，此时直线方程为 ，故C错误；
对于D，设点是经过两点, 的直线上的任意一点，
根据 可得,故D正确.
故选 .
12.若直线与两坐标轴的交点分别为，，且线段的中点为 ，
则直线 的方程为______________．
[解析] 由题知，直线在轴、轴上的截距都存在且不为0，设直线
的方程为，因为线段的中点为，所以, ，
可得,，则直线的方程为，即 .
13.［2025·北京丰台区高二期中］设，是轴上的两点，点 的横
坐标为2，且，若直线的方程为 ，则直
线 的方程为_____________.
[解析] 因为点在直线上，且点 的横坐标为2，所以
点的坐标为，又点为直线与 轴的交点，所以
.
因为点在轴上，且，所以点是线段 的中点，
所以，所以直线的方程为 ，即 .
14.（15分）已知直线过点 .
（1）若直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求直线 的方程.
解：①当直线过原点时，符合题意，此时直线的斜率 ，
故直线的方程为，即 .
②当直线不过原点时， 直线在轴上的截距是在 轴上截距的2倍，
可设直线的方程为 .
直线过点 ，，解得 ，
直线的方程为，即 .
综上所述，直线的方程为或 .
（2）若直线与轴、轴的正半轴分别交于点，，求
为坐标原点的面积的最小值及此时直线 的方程.
解：设直线的方程为 ，
由直线过点得 ，，得 ，
当且仅当， 时取等号，
的面积，故 的面积的最小值
为24，此时直线的方程为 .
15.［2025·天津红桥区高二期中］已知菱形 的边长为3，，
为边上的动点，则 的最小值为___.
[解析] 连接交于点，以为原点， ，所在直线
分别为, 轴建立平面直角坐标系，如图.
由题意得 ，则,
,, ，故直线的方程为，
即 .
设,，则 ,
，所以 ，
当且仅当时取等号，所以 的最小值为 .
16.（15分）在四边形中，是坐标原点，，点在 轴上，
点是直线上的动点， .
（1）当点的横坐标为5时，求边，及对角线 所在直线的方程；
解：设点 .当点的横坐标为5时，点的坐标是，
则 ，得，所以，
所以直线的方程为 ，即，
直线的方程为 ，即，
直线的方程为，即 .
（2）若四边形为直角梯形，求点 的坐标.
解： 因为，所以直线与轴不垂直.
若四边形 为直角梯形，则有轴，所以点的横坐标为2，
则 .
由，得，得，即 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 , 【诊断分析】（1）×（2）√（3）√
知识点二 【诊断分析】（1）×（2）√（3）×
课中探究 例1.（1）. （2）.
变式.（1） （2）
拓展.反射光线所在的直线方程.
入射光线所在的直线方程为.
例2.（1）ABD （2）或（3）或.
变式.或．拓展.（1）．（2）．
快速核答案（练习册）
1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.AD 7.（或）
8.或
9.（1）.（2）
10.B 11.BD 12. 13.
14.（1）或
15. 16.（1）（2）2.2.2 直线的两点式方程
【课前预习】
知识点一
y-y1=(x-x1)
=
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)只有当x1≠x2且y1≠y2时,直线才存在两点式方程.
(3)能用两点式方程表示的直线一定不垂直于坐标轴,从而斜率一定存在,故可用点斜式方程表示.
知识点二
+=1
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)垂直于坐标轴的直线也不可以用截距式方程表示.
(2)截距式方程是两点式方程的特殊形式.
(3)这样的直线通常有两条:一条过原点;另一条不过原点,且在x轴和y轴上的截距相等.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)因为BC边所在的直线过两点B(5,-4),C(0,-2),所以BC边所在直线的方程为=,即2x+5y+10=0.
(2)设BC边的中点为M(a,b),则a==,b==-3,所以M,
又因为BC边上的中线所在的直线过点A(-3,2),所以BC边上的中线所在直线的方程为=,即10x+11y+8=0.
变式 (1)2x+y-8=0 (2)2x-y-2=0
[解析] (1)由中点坐标公式可得M(2,4),N(3,2),故中位线MN所在直线的方程为=,即2x+y-8=0.
(2)由题知=2,解得c=-4,即B(-1,-4),故直线l的方程为=,即2x-y-2=0.
拓展 解:易知点A(3,2)关于x轴的对称点为A'(3,-2),连接A'B,由已知可得反射光线所在的直线为直线A'B,
其方程为=,
即2x+y-4=0.
点B(-1,6)关于x轴的对称点为B'(-1,-6),连接AB',由已知可得入射光线所在的直线为直线AB',其方程为=,即2x-y-4=0.
故入射光线所在直线的方程为2x-y-4=0,反射光线所在直线的方程为2x+y-4=0.
探究点二
例2 (1)ABD (2)x+2y-2=0或2x+3y-6=0 [解析] (1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时,直线l的方程为y=-x,即2x+3y=0.当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时,设直线l的方程为+=1,由题意知解得或
当时,直线l的方程为x+y+1=0;当时,直线l的方程为x-y+5=0.故选ABD.
(2)设直线l在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为a-1,由题易知a≠0且a≠1,所以直线l的方程为+=1,将点A(6,-2)的坐标代入,解得a=2或a=3,所以直线l的方程为x+2y-2=0或2x+3y-6=0.
(3)解:设直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b.
当a≠0且b≠0时,直线的方程为+=1,
由题可知+=1,且b=2a,解得a=,b=3,此时直线的方程为+=1,即2x+y-3=0.
当a=b=0时,设直线的方程为y=kx,由题可知k=1,此时直线的方程为y=x.
综上所述,所求直线的方程为2x+y-3=0或x-y=0.
变式 解:由题意知直线l不过原点,且直线l在两坐标轴上的截距都存在,设直线l的方程为+=1(a≠0,b≠0).
由题意得
即或
解得或∴直线l的方程为y=x+或y=x-3.
拓展 解:(1)依题意设A(a,0),B(0,b)(a,b>0),
则直线l的方程为+=1,
又直线l过点P(2,1),所以+=1,
所以+=1≥2,可得ab≥8,当且仅当=,即a=4,b=2时取等号,从而S△ABO=ab≥4,
所以△ABO面积的最小值为4,△ABO的面积取得最小值时直线l的方程为+=1.
(2)由(1)可得+=1(a,b>0),所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,
即a=2+,b=+1时取等号,此时直线l的方程为+=1.2.2.2 直线的两点式方程
1.C [解析] 过两点(1,1),(2,-1)的直线的两点式方程为=,整理得2x+y-3=0.故选C.
2.B [解析] 令x=0,解得y=-1,故b=-1;令y=0,解得x=2,故a=2.故选B.
3.D [解析] 对于2x-3y=4,令y=0得x=2,令x=0得y=-,故直线2x-3y=4的截距式方程为+=1.故选D.
4.B [解析] 直线-=1在x轴上的截距为m,在y轴上的截距为-n;直线-=1在x轴上的截距为n,在y轴上的截距为-m.故选B.
5.C [解析] 当x≥0,y≥0时,方程为+=1;当x≥0,y<0时,方程为-=1;当x<0,y<0时,方程为+=-1;当x<0,y≥0时,方程为-+=1.因此原方程所表示的曲线是一个以(3,0),(0,2),(-3,0),(0,-2)为顶点的菱形.
6.AD [解析] 因为直线l过点(0,2),(,1),所以直线l的斜率为=-,则倾斜角为150°,一个方向向量为,故A正确,C错误;直线l的两点式方程为=,整理易得直线l的截距式方程为+=1,故B错误,D正确.故选AD.
7.= [解析] 过点(-3,1)和(2,-2)的直线的两点式方程是=或=.
8.x-y-4=0或x+y+2=0
[解析] ∵直线l经过点P(1,-3),且与两坐标轴围成等腰直角三角形,∴可设直线l的方程为+=1(|a|=|b|≠0),把点P(1,-3)的坐标代入可得+=1,即b-3a=ab,又|a|=|b|≠0,∴a=-b=4 或 a=b=-2,故直线l的方程为x-y-4=0或x+y+2=0.
9.解:(1)根据题意可知A(4,0),C(0,3),
则AC边所在直线的方程为+=1,即3x+4y-12=0.
(2)设边AB和BC的中点分别为D(x1,y1),E(x2,y2),
因为A(4,0),B(6,7),C(0,3),
所以x1==5,y1==,x2==3,y2==5,
则直线DE的方程为=,
即3x+4y-29=0.
10.B [解析] 由题意可设直线l的方程为+=1(a≠0),将点的坐标代入,可得+=1(a≠0),即3a2-6a+2=0.因为Δ=36-4×3×2=12>0,所以方程3a2-6a+2=0有两个不同的实数根,故满足题意的直线l的条数为2.故选B.
11.BD [解析] 对于A,若直线过原点,则直线在x轴和在y轴上的截距都为零,但此时直线不可以用方程+=1表示,故A错误;对于B,当m=0时,方程为x-2=0,此时所表示的直线与y轴平行,故B正确;对于C,当θ=90°时,tan θ不存在,此时直线方程为x=1,故C错误;对于D,设点P(x,y)是经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线上的任意一点,根据∥可得(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0,故D正确.故选BD.
12.x+3y-6=0 [解析] 由题知,直线l在x轴、y轴上的截距都存在且不为0,设直线l的方程为+=1,因为线段AB的中点为(3,1),所以=3,=1,可得a=6,b=2,则直线l的方程为+=1,即x+3y-6=0.
13.x+y-5=0 [解析] 因为点P在直线x-y+1=0上,且点P的横坐标为2,所以点P的坐标为(2,3),又点A为直线x-y+1=0与x轴的交点,所以A(-1,0).因为点B在x轴上,且|PA|=|PB|,所以点(2,0)是线段AB的中点,所以B(5,0),所以直线PB的方程为=,即x+y-5=0.
14.解:(1)①当直线l过原点时,符合题意,此时直线l的斜率k=,
故直线l的方程为y=x,即4x-3y=0.
②当直线l不过原点时,∵直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍,
∴可设直线l的方程为+=1.
∵直线l过点P(3,4),
∴+=1,解得m=5,
∴直线l的方程为+=1,即2x+y-10=0.
综上所述,直线l的方程为4x-3y=0或2x+y-10=0.
(2)设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),
由直线l过点P(3,4)得+=1,
∴1≥2,得ab≥48,
当且仅当a=6,b=8时取等号,
∴△AOB的面积S=ab≥×48=24,故△AOB的面积的最小值为24,
此时直线l的方程为4x+3y-24=0.
15. [解析] 连接BD交AC于点O,以O为原点,AC,BD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,如图.由题意得|OB|==,则A(-,0),B(0,),C(,0),D(0,-),故直线BC的方程为+=1,即y=-x+.设E(t,-t+),0≤t≤,则=(--t,t-),=(-t,t-2),所以·=t2+t+2t2-6t+12=3t2-5t+12=3+≥,当且仅当t=时取等号,所以·的最小值为.
16.解:设点C(0,t).
(1)当点B的横坐标为5时,点B的坐标是(5,2),则kBC==,得t=1,所以C(0,1),所以直线AB的方程为=,即2x-3y-4=0,直线BC的方程为y=x+1,
即x-5y+5=0,直线AC的方程为+=1,即x+2y-2=0.
(2)因为kBC=,所以直线BC与y轴不垂直.若四边形OABC为直角梯形,则有AB⊥x轴,所以点B的横坐标为2,则B(2,-1).
由kBC=,得=,得t=-,即C.2.2.2 直线的两点式方程
【学习目标】
1.能根据斜率公式导出直线的两点式方程.
2.能利用直线的两点式方程及截距的概念,导出直线的截距式方程.
3.能描述截距式方程的适用范围,并能依据不同条件合理选择直线方程的形式求解.
◆ 知识点一 直线的两点式方程
当x1≠x2时,经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率k=.任取P1,P2中的一点,例如,取点P1(x1,y1),由直线的点斜式方程,得 ,当y2≠y1时,上式可写为 .这就是经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线的方程,我们把它叫作直线的两点式方程,简称两点式.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知直线过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则直线一定存在两点式方程. ( )
(2)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直线方程可以是=,也可以是=. ( )
(3)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示. ( )
◆ 知识点二 直线的截距式方程
已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,将两点A(a,0),B(0,b)的坐标代入两点式,得=,即 .此方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把此方程叫作直线的截距式方程,简称截距式.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不经过原点的直线都可以用方程+=1表示. ( )
(2)能用截距式方程表示的直线都能用两点式方程表示. ( )
(3)过除原点外的一个定点,且在两坐标轴上的截距相等的直线有且只有1条. ( )
◆ 知识点三 直线方程的特殊形式
直线方程名称 直线方程形式 适用范围
点斜式 y-y0=k(x-x0) 直线存在斜率
斜截式 y=kx+b 直线存在斜率
两点式 = 直线不垂直于坐标轴
截距式 +=1 直线在两坐标轴上 都存在截距且都不为0
◆ 探究点一 利用两点式求直线方程
例1 在△ABC中,已知A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2).
(1)求BC边所在直线的方程;
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
变式 (1)已知△ABC的三个顶点为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在直线的方程为 .
(2)[2025·广东茂名高二期中] 经过A(3,4),B(-1,c)两点的直线l的一个方向向量为(1,2),则l的方程为 .
[素养小结]
(1)由两点式求直线方程的步骤:
①设出直线所经过的两点的坐标;
②根据题中的条件,列出相关方程,解出点的坐标;
③由直线的两点式写出直线方程.
(2)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件(两点的连线不平行于坐标轴),若满足,则考虑用两点式求直线方程.
拓展 一束光线从点A(3,2)发出,经x轴反射后经过点B(-1,6),分别求入射光线和反射光线所在直线的方程.
◆ 探究点二 利用截距式求直线方程
例2 (1)(多选题)[2025·南阳高二期中] 已知直线l经过点(-3,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等,则直线l的方程可能是 ( )
A.x+y+1=0 B.x-y+5=0
C.x+3y-3=0 D.2x+3y=0
(2)直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点A(6,-2),则直线l的方程为 .
(3)求过点(1,1),且在y轴上的截距为在x轴上的截距2倍的直线的方程.
变式 求过点Q(5,2),且与两坐标轴围成的三角形的面积是的直线l的方程.
[素养小结]
直线的截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,那么可考虑选用直线的截距式方程,用待定系数法确定其系数即可.
(2)选用直线的截距式方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.
(3)要注意直线的截距式方程的逆向应用.
拓展 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,过点P(2,1)作直线l分别交x,y轴的正半轴于点A,B.
(1)求△ABO面积的最小值及取得最小值时直线l的方程;
(2)当|OA|+|OB|取得最小值时,求直线l的方程.2.2.2 直线的两点式方程
1.过两点(1,1),(2,-1)的直线方程为 ( )
A.2x-y-1=0 B.x-2y+3=0
C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0
2.直线x-2y-2=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则 ( )
A.a=2,b=1 B.a=2,b=-1
C.a=-2,b=1 D.a=-2,b=-1
3.直线2x-3y=4的截距式方程为 ( )
A.2x-=1 B.-=1
C.-=1 D.+=1
4.直线-=1与直线-=1在同一平面直角坐标系中的位置可能是 ( )
5.在平面直角坐标系中,方程+=1所表示的曲线是 ( )
A.两条平行线 B.一个矩形
C.一个菱形 D.两条射线
6.(多选题)[2025·吉林名校联盟高二联考] 已知直线l过点(0,2),(,1),则 ( )
A.直线l的倾斜角为150°
B.直线l的两点式方程为=
C.直线l的一个方向向量为(1,-)
D.直线l的截距式方程为+=1
7.写出过点(-3,1)和(2,-2)的直线的一个两点式方程 .
8.若直线l经过点P(1,-3),且与两坐标轴围成等腰直角三角形,则直线l的方程为 .
9.(13分)[2025·西安南开高级中学高二月考] △ABC的三个顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,3).
(1)求AC边所在直线的方程;
(2)求经过边AB和BC的中点的直线的方程.
10.[2025·广东五校高二联考] 过点作直线l,则满足在两坐标轴上的截距之积为2的直线l的条数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
11.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.在x轴和在y轴上截距相等的直线都可以用方程+=1表示
B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1)
D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
12.若直线l与两坐标轴的交点分别为A,B,且线段AB的中点为(3,1),则直线l的方程为 .
13.[2025·北京丰台区高二期中] 设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程为 .
14.(15分)已知直线l过点P(3,4).
(1)若直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍,求直线l的方程.
(2)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,求△AOB(O为坐标原点)的面积的最小值及此时直线l的方程.
15.[2025·天津红桥区高二期中] 已知菱形ABCD的边长为3,|AC|=2,E为BC边上的动点,则·的最小值为 .
16.(15分)在四边形OABC中,O是坐标原点,A(2,0),点C在y轴上,点B是直线x-y=3上的动点,kBC=.
(1)当点B的横坐标为5时,求边AB,BC及对角线AC所在直线的方程;
(2)若四边形OABC为直角梯形,求点C的坐标.
