(共66张PPT)
2.2 直线的方程
2.2.3 直线的一般式方程
探究点一 求直线的一般式方程
探究点二 利用一般式解决直线的平行和垂直问题
探究点三 含参数的直线的一般式方程的有关问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能根据直线特殊形式的方程归纳出直线的一般式方程.
2.能讨论特殊形式与一般式的关系，并能熟练地进行互化.
知识点一 直线的一般式方程
1.关于，的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于， 的二元
一次方程________________（其中， 不同时为0）叫作直线的
____________，简称一般式.
一般式方程
2.直线的一般式方程与直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、
截距式方程之间的互化：
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）将直线方程化为一般式为 ( )
√
（2）将直线方程化为截距式为 .
( )
×
[解析] 当且时，将直线方程
可化为截距式 .
（3）与轴或 轴平行的直线的方程不能写成截距式.( )
√
（4）经过原点的直线的方程都能写成斜截式.( )
×
[解析] 轴经过原点，其所在直线的方程为 ，斜率不存在，所
以不能写成斜截式.
（5）斜率为0的直线的方程没有点斜式.( )
×
[解析] 若斜率为0的直线经过点 ，则其点斜式方程为
.
知识点二 二元一次方程与直线
在平面直角坐标系中,任意一个二元一次方程都表示一条直线；反之，
任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示.
例：点集表示的图形是直线 .
探究点一 求直线的一般式方程
例1 ［2025·安阳高二期中］根据下列条件分别写出直线的方程，并
化为一般式.
（1）斜率是，且经过点 ；
解：由点斜式得直线的方程为 ，即
.
（2）经过点，且垂直于 轴；
解：经过点，且垂直于 轴的直线斜率不存在，其方程为
，即 .
（3）过点 且在两坐标轴上的截距相等.
解：当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线的方程为 ，
将点的坐标代入，得，解得 ，所以直线的方程为
.
当直线在两坐标轴上的截距均为0，即直线过原点时，直线的方程为
，即 .
综上，直线的方程为或 .
变式 写出下列直线的方程，并化成一般式.
（1）经过点，斜率是 ；
解：因为直线经过点，斜率是 ，所以直线的点斜式方程
为，即 .
（2）经过点，倾斜角是 ；
解：因为直线经过点，倾斜角是 ，所以斜率为 ，所
以直线的点斜式方程为，即 .
（3）经过点，斜率是直线的斜率的 ；
解：设所求直线的斜率为，则依题意得 ，
又直线经过点，所以所求直线的方程为 ，
即 .
（4）经过点，且在轴上的截距等于在 轴上截距的2倍；
解：当直线不过原点时，设所求直线的方程为 ，将
点的坐标代入，可得，解得 ，所以直线的
方程为 ；
当直线过原点时，设所求直线的方程为，则 ，解得
，所以直线的方程为，即 .
综上，所求直线的方程为或 .
（5）经过， 两点.
解：当时，直线的方程为,即 ；
当时，直线的方程为 ，即
.
因为当时，方程即为 ，
所以所求直线的方程为 .
［素养小结］
（1）若方程表示直线,则需满足,不同时为0.
（2）求直线的一般式方程时,可先求出其他形式的方程,再化为一般式.
探究点二 利用一般式解决直线的平行和垂直问题
例2 已知两条直线,, ,判断
两条直线的位置关系.
解：令,解得,所以当时，与 相交.
当时，与垂直.令,解得 .
当时，的方程为,的方程为,与 重合；
当时，的方程为,的方程为, .
所以当时，与相交，其中当时，与 垂直；
当时，与 重合；当时， .
变式 ［2025·江门高二期中］已知直线和点 .
（1）求经过点，且与 平行的直线的方程；
解：因为所求直线与直线 平行，所以设所求直线的方程为
，
将点的坐标代入，可得，解得 ，
故所求直线的方程为 .
（2）求经过点，且与 垂直的直线的方程.
解：因为所求直线与直线 垂直，所以设所求直线的方程为
，
将点的坐标代入，可得，解得 ，
故所求直线的方程为 .
［素养小结］
（1）已知直线,直线.
①且（或
）.
②.
（2）与直线平行的直线方程可设为
;与直线垂直的直线方程可
设为.
探究点三 含参数的直线的一般式方程的有关问题
例3（1）已知直线与直线 互相垂直，
则 等于( )
A. B. C. D.10
[解析] 方法一：直线的斜率为 ，直线
的斜率为，由两条直线互相垂直得 ，
解得 ，故选D.
方法二：由两条直线互相垂直得，解得 .
故选D.
√
（2）已知直线 .
①求证：不论为何值，直线 总经过第一象限；
证明：直线的方程可化为 ，
令解得即直线过定点，而点 在第一
象限内，故不论为何值，直线 总经过第一象限.
②要使直线不经过第二象限，求 的取值范围.
解：方法一：设为坐标原点，连接，则直线的斜率为 ，
故要使直线不经过第二象限，只需直线的斜率 ，解得
，即的取值范围为 .
方法二：当时，直线的方程为，直线 经过第二象限，不
符合题意，故 .
由题意可知直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 ，故要
使直线不经过第二象限，只需解得，故 的取值范围
为 .
变式（1）在同一平面直角坐标系中，直线 ，
的位置可能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 直线的方程是，可化为， 的方
程是，可化为.
在A中，若直线 的位置正确，则,，所以，则 的
位置不正确，故A错误；
在B中，若直线的位置正确，则,，所以 ，则的
位置不正确，故B错误；
在C中，若直线 的位置正确，则,，所以，则 的
位置不正确，故C错误；
在D中，若直线的位置正确，则,，所以，则 的
位置正确，故D正确.故选D.
（2）已知直线的方程为，若 在
两坐标轴上的截距相等，求 的值.
解：当过原点时，，则 .
当不过原点时，，由题意可知即
令，得 ，则 ，
令，得 ，则 ，
由题意可知，可得，解得 .
综上所述， .
［素养小结］
含参数的直线方程的研究策略
（1）若方程表示直线,则需满足,不同时为0.
（2）令可得直线在轴上的截距.令可得直线在轴上的截
距.若确定直线的斜率存在,则可将一般式化为斜截式.
拓展 已知直线 ．
（1）当,,满足什么条件时，直线 与两坐标轴都相交
解：当直线的斜率存在且不为0，即，，且
时，直线 与两坐标轴都相交．
（2）当,,满足什么条件时，直线只与 轴相交
解：当直线的斜率不存在，且直线不与轴重合，即， ，
且时，直线只与 轴相交．
（3）设为直线上一点，证明：直线 的
方程可以写成 ．
证明：为直线 上一点，
，即，
直线 的方程为，
整理得 ．
1.直线的一般式方程 转化为直线的斜截式方程、截
距式方程的转化条件.
形式 方程 转化条件
斜截式
截距式 ，， 均不为零
2.一般式方程表示特殊的直线时,系数,, 满足的条件.
特殊直线 系数满足的条件
垂直于 轴
垂直于 轴
与轴、 轴都相交
过原点
1.将直线的一般式方程化为特殊形式的方程，要注意特殊形式的方程的
限制条件，在斜率存在且直线与坐标轴有交点时，可求其斜率和截距.
例1 ［2025·江苏盐城七校高二联考］直线 的方程为
，若不经过第一象限，则实数 的取值范
围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 若的斜率不存在，则,的方程为，此时 不经过
第一象限；
若的斜率存在，则,的方程为 ，要
使不经过第一象限，只需解得.
综上,实数 的取值范围为 ，故选C.
2.与直线 平行的直线方程可设为
,再由其他条件列方程求出 ;与直线
垂直的直线方程可设为 ,再由其他
条件列方程求出 .
例2 已知直线的方程为，分别求直线 的方程，
使得：
（1）与平行，且过点 ；
解：因为直线的方程为，且与 平行，
所以设直线的方程为 ，
又点在直线上，所以，解得 ，
所以直线的方程为 .
（2）与垂直，且 与两坐标轴围成的三角形的面积为6.
解：因为直线的方程为，且与 垂直，
所以设直线的方程为 ，
当时，，当时， .
因为 与两坐标轴围成的三角形的面积为6，
所以，解得或 ，
所以直线的方程为或 .
练习册
1.［2025·晋江一中高二期中］已知直线过点 ，且一个方向向量
为，则直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设是直线上任意一点，因为直线过点 ，且一个
方向向量为，所以，整理得直线 的方程为
.故选C.
√
2.直线 的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 设直线的倾斜角为 ,则
,又, .故选D.
√
3.已知点在直线上的射影是,则直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] , 直线的斜率,又直线 过点，
直线的方程为,即 .故选A.
√
4.［2025·北京一零一中学高二期中］若直线
与直线平行，则 ( )
A.3 B. C.3或 D.3或1
[解析] 当时，直线与直线 不
平行，不符合题意；
当时，由直线 与直线
平行，得，所以 .故选A.
√
5.已知，，则直线 经过( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
[解析] 由得，因为， ，所
以, ，所以直线经过第一、二、三象限.故选A.
√
6.（多选题）已知直线 ，则下列说法中错误的是( )
A.直线在轴上的截距为
B.当时，直线的倾斜角为
C.当时，直线 的斜率不存在
D.直线的斜率为
√
√
[解析] 对于A，令，可得，故直线在 轴上的截距为
，故A中说法正确；
对于B，当时，直线 的方程为，它的斜率为，
它的倾斜角为 ，故B中说法正确；
对于C，当时，直线的方程为 ，它的斜率为0，故C中
说法错误；
对于D，直线的方程为，它的斜率为 ，故D中说法错误.
故选 .
7.过点，且倾斜角的余弦值为 的直线的一般式方程为
______________.
[解析] 设直线的倾斜角为 ，则，因为 ，所以
，所以直线的斜率
，又直线过点 ，所以直线的方
程为，即 .
8.若方程表示平行于
轴的直线,则 ___.
1
[解析] 依题意得解得 .
9.（13分）［2025·绍兴高级中学高二月考］ 菱形的顶点，
的坐标分别为，，边所在直线过点 .
（1）求， 边所在直线的一般式方程；
解：由菱形的性质可知，则 ，
所以边所在直线的方程为，即 ，
边所在直线的方程为，即 .
（2）求对角线 所在直线的一般式方程.
解：线段的中点为， ，
由菱形的性质可知且为的中点，则 ，
所以对角线所在直线的方程为 ，即
.
10.若三条不同的直线，， 不能围成三角
形，则 等于( )
A.0 B. C.0或 D.0或 或1
√
[解析] 若三条不同的直线，， 不能围成
三角形，则三条直线交于一点或三条直线中有两条直线平行.若三条
直线交于一点，则由得，此时直线 和
重合，不满足题意.
若三条直线中有两条直线平行，则易知直线与不平行.
当时，直线 与平行，满足题意．
当时，若直线与 平行，则，
解得（舍去）或.综上可知， 或 .
11.（多选题）［2025·安徽A10联盟高二期中］ 已知直线
， ，则下
列说法正确的是( )
A.若，则或
B.若，则
C.若直线不经过第四象限，则
D.若直线与轴负半轴和轴正半轴分别交于点，， 为坐标原
点，则 面积的最小值是20
√
√
[解析] 若，则，解得或 ，经
检验，当时，这两条直线重合，不符合题意，所以 ，
故A错误；
若，则，解得 ，故B正确；
若直线 不经过第四象限，则
解得，故C错误；
由题意知解得，
，令 ，则
，当且
仅当，即时，等号成立，故 面积的最小值是
20，故D正确.故选 .
12.已知直线过点，且直线与直线 平行，与直线
垂直，，则直线 的方程为______________.
[解析] 由题意得，直线与直线 垂直，则
，解得，故直线的方程为 ，
即 .
13.若直线与直线，分别交于点，，且线段 的中点
坐标为，则直线 的方程是______________.
[解析] 由题意，设，， 线段的中点坐标为 ，
解得 ，
直线的斜率为，故直线 的方程为，
即 .
14.（15分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点 作直线
与轴正半轴、轴正半轴分别交于点, .
（1）当的斜率为时，求 的一般式方程；
解：由题意可知，直线的方程为 ，即
.
（2）求的面积取得最小值时直线 的方程.
解： 点在第一象限，且直线与轴正半轴、 轴正半轴分别
交于点，，
直线的斜率 ，则设直线的方程为，，
令 ，得，令，得 ，
.
，, ，
，
当且仅当，即时等号成立，
的面积取得最小值时直线的方程为，
即 .
15.［2025·浏阳高二期中］瑞士数学家欧拉提出三角形的外心、重心、
垂心在同一条直线上，这条直线被称为“欧拉线”.已知 的顶点
为，，，则 的欧拉线的方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为的顶点为，，，所以
的重心为点，即点.
由题意可知 ，所以的外心为斜边的中点，
即点，所以 的欧拉线的方程为，即 .
故选C.
16.（15分）如图，在平面直角坐标系中，矩形
的边，分别在轴、 轴的正半轴上，点与
坐标原点重合， ，.现将矩形
折叠，使 点落在边 上.
（1）若折痕所在直线的斜率为 ，求折痕所在直线的方程；
解：当折痕所在直线的斜率为时，
点落在边上， 折痕所在直线必经过点 ，
折痕所在直线的方程为，即 .
（2）若折痕所在直线的斜率为 ，求折痕所在直线的方程.
解：①当时，易知折叠后点与 点重合，
故折痕所在直线的方程为 .
②当时，将折叠后点落在边上的点
记为 .连接，则，即，
解得 ，故点的坐标为，故线段 的中点为 ，
又点在折痕所在的直线上，
折痕所在直线的方程为 ，
即 ，即 .
当时， 满足上式，
折痕所在直线的方程为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.,一般式方程 【诊断分析】（1）√（2）×（3）√（4）×（5）×
课中探究 例1.（1）. （2）. （3）或
变式.（1）. （2）. （3）.
（4）或.（5）.
例2.当时，与相交，其中当时，与垂直；当时，与重合；当时，.
变式.（1）.（2）.
例3.（1）D （2）①证明略 ② 变式.（1）D （2）
拓展.（1）当直线的斜率存在且不为0，即，，且时，直线与两坐标轴都相交．
（2）当直线的斜率不存在，且直线不与轴重合，即，，且时，直线只与轴相交．
（3）证明略
快速核答案（练习册）
1.C 2.D 3.A 4.A 5.A 6.CD 7. 8.1
9.（1）.（2）.
10.C 11.BD 12. 13.
14.（1）. （2）
15.C 16.（1） （2）2.2.3 直线的一般式方程
【课前预习】
知识点一
1.Ax+By+C=0 一般式方程
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× [解析] (2)当a≠0且a≠-1时,将直线方程ax+(a+1)y=a(a+1)可化为截距式+=1.
(4)y轴经过原点,其所在直线的方程为x=0,斜率不存在,所以不能写成斜截式.
(5)若斜率为0的直线经过点P(x0,y0),则其点斜式方程为y-y0=0·(x-x0).
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由点斜式得直线的方程为y-3=(x-5),即x-y-5+3=0.
(2)经过点(-1,2),且垂直于x轴的直线斜率不存在,其方程为x=-1,即x+1=0.
(3)当直线在两坐标轴上的截距均不为0时,设直线的方程为+=1,
将点(1,3)的坐标代入,得+=1,解得a=4,所以直线的方程为x+y-4=0.
当直线在两坐标轴上的截距均为0,即直线过原点时,直线的方程为y=3x,即3x-y=0.
综上,直线的方程为x+y-4=0或3x-y=0.
变式 解:(1)因为直线经过点A(3,-1),斜率是,所以直线的点斜式方程为y+1=(x-3),即x-y-1-3=0.
(2)因为直线经过点B(-,2),倾斜角是30°,所以斜率为,所以直线的点斜式方程为y-2=(x+),即x-y+2+=0.
(3)设所求直线的斜率为k,则依题意得k=-4×=-,
又直线经过点C(1,3),所以所求直线的方程为y-3=-(x-1),即4x+3y-13=0.
(4)当直线不过原点时,设所求直线的方程为+=1(a≠0),将点D(-5,2)的坐标代入,可得+=1,解得a=-,所以直线的方程为x+2y+1=0;
当直线过原点时,设所求直线的方程为y=kx,则-5k=2,解得k=-,
所以直线的方程为y=-x,即2x+5y=0.
综上,所求直线的方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.
(5)当m=2时,直线的方程为x=2,即x-2=0;
当m≠2时,直线的方程为=,即2x-(m-2)y+m-6=0.
因为当m=2时,方程2x-(m-2)y+m-6=0即为x=2,
所以所求直线的方程为2x-(m-2)y+m-6=0.
探究点二
例2 解:令m2-1≠0,解得m≠±1,所以当m≠±1时,l1与l2相交.
当m=0时,l1与l2垂直.令m2-1=0,解得m=±1.
当m=1时,l1的方程为x+y=2,l2的方程为x+y=2,l1与l2重合;
当m=-1时,l1的方程为x-y=0,l2的方程为x-y=-2,l1∥l2.
所以当m≠±1时,l1与l2相交,其中当m=0时,l1与l2垂直;
当m=1时,l1与l2重合;
当m=-1时,l1∥l2.
变式 解:(1)因为所求直线与直线l平行,所以设所求直线的方程为3x+4y+m=0,
将点P的坐标代入,可得3+4+m=0,解得m=-7,
故所求直线的方程为3x+4y-7=0.
(2)因为所求直线与直线l垂直,所以设所求直线的方程为4x-3y+n=0,
将点P的坐标代入,可得4-3+n=0,解得n=-1,
故所求直线的方程为4x-3y-1=0.
探究点三
例3 (1)D [解析] 方法一:直线mx+4y-2=0的斜率为-,直线2x-5y+n=0的斜率为,由两条直线互相垂直得-·=-1,解得m=10,故选D.
方法二:由两条直线互相垂直得m·2+4×(-5)=0,解得m=10.故选D.
(2)解:①证明:直线l的方程可化为(x-1)a=2(y-2),
令解得即直线l过定点A(1,2),而点A(1,2)在第一象限内,故不论a为何值,直线l总经过第一象限.
②方法一:设O为坐标原点,连接OA,则直线OA的斜率为=2,故要使直线l不经过第二象限,只需直线l的斜率k=≥2,解得a≥4,即a的取值范围为[4,+∞).
方法二:当a=0时,直线l的方程为y=2,直线l经过第二象限,不符合题意,故a≠0.
由题意可知直线l在x轴上的截距为,在y轴上的截距为,故要使直线l不经过第二象限,只需解得a≥4,故a的取值范围为[4,+∞).
变式 (1)D [解析] (1)直线l1的方程是ax-y+b=0,可化为y=ax+b,l2的方程是bx+y-a=0,可化为y=-bx+a(ab≠0).在A中,若直线l1的位置正确,则a>0,b>0,所以-b<0,则l2的位置不正确,故A错误;在B中,若直线l1的位置正确,则a>0,b<0,所以-b>0,则l2的位置不正确,故B错误;在C中,若直线l1的位置正确,则a>0,b>0,所以-b<0,则l2的位置不正确,故C错误;在D中,若直线l1的位置正确,则a<0,b>0,所以-b<0,则l2的位置正确,故D正确.故选D.
(2)解:当l过原点时,1+a=0,则a=-1.
当l不过原点时,a≠-1,由题意可知即
令x=0,得3ay+1+a=0,
则y=,
令y=0,得(a+2)x+1+a=0,
则x=,
由题意可知=,可得3a=a+2,解得a=1.
综上所述,a=±1.
拓展 解:(1)当直线l的斜率存在且不为0,即A≠0,B≠0,且C∈R时,直线l与两坐标轴都相交.
(2)当直线l的斜率不存在,且直线l不与y轴重合,即A≠0,B=0,且C≠0时,直线l只与x轴相交.
(3)证明:∵P(x0,y0)为直线l:Ax+By+C=0上一点,∴Ax0+By0+C=0,即C=-Ax0-By0,∴直线l的方程为Ax+By+(-Ax0-By0)=0,整理得A(x-x0)+B(y-y0)=0.2.2.3 直线的一般式方程
1.C [解析] 设P(x,y)是直线l上任意一点,因为直线l过点(4,5),且一个方向向量为(-1,2),所以=,整理得直线l的方程为2x+y-13=0.故选C.
2.D [解析] 设直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角为α,则tan α=-∈[-1,0),又α∈[0,π),∴α∈.故选D.
3.A [解析] ∵kMH==-1,∴直线l的斜率k=1,又直线l过点H(-1,4),∴直线l的方程为y-4=x+1,即x-y+5=0.故选A.
4.A [解析] 当a=0时,直线l1:x-2y-1=0与直线l2:3x-1=0不平行,不符合题意;当a≠0时,由直线l1:(a-1)x+2y+1=0与直线l2:3x+ay-1=0平行,得=≠,所以a=3.故选A.
5.A [解析] 由ax+by+c=0得y=-x-,因为ab<0,bc<0,所以->0,->0,所以直线经过第一、二、三象限.故选A.
6.CD [解析] 对于A,令x=0,可得y=-1,故直线l在y轴上的截距为-1,故A中说法正确;对于B,当m=1时,直线l的方程为y=-x-1,它的斜率为-1,它的倾斜角为,故B中说法正确; 对于C,当m=0时,直线l的方程为y=-1,它的斜率为0,故C中说法错误;对于D,直线l的方程为y=-mx-1,它的斜率为-m,故D中说法错误.故选CD.
7.2x+y+3=0 [解析] 设直线的倾斜角为θ,则θ∈[0,π),因为cos θ=-,所以
sin θ===,所以直线的斜率k=tan θ===-2,又直线过点A(-2,1),所以直线的方程为y-1=-2(x+2),即2x+y+3=0.
8.1 [解析] 依题意得解得a=1.
9.解:(1)由菱形的性质可知BC∥AD,则kAD=kBC=kCP==-2,
所以BC边所在直线的方程为y+5=-2(x-6),即2x+y-7=0,
AD边所在直线的方程为y-7=-2(x+4),即2x+y+1=0.
(2)线段AC的中点为E(1,1),kAC==-,
由菱形的性质可知BD⊥AC且E为BD的中点,则kBD=-=,
所以对角线BD所在直线的方程为y-1=(x-1),即5x-6y+1=0.
10.C [解析] 若三条不同的直线ax+y=1,x+ay=1,y=0不能围成三角形,则三条直线交于一点或三条直线中有两条直线平行.若三条直线交于一点,则由得a=1,此时直线ax+y=1和x+ay=1重合,不满足题意.若三条直线中有两条直线平行,则易知直线x+ay=1与y=0不平行.当a=0时,直线ax+y=1与y=0平行,满足题意.当a≠0时,若直线ax+y=1与x+ay=1平行,则-a=-,解得a=1(舍去)或a=-1.综上可知,a=0或-1.
11.BD [解析] 若l1∥l2,则m(m+1)-2=0,解得m=1或m=-2,经检验,当m=1时,这两条直线重合,不符合题意,所以m=-2,故A错误;若l1⊥l2,则2(m+1)+m=0,解得m=-,故B正确;若直线l1:y=-(m+1)x+3-2m不经过第四象限,则
解得m≤-1,故C错误;由题意知A,B(0,3-2m),则解得m<-1,S△AOB=·(3-2m)·=-,令m+1=t<0,则S△AOB=-=-2t-+10≥2+10=20,当且仅当-2t=,即t=-时,等号成立,故△AOB面积的最小值是20,故D正确.故选BD.
12.2x+y-4=0 [解析] 由题意得,直线y=ax-1与直线y=x+a垂直,则a=-1,解得a=-2,故直线l的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.
13.x+6y-1=0 [解析] 由题意,设P(x,1),Q(7,y),∵线段PQ的中点坐标为(1,0),∴解得
∴P(-5,1),∴直线l的斜率为=-,故直线l的方程为y-0=-(x-1),即x+6y-1=0.
14.解:(1)由题意可知,直线l的方程为y-1=-2(x-3),即2x+y-7=0.
(2)∵点P(3,1)在第一象限,且直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,∴直线l的斜率k<0,
则设直线l的方程为y-1=k(x-3),k<0,令x=0,得y=-3k+1,令y=0,得x=3-,∴S△AOB=|OA|·|OB|=|-3k+1|·=.
∵k<0,∴->0,-9k>0,
∴S△AOB==3--≥3+2=6,
当且仅当-=-,即k=-时等号成立,∴△AOB的面积取得最小值时直线l的方程为y-1=-(x-3),即x+3y-6=0.
15.C [解析] 因为△ABC的顶点为A(-3,0),B(3,0),C(3,3),所以△ABC的重心为点,即点(1,1).由题意可知BC⊥AB,所以△ABC的外心为斜边AC的中点,即点,所以△ABC的欧拉线的方程为=,即x+2y-3=0.故选C.
16.解:(1)当折痕所在直线的斜率为-1时,∵A点落在边DC上,∴折痕所在直线必经过点D(0,1),
∴折痕所在直线的方程为y=-x+1,即x+y-1=0.
(2)①当k=0时,易知折叠后A点与D点重合,故折痕所在直线的方程为y=.
②当k≠0时,将折叠后A点落在边DC上的点记为G(a,1)(a≠0).
连接OG,则kOG·k=-1,即·k=-1,解得a=-k,
故G点的坐标为(-k,1),故线段OG的中点为M,
又点M在折痕所在的直线上,∴折痕所在直线的方程为y-=k,即y=kx++,
即2kx-2y+k2+1=0.
∵当k=0时,y=满足上式,
∴折痕所在直线的方程为2kx-2y+k2+1=0.2.2.3 直线的一般式方程
【学习目标】
1.能根据直线特殊形式的方程归纳出直线的一般式方程.
2.能讨论特殊形式与一般式的关系,并能熟练地进行互化.
◆ 知识点一 直线的一般式方程
1.关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x,y的二元一次方程
(其中A,B不同时为0)叫作直线的 ,简称一般式.
2.直线的一般式方程与直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程之间的互化:
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)将直线方程x=-化为一般式为3x+2=0. ( )
(2)将直线方程ax+(a+1)y=a(a+1)化为截距式为+=1. ( )
(3)与x轴或y轴平行的直线的方程不能写成截距式. ( )
(4)经过原点的直线的方程都能写成斜截式. ( )
(5)斜率为0的直线的方程没有点斜式. ( )
◆ 知识点二 二元一次方程与直线
在平面直角坐标系中,任意一个二元一次方程都表示一条直线;反之,任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示.
例:点集{(x,y)|x+y-1=0}表示的图形是直线x+y-1=0.
◆ 探究点一 求直线的一般式方程
例1 [2025·安阳高二期中] 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式.
(1)斜率是,且经过点A(5,3);
(2)经过点(-1,2),且垂直于x轴;
(3)过点(1,3)且在两坐标轴上的截距相等.
变式 写出下列直线的方程,并化成一般式.
(1)经过点A(3,-1),斜率是;
(2)经过点B(-,2),倾斜角是30°;
(3)经过点C(1,3),斜率是直线y=-4x的斜率的;
(4)经过点D(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍;
(5)经过P(2,1),Q(m,3)两点.
[素养小结]
(1)若方程Ax+By+C=0表示直线,则需满足A,B不同时为0.
(2)求直线的一般式方程时,可先求出其他形式的方程,再化为一般式.
◆ 探究点二 利用一般式解决直线的平行和垂直问题
例2 已知两条直线l1:mx+y=m+1,l2:x+my=2m,m∈R,判断两条直线的位置关系.
变式 [2025·江门高二期中] 已知直线l:3x+4y-1=0和点P(1,1).
(1)求经过点P,且与l平行的直线的方程;
(2)求经过点P,且与l垂直的直线的方程.
[素养小结]
(1)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0.
①l1∥l2 A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).
②l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.
(2)与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C);与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.
◆ 探究点三 含参数的直线的一般式方程的有关问题
例3 (1)已知直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0互相垂直,则m等于 ( )
A.-10 B.-
C. D.10
(2)已知直线l:ax-2y-a+4=0.
①求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;
②要使直线l不经过第二象限,求a的取值范围.
变式 (1)在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax-y+b=0,l2:bx+y-a=0(ab≠0)的位置可能是 ( )
A B C D
(2)已知直线l的方程为(a+2)x+3ay+1+a=0(a∈R),若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值.
[素养小结]
含参数的直线方程的研究策略
(1)若方程Ax+By+C=0表示直线,则需满足A,B不同时为0.
(2)令x=0可得直线在y轴上的截距.令y=0可得直线在x轴上的截距.若确定直线的斜率存在,则可将一般式化为斜截式.
拓展 已知直线l:Ax+By+C=0.
(1)当A,B,C满足什么条件时,直线l与两坐标轴都相交
(2)当A,B,C满足什么条件时,直线l只与x轴相交
(3)设P(x0,y0)为直线l:Ax+By+C=0上一点,证明:直线l的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0.2.2.3 直线的一般式方程
1.[2025·晋江一中高二期中] 已知直线l过点(4,5),且一个方向向量为(-1,2),则直线l的方程为 ( )
A.x+2y-14=0 B.x-2y+6=0
C.2x+y-13=0 D.2x-y-13=0
2.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是 ( )
A. B.∪
C. D.
3.已知点M(1,2)在直线l上的射影是H(-1,4),则直线l的方程为 ( )
A.x-y+5=0 B.x-y-3=0
C.x+y-5=0 D.x-y+1=0
4.[2025·北京一零一中学高二期中] 若直线l1:(a-1)x+2y+1=0与直线l2:3x+ay-1=0平行,则a= ( )
A.3 B.-2
C.3或-2 D.3或1
5.已知ab<0,bc<0,则直线ax+by+c=0经过 ( )
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限
D.第二、三、四象限
6.(多选题)已知直线l:mx+y+1=0,则下列说法中错误的是 ( )
A.直线l在y轴上的截距为-1
B.当m=1时,直线l的倾斜角为
C.当m=0时,直线l的斜率不存在
D.直线l的斜率为m
7.过点A(-2,1),且倾斜角的余弦值为-的直线的一般式方程为 .
8.若方程(6a2-a-2)x+(3a2-5a+2)y+a+1=0表示平行于y轴的直线,则a= .
9.(13分)[2025·绍兴高级中学高二月考] 菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为(-4,7),(6,-5),BC边所在直线过点P(4,-1).
(1)求BC,AD边所在直线的一般式方程;
(2)求对角线BD所在直线的一般式方程.
10.若三条不同的直线ax+y=1,x+ay=1,y=0不能围成三角形,则a等于 ( )
A.0 B.-1
C.0或-1 D.0或-1或1
11.(多选题)[2025·安徽A10联盟高二期中] 已知直线l1:(m+1)x+y+2m-3=0,l2:2x+my+m-2=0,则下列说法正确的是 ( )
A.若l1∥l2,则m=1或m=-2
B.若l1⊥l2,则m=-
C.若直线l1不经过第四象限,则m<-1
D.若直线l1与x轴负半轴和y轴正半轴分别交于点A,B,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值是20
12.已知直线l过点(1,2),且直线l与直线y=ax-1平行,与直线y=x+a垂直,a≠0,则直线l的方程为 .
13.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,0),则直线l的方程是 .
14.(15分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,过点P(3,1)作直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B.
(1)当l的斜率为-2时,求l的一般式方程;
(2)求△AOB的面积取得最小值时直线l的方程.
15.[2025·浏阳高二期中] 瑞士数学家欧拉提出三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,这条直线被称为“欧拉线”.已知△ABC的顶点为A(-3,0),B(3,0),C(3,3),则△ABC的欧拉线的方程为 ( )
A.2x-y-1=0 B.2x+y-=0
C.x+2y-3=0 D.x-2y+1=0
16.(15分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB,AD分别在x轴、y轴的正半轴上,A点与坐标原点O重合,|AB|=2,|AD|=1.现将矩形ABCD折叠,使A点落在边DC上.
(1)若折痕所在直线的斜率为-1,求折痕所在直线的方程;
(2)若折痕所在直线的斜率为k,求折痕所在直线的方程.
