(共74张PPT)
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
2.3.2 两点间的距离公式
探究点一 相交直线的交点
探究点二 求两点间的距离
探究点三 坐标法的应用
探究点四 对称问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能描述两条直线交点（坐标）的几何（代数）含义，能用解方
程组的方法求两条直线的交点坐标.
2.能推导两点间的距离公式，会分析公式中相关量的几何意义.
3.能根据给定的两点坐标熟练运用公式求两点间的距离.
知识点一 两条直线的交点
1.已知同一平面内的两条直线 ,
，则
______ ______ 有唯一解
重合 ________ __________
______ 无 ______
相交
一个
无数个
有无数解
平行
无解
2.直线系方程
已知直线与 相交于点
，则过点的直线（除 外）可表示为
.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若点在直线上，则点 的坐标一定
满足直线 的方程．( )
√
（2）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一
次方程组的解．( )
√
（3）若直线与直线的交点为 ，则
. ( )
√
（4）直线系方程 不能表示
直线 .( )
√
知识点二 两点间的距离公式
,两点间的距离公式为
_______________________.
（1）当直线平行于轴时, _________;
（2）当直线平行于轴时, _________;
（3）特别地，原点与任一点间的距离 .
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）点，点之间的距离为 .( )
×
[解析] 点，点之间的距离为 .
（2）点，点之间的距离为 .( )
×
[解析] 点，点之间的距离为 .
2.（1）已知平面上的两点,,直线的斜率为 ,则
可怎样表示
解： ,
.
（2）已知平面上的两点,,直线的斜率为 ,如何
用含的关系式表示， 两点间的距离
解：
.
探究点一 相交直线的交点
例1（1）分别判断下列直线是否相交？若相交，求出它们的交点；
若不相交，说明它们的位置关系.
①和 ；
解：解方程组 得
故直线和相交，交点为 .
②和 ；
解：方程组有无数个解，这表明直线和 有无数
个公共点，故和 重合.
③和 .
解：方程组无解，这表明直线和 没有公共点，
故 .
（2）求过直线和直线的交点
且与直线垂直的直线 的方程．
解：方法一：由解得 ．
直线与直线垂直且直线的斜率为 ，
直线的斜率为， 直线的方程为 ，
即 .
方法二：根据题意设直线的方程为 ，
即 ，
直线与直线垂直， 直线 的斜率存在且不为0，
，解得，
直线 的方程为，即 .
变式（1）（多选题）［2025·石嘴山三中高二月考］ 下列说法中正
确的有( )
A.直线和的交点坐标为
B.直线和的交点坐标为
C.直线和 没有交点
D.直线，, 两两相交
√
√
√
[解析] 对于A，直线， ，两直线重合，
有无数个交点，故A错误；
对于B，由解得 所以与的交点坐标为 ，
故B正确；
对于C，直线， ，两直线的斜率相等且
两直线不重合，故与平行，所以与 没有交点，故C正确；
对于D，直线，,，可知直线,,
的斜率分别为,1, ，斜率都不相等，故三条直线两两相交，故D正确.
故选 .
（2）［2025·浙江绍兴会稽联盟高二联考］若直线
经过两直线和的交点，则 ___.
4
[解析] 由可得
则两直线和的交点为 ，
由题意得, .
［素养小结］
（1）求两相交直线交点坐标的关键是解两直线方程组成的二元一次
方程组.
（2）求过两条直线交点的直线方程的两种方法：
①先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程；
②利用过两条直线交点的直线系方程,通过待定系数法求解.
拓展 （多选题）若直线， ，
不能围成三角形，则 的值可能为( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 因为直线，， 不
能围成三角形，所以或或过与的交点.
显然 ，则直线,,的斜率分别为，，.
当 时，有，即，解得；
当时，有 ，即，解得；
当过与的交点时，由 解得则与的交点坐标
为，所以 ，解得．
综上，或或．故选 .
探究点二 求两点间的距离
例2 已知四边形的四个顶点分别为， ，
， ，判断这个四边形的形状．
解：因为，，， ，
所以， ，则四边形 为平行四边形．
又因为，所以 ，所以平行四边形 为矩形.
因为， ，所以，
所以矩形为正方形，故四边形 为正方形.
变式 已知的三个顶点分别为，， .
（1）试判断 的形状；
解：因为，，，所以直线 的斜率
， ，
直线的斜率， ，
则 ，
所以且，所以是以 为直角顶点的等腰直
角三角形.
（2）求的边 上的中线所在直线的方程.
解：易知边的中点为，所以直线的斜率 ，
故的边上的中线所在直线的方程为 ，化
成一般式为 .
［素养小结］
（1）判断四边形的形状时，若两组对边均平行，则是平行四边形，
进而再判断是否为矩形、菱形或正方形；若一组对边平行，则是梯
形，进而再判断是否为等腰梯形或直角梯形；若两组对边均不平行，
则为一般四边形．
（2）利用两点间的距离公式求出线段的长度，再根据各边的长度判
断三角形或四边形形状是常见题型．解题时要注意方程思想和分类
讨论思想的应用．
探究点三 坐标法的应用
例3 用坐标法证明：若四边形是长方形，则对直线 上任意
一点，等式 成立．
证明：以为坐标原点，边所在直线为 轴，边所在
直线为 轴，建立平面直角坐标系如图所示，
设,,则， ，， ，
直线的方程为 .
设，则 ，
，所以
，所以 .
变式 如图，和是在直线 同侧的两个等边三角形.试
用坐标法证明： .
证明：如图所示，以点 为坐标原点，所在直线为
轴建立平面直角坐标系．设和的边长
分别为 和，则， ，， ，
所以 ，
，所以 ，
所以 .
［素养小结］
利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤
（1）建立坐标系，用坐标表示有关的量；
（2）进行有关代数运算；
（3）把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
探究点四 对称问题
例4（1）［2025·福建部分学校教学联盟高二联考］点 关于直
线 的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设关于直线的对称点为 ，
则线段的中点为，由题意可得
解得所以所求对称点的坐标为 .故选B.
（2）直线关于点 对称的直线方程为___________
[解析] 设直线关于点对称的直线为，在 上任
取一点，则点关于点对称的点的坐标为 ，
由题意可知点在直线 上，故
，整理可得 ，
故所求直线方程为 .
变式 已知点与点关于直线 对称，则
的值为____．
[解析] 因为，，所以的中点坐标为 .
因为点与点关于直线对称，
所以的中点 在直线上，所以，
即 .
［素养小结］
对称问题:
1.中心对称
（1）点关于点的对称．若点
与点
关于点
对称，
则由中点坐标公式得
（2）直线关于点的对称，其主要解题方法是：在已知直线上任取两
点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由
两点坐标求出直线方程．
2.轴对称
（1）若点关于直线对称的点为 ，
则
（2）直线关于直线对称
求直线关于直线 对称的
直线的方程的方法：转化为点关于直线对称，在上任取两点 和
，求出，关于的对称点，再由两点坐标求出 的方程．
拓展 ［2025·聊城高二期中］已知直线经过直线 ,
的交点，且，两点到直线 的距离相等.
（1）求直线 的一般式方程；
解：由解得所以 .
①当直线与直线平行时，因为直线的斜率 ，
所以直线的方程为，即 ；
②当直线为线段的中垂线时，因为线段的中点坐标为 ，
所以直线垂直于轴，故直线的方程为，即 .
综上所述，直线的一般式方程为或 .
（2）若点，在直线的同侧，且为直线 上的一个动点，求
的最小值.
解：因为点，在直线的同侧，所以直线 的方程为 ，
如图.设点关于直线的对称点为，连接 ，
，则 解得即点 .
，
当且仅当，， 三点共线时等号成立，故的最小值为 .
1.两条直线交点问题的理解
（1）求两条直线的交点坐标,就是将两条直线的方程联立,解方程组
即可,体现了用代数方法研究几何问题的思想.
（2）与 相交的条件是
或.对于, 均不为0的情况,两种表达法均
可;对于, 至少有一个为0的情况,只能用第一种表达法.
2.两点间距离公式的理解
已知, .
（1）两点间的距离公式与两点坐标的先后顺序无关,即公式可以改写
为 .
（2）两点间距离公式的特殊形式:①当 轴时,
;②当轴时, .
1.求两条直线的交点坐标,只需将两条直线的方程联立,得方程组
若方程组有唯一解,则两条直线相交（含垂直）,
此解就是交点坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直
线平行;若方程组有无数解,则两条直线重合.
[解析] 当时，;当时，.
因为曲线 与直线有两个交点，
所以方程组和 各有1个解.
由解得,所以;由 解得.
综上，的取值范围是 .
例1 若曲线与直线有两个交点，则 的取值
范围是______．
2.求过交点的直线问题有两种方法:一是利用解方程组来求交点,然后
根据两条直线的位置关系确定斜率,进而求出直线方程;二是选用直线
系方程,求出参数,从而确定直线方程.
例2 求过两条直线和 的交点，且满足下
列条件的直线方程.
（1）过点 ;
解：方法一：由解得
所以两条直线的交点为 .
过两点，的直线方程为 ,即 .
方法二:设过两条直线交点的直线方程为 ,
将点的坐标代入，得,解得 ,
故所求直线方程为 .
（2）与直线 垂直.
解：两条直线的交点为.设与直线 垂直的直线方
程为 ,
将点的坐标代入，解得 ,
故所求直线的方程为 .
例3 ［2025·河南省实验中学高二期中］已知直线 ，
为上一点，点，，求 取得最大值时点
的坐标.
3.解决已知直线上的点到两定点的距离和的最小值或差的最大值问题,
常利用对称关系求解.当所求点与已知点三点共线时,取得最值.
解：如图，设点 关于直线的
对称点为 ，则
解得即 ，
易知 ，当且仅当,,三点共线时
取等号，此时点与重合，其中 为直线与直线 的交点.
直线的方程为 ，即
.
由解得
所以取得最大值时点 的坐标为 .
练习册
1.直线与直线 的交点坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 由解得则交点坐标为 .故选D.
√
2.［2025·扬州大学附中高二期中］已知的顶点为 ，
，，则 边上的中线长为( )
A.4 B.5 C. D.
[解析] 设边的中点为，因为，，所以 .
又,所以边上的中线长为 .
故选B.
√
3.若直线与直线 的交点位于第一象
限，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 当时，，此时 ，不满足题意；
当时，由得由题知 解得
，即实数的取值范围为 .故选A.
√
4.［ 2025·潍坊高二期中］已知一束光线从点 发出被直线
反射，若反射光线过点 ，则反射光线所在直线的
方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设点关于直线的对称点为 ，则
解得
由反射光线所在直线过点 ，，得反射光线所在直线的方程
为 ，即 .故选A.
5.［2025·许昌高二期中］已知四边形的四个顶点为 ，
，，，则四边形 的形状是( )
A.平行四边形 B.正方形 C.菱形 D.矩形
√
[解析] 依题意得 ，
，
， ，
所以，所以四边形是菱形.
又直线 的斜率，直线的斜率，所以 ，
则，所以四边形 是正方形.故选B.
6.（多选题）等腰直角三角形的直角顶点为，若点 的坐
标为，则点 的坐标可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 设，根据题意可得
即
解得或 所以或.故选 .
√
√
7.已知点，点在轴上，若，则点 的坐标为
______________.
或
[解析] 设,因为点 ，所以
,整理得,
解得 或,所以点的坐标为或 .
8.斜率为，且过两条直线和 交点的直
线的方程为______________.
[解析] 由 解得则交点为，
故所求直线的方程为 ，即 .
9.（13分）判断下列各组直线的位置关系，若相交，则求出交点坐标.
解：设直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为， .
（1）， ；
解： 因为，，，，所以 .
（2）， ；
解：因为，，，所以与 相交.
由解得所以交点坐标为 .
（3）， ；
解：由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在 轴上
的截距不相等，所以 .
（4）， .
解： 因为，，所以与 重合.
10.［2025·贵州黔东南高二联考］已知点,, 在直线
上，则 的最小值为( )
A. B. C.3 D.
√
[解析] 如图，设关于直线 的对
称点为，则
解得则，
当且仅当为与直线 的交点时等号成立.故选D.
所以 ，
11.（多选题）［2025·岳阳高二期中］ 已知直线 ，
，把平面分成6个部分，则实数
的值可能为( )
A.1 B. C. D.
√
√
√
[解析] 当三条直线中有两条直线平行且另一条直线与这两条直线均
相交或者三条直线交于一点时，三条直线可把平面分成6个部分.
因为直线的斜率为3，直线的斜率为，所以直线, 一定相交，
由解得故与的交点坐标为.
当 时，直线与轴垂直，其方程为，不经过点，且不与或 平行，不满足要求.
当时，直线的斜率为，当直线与直线 平行时，，
解得，此时直线，， 把平面分成6个部分，满足要求；
当直线与直线平行时，，解得 ，此时直线，，把平面分成6个部分，满足要求；
当直线过直线, 的交点时，，解得，
此时直线，， 把平面分成6个部分，满足要求.
综上，的值可能为，， .故选 .
12.已知两条直线和 的交点坐标
为，则过两点， 的直线方程为_____
___________.
[解析] 因为两条直线和 的交点
坐标为，所以且 ，
所以，在直线 上，
所以过两点，的直线方程为 .
13.已知在中，，点在直线上，点在
轴上，则 的周长的最小值为 _____.
[解析] 设点关于直线的对称点为，点 关
于轴的对称点为，连接交于，交轴于 ，则此时
的周长取最小值，且最小值为
与关于直线 对称，解得
，易求得，，即 的周长的
最小值为 .
14.（15分）［2025·福州福九联盟高二联考］ 在 中，已知
，边上的中线所在直线的方程是，
边上的高所在直线的方程是 .
（1）求点 的坐标；
解：设，因为边上的高 所在直线的方程是
，所以， ，
又，所以 .
因为点在直线上，所以 .
由①②解得,，所以点的坐标为 .
（2）判断 的形状.
解：设，因为点在直线 上，
所以 .
因为边上的中线所在直线的方程是， ，
所以 .
由③④解得,，所以 ，
所以，，所以 ，
所以 .
因为 ，
，所以 ，
所以 是直角三角形.
15.（多选题）已知点,，且点在直线
上，则( )
A.存在点，使得
B.存在点，使得
C.的最小值为
D.若，则 的最小值为2
√
√
√
[解析] 对于A,设，当 时，
，此时 的斜率不存在，
,与不垂直，
同理，当 时，与不垂直.
当,.
若 ，则，整理得 ,
由，得方程无解，故与 不垂直.
故不存在点，使得，故A错误.
对于B，设
则 ，
整理得 ，
由 ，得方程有解，
故存在点，使得 ，故B正确.
对于C，如图，设关于直线 的对称点为，
则 解得即，
所以 ，当且仅当
三点共线时取等号，故C正确.
对于D， ，当且仅当时等号成立，所以 的最小值为2，故D正确.故选 .
16.（15分）用坐标法证明：平行四边形四条边长的平方和等于两条
对角线长的平方和．
证明：如图，建立平面直角坐标系，
在平行四边形中，设点 的坐标为，
点的坐标为，点 的坐标为 ，则由
平行四边形的性质，得点的坐标为 ．
由两点间的距离公式，得 ，
，， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以平行四边形四条边长的平方和等于两条对角线长的平方和．
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.相交,一个,无数个,有无数解,平行,无解
【诊断分析】（1）√（2）√（3）√（4）√
知识点二
（1）
（2）
【诊断分析】 1.（1）×（2）×
2.（1）.（2）
.
课中探究 例 （1）①直线
和
相交，交点为
②m>和
重合. ③
.
（2）
变式.（1）BCD （2）4 拓展.ABD例2.正方形 变式.（1）以
为直角顶点的等腰直角三角形 （2）
例3.证明略 变式.证明略 例4.（1）B （2） 变式.
拓展.（1）或
（2）（2）（2）
快速核答案（练习册）
1.D 2.B 3.A 4.A 5.B 6.AC 7.或 8.
9.（1）（2）与相交 交点坐标为
（3）（4）与重合.
10.D 11.BCD 12. 13.
14.（1） （2）直角三角形 15.BCD 16.证明略2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
2.3.2 两点间的距离公式
【课前预习】
知识点一
1.相交 一个 无数个 有无数解 平行
无解
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
知识点二
(1)|x2-x1| (2)|y2-y1|
诊断分析
1.(1)× (2)× [解析] (1)点P1(0,a),点P2(b,0)之间的距离为.
(2)点P1(a,0),点P2(b,0)之间的距离为|a-b|.
2.解:(1)∵k=,
∴y1-y2=k(x1-x2).
(2)|AB|==
=·|x1-x2|.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)①解方程组
得故直线l1和l2相交,交点为(3,-1).
②方程组有无数个解,这表明直线l1和l2有无数个公共点,故l1和l2重合.
③方程组无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2.
(2)解:方法一:由解得∴P(0,2).
∵直线l与直线l3垂直且直线l3的斜率为,
∴直线l的斜率为-,∴直线l的方程为y-2=-(x-0),
即4x+3y-6=0.
方法二:根据题意设直线l的方程为(x-2y+4)+λ(x+y-2)=0,即(λ+1)x+(λ-2)y+4-2λ=0,
∵直线l与直线l3:3x-4y+5=0垂直,∴直线l的斜率存在且不为0,
∴-×=-1,解得λ=11,∴直线l的方程为x-2y+4+11(x+y-2)=0,即4x+3y-6=0.
变式 (1)BCD (2)4 [解析] (1)对于A,直线l1:y=x+2,l2:y=x+2,两直线重合,有无数个交点,故A错误;对于B,由解得所以l1与l2的交点坐标为(1,3),故B正确;对于C,直线l1:y=-2x-2,l2:y=-2x+3,两直线的斜率相等且两直线不重合,故l1与l2平行,所以l1与l2没有交点,故C正确;对于D,直线l1:y=x+,l2:y=x,l3:y=-2x+3,可知直线l1,l2,l3的斜率分别为,1,-2,斜率都不相等,故三条直线两两相交,故D正确.故选BCD.
(2)由可得
则两直线5x-3y-17=0和x-y-5=0的交点为(1,-4),由题意得1-4a+15=0,∴a=4.
拓展 ABD [解析] 因为直线l1:3x-y=4,l2:x+y=0,l3:2x+3my=4不能围成三角形,所以l1∥l3或l2∥l3或l3过l1与l2的交点.显然m≠0,则直线l1,l2,l3的斜率分别为k1=3,k2=-1,k3=-.当l1∥l3时,有k1=k3,即3=-,解得m=-;当l2∥l3时,有k2=k3,即-1=-,解得m=;当l3过l1与l2的交点时,由解得则l1与l2的交点坐标为(1,-1),所以2×1-3m=4,解得m=-.综上,m=-或m=或m=-.故选ABD.
探究点二
例2 解:因为kAB=-,kCD=-,kAD=3,kBC=3,
所以AB∥CD,AD∥BC,
则四边形ABCD为平行四边形.
又因为kAB·kAD=-1,所以AB⊥AD,
所以平行四边形ABCD为矩形.
因为|AB|=3,|AD|=3,
所以|AB|=|AD|,所以矩形ABCD为正方形,故四边形ABCD为正方形.
变式 解:(1)因为A(1,1),B(2,3),C(4,2),所以直线AB的斜率kAB==2,|AB|==,
直线BC的斜率kBC==-,|BC|==,
则kAB·kBC=2×=-1,
所以AB⊥BC且|AB|=|BC|,所以△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形.
(2)易知AC边的中点为D,所以直线BD的斜率kBD==-3,
故△ABC的边AC上的中线所在直线的方程为y-3=-3(x-2),化成一般式为3x+y-9=0.
探究点三
例3 证明:以A为坐标原点,AB边所在直线为x轴,AD边所在直线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,
设AB=a,AD=b,则A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),
直线AC的方程为y=x.
设M,则|AM|2+|CM|2=x2++(a-x)2+,
|BM|2+|DM|2=(a-x)2++x2+,所以|AM|2+|CM|2=|BM|2+|DM|2,
所以AM2+CM2=BM2+DM2.
变式 证明:如图所示,以点B为坐标原点,AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
设△ABD和△BCE的边长分别为a和c,则A(-a,0),C(c,0),E,D,
所以|AE|==,
|CD|==,所以|AE|=|CD|,
所以AE=CD.
探究点四
例4 (1)B (2)x-2y-1=0
[解析] (1)设P(2,4)关于直线3x-y+2=0的对称点为P'(x0,y0),则线段PP'的中点为,由题意可得解得所以所求对称点的坐标为.故选B.
(2)设直线x-2y+3=0关于点(1,1)对称的直线为l',在l'上任取一点P(x,y),则点P关于点(1,1)对称的点P'的坐标为(2-x,2-y),由题意可知点P'在直线x-2y+3=0上,故(2-x)-2(2-y)+3=0,整理可得x-2y-1=0,故所求直线方程为x-2y-1=0.
变式 -2 [解析] 因为A(2,0),B(0,4),所以AB的中点坐标为(1,2).因为点A(2,0)与点B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,所以AB的中点(1,2)在直线ax+y+b=0上,所以a+2+b=0,即a+b=-2.
拓展 解:(1)由解得所以P(1,2).
①当直线l与直线AB平行时,因为直线AB的斜率kAB==1,
所以直线l的方程为y-2=1·(x-1),即x-y+1=0;
②当直线l为线段AB的中垂线时,因为线段AB的中点坐标为(1,0),
所以直线l垂直于x轴,故直线l的方程为x=1,即x-1=0.
综上所述,直线l的一般式方程为x-y+1=0或x-1=0.
(2)因为点A,B在直线l的同侧,所以直线l的方程为x-y+1=0,如图.
设点A关于直线l的对称点为C(x0,y0),连接CQ,CB,
则
解得即点C(1,4).
|AQ|+|BQ|=|CQ|+|BQ|≥|CB|==2,
当且仅当Q,B,C三点共线时等号成立,故|AQ|+|BQ|的最小值为2.2.3.1 两条直线的交点坐标
2.3.2 两点间的距离公式
1.D [解析] 由解得则交点坐标为(2,-2).故选D.
2.B [解析] 设BC边的中点为D,因为B(3,-2),C(5,4),所以D(4,1).又A(0,4),所以BC边上的中线长为|AD|==5.故选B.
3.A [解析] 当a=-1时,l1:x-y+4=0,此时l1∥l2,不满足题意;当a≠-1时,由得由题知解得-14.A [解析] 设点(4,0)关于直线x+y-10=0的对称点为(a,b),则解得由反射光线所在直线过点(10,6),(0,1),得反射光线所在直线的方程为y=x+1,即x-2y+2=0.故选A.
5.B [解析] 依题意得|AB|==,|BC|==,|CD|==,|AD|==,所以|AB|=|BC|=|CD|=|AD|,所以四边形ABCD是菱形.又直线AB的斜率kAB=-,直线AD的斜率kAD=,所以kABkAD=-1,则AB⊥AD,所以四边形ABCD是正方形.故选B.
6.AC [解析] 设B(x,y),根据题意可得即
解得或所以B(2,0)或B(4,6).故选AC.
7.(0,8)或(0,-2) [解析] 设B(0,y),因为点A(-2,3),所以|AB|==3,整理得(y-3)2=25,解得y=8或y=-2,所以点B的坐标为(0,8)或(0,-2).
8.3x+y-4=0 [解析] 由
解得则交点为(0,4),故所求直线的方程为y=-3x+4,即3x+y-4=0.
9.解:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,在y轴上的截距分别为b1,b2.
(1)因为k1=k2=2,b1=3,b2=5,b1≠b2,所以l1∥l2.
(2)因为k1=2,k2=,k1≠k2,所以l1与l2相交.
由解得所以交点坐标为.
(3)由两直线的方程可知,l1∥y轴,l2∥y轴,且两直线在x轴上的截距不相等,所以l1∥l2.
(4)因为k1=k2=2,b1=b2=1,所以l1与l2重合.
10.D [解析] 如图,设P关于直线x-y+1=0的对称点为P'(a,b),则解得则P'(0,3),所以|HP|+|HQ|=|HP'|+|HQ|≥|P'Q|==,当且仅当H为P'Q与直线x-y+1=0的交点时等号成立.故选D.
11.BCD [解析] 当三条直线中有两条直线平行且另一条直线与这两条直线均相交或者三条直线交于一点时,三条直线可把平面分成6个部分.因为直线l1的斜率为3,直线l2的斜率为-,所以直线l1,l2一定相交,由解得故l1与l2的交点坐标为(1,2).当a=0时,直线l3与x轴垂直,其方程为x=3,l3不经过点(1,2),且不与l1或l2平行,不满足要求.当a≠0时,直线l3的斜率为,当直线l1与直线l3平行时,=3,解得a=,此时直线l1,l2,l3把平面分成6个部分,满足要求;当直线l2与直线l3平行时,=-,解得a=-2,此时直线l1,l2,l3把平面分成6个部分,满足要求;当直线l3过直线l1,l2的交点(1,2)时,1-2a-3=0,解得a=-1,此时直线l1,l2,l3把平面分成6个部分,满足要求.综上,a的值可能为,-2,-1.故选BCD.
12.2x+3y+1=0 [解析] 因为两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点坐标为(2,3),所以2a1+3b1+1=0且2a2+3b2+1=0,所以Q(a1,b1),P(a2,b2)(a1≠a2)在直线2x+3y+1=0上,所以过两点Q(a1,b1),P(a2,b2)(a1≠a2)的直线方程为2x+3y+1=0.
13.2 [解析] 设点A关于直线l:x-y+2=0的对称点为A1(x1,y1),点A关于x轴的对称点为A2(x2,y2),连接A1A2交l于B,交x轴于C,则此时△ABC的周长取最小值,且最小值为|A1A2|.∵A1与A关于直线l对称,∴解得
∴A1(-1,3),易求得A2(1,-1),∴|A1A2|=2,即△ABC的周长的最小值为2.
14.解:(1)设C(m,n),因为BC边上的高AE所在直线的方程是7x-y-12=0,所以kAE·kBC=-1,kAE=7,
又B(-4,0),所以kBC=-=①.
因为点C(m,n)在直线x+2y-1=0上,所以m+2n-1=0②.
由①②解得n=-1,m=3,所以点C的坐标为(3,-1).
(2)设A(s,t),因为点A(s,t)在直线7x-y-12=0上,
所以7s-t-12=0③.
因为AB边上的中线CD所在直线的方程是x+2y-1=0,B(-4,0),
所以+2×-1=0④.
由③④解得s=2,t=2,所以A(2,2),
所以kAB==,kAC==-3,所以kAC·kAB=-3×=-1,所以AB⊥AC.
因为|AB|==2,|AC|==,所以|AB|≠|AC|,
所以△ABC是直角三角形.
15.BCD [解析] 对于A,设P(a,-a-2),当a=-1时,P(-1,-1),此时PM的斜率不存在,kPN=≠0,PM与PN不垂直,同理,当a=2时,PM与PN不垂直.当a≠-1且a≠2时,kPM=,kPN=.若PM⊥PN,则kPM·kPN=·=-1,整理得2a2+5a+7=0,由Δ1=52-4×2×7<0,得方程无解,故PM与PN不垂直.故不存在点P,使得PM⊥PN,故A错误.对于B,设P(a,-a-2),若2|PM|=|PN|,则2=,整理得2a2+10a+9=0,由Δ2=102-4×2×9=28>0,得方程有解,故存在点P,使得2|PM|=|PN|,故B正确.对于C,如图,设M(-1,1)关于直线l的对称点为M'(m,n),则解得即M'(-3,-1),所以|PM|+|PN|=|PM'|+|PN|≥|M'N|==,当且仅当M',P,N三点共线时取等号,故C正确.对于D,a2+b2=a2+(-a-2)2=2a2+4a+4=2(a+1)2+2≥2,当且仅当a=-1时等号成立,所以a2+b2的最小值为2,故D正确.故选BCD.
16.证明:如图,建立平面直角坐标系,在平行四边形ABCD中,设点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(a,0),点D的坐标为(b,c),则由平行四边形的性质,得点C的坐标为(a+b,c).
由两点间的距离公式,得|AC|2=(a+b)2+c2,|BD|2=(b-a)2+c2,|AB|2=a2,|AD|2=b2+c2,
所以|AC|2+|BD|2=2(a2+b2+c2),|AB|2+|AD|2=a2+b2+c2,所以|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2),
所以平行四边形四条边长的平方和等于两条对角线长的平方和.2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标2.3.2 两点间的距离公式
【学习目标】
1.能描述两条直线交点(坐标)的几何(代数)含义,能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
2.能推导两点间的距离公式,会分析公式中相关量的几何意义.
3.能根据给定的两点坐标熟练运用公式求两点间的距离.
◆ 知识点一 两条直线的交点
1.已知同一平面内的两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则
直线l1与l2 的位置关系 直线l1与l2 的公共点 方程组的解的情况
有唯一解
重合
无
2.直线系方程
已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交于点P,则过点P的直线(除l2外)可表示为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若点M(a,b)在直线l:Ax+By+C=0上,则点M的坐标一定满足直线l的方程. ( )
(2)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解. ( )
(3)若直线2x+y+1=0与直线x-y-4=0的交点为(a,b),则a-b=4. ( )
(4)直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0不能表示直线l2:A2x+B2y+C2=0. ( )
◆ 知识点二 两点间的距离公式
P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式为|P1P2|= .
(1)当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|= ;
(2)当直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|= ;
(3)特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离|OP|=.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)点P1(0,a),点P2(b,0)之间的距离为a-b. ( )
(2)点P1(a,0),点P2(b,0)之间的距离为a-b. ( )
2.(1)已知平面上的两点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,则y1-y2可怎样表示
(2)已知平面上的两点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,如何用含k的关系式表示A,B两点间的距离
◆ 探究点一 相交直线的交点
例1 (1)分别判断下列直线是否相交 若相交,求出它们的交点;若不相交,说明它们的位置关系.
①l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;
②l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;
②l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.
(2)求过直线l1:x-2y+4=0和直线l2:x+y-2=0的交点P且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.
变式 (1)(多选题)[2025·石嘴山三中高二月考] 下列说法中正确的有 ( )
A.直线l1:x-2y+4=0和 l2:2x-4y+8=0的交点坐标为(2,1)
B.直线l1:x-y+2=0和 l2:2x+y-5=0的交点坐标为(1,3)
C.直线l1:2x+y+2=0和 l2:y=-2x+3没有交点
D.直线l1:x-2y+1=0,l2:y=x,l3:2x+y-3=0两两相交
(2)[2025·浙江绍兴会稽联盟高二联考] 若直线x+ay+15=0经过两直线5x-3y-17=0和x-y-5=0的交点,则a= .
[素养小结]
(1)求两相交直线交点坐标的关键是解两直线方程组成的二元一次方程组.
(2)求过两条直线交点的直线方程的两种方法:
①先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程;
②利用过两条直线交点的直线系方程,通过待定系数法求解.
拓展 (多选题)若直线l1:3x-y=4,l2:x+y=0,l3:2x+3my=4不能围成三角形,则m的值可能为 ( )
A. B.- C. D.-
◆ 探究点二 求两点间的距离
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(-7,0),B(2,-3),C(5,6),D(-4,9),判断这个四边形的形状.
变式 已知△ABC的三个顶点分别为A(1,1),B(2,3),C(4,2).
(1)试判断△ABC的形状;
(2)求△ABC的边AC上的中线所在直线的方程.
[素养小结]
(1)判断四边形的形状时,若两组对边均平行,则是平行四边形,进而再判断是否为矩形、菱形或正方形;若一组对边平行,则是梯形,进而再判断是否为等腰梯形或直角梯形;若两组对边均不平行,则为一般四边形.
(2)利用两点间的距离公式求出线段的长度,再根据各边的长度判断三角形或四边形形状是常见题型.解题时要注意方程思想和分类讨论思想的应用.
◆ 探究点三 坐标法的应用
例3 用坐标法证明:若四边形ABCD是长方形,则对直线AC上任意一点M,等式AM2+CM2=BM2+DM2成立.
变式 如图,△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形.试用坐标法证明:AE=CD.
[素养小结]
利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤
(1)建立坐标系,用坐标表示有关的量;
(2)进行有关代数运算;
(3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
◆ 探究点四 对称问题
例4 (1)[2025·福建部分学校教学联盟高二联考] 点P(2,4)关于直线3x-y+2=0的对称点的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
(2)直线x-2y+3=0关于点(1,1)对称的直线方程为 .
变式 已知点A(2,0)与点B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,则a+b的值为 .
[素养小结]
对称问题:
1.中心对称
(1)点关于点的对称.若点M(x1,y1)与点N(x,y)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标公式得
(2)直线关于点的对称,其主要解题方法是:在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点坐标求出直线方程.
2.轴对称
(1)若点(x1,y1)关于直线l:Ax+By+C=0对称的点为(x2,y2),则
(2)直线关于直线对称
求直线l1:A1x+B1y+C1=0关于直线l:Ax+By+C=0对称的直线l2的方程的方法:转化为点关于直线对称,在l1上任取两点P1和P2,求出P1,P2关于l的对称点,再由两点坐标求出l2的方程.
拓展 [2025·聊城高二期中] 已知直线l经过直线l1:x-2y+3=0,l2:x+y-3=0的交点P,且A(3,2),B(-1,-2)两点到直线l的距离相等.
(1)求直线l的一般式方程;
(2)若点A,B在直线l的同侧,且Q为直线l上的一个动点,求|AQ|+|BQ|的最小值.2.3.1 两条直线的交点坐标
2.3.2 两点间的距离公式
1.直线x-2y-6=0与直线2x+y-2=0的交点坐标为 ( )
A.(0,-3) B.(1,0)
C.(3,-4) D.(2,-2)
2.[2025·扬州大学附中高二期中] 已知△ABC的顶点为A(0,4),B(3,-2),C(5,4),则BC边上的中线长为 ( )
A.4 B.5
C.3 D.4
3.若直线l1:ax+y-4=0 与直线l2:x-y-2=0的交点位于第一象限,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-1,2)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,2)
D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
4.[ 2025·潍坊高二期中] 已知一束光线从点(4,0)发出被直线x+y-10=0反射,若反射光线过点(0,1),则反射光线所在直线的方程为 ( )
A.x-2y+2=0 B.3x-2y+2=0
C.2x-3y+3=0 D.2x-y+1=0
5.[2025·许昌高二期中] 已知四边形ABCD的四个顶点为A(0,0),B(3,-2),C(5,1),D(2,3),则四边形ABCD的形状是 ( )
A.平行四边形 B.正方形
C.菱形 D.矩形
6.(多选题)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),若点A的坐标为(0,4),则点B的坐标可能是 ( )
A.(2,0) B.(0,2) C.(4,6) D.(6,4)
7.已知点A(-2,3),点B在y轴上,若|AB|=3,则点B的坐标为 .
8.斜率为-3,且过两条直线3x-y+4=0和x+y-4=0交点的直线的方程为 .
9.(13分)判断下列各组直线的位置关系,若相交,则求出交点坐标.
(1)l1:y=2x+3,l2:2x-y+5=0;
(2)l1:y=2x+1,l2:x-2y=0;
(3)l1:x=3,l2:x=10;
(4)l1:y=2x+1,l2:2x-y+1=0.
10.[2025·贵州黔东南高二联考] 已知点P(2,1),Q(1,0),H在直线x-y+1=0上,则|HP|+|HQ|的最小值为 ( )
A.2 B.
C.3 D.
11.(多选题)[2025·岳阳高二期中] 已知直线l1:3x-y-1=0,l2:x+2y-5=0,l3:x-ay-3=0把平面分成6个部分,则实数a的值可能为 ( )
A.1 B.
C.-2 D.-1
12.已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点坐标为(2,3),则过两点Q(a1,b1),P(a2,b2)(a1≠a2)的直线方程为 .
13.已知在△ABC中,A(1,1),点B在直线l:x-y+2=0上,点C在x轴上,则△ABC的周长的最小值为 .
14.(15分)[2025·福州福九联盟高二联考] 在△ABC中,已知B(-4,0),AB边上的中线CD所在直线的方程是x+2y-1=0,BC边上的高AE所在直线的方程是7x-y-12=0.
(1)求点C的坐标;
(2)判断△ABC的形状.
15.(多选题)已知点M(-1,1),N(2,1),且点P在直线l:x+y+2=0上,则 ( )
A.存在点P,使得PM⊥PN
B.存在点P,使得2|PM|=|PN|
C.|PM|+|PN|的最小值为
D.若P(a,b),则a2+b2的最小值为2
16.(15分)用坐标法证明:平行四边形四条边长的平方和等于两条对角线长的平方和.