(共63张PPT)
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
探究点一 点到直线的距离公式的应用
探究点二 平行线间距离公式的应用
探究点三 距离公式的综合应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.会运用多种方法推导点到直线的距离公式，明确使用公式的前
提条件.
2.能根据给定的点与直线熟练运用公式求点到直线的距离.
3.能将平行线间的距离转化为点到直线的距离，并会用点到直线
的距离公式导出两条平行直线间的距离公式.
4.能说明应用公式的前提条件，并能用公式求给定两平行线间的
距离.
知识点一 点到直线的距离公式
点到直线的距离 _ __________.
证明点到直线的距离公式的方法
1.定义法
根据定义，点到直线的距离，就是点到直线 的垂
线段的长度.如图,过点 作直线
可以验证，当，或 时，上述公式仍然成立.
的垂线，垂足为，由可知 的
斜率为___,的方程为，与 的方程联立,得交点为
, .
则，从而点到直线 的
距离_ _____,
点 在直线上， ,从而
.
2.向量法
如图，已知 ，设与直线的一个方向向量
垂直的向量为,为直线 上任意一点，
【诊断分析】
1.已知点,直线 .
（1）直线的一个方向向量为______________________,与直线
垂直的一个向量为 ____________________；
（答案不唯一）
（答案不唯一）
[解析] 易知直线的一个方向向量为，与直线 垂直的一
个向量为 .
（2）是直线上一点，利用与向量求得点到直线 的距
离为_ ___.
[解析] ，又，所以点到直线 的距离
.
2.点到直线 的距离为________.
[解析] 直线垂直于轴，则点到直线 的距离
.
知识点二 两条平行直线间的距离
1.定义:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的_______
____的长.
公垂线段
2.求法:转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
3.公式:两条平行直线与 之间
的距离 _______.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）连接两平行直线上任意两点,即得两平行直线间的距离.( )
×
[解析] 两平行直线间的距离是两平行直线间的公垂线段的长,并不是
两平行直线上任意两点间的距离.
（2）若直线上有,,三点,则点 ,
,到直线 的距离相等.( )
√
[解析] 直线与直线平行,所以点,,到直线 的距
离相等.
（3）已知直线,,则直线，间的距离为 .
( )
√
（4）已知两平行直线, ，
则直线，间的距离为 .( )
×
[解析] 应用两条平行直线间的距离公式应注意两点:
①两条直线的方程必须化成一般式;
②两条直线的方程中, 的系数必须化为对应相等的形式.
由题不能得出直线和的方程中， 的系数对应相等，故错误.
探究点一 点到直线的距离公式的应用
例1（1）点到直线 的距离是_____.
[解析] 根据点到直线的距离公式得所求距离 .
（2）点到直线 的距离是___.
1
[解析] 因为直线平行于轴，所以所求距离 .
（3）已知坐标平面内两点和到直线 的
距离相等,则实数 的值为_______.
或
[解析] 依题意得, ,
或,或 .
变式（1）若直线经过点，且点，到 的距离相
等，则 的方程为( )
A. B.
C.或 D.或
[解析] 当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，显然点
，到的距离相等，符合题意；当直线 的斜率存在时，
设直线的方程为，即 ，根据题
意得，即，解得， 的方程为
.综上，的方程为或 .故选C.
√
（2）已知直线，当变化时，点到直线
的距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知直线过定点，且不与 轴垂
直，则当直线经过点时，点 到直
线的距离取得最小值0.
当过点的直线垂直于 轴时，点到该直线的距离取得
最大值3，又直线不与 轴垂直，所以点到直线的距离小于3，
即点到直线 的距离的取值范围是 ，故选D.
√
［素养小结］
点到直线的距离的求解方法
（1）求点到直线的距离时，先把直线方程化为一般式，再直接应用
点到直线的距离公式求解即可．
（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线或，求点
到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以
直接根据或求解.
（3）已知点到直线的距离求参数时，根据点到直线的距离公式列方
程求解参数即可.
拓展 ［2025·镇江一中高二期中］已知，
为上一动点，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以
的最小值即为与点 间的距离的平方的最小值，
又点在直线上，所以点与 间的距离的最小值
即为点到的距离，
所以 的最小值为 .故选C.
√
探究点二 平行线间距离公式的应用
例2（1）已知直线，直线，则与
之间的距离为( )
A. B. C. D.
[解析] 直线的方程可化为，则直线与 之间的距
离 .故选A.
√
（2）若直线与直线 平行，则
直线与 之间的距离为____.
[解析] 直线与直线 平行，
，解得，
直线 ，直线，
直线与之间的距离 ．
（3）已知直线与两直线和 之
间的距离相等，则 的方程为______________.
[解析] 设直线的方程为 ，由题意得
，解得，所以直线 的方程为
.
变式（1）已知点,,为直线 上的一个动
点，则 的面积为( )
A.5 B. C. D.
[解析] 直线的方程为，即， ，
的边上的高为两平行线之间的距离 ，
又， .故选D.
√
（2）若直线与直线 间的距离不小于3，
则 的取值范围是_________________.
或
[解析] 可化为 ，依题意得
，即，解得或 .
［素养小结］
求两平行线间的距离一般有两种方法
（1）转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点
到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关,所以选点时,常选取一
个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.
（2）公式法:直接利用公式,但要注意两直线方程中,的
系数对应相等.
探究点三 距离公式的综合应用
例3 已知直线与 .
（1）若,两点分别在直线,上运动，求线段 的
中点 到原点的最短距离；
解：设与直线,平行且到,的距离相等的直线上的点为 ，
则， ，
即 ，则线段的中点在直线 上运动，
线段的中点 到原点的最短距离即为原点到直线
的距离， 所求最短距离为 .
（2）若直线过点，且被直线,截得的线段长为 ，求直
线 的方程.
解： 直线被直线，截得的线段长为，与 之间的距离
，
直线与直线,垂直，则，又直线过点 ，
直线的方程为，即 .
变式 平面上有四条直线，它们的方程分别是 ,
,, ，则由这四条直线围成的
四边形的面积是__.
[解析] 由得 ，所以
直线与直线 互相平
行，这两条直线间的距离为 ，又直
线与直线 互相平行，所以这四条直线围成
的四边形为平行四边形.
记直线分别交于点, ，如图.由解得即 ，
由解得即 ，
所以 ，
所以所求四边形的面积为 .
拓展 已知直线，,点的坐标为 ，且
过点的直线与，分别交于点，,的纵坐标均为正数设
为坐标原点，求 面积的最小值.
解：易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则 ，
因为直线过点，所以直线的方程为 .
由得即 ，
由得即 ．
因为，的纵坐标均为正数，所以 即解得 ．
连接，则直线的方程为，且，所以点 到
直线的距离为，
点到直线 的距离为 ，
因此的面积 ．
令，则且 ，
因此 ，
当且仅当 ，即，即 时，等号成立，
所以的最小值为，即面积的最小值为 .
1.点到直线的距离公式的理解
（1）点到直线的距离公式的特点:①分母是直线的一般式方程中,
系数平方和的算术平方根,即 ;②分子是直线的
一般式方程中等号左边代入点的坐标 后的绝对值,即
.
（2）特别地,当在直线上时,点到该直线的距离为0;当点 为原点
时,点到直线的距离 .
（3）若直线方程为，则当或 时公式也
成立，但由于此时的直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可数
形结合求解.
2.两条平行直线间距离公式的理解
（1）两条平行直线间的距离的求法有两种:一是转化为点到直线的
距离;二是直接使用公式 .
（2）在应用两条平行直线间的距离公式时，除了要把直线方程化为
一般式之外,还要使, 的系数对应相等.
（3）如果两条平行直线,的斜截式方程分别为 ,
,那么这两条平行直线间的距离 .
1.求点到直线的距离,首先要把直线方程化成一般式,然后再套用点到
直线的距离公式.要注意几种特殊情况下点到直线的距离:①点
到直线的距离;②点 到直线
的距离 .
例1 已知点为正方形的中心，且边 所在直线的方程
为 ．
（1）求正方形 的面积；
解：因为到直线的距离，所以正方形
的边长为，所以其面积为 .
（2）求正方形 其他三条边所在直线的方程．
解：因为，所以设直线 ，由题
意知到直线的距离为，所以
（舍去）或，所以直线.
因为直线 ，直线均与直线垂直，所以设直线，直线 的
方程分别为，,,由到直线，
直线 的距离也是，可得，,解得,
或 , ．
综上，正方形 其他三条边所在直线的方程分别为
，， ．
2.求平行线间的距离
例2 ［2025·厦门二中高二期中］已知直线经过点，直线 经
过点，且 .
（1）求与 之间的最大距离，并求此时两直线的方程（用斜截式
表示）；
解：当直线,均与直线垂直时，与 之间的距离最大.
直线的斜率为 ，因为互相垂直的两条直线的斜率之积为 ，
所以此时直线与 的斜率均为5，
故与之间的最大距离为 ，
此时直线的方程为 ，
直线的方程为，即 .
（2）若与 之间的距离为5，求两直线的方程（用一般式表示）.
解：①若,的斜率都存在，设其斜率为 ，
则的方程为，即,
的方程为 ，即 .
由题意得，解得 ，
所以直线的方程为，即 ，
直线的方程为，即 .
②若,的斜率都不存在，则的方程为,的方程为 ，即
，
此时与 之间的距离为5，符合题意.
综上所述，,或 ,
.
练习册
1.在平面直角坐标系中，原点到直线 的距离为( )
A. B. C.2 D.3
[解析] 原点到直线的距离 ,故选A.
√
2.［2025·温州十校联合体高二期中］直线 与直线
间的距离为( )
A.1 B. C. D.
[解析] 直线与平行，所以与
间的距离 .故选D.
√
3.［2025·宜宾高二期中］已知直线经过定点 且与直线
平行，若点和到直线 的距离相等，则实
数 的值为( )
A. B. C.或 D. 或2
[解析] 因为直线经过定点且与直线 平行，
所以直线的方程为，由点和到直线 的距
离相等可知，解得或 .故选C.
√
4.到直线 的距离为2的点的轨迹方程是( )
A.
B.
C.或
D.或
[解析] 根据题意可设所求轨迹方程为 ,根据
两条平行直线间的距离公式得,解得 或
,所以所求轨迹方程为或 ,故选D.
√
5.［2025·北京顺义区高二期中］已知直线 和直线
，则与 间距离的最小值为( )
A.1 B. C. D.2
[解析] 直线，即直线 ，易
知直线与直线平行，则与 间的距离
，当且仅当 时，等号成立，所
以与间距离的最小值为 .故选C.
√
6.（多选题）已知直线与直线平行，且与 间的距离为
，则 的方程可能是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，得，设直线 的方程为
，由题意可得，解得或 ,故
直线的方程为或．故选 .
√
√
7.［2024·肇庆高二期中］已知点到直线
的距离为2，则 _________.
或30
[解析] 由点到直线的距离公式得，解得
或 .
8.［2025·厦门高二期中］已知两条直线 和
互相平行，则实数 ___，两条直线之间的距离是
_ __.
8
[解析] 因为两条直线互相平行，所以所以 .
两条直线的方程分别为和 ，即
和 ，故两条直线之间的距离为
.
9.（13分）已知的三个顶点分别是,, ,求
的平分线所在直线的方程.
解：设为平分线上的任意一点，则点到直线 的距离
与到直线 的距离相等.
由题知直线，的方程分别是 和
，所以由点到直线的距离公式，得
，即 ，即
或 ，
整理得或.
易知 是的外角平分线所在直线的方程，
所以是 的平分线所在直线的方程.
10.［2025·安徽江淮名校高二期中］已知直线 与直
线，在上任取一点，在上任取一点 ，连接
，取上靠近点的三等分点，过点作的平行线，则与
之间的距离为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，过作于点，交直线于点，
则 为直线与之间的距离.
因为， ，
所以 .故选A.
11.（多选题）［2025·荆门高二期中］ 若直线 在两坐标轴上的截距
相等，且点到直线的距离为，则直线 的方程可以是 ( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] ①当直线在两坐标轴上的截距均为0，即直线 过原点时，由
题意可设直线的方程为，即 .
由已知得，整理得，解得或 ，
所以直线的方程为或.
②当直线 在两坐标轴上的截距均不为0时，直线的斜率为，
所以可设直线 的方程为，由已知得，
解得或 ，
所以直线的方程为或.
综上，直线 的方程为或或
或 .故选 .
12.若直线被两平行线与 所截得的
线段长为，则直线 的倾斜角为__________．
或
[解析] 因为直线与平行，所以
与之间的距离．
设直线与， 的夹角为，因为直线被直线与
所截得的线段长为 ，所以，得 ．
因为直线， 的斜率为1，所以其倾斜角为 ，
所以直线的倾斜角为 或 ．
13.已知点在直线上，若
的最小值为4，则 ________.
或9
[解析] 因为点在直线 上，所以
的最小值是定点到直线 的距
离的平方，所以，解得 或9.
14.（15分）已知为实数，直线 ,
.
（1）若到直线的距离为，求 的值；
解：因为到直线的距离为，所以 ，
整理得，解得或 .
（2）若，求与 间的距离.
解：因为, ，
，所以，即，解得 或
.
当时，,，此时 ，
，间的距离 ；
当时，,，此时与 重合，
不合题意.所以与间的距离为 .
15.［2025·南阳高二期中］已知，分别在直线 与
直线上，且，点， ，则
的最小值为_________.
[解析] 因为，，所以直线与 间
的距离为，又，故.过作直线 垂
直于，则可设直线的方程为 ，将
的坐标代入，得，则，
所以直线 的方程为.将沿着直线向上平移 个
单位长度到点，设，则，
解得 或（舍去），则，连接，,则,
，所以四边形为平行四边形，所以 ，
故，当且仅当为与 的交点
时，取得最小值.
因为， ，所以，
所以 的最小值为 .
16.（15分）已知三条直线，
和,是否存在一点，使得点 满足下列三个条件？
是第一象限内的点；到的距离是到的距离的；到
的距离与到的距离之比是.若存在，求出点 的坐标；若不
存在，请说明理由.
解：假设存在满足条件的点.由点 满足条件②，可得
，化简得 或
.
由点满足条件③，可得 ，
即，整理得 或 .
由点满足条件①，可得 不合题意，故舍去.
由得 不合题意，故舍去.
由得
故存在满足条件的点，且点的坐标为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1. 2.
【诊断分析】 1.（1）（答案不唯一）,（答案不唯一） （2） 2.
知识点二 1.公垂线段 3. 【诊断分析】（1）×（2）√（3）√（4）×
课中探究 例1.（1） （2）1 （3）或 变式.（1）C （2）D
拓展.C 例2.（1）A （2） （3） 变式.（1）D （2）或 例3.（1）（2） 变式. 拓展.
快速核答案（练习册）
1.A 2.D 3.C 4.D 5.C 6.AD 7.或30 8.8,
9. 10.A 11.ABC 12. 或 13.或9
14.（1）或. （2）15.
16.存在，的坐标为2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
【课前预习】
知识点一
1. 2.
诊断分析
1.(1)(1,-1)(答案不唯一) (1,1)(答案不唯一) (2) [解析] (1)易知直线l的一个方向向量为n=(1,-1),与直线l垂直的一个向量为m=(1,1).
(2)=(2,3),又m=(1,1),所以点P到直线l的距离d===.
2.|y0-a| [解析] 直线y=a垂直于y轴,则点P(x0,y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|.
知识点二
1.公垂线段 3.
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)×
[解析] (1)两平行直线间的距离是两平行直线间的公垂线段的长,并不是两平行直线上任意两点间的距离.
(2)直线l2:x+y+1=0与直线l1平行,所以点A,B,C到直线l2的距离相等.
(4)应用两条平行直线间的距离公式应注意两点:
①两条直线的方程必须化成一般式;
②两条直线的方程中x,y的系数必须化为对应相等的形式.
由题不能得出直线l1和l2的方程中x,y的系数对应相等,故错误.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)2 (2)1 (3)-6或
[解析] (1)根据点到直线的距离公式得所求距离d==2.
(2)因为直线y=3平行于x轴,所以所求距离d=|3-2|=1.
(3)依题意得=,∴|3m+5|=|m-7|,∴3m+5=m-7或3m+5=7-m,∴m=-6或m=.
变式 (1)C (2)D [解析] (1)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,显然点A(2,3),B(0,-5)到l的距离相等,符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1)+2,即kx-y+2-k=0,根据题意得=,即|k-1|=|7-k|,解得k=4,∴l的方程为4x-y-2=0.综上,l的方程为4x-y-2=0或x=1.故选C.
(2)由题意知直线l:y=k(x-2)+2过定点A(2,2),且不与x轴垂直,则当直线l:y=k(x-2)+2经过点P(-1,2)时,点P(-1,2)到直线l的距离取得最小值0.当过点A(2,2)的直线垂直于x轴时,点P(-1,2)到该直线的距离取得最大值3,又直线l不与x轴垂直,所以点P(-1,2)到直线l的距离小于3,即点P(-1,2)到直线l的距离的取值范围是[0,3),故选D.
拓展 C [解析] 因为(m+1)2+n2=()2,所以(m+1)2+n2的最小值即为P(m,n)与点(-1,0)间的距离的平方的最小值,又点P在直线l上,所以点(-1,0)与P(m,n)间的距离的最小值即为点(-1,0)到l的距离d==,所以(m+1)2+n2的最小值为=.故选C.
探究点二
例2 (1)A (2) (3)2x-y+1=0
[解析] (1)直线l1的方程可化为4x-2y+2=0,则直线l1与l2之间的距离d===.故选A.
(2)∵直线l1:2x+y+a=0与直线l2:ax-y-3=0平行,∴a-2×(-1)=0,解得a=-2,∴直线l1:2x+y-2=0,直线l2:2x+y+3=0,∴直线l1与l2之间的距离d==.
(3)设直线l的方程为2x-y+C=0,由题意得=,解得C=1,所以直线l的方程为2x-y+1=0.
变式 (1)D (2)c≥44或c≤-34
[解析] (1)∵直线AB的方程为=,即x-2y-1=0,∴l∥AB,∴△ABC的边AB上的高为两平行线之间的距离d==,又|AB|==,∴S△ABC=|AB|·d=.故选D.
(2)y=x+1可化为12x-5y+5=0,依题意得≥3,即|c-5|≥3×13,解得c≥44或c≤-34.
探究点三
例3 解:(1)设与直线l1,l2平行且到l1,l2的距离相等的直线上的点为(x,y),
则=,∴2x+3y-7=-2x-3y-8,
即4x+6y+1=0,
则线段AB的中点C在直线4x+6y+1=0上运动,
∴线段AB的中点C到原点的最短距离即为原点到直线4x+6y+1=0的距离,
∴所求最短距离为=.
(2)∵直线l被直线l1,l2截得的线段长为,l1与l2之间的距离d==,
∴直线l与直线l1,l2垂直,则kl=,又直线l过点P(1,1),
∴直线l的方程为y-1=(x-1),即3x-2y-1=0.
变式 [解析] 由4x-2y+5=0得y=2x+,所以直线y=2x+1与直线4x-2y+5=0互相平行,这两条直线间的距离为=,又直线y=-x+1与直线x+y-4=0互相平行,所以这四条直线围成的四边形为平行四边形.记直线y=2x+1与直线y=-x+1,x+y-4=0分别交于点A,B,如图.由解得即A(0,1),由解得即B(1,3),所以|AB|==,所以所求四边形的面积为×=.
拓展 解:易知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则k≠,
因为直线l过点A(1,1),所以直线l的方程为y=k(x-1)+1.
由得即M(0,1-k),
由得即N.
因为M,N的纵坐标均为正数,所以
即解得k<.
连接OA,则直线OA的方程为x-y=0,且|OA|=,所以点M到直线OA的距离为=,点N到直线OA的距离为==,
因此△MON的面积S=××=.令t=3-4k,则t>0且k=,
因此S===≥=,当且仅当t=,
即t=1,即k=时,等号成立,
所以S的最小值为,即△MON面积的最小值为.2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
1.A [解析] 原点(0,0)到直线x+y-2=0的距离d==,故选A.
2.D [解析] 直线l2:x-2y+=0与l1:x-2y+1=0平行,所以l1与l2间的距离d==.故选D.
3.C [解析] 因为直线l经过定点P(0,-1)且与直线ax+y+2=0平行,所以直线l的方程为ax+y+1=0,由点A(0,1)和B(4,5)到直线l的距离相等可知=,解得a=-1或a=-2.故选C.
4.D [解析] 根据题意可设所求轨迹方程为3x-4y+C=0(C≠-1),根据两条平行直线间的距离公式得==2,解得C=-11或C=9,所以所求轨迹方程为3x-4y-11=0或3x-4y+9=0,故选D.
5.C [解析] 直线l1:x+2y+t2=0,即直线l1:2x+4y+2t2=0,易知直线l1与直线l2平行,则l1与l2间的距离d==≥,当且仅当t=1时,等号成立,所以l1与l2间距离的最小值为.故选C.
6.AD [解析] 由y=x+2,得x-y+2=0,设直线l1的方程为x-y+a=0(a≠2),由题意可得=2,解得a=6或-2,故直线l1的方程为x-y+6=0或x-y-2=0.故选AD.
7.-10或30 [解析] 由点到直线的距离公式得==2,解得c=30或c=-10.
8.8 [解析] 因为两条直线互相平行,所以所以m=8.两条直线的方程分别为3x+4y-8=0和6x+8y+1=0,即6x+8y-16=0和6x+8y+1=0,故两条直线之间的距离为=.
9.解:设P(x,y)为∠BAC平分线上的任意一点,则点P到直线AB的距离与到直线AC的距离相等.
由题知直线AB,AC的方程分别是4x-3y-13=0和3x+4y-16=0,所以由点到直线的距离公式,得=,即|4x-3y-13|=|3x+4y-16|,即4x-3y-13=3x+4y-16或4x-3y-13=-(3x+4y-16),整理得x-7y+3=0或7x+y-29=0.易知x-7y+3=0是∠BAC的外角平分线所在直线的方程,所以7x+y-29=0是∠BAC的平分线所在直线的方程.
10.A [解析] 如图,过A作AD⊥l2于点D,交直线l3于点E,则|AE|为直线l1与l3之间的距离.因为l1∥l2∥l3,|AC|=|AB|,所以|AE|=|AD|=×=.故选A.
11.ABC [解析] ①当直线l在两坐标轴上的截距均为0,即直线l过原点时,由题意可设直线l的方程为y=kx(k≠0),即kx-y=0.由已知得=,整理得7k2-6k-1=0,解得k=-或k=1,所以直线l的方程为x+7y=0或x-y=0.②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时,直线l的斜率为-1,所以可设直线l的方程为x+y+C=0(C≠0),由已知得=,解得C=-6或C=-2,所以直线l的方程为x+y-6=0或x+y-2=0.综上,直线l的方程为x+7y=0或x-y=0或x+y-6=0或x+y-2=0.故选ABC.
12.15°或75° [解析] 因为直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0平行,所以l1与l2之间的距离d==.设直线l与l1,l2的夹角为α(0°≤α≤90°),因为直线l被直线l1与l2所截得的线段长为2,所以sin α==,得α=30°.因为直线l1,l2的斜率为1,所以其倾斜角为45°,所以直线l的倾斜角为15°或75°.
13.-11或9 [解析] 因为点M(a,b)在直线4x-3y+c=0上,所以(a-1)2+(b-1)2的最小值是定点(1,1)到直线4x-3y+c=0的距离d的平方,所以d==2,解得c=-11或9.
14.解:(1)因为P到直线l1的距离为,所以=,整理得a2+6a-7=0,解得a=-7或a=1.
(2)因为l1:(a+3)x+2y+2=0,l2:2x+ay+(3a-2)=0,
l1∥l2,所以(a+3)a-4=0,即a2+3a-4=0,解得a=-4或a=1.
当a=-4时,l1:x-2y-2=0,l2:x-2y-7=0,此时l1∥l2,
l1,l2间的距离d==;
当a=1时,l1:2x+y+1=0,l2:2x+y+1=0,此时l1与l2重合,不合题意.
所以l1与l2间的距离为.
15.13+ [解析] 因为l1:x-y+1=0,l2:x-y-1=0,所以直线l1与l2间的距离为=,又PQ⊥l1,故|PQ|=.过B(5,-1)作直线l垂直于l1:x-y+1=0,则可设直线l的方程为x+y+c=0,将B(5,-1)的坐标代入,得5-1+c=0,则c=-4,所以直线l的方程为x+y-4=0.将B(5,-1)沿着直线l向上平移个单位长度到点B',设B'(a,-a+4),则=,解得a=4或a=6(舍去),则B'(4,0),连接AB',PB',则BB'∥PQ,|BB'|=|PQ|,所以四边形BB'PQ为平行四边形,所以|PB'|=|BQ|,故|AP|+|QB|=|AP|+|PB'|≥|AB'|,当且仅当P为AB'与l1的交点时,|AP|+|QB|取得最小值|AB'|.因为A(-8,5),B'(4,0),所以|AB'|==13,所以|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为|AB'|+|PQ|=13+.
16.解:假设存在满足条件的点P(x0,y0).由点P满足条件②,可得=·,化简得2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.
由点P满足条件③,可得=·,
即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,整理得x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
由点P满足条件①,可得3x0+2=0不合题意,故舍去.
由得不合题意,故舍去.
由得
故存在满足条件的点P,且点P的坐标为.2.3.3 点到直线的距离公式2.3.4 两条平行直线间的距离
【学习目标】
1.会运用多种方法推导点到直线的距离公式,明确使用公式的前提条件.
2.能根据给定的点与直线熟练运用公式求点到直线的距离.
3.能将平行线间的距离转化为点到直线的距离,并会用点到直线的距离公式导出两条平行直线间的距离公式.
4.能说明应用公式的前提条件,并能用公式求给定两平行线间的距离.
◆ 知识点一 点到直线的距离公式
点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= .
证明点到直线的距离公式的方法
1.定义法
根据定义,点P到直线l的距离,就是点P到直线l的垂线段的长度.如图,过点P(x0,y0)作直线l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)的垂线l',垂足为Q,由l'⊥l可知l'的斜率为 ,∴l'的方程为y-y0=(x-x0),与l的方程联立,得交点为Q,∴|PQ|=.
可以验证,当A=0,或B=0时,上述公式仍然成立.
2.向量法
如图,已知P(x0,y0),设与直线l:Ax+By+C=0的一个方向向量垂直的向量为n=(A,B),M(x,y)为直线l上任意一点,则=(x-x0,y-y0),从而点P到直线l的距离d=
=,∵点M在直线l上,∴Ax+By+C=0,从而d==.
【诊断分析】 1.已知点P(-1,0),直线l:x+y-4=0.
(1)直线l的一个方向向量为n= ,与直线l垂直的一个向量为m= ;
(2)Q(1,3)是直线l上一点,利用与向量m求得点P到直线l的距离为 .
2.点P(x0,y0)到直线y=a的距离为 .
◆ 知识点二 两条平行直线间的距离
1.定义:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的 的长.
2.求法:转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
3.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)连接两平行直线上任意两点,即得两平行直线间的距离. ( )
(2)若直线l1:x+y-1=0上有A(1,0),B(0,1),C(-1,2)三点,则点A,B,C到直线l2:x+y+1=0的距离相等. ( )
(3)已知直线l1:x=x1,l2:x=x2,则直线l1,l2间的距离为|x2-x1|. ( )
(4)已知两平行直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则直线l1,l2间的距离为. ( )
◆ 探究点一 点到直线的距离公式的应用
例1 (1)点P0(-1,2)到直线2x+y-10=0的距离是 .
(2)点P(0,2)到直线y=3的距离是 .
(3)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则实数m的值为 .
变式 (1)若直线l经过点P(1,2),且点A(2,3),B(0,-5)到l的距离相等,则l的方程为 ( )
A.4x-y-2=0
B.4x+y-6=0
C.4x-y-2=0或x=1
D.4x+y-6=0或x=1
(2)已知直线l:y=k(x-2)+2,当k变化时,点P(-1,2)到直线l的距离的取值范围是 ( )
A.[0,+∞) B.[0,2]
C.[0,3] D.[0,3)
[素养小结]
点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时,先把直线方程化为一般式,再直接应用点到直线的距离公式求解即可.
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点P(x0,y0)到它们的距离d时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接根据d=|x0-a|或d=|y0-b|求解.
(3)已知点到直线的距离求参数时,根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.
拓展 [2025·镇江一中高二期中] 已知l:3x+4y+6=0,P(m,n)为l上一动点,则(m+1)2+n2的最小值为 ( )
A. B. C. D.
◆ 探究点二 平行线间距离公式的应用
例2 (1)已知直线l1:y=2x+1,直线l2:4x-2y+7=0,则l1与l2之间的距离为 ( )
A. B. C. D.
(2)若直线l1:2x+y+a=0与直线l2:ax-y-3=0平行,则直线l1与l2之间的距离为 .
(3)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0之间的距离相等,则l的方程为 .
变式 (1)已知点A(1,0),B(3,1),C为直线l:x-2y+4=0上的一个动点,则△ABC的面积为( )
A.5 B. C. D.
(2)若直线12x-5y+c=0与直线y=x+1间的距离不小于3,则c的取值范围是 .
[素养小结]
求两平行线间的距离一般有两种方法
(1)转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关,所以选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.
(2)公式法:直接利用公式d=,但要注意两直线方程中x,y的系数对应相等.
◆ 探究点三 距离公式的综合应用
例3 已知直线l1:2x+3y-7=0与l2:2x+3y+8=0.
(1)若A(x1,y1),B(x2,y2)两点分别在直线l1,l2上运动,求线段AB的中点C到原点的最短距离;
(2)若直线l过点P(1,1),且被直线l1,l2截得的线段长为,求直线l的方程.
变式 平面上有四条直线,它们的方程分别是y=2x+1,4x-2y+5=0,y=-x+1,x+y-4=0,则由这四条直线围成的四边形的面积是 .
拓展 已知直线l1 :x=0,l2:3x-4y=0,点A的坐标为(1,1),且过点A的直线l与l1,l2分别交于点M,N(M,N的纵坐标均为正数),设O为坐标原点,求△MON面积的最小值.2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
1.在平面直角坐标系中,原点(0,0)到直线x+y-2=0的距离为 ( )
A. B.
C.2 D.3
2.[2025·温州十校联合体高二期中] 直线l1:x-2y+1=0与直线l2:2x-4y+3=0间的距离为 ( )
A.1 B.
C. D.
3.[2025·宜宾高二期中] 已知直线l经过定点P(0,-1)且与直线ax+y+2=0平行,若点A(0,1)和B(4,5)到直线l的距离相等,则实数a的值为 ( )
A.-1 B.-2
C.-1或-2 D.-1或2
4.到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹方程是 ( )
A.3x-4y-11=0
B.3x-4y+9=0
C.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0
D.3x-4y-11=0或3x-4y+9=0
5.[2025·北京顺义区高二期中] 已知直线l1:x+2y+t2=0和直线l2:2x+4y+4t-7=0,则l1与l2间距离的最小值为 ( )
A.1 B.
C. D.2
6.(多选题)已知直线l1与直线l:y=x+2平行,且l与l1间的距离为2,则l1的方程可能是 ( )
A.x-y+6=0 B.x-y+3=0
C.x-y+1=0 D.x-y-2=0
7.[2024·肇庆高二期中] 已知点A(-3,-1)到直线l:6x-8y+c=0的距离为2,则c= .
8.[2025·厦门高二期中] 已知两条直线3x+4y-m=0和6x+my+1=0互相平行,则实数m= ,两条直线之间的距离是 .
9.(13分)已知△ABC的三个顶点分别是A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求∠BAC的平分线所在直线的方程.
10.[2025·安徽江淮名校高二期中] 已知直线l1:x-2y+1=0与直线l2:x-2y+4=0,在l1上任取一点A,在l2上任取一点B,连接AB,取AB上靠近点A的三等分点C,过点C作l1的平行线l3,则l1与l3之间的距离为 ( )
A. B.
C. D.
11.(多选题)[2025·荆门高二期中] 若直线l在两坐标轴上的截距相等,且点A(3,1)到直线l的距离为,则直线l的方程可以是 ( )
A.x+y-6=0 B.x+y-2=0
C.x+7y=0 D.x+y=0
12.若直线l被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段长为2,则直线l的倾斜角为 .
13.已知点M(a,b)在直线4x-3y+c=0上,若(a-1)2+(b-1)2的最小值为4,则c= .
14.(15分)已知a为实数,直线l1:(a+3)x+2y+2=0,l2:2x+ay+(3a-2)=0.
(1)若P到直线l1的距离为,求a的值;
(2)若l1∥l2,求l1与l2间的距离.
15.[2025·南阳高二期中] 已知P,Q分别在直线l1:x-y+1=0与直线l2:x-y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-8,5),B(5,-1),则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为 .
16.(15分)已知三条直线l1:2x-y+3=0,l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0,是否存在一点P,使得点P满足下列三个条件 ①P是第一象限内的点;②P到l1的距离是P到l2的距离的;③P到l1的距离与P到l3的距离之比是∶.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
