2.4.1 圆的标准方程
【课前预习】
知识点一
1.(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心 半径
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)√
[解析] (2)当m=0时,方程表示一个点;当m≠0时,方程表示一个圆.
(3)圆(x-1)2+(y-2)2=4的圆心坐标是(1,2),半径是2.
知识点二
= = > > < <
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由题意可得圆的半径r=|AB|==5,
所以圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=25.
(2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=4,
因为圆经过点C(0,0)和点D(0,2),所以解得或所以圆的标准方程为(x-)2+(y-1)2=4或(x+)2+(y-1)2=4.
(3)因为EF的中点为(2,3),所以圆心为(2,3),又半径r=|EF|==,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=2.
例2 解:(1)由O(0,0),A(2,0)在圆上,得圆心在直线x=1上,
由A(2,0),B(2,-2)在圆上,得圆心在直线y=-1上,则圆心为(1,-1),半径r==,
故圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
(2)方法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
依题意有可得所以圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4.
方法二:直线AB的斜率为=-1,所以线段AB的垂直平分线的斜率为1,
又线段AB的中点坐标为(0,3),所以线段AB的垂直平分线的方程为y=x+3.
由可得则圆心为C(-1,2),又圆的半径为|CA|==2,
所以圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4.
方法三:因为圆心在直线l:x+y-1=0上,
所以可设圆心的坐标为(a,1-a),
依题意有=,解得a=-1,
所以圆心坐标为(-1,2),半径r==2,
所以圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4.
变式1 (x-1)2+(y-3)2=25或(x+1)2+(y+1)2=25 [解析] 设圆心C的坐标为(a,b) ,则圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=25.因为圆心C在直线2x-y+1=0上,所以2a-b+1=0.因为圆C过点P(-4,3),所以(-4-a)2+(3-b)2=25,所以或
所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=25或(x+1)2+(y+1)2=25.
变式2 解:(1)连接AB,则当AB为直径时,过点A,B的圆的半径最小,从而周长最小.
易得线段AB的中点坐标为(0,1),即圆心坐标为(0,1),圆的半径为|AB|=,∴所求圆的标准方程为x2+(y-1)2=10.
(2)连接AB,∵直线AB的斜率k=-3,线段AB的中点坐标为(0,1),
∴线段AB的垂直平分线的方程是y-1=x,即x-3y+3=0.
∵圆心在直线2x-y-4=0上,∴直线2x-y-4=0与直线x-3y+3=0的交点即为圆心,∴圆心坐标为(3,2),半径为=2,
∴所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20.
探究点二
例3 解:(1)设圆心为C(a,b),半径为r,则由C为线段P1P2的中点,得a==4,b==6,即圆心为C(4,6).
连接CP1,则由两点间的距离公式得r=|CP1|==,
所以所求圆的标准方程为(x-4)2+(y-6)2=5.
连接CM,CN,CP,则|CM|==>,
|CN|==,
|CP|==<,
所以点M在圆外,点N在圆上,点P在圆内.
(2)易得圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,点A到圆心的距离为=5,点B到圆心的距离为=<5,
所以点A在圆上,点B在圆内.
(3)由题意知
即解得0≤a<1,因此a的取值范围是[0,1).2.4.1 圆的标准方程
1.B [解析] 圆的标准方程为(x+2)2+(y+2)2=2,所以圆心坐标为(-2,-2),半径为.故选B.
2.C [解析] 由题意,设圆心坐标为(0,b),则圆的标准方程为x2+(y-b)2=1,由圆过点(1,1)可得1+(1-b)2=1,解得b=1,则所求圆的标准方程为x2+(y-1)2=1.故选C.
3.A [解析] 因为a,b是方程x2-x-=0的两个不相等的实数根,所以所以a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2<8,由此可知,点P(a,b)在圆C:x2+y2=8内.故选A.
4.B [解析] 因为(1+3)2+(5-2)2=25<49,所以点P(1,5)在圆内,又圆心为(-3,2),半径为7,点P(1,5)到圆心的距离为=5,所以|PQ|的取值范围为[2,12],结合选项知|PQ|的值可能为7,故选B.
5.C [解析] 设两个端点落在两坐标轴上的直径为AB,且A(a,0),B(0,b),则解得所以半径为=,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.故选C.
6.AD [解析] ∵圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,∴圆心在直线x+y=0上.设圆心坐标为(a,-a),则由(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1,∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5.故选AD.
7.(x-2)2+(y+1)2=5 [解析] 由题意知圆的半径r==,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=5.
8.+y2= [解析] 因为圆心在直线3x+y-5=0上,所以设圆心坐标为(a,5-3a).因为圆经过原点和点(3,-1),所以=,解得a=,故圆心坐标为,圆的半径r=,故所求圆的标准方程为+y2=.
9.解:(1)由题知kAB==-,所以AB的垂直平分线的斜率k=2,且AB的中点为,即(3,2),所以AB的垂直平分线的方程为2x-y-4=0.
由题意知,直线2x-y-4=0与x轴的交点即为圆心C,所以C(2,0),所以圆的半径为|CB|=,
所以圆的方程为(x-2)2+y2=10.
(2)圆的半径r=|CP|==5,圆心为点C(8,-3),所以圆的方程是(x-8)2+(y+3)2=25.
10.B [解析] 因为原点到直线x-y-2=0的距离为半径的最小值,所以半径的最小值为=,此时半径所在直线的方程为x+y=0,由
解得所以C(1,-1),所以此时圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.故选B.
11.AD [解析] 对于A,因为圆C的半径为2,所以圆C的面积为4π,A正确;对于B,因为(3-k)2+(0-k)2=2k2-6k+9=2+≥>4,所以圆C必定不过点(3,0),B错误;对于C,若圆C经过点(2,2),则(2-k)2+(2-k)2=4,即(2-k)2=2,解得k=2-或k=2+,则经过点(2,2)的圆C有两个,C错误;对于D,圆心(k,k)始终在直线y=x上,D正确.故选AD.
12.3-2 [解析] 圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为M(1,1),半径r=1,x2+y2表示圆M上的点与原点O(0,0)间的距离的平方.连接OM,可得|OM|==,则x2+y2的最小值为(|OM|-r)2=(-1)2=3-2.
13.(x-2)2+y2=9 [解析] 圆C1:x2+(y-1)2=9的圆心为C1(0,1),半径为3.设C2(x,y),则直线C1C2的斜率k==,线段C1C2的中点为,由直线l:4x-2y-3=0,得直线l的斜率kl=2,根据题意可得解得
则C2(2,0),由题意可得圆C2的半径为3,所以圆C2的方程为(x-2)2+y2=9.
14.解:(1)由解得
故P(-1,2).
当直线l过原点时,直线l的方程为y=-2x,直线l在两坐标轴上的截距相等;
当直线l不过原点时,设直线l的方程为+=1(a≠0),将点P(-1,2)的坐标代入得+=1,解得a=1,
所以直线l的方程为x+y=1.
综上所述,直线l的方程为2x+y=0或x+y-1=0.
(2)方法一:易知当线段PQ是圆C的直径时,圆C的面积最小.
由(1)得P(-1,2),因为Q(3,-4),所以圆C的圆心坐标为(1,-1),半径为,所以圆C的面积的最小值为13π,圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=13.
方法二:设圆心C的坐标为(a,b),则C在线段PQ的垂直平分线上.
因为kPQ=-,线段PQ的中点坐标为(1,-1),
所以线段PQ的中垂线的方程为y+1=(x-1),即2x-3y-5=0,
所以2a-3b-5=0,即a=.
圆C的半径r=|PC|=
=,
所以当b=-1时,r取得最小值,圆C的面积取得最小值13π,
此时C(1,-1),则圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=13.
15.C [解析] 由题意得该三角形的三个顶点的坐标分别是(0,0),(4,4),(3,1),易知该三角形为钝角三角形,故所求圆的方程是以最长边为直径的圆的方程.又最长边的两个端点的坐标分别为(0,0),(4,4),所以所求圆的圆心为(2,2),半径为×=2,故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=8.
16.解:连接PA,PB,PC,则|PA|=,|PB|=,|PC|=5,
所以|PA|<|PB|<|PC|,
要使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半径r=|PB|=,
故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13.2.4.1 圆的标准方程
【学习目标】
1.能描述确定圆的几何要素,能根据给定圆的几何要素推导出圆的标准方程.
2.能分析圆的标准方程中相关量的几何意义.
3.能根据给定圆的几何要素求出圆的标准方程.
◆ 知识点一 圆的标准方程
1.圆的标准方程
圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程是 .
和 分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以只要a,b,r(r>0)三个量确定了,圆的方程就唯一确定了.
2.几种常见的特殊的圆的方程
条件 方程形式
圆心在原点 x2+y2=r2(r>0)
过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2≠0)
圆与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)
圆与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)
圆与两坐标轴都相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定一个圆的几何要素是圆心和半径. ( )
(2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. ( )
(3)圆(x-1)2+(y-2)2=4的圆心坐标是(1,2),半径是4. ( )
(4)已知A为定点,点M满足集合P={M||MA|=r(r>0)},则点M的轨迹为圆. ( )
◆ 知识点二 点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断方法
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点M在圆上 |CM| r (x0-a)2+(y0-b)2 r2
点M在圆外 |CM| r (x0-a)2+(y0-b)2 r2
点M在圆内 |CM| r (x0-a)2+(y0-b)2 r2
◆ 探究点一 求圆的标准方程
例1 根据下列条件,求圆的标准方程:
(1)圆心为点A(2,-1),且经过点B(-2,2);
(2)经过点C(0,0)和点D(0,2),半径为2;
(3)E(1,2),F(3,4)为直径的两个端点.
例2 [2025·淮安涟水一中高二月考] 根据下列条件,求圆的标准方程:
(1)过O(0,0),A(2,0),B(2,-2)三点;
(2)经过A(1,2),B(-1,4)两点,且圆心在直线l:x+y-1=0上.
变式1 已知半径为5的圆C过点P(-4, 3),且圆心C在直线2x-y+1=0上,则圆C的标准方程为 .
变式2 已知点A(1,-2),B(-1,4),求:
(1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程;
(2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.
[素养小结]
求圆的标准方程一般有两种方法:(1)直接法.通过研究圆的几何性质,确定圆心坐标与半径长,即得到圆的标准方程.(2) 待定系数法. 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),先根据条件列出关于a,b,r的方程组,然后解出a,b,r,最后代入标准方程.
◆ 探究点二 判断点与圆的位置关系
例3 (1)已知两点P1(3,8)和P2(5,4),求以线段P1P2为直径的圆的标准方程,并判断点M(5,3),N(3,4),P(3,5)与圆的位置关系.
(2)写出圆心为点(3,4),半径为5的圆的标准方程,并判断点A(0,0),B(1,3)与该圆的位置关系.
(3)已知点M(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,求a的取值范围.2.4.1 圆的标准方程
1.[2025·福州十校高二期中] 圆(x+2)2+(y+2)2=2的圆心坐标和半径分别为 ( )
A.(2,2), B.(-2,-2),
C.(2,2),2 D.(-2,-2),2
2.[2025·广东廉江安铺中学高二月考] 圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,1)的圆的标准方程是 ( )
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
3.已知a,b是方程x2-x-=0的两个不相等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是 ( )
A.点P在圆内
B.点P在圆上
C.点P在圆外
D.无法确定
4.[2025·福建泉州高二期中] 已知点Q在圆(x+3)2+(y-2)2=49上,点P(1,5),则|PQ|的值可能为 ( )
A.1 B.7
C.13 D.15
5.[2025·广东吴川四中高二期中] 圆心为(2,-3),一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的标准方程为 ( )
A.(x-3)2+(y-2)2=5
B.(x+2)2+(y+3)2=13
C.(x-2)2+(y+3)2=13
D.(x-2)2+(y+3)2=5
6.(多选题)若圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,且圆的半径为,则圆的标准方程可能是 ( )
A.x2+y2=5
B.(x-1)2+y2=5
C.x2+(y+1)2=5
D.(x-1)2+(y+1)2=5
7.某圆的圆心为(2,-1),且过点(4,-2),则圆的标准方程是 .
8.圆心在直线3x+y-5=0上,且经过原点和点(3,-1)的圆的标准方程为 .
9.(13分)求满足下列条件的圆的方程:
(1)经过A(5,1),B(1,3)两点,且圆心C在x轴上;
(2)经过点P(5,1),圆心为点C(8,-3).
10.已知圆C经过原点,且其圆心C在直线x-y-2=0上,则半径取得最小值时圆C的方程为 ( )
A.x2+y2=2
B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y+1)2=4
D.x2+y2=4
11.(多选题)[2025·安徽芜湖高二期中] 设圆C:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),则下列说法正确的是 ( )
A.圆C的面积为4π
B.存在k∈R,使得圆C过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆C有且只有一个
D.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
12.已知x,y满足(x-1)2+(y-1)2=1,则x2+y2的最小值为 .
13.若圆C1:x2+(y-1)2=9与圆C2关于直线l:4x-2y-3=0对称,则圆C2的方程为 .
14.(15分)已知直线l过直线x+2y-3=0和2x-y+4=0的交点P.
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程.
(2)若圆C过点P及Q(3,-4),圆C的面积存在最小值吗 如果存在,求出面积的最小值和此时圆C的方程;若不存在,请说明理由.
15.若三角形的三边所在直线的方程分别为x-y=0,x-3y=0,3x-y-8=0,则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的标准方程为 ( )
A.+=
B.+=25
C.(x-2)2+(y-2)2=8
D.(x-2)2+(y-2)2=32
16.(15分)已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以点P(2,-1)为圆心作一个圆,使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的标准方程.(共53张PPT)
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
探究点一 求圆的标准方程
探究点二 判断点与圆的位置关系
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能描述确定圆的几何要素，能根据给定圆的几何要素推导出圆
的标准方程.
2.能分析圆的标准方程中相关量的几何意义.
3.能根据给定圆的几何要素求出圆的标准方程.
知识点一 圆的标准方程
1.圆的标准方程
圆心为,半径为 的圆的标准方程是_______________________.
______和______分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以只要
,, 三个量确定了,圆的方程就唯一确定了.
圆心
半径
2.几种常见的特殊的圆的方程
条件 方程形式
圆心在原点
过原点
圆与两坐标轴都相切
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）确定一个圆的几何要素是圆心和半径.( )
√
（2）方程 一定表示圆.( )
×
[解析] 当时,方程表示一个点；当 时,方程表示一个圆.
（3）圆的圆心坐标是 ,半径是4.( )
×
[解析] 圆的圆心坐标是 ,半径是2.
（4）已知为定点，点满足集合,则点
的轨迹为圆.( )
√
知识点二 点与圆的位置关系
点与圆 的位置关系及判
断方法
位置关系 判断方法 几何法 代数法
=
=
>
>
<
<
探究点一 求圆的标准方程
例1 根据下列条件，求圆的标准方程：
（1）圆心为点，且经过点 ；
解：由题意可得圆的半径 ，
所以圆的标准方程为 .
（2）经过点和点 ，半径为2；
解：设圆的标准方程为 ，
因为圆经过点和点，所以 解得
或所以圆的标准方程为
或 .
（3）， 为直径的两个端点.
解：因为的中点为，所以圆心为 ，
又半径 ，
所以圆的标准方程为 .
例2 ［2025·淮安涟水一中高二月考］根据下列条件，求圆的标准方程：
（1）过,, 三点；
解：由,在圆上，得圆心在直线 上，
由,在圆上，得圆心在直线 上，
则圆心为，半径 ，
故圆的标准方程为 .
（2）经过，两点，且圆心在直线 上.
解：方法一：设圆的标准方程为 ，
依题意有可得
所以圆的标准方程为 .
方法二：直线的斜率为，所以线段 的垂直平分线的
斜率为1，
又线段的中点坐标为，所以线段 的垂直平分线的方程为
.
由可得则圆心为 ，又圆的半径为
，
所以圆的标准方程为 .
方法三：因为圆心在直线 上，
所以可设圆心的坐标为 ，
依题意有 ，解
得 ，
所以圆心坐标为，半径 ，
所以圆的标准方程为 .
变式1 已知半径为5的圆过点，且圆心 在直线
上，则圆 的标准方程为_________________________
______________________.
或
[解析] 设圆心的坐标为 ，则圆 的标准方程为
.因为圆心在直线 上，
所以圆的标准方.因为圆过点 ，
所以，所以或
所以圆的标准方程为 或
.
变式2 已知点, ,求:
（1）过点, 且周长最小的圆的标准方程;
解：连接，则当为直径时,过点, 的圆的半径最小,从而周长最小.
易得线段的中点坐标为，即圆心坐标为 ,圆的半径为
， 所求圆的标准方程为 .
（2）过点,且圆心在直线 上的圆的标准方程.
解：连接， 直线的斜率,线段的中点坐标为 ,
线段的垂直平分线的方程是,即 .
圆心在直线上, 直线 与直线
的交点即为圆心,
圆心坐标为 ,半径为 ,
所求圆的标准方程是 .
［素养小结］
求圆的标准方程一般有两种方法：（1）直接法.通过研究圆的几何性
质，确定圆心坐标与半径长，即得到圆的标准方程．（2） 待定系
数法. 设圆的标准方程为,先根据条
件列出关于,,的方程组,然后解出,,,最后代入标准方程.
探究点二 判断点与圆的位置关系
例3（1）已知两点和,求以线段 为直径的圆的标准
方程,并判断点,, 与圆的位置关系.
解：设圆心为,半径为,则由为线段 的中点,得
,,即圆心为 .
连接 ,则由两点间的距离公式得
,
所以所求圆的标准方程为 .
连接，，，则 ,
,
,
所以点在圆外,点在圆上,点 在圆内.
（2）写出圆心为点,半径为5的圆的标准方程,并判断点 ,
与该圆的位置关系.
解：易得圆的标准方程为,点 到圆心的距离
为,点 到圆心的距离为
，所以点在圆上,点 在圆内.
（3）已知点在圆的内部，求 的
取值范围.
解：由题意知
即解得，因此的取值范围是 .
1.圆的标准方程的理解
（1）圆的标准方程是利用圆的定义与两点间的距离公式推导出来的.
（2）圆的标准方程可用来解决以下两类问题:①已知圆心和半径求
圆的方程的问题;②已知圆心及圆上一点求圆的方程的问题.
2.点与圆的位置关系的理解
（1）判断点与圆的位置关系,可根据点与圆心的距离与圆的半径的大
小关系进行判断.
（2）在实际解题中,一般先计算 ,然后比较
与 的大小.
1.求圆的标准方程的常用方法:
（1）直接法:根据题意,求出圆心坐标与半径,然后写出标准方程.
（2）待定系数法: 设方程 列方程
组（由已知条件,建立关于,,的方程组） 解方程组 解方程组,求出
,, 得方程（将,, 代入所设方程,即得所求圆的标准方程）.
例1 ［2025·徐州高二期中］ 已知的三个顶点分别为 ,
, .
（1）求的外接圆 的方程.
解：因为,, ，所以,，
所以，所以 ，
又因为，所以 是等腰直角三角形，
所以圆的圆心是的中点，即圆心为，半径 ，
所以圆的方程为 .
（2）设，在平面上是否存在点，使得对圆上任意一点 ，
都有？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：假设存在，使得对圆上任意一点 ，都有
，则 ，
整理得 ，
又的坐标满足 ,即 ，
即，所以
解得 故存在 满足条件.
2.点与圆 的位置关系的
判断方法:
（1）几何法：若,则点在圆外；若,则点 在圆内；
若,则点 在圆上.
（2）代数法：
若,则点 在圆外;
若,则点 在圆上;
若,则点 在圆内.
例2 已知，，， 四点，试判断它们是否
共圆，并说明理由．
解：设，， 三点确定的圆的标准方程为
，则解得
所以，，三点确定的圆的标准方程为 .
将点的坐标代入方程左端，得 ，
所以点不在圆 上，
所以，，， 四点不共圆．
练习册
1.［2025·福州十校高二期中］圆 的圆心坐标
和半径分别为( )
A., B., C.,2 D. ,2
[解析] 圆的标准方程为 ，所以圆心坐标为
，半径为 .故选B.
√
2.［2025·广东廉江安铺中学高二月考］圆心在 轴上，半径为1，且
过点 的圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意，设圆心坐标为 ，则圆的标准方程为
，由圆过点可得，解得 ，
则所求圆的标准方程为 .故选C.
√
3.已知，是方程 的两个不相等的实数根，则点
与圆 的位置关系是( )
A.点在圆内 B.点在圆上 C.点 在圆外 D.无法确定
[解析] 因为，是方程 的两个不相等的实数根，所
以所以 ，由此
可知，点在圆 内.故选A.
√
4.［2025·福建泉州高二期中］已知点在圆
上，点，则 的值可能为( )
A.1 B.7 C.13 D.15
[解析] 因为，所以点 在圆内，
又圆心为，半径为7，点到圆心的距离为 ，
所以的取值范围为，结合选项知 的值可能为7，故选B.
√
5.［2025·广东吴川四中高二期中］圆心为 ，一条直径的两个
端点落在两坐标轴上的圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设两个端点落在两坐标轴上的直径为，且, ，
则解得所以半径为 ，
所以圆的标准方程为 .故选C.
√
6.（多选题）若圆上的点关于直线 的对称点仍在圆上，
且圆的半径为 ，则圆的标准方程可能是( )
A. B.
C. D.
[解析] 圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，
圆心在直线上.设圆心坐标为 ，则由
，解得或，
圆的标准方程为或.故选 .
√
√
7.某圆的圆心为，且过点 ，则圆的标准方程是_______
________________.
[解析] 由题意知圆的半径 ，
所以圆的标准方程为 .
8.圆心在直线上，且经过原点和点 的圆的标准
方程为________________.
[解析] 因为圆心在直线 上，所以设圆心坐标为.
因为圆经过原点和点 ，所以
，解得 ，故圆心坐标
为，圆的半径，故所求圆的标准方程为 .
9.（13分）求满足下列条件的圆的方程：
（1）经过，两点，且圆心在 轴上；
解：由题知,所以的垂直平分线的斜率,且
的中点为,即,所以 的垂直平分线的方程为
.
由题意知，直线与轴的交点即为圆心，所以 ，
所以圆的半径为 ,
所以圆的方程为 .
（2）经过点，圆心为点 ．
解：圆的半径 ,圆心为点
，所以圆的方程是 .
10.已知圆经过原点，且其圆心在直线 上，则半径取
得最小值时圆 的方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为原点到直线 的距离为半径的最小值，所以
半径的最小值为，此时半径所在直线的方程为 ，
由 解得所以，
所以此时圆 的方程为 ．故选B.
11.（多选题）［2025·安徽芜湖高二期中］ 设圆
，则下列说法正确的是( )
A.圆的面积为
B.存在，使得圆过点
C.经过点的圆 有且只有一个
D.不论如何变化，圆心 始终在一条直线上
√
√
[解析] 对于A，因为圆的半径为2，所以圆的面积为 ，A正确；
对于B，因为 ，
所以圆必定不过点，B错误；
对于C，若圆经过点 ，则，即，
解得 或，则经过点的圆 有两个，C错误；
对于D，圆心始终在直线上，D正确.故选 .
12.已知,满足，则 的最小值为_____
____.
[解析] 圆的圆心为，半径 ，
表示圆上的点与原点间的距离的平方.
连接 ，可得，则 的最小值
为 .
13.若圆与圆关于直线 对称，
则圆 的方程为_________________.
[解析] 圆的圆心为，半径为3.设 ，
则直线的斜率，线段的中点为 ，由直
线，得直线的斜率 ，根据题意可得
解得 则，由题意可得圆的半径
为3，所以圆 的方程为 .
14.（15分）已知直线过直线和的交点 .
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求 的方程.
解：由解得 故 .
当直线过原点时，直线的方程为，直线 在两坐标轴上的
截距相等；当直线不过原点时，设直线的方程为 ，
将点的坐标代入得，解得 ，
所以直线的方程为 .
综上所述，直线的方程为或 .
（2）若圆过点及，圆 的面积存在最小值吗？如果存在，
求出面积的最小值和此时圆 的方程；若不存在，请说明理由.
解：方法一：易知当线段是圆的直径时，圆 的面积最小.
由（1）得，因为，所以圆的圆心坐标为 ，
半径为，所以圆的面积的最小值为 ，圆 的方程为
.
方法二：设圆心的坐标为，则在线段 的垂直平分线上.
因为，线段的中点坐标为 ，
所以线段的中垂线的方程为，即，
所以，即 .
圆的半径 ，
所以当时，取得最小值，圆的面积取得最小值 ，
此时，则圆的方程为 .
15.若三角形的三边所在直线的方程分别为, ,
,则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的标准方程为
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意得该三角形的三个顶点的坐标分别是,, ,
易知该三角形为钝角三角形,故所求圆的方程是以最长边为直径的圆
的方程.又最长边的两个端点的坐标分别为, ,所以所求圆的
圆心为，半径为 ,故所求圆的标
准方程为 .
16.（15分）已知三点,,,以点 为圆心
作一个圆,使,, 三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个
圆的标准方程.
解：连接，，，则,, ,
所以 ,
要使，， 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆
的半径 ，
故所求圆的标准方程为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.,圆心,半径
【诊断分析】（1）√（2）×（3）×（4）√
知识点二 =,=,>,>,<,<
课中探究 例1.（1）.
（2）或<.（3）.
例2.（1）.（2）.
变式1.或
变式2.（1） （2）.
例3.（1）点在圆外,点在圆上,点在圆内（2）点在圆上,点在圆内.（3）.
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.A 4.B 5.C 6.AD 7.
8.
9.（1） （2）.
10.B 11.AD 12. 13.
14.（1）或
（2）面积最小值 ，
15.C 16.
