(共69张PPT)
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
探究点一 圆的一般方程的理解
探究点二 求圆的一般方程
探究点三 与圆有关的轨迹方程
探究点四 与圆有关的最大（小）值问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能描述圆的一般方程的方程结构与代数意义.
2.能熟练进行圆的标准方程与一般方程间的互化.
3.能根据给定圆的几何要素求出圆的一般方程.
知识点一 圆的一般方程
将方程 配方得
_ ____________________________.
当时,方程 表示以__________为圆心，
________________为半径的圆，我们把方程
叫作圆的一般方程.
（1）圆的一般方程的特点是:①和 的系数都是___;②没有____这
样的二次项;③ ___0.
（2）方程 并不一定表示圆,当其系数满足
时,它表示____;当 时,它表示一个
____;当时,方程 没有实
数解,它不表示任何图形.
1
圆
点
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( )
√
[解析] 圆的一般方程与标准方程可以互化.
（2）二元二次方程 一定是某个圆的方程.
( )
×
[解析] 二元二次方程 表示圆时需满足
.
（3）若方程表示圆,则 .( )
√
[解析] 由圆的一般方程的定义知结论正确.
（4）在圆的一般方程中,当 时,圆
的圆心在 轴上.( )
×
[解析] 当时,圆心在轴上;当时,圆心在轴上;当 时,
圆过原点.
知识点二 轨迹方程
轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，点的轨迹方程是指点的坐
标满足的关系式.在解析几何中，常常把图形看作点的轨迹（集合）.
探究点一 圆的一般方程的理解
例1 若方程 表示圆，求：
（1）实数 的取值范围；
解：根据题意知 ，
即，解得，故 的取值范围为
.
（2）圆心坐标和半径．
解：由 得
，故圆心坐标为 ，半径
.
变式（1）［2025·北京一五九中学高二期中］圆
的圆心和 的取值范围分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 由 ，得
，所以圆心为.
由 ，得 ，故选A.
√
（2）（多选题）下列方程不是圆的一般方程的有( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，因为 ，所以方程
是圆的一般方程；
对于B，因为 ，所以方程
不是圆的一般方程；
对于C，因为方程中和 的系数不相等，
所以方程 不是圆的一般方程；
对于D，因为方程中存在含 的项，所以方程
不是圆的一般方程.故选 .
探究点二 求圆的一般方程
例2（1）已知圆经过点和点，且圆心 在直线
上，求圆 的方程；
解：设圆的方程为 ，
则圆心为 ，由题意得解得
所以圆 的方程为 .
（2）已知的三个顶点为，， ，求
外接圆的方程.
解：设 外接圆的方程为
，
将 ，， 的坐标分别代入，可得
解得
所以 外接圆的方程为 .
（1）圆 的一般方程;
解：圆的标准方程为 ，
则圆心为，半径为 ，所以
解得或又圆心在第二象限，所以， ，
故圆的一般方程为 .
变式 已知圆 的圆心在直线
上，且圆心在第二象限，半径为 ，求:
（1）圆 的一般方程;
解：圆的标准方程为 ，
则圆心为，半径为 ，所以
解得或又圆心在第二象限，所以， ，
故圆的一般方程为 .
（2）圆关于直线 对称的圆的一般方程.
解：由（1）知圆的圆心为，设它关于直线 对称
的点为，则解得
所以圆关于直线 对称的圆的标准方程为
，故一般方程为 .
［素养小结］
求圆的方程主要有两种方法：（1）定义法；（2）待定系数法.定义
法是根据题目利用定义判断曲线为圆，求出圆心坐标和半径长；待
定系数法是列出关于
,
,
的方程组，求出
,
,
，从而求得圆的一
般方程.
探究点三 与圆有关的轨迹方程
例3 已知直角三角形的斜边为，且， ，求：
（1）直角顶点 的轨迹方程；
解：设顶点的坐标为，因为，且，， 三点不共线，
所以且 .
又，，且，所以 ，
化简得 .
因此，直角顶点的轨迹方程为 且
．
（2）直角边的中点 的轨迹方程．
解：设点，点 ，因为，是边 的中点，
所以， ，于是有， .
由（1）知，点的轨迹方程为 且
，所以且 ，
可得且 ，即
且 .
因此，动点的轨迹方程为且 ．
变式 已知,，点在轴上，满足 .
（1）求点 的坐标；
解：由点在轴上，设，则 ,
由题知 ，
由，得 ，即，解得 ，
故点的坐标为 .
（2）若动点与,的距离之比为，求动点 的轨迹方程.
解：设，由 ，得，即 ，
又 ，
，
所以 ，整理得
，即 ，
故动点的轨迹方程为 .
［素养小结］
求与圆有关的轨迹方程的常用方法
（1）直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出
动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．
（2）定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动
点的轨迹方程．
（3）代入法：若动点
随着圆上的另一动点
的运动而
运动，且
，
可用
，
表示，则可将点
的坐标代入已知圆的方
程，即得动点
的轨迹方程．
探究点四 与圆有关的最大（小）值问题
例4 已知圆经过点，， .
（1）求圆 的方程；
解：设圆的方程为 ,
则解得
圆的方程为 ，即
.
（2）设点在圆上运动，求 的最大值与最
小值.
解：设点，圆的半径，则 表示
点与点 间距离的平方.
圆心与间的距离 ，则
点与点间距离的最大值为，最小值为 ，
所以 的最大值为64，最小值为4.
变式（1）已知实数，满足方程，则 的最大值
为___; 的最小值为_________.
[解析] 由变形可得 ，故
曲线是以为圆心，为半径的圆在 轴及
其上方的部分，即为半圆.
设，则表示半圆上的点与原点 连线的斜率．
易知当直线与半圆在第一象限相切于点时， 取得最大值，
连接，此时有，又， ，
所以 ，此时，所以 的最大值是
表示半圆上的点与原点间距离的平方，由平面几何知识
知， .
（2）已知圆过点，，.设点为圆 上任意一点，
则 的最小值为__________,最大值为__________.
[解析] 设圆的标准方程为 ，则
解得
所以圆 的标准方程为,圆的圆心为 ，
半径
，
所以， ，
则的最小值为 ，
最大值为 .
［素养小结］
解决与圆有关的最大（小）值问题的方法
（1）形如
的最值问题,可转化为定点
与动点
连线
的斜率的最值问题;
（2）形如
的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
（3）形如
的最值问题,可转化为动点
到定点
的距离的最值问题.
圆的一般方程的理解
（1）圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心及半径,而一般方
程突出了方程形式上的特点:,的系数均为1,没有 这样的项,是
特殊的二元二次方程.
（2）任何一个圆的方程都可以写成 的形
式,但方程 表示的曲线不一定是圆,只有当
时,方程才表示圆心为 ,半径
的圆.
（3）求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式:若条件与圆
心、半径有关,则宜用标准方程;若条件主要是圆所经过的点的坐标,
则宜用一般方程.
（4）要画出圆,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法
将圆的一般方程化为标准方程的方法.
1.用待定系数法求圆的方程时,一般方程和标准方程的选择:
（1）由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半
径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出,, .
（2）已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,
再用待定系数法求出参数,, .
例1（1）圆心在直线上，且经过点， 的圆的一
般方程为_________________________.
[解析] 因为圆心在直线 上，所以可设圆的标准方程为
，则圆心为，半径为.
把点 ，的坐标代入，得 ①，
，得 ，
即，整理得，解得 ，
所以 ，
故圆的标准方程为 ，
化为一般方程为 .
（2）在平面直角坐标系中，已知，，，
四点，若它们在同一个圆上，则 ______.
2或4
[解析] 设过，， 三点的圆的一般方程为
，则
解得所以圆的一般方程为 .
将点的坐标代入，得 ，
解得或 .
2.求轨迹方程的常用方法:直接法、代入法（相关点法）.在确定轨迹
范围时,应注意以下五个方面:①要准确理解题意,挖掘隐含条件;②列
式不改变题意,并且要全面考虑各种情形;③推理要严密,方程化简要
等价;④消参时要保持范围的等价性;⑤数形结合,查“漏”补“缺”.
例2 已知点是圆上的定点，点 是圆内一
点，， 为圆上的动点．
（1）求线段的中点 的轨迹方程；
解：设线段的中点为 ，
则由中点坐标公式得点的坐标为，
因为与 不重合，所以,即 ．
因为点在圆 上，所以 ，
故线段的中点的轨迹方程为 .
（2）若 ，求线段的中点 的轨迹方程．
解：设线段的中点为，连接 ，
则在中， .
设为坐标原点，连接，，则 ，
所以 ，
所以 ，整理得
，
故线段的中点的轨迹方程为 .
例3（1）已知是圆 上的一点，
则 的最小值是_____.
[解析] 表示点到点 的距离，
由可得 ，
则圆心为，半径为，则点 到圆心的距离为
，所以点到点 的距离的最小
值为，即的最小值为 .
3.与圆有关的最值问题
（2）若平面内两定点,间的距离为2,动点满足 ,则
的最大值为__________.
[解析] 设,,,则由得 ,
整理得,所以在以为圆心， 为半径的圆上.
，
由圆的几何性质可知 ,所以
,即 的最大
值为 .
练习册
1.经过点，且以 为圆心的圆的一般方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 圆心为 ，则半径 ，
所以所求圆的方程为，
即 .故选B.
√
2.［2024·山东临沂高二期中］已知圆 的
半径为 ,则( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 由得 ，
， ．故选C.
√
3.［2025·吉林通化高二期中］若方程
表示一个圆，则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 若方程 表示一个圆，
则，方程可化为 ，
所以，所以或 .故选D.
√
4.［2025·山西大同高二期中］若点 在圆
外，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为点在圆 外，
所以 解得 .故选B.
√
5.［2025·辽宁鞍山一中高二期中］已知圆
,是圆上的动点，点， 为线
段的中点，则点 的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设，因为为线段的中点， ，所以，
又是圆 上的动点，
所以 ，化简得
，则点的轨迹方程为 .故选A.
√
6.（多选题）［2025·云南玉溪一中高二月考］ 关于方程
表示的圆，下列说法中正确的是( )
A.圆心在直线上 B.圆心在 轴上
C.过原点 D.半径为
√
√
[解析] 可化为 ，
因为该方程表示圆，所以，可得，则圆心为 ，
半径为.
对于A选项，圆心在直线 上，A正确；
对于B选项，因为，所以圆心不可能在 轴上，B错误；
对于C选项，因为 ，所以该圆过原点，C正确；
对于D选项，该圆的半径为，D错误.故选 .
7.已知点,,,则 外接圆的方程是_____
_______________.
[解析] 设所求圆的方程为 ，
则 解得
故所求圆的方程为 .
8.［2025·北京师大附中高二期中］已知定点和点 ，
以为斜边，则直角顶点 的轨迹方程为
____________________________________.
且
[解析] 设点，点为点和点 的中点，则，
.
以 为斜边，点为直角顶点，，
点的轨迹是以 为圆心，为半径的圆除去点，之外的部分，
点 的轨迹方程为且 .
9.（13分）已知方程
表示圆.
（1）求 的取值范围；
解：若方程 表示圆，
则 ，
即，解得 .
（2）求圆的圆心和半径；
解：圆的圆心为 ，即 ，
半径为 .
（3）求圆的半径的最大值及此时圆的标准方程.
解：圆的半径 ，
所以当 时，取得最大值 ，此时圆的标准方程为
.
10.［2024·天津一中高二期中］若圆 关于
直线对称，则 的最小值是( )
A. B. C.4 D.
√
[解析] 圆 关于直线
对称，
直线 经过圆心，
，即，又， ，
，
当且仅当，即 时取等号.故选D.
11.（多选题）［2025·江苏徐州三中高二期中］ 已知圆
， ，则( )
A.当时，圆的面积是
B.实数的取值范围是
C.点在圆 内
D.当圆的周长最大时，圆心的坐标是
√
√
[解析] 对于A，当时，圆，则圆 的标准
方程为，此时圆是以 为圆心，1为半径的圆，
其面积为 ，故A正确；
对于B，由得 ，
所以，解得 ，故B正确；
对于C，由圆，得圆心为 ，
半径，点到圆心 的距离
，当时， ，
此时点在圆外，故C错误；
对于D，当圆 的周长最大时，半径取得最大值，
此时，，所以圆心 的坐标是，故D错误.故选 .
12.在平面直角坐标系中，，若点 满足
，则 面积的最大值为__.
[解析] 设，则由 ，得
，整理得 ，
即，
所以点的轨迹是以为圆心，半径 的圆，则面积的
最大值为 .
13.［2025·扬州大学附中高二期中］某圆拱（圆的一段劣弧）形大桥
的示意图如图所示，该圆拱形大桥的跨度是，拱高是 ，
在建造时，每隔需要一个支柱支撑，则支柱 的长度为______
_____ .
[解析] 以为坐标原点，所在直线为 轴，
所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，则 ，
设圆拱形大桥所在圆的方程为
，
则 解得
圆拱形大桥所在圆的方程为，
将 代入上式，解得或 （舍去），
故支柱的长度为 .
14.（15分）在平面直角坐标系中，，， .
（1）求 的面积；
解：直线的斜率为 ，
则直线的方程为，即 .
，点到直线 的距离
，
故 .
（2）若为坐标原点，判断，，， 四点是否在同一个圆上，
并说明理由.
解：，,，四点在同一个圆上，理由如下：设 的外接圆
方程为 ，
由已知可得解得所以 的外接
圆方程为.
因为 ，所以坐标原点在的外接圆上，
因此，，,， 四点在同一个圆上.
15.曲线 所围成的封闭图形的面积为_______.
[解析] 对于，将换成 得
，所以曲线关于轴对称，将
换成得，所以曲线关于 轴
对称，因此只需考虑曲线在第一象限内的部分.
当，时，曲线方程为 ，即
，
所以曲线在第一象限内的部分与 轴所围成的图形是
由半径为的 圆去掉一个等腰直角三角形后形成的图形，
根据对称性可得曲线 所围成的封闭图形如图中阴影
部分所示，所以所围成的封闭图形的面积
.
16.（15分）阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学
家，他发现：平面内到两个定点的距离之比为常数 的
点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知 ，
，动点满足 .
（1）求动点 所在的阿波罗尼斯圆的方程；
解：设动点，则由得 ，
整理得 ，
故动点所在的阿波罗尼斯圆的方程为 .
（2）若点，求 的最小值和最大值.
解：由得，则动点 所在的阿波
罗尼斯圆的半径是4，
设圆心为，则 ，所以 .
因为 ，所以在圆外，
故的最小值是，最大值是 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
,
,
,1,
,
,圆,点 【诊断分析】（1）√（2）×（3）√（4）×
课中探究 例1.（1）
.（2）圆心坐标为
，半径
.
变式.（1）A（2）BCD
例2.（1）.（2）
.
变式.（1） （2）
例3.（1）
且
．（2）
且
变式.（1）的坐标为
（2）
例4.（1） （2）最大值为64，最小值为4
变式.（1）, （2）,
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.D 4.B 5.A 6.AC 7.
8.且
9.（1）.（2）（3）.
10.D 11.AB 12. 13.
14.（1）（2），,，四点在同一个圆上. 15.
16.（1）.（2）最小值是，最大值是.2.4.2 圆的一般方程
【课前预习】
知识点一
+=
(1)①1 ②xy ③> (2)圆 点
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)×
[解析] (1)圆的一般方程与标准方程可以互化.
(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时需满足D2+E2-4F>0.
(3)由圆的一般方程的定义知结论正确.
(4)当D=0时,圆心在y轴上;当E=0时,圆心在x轴上;当F=0时,圆过原点.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)根据题意知(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,
即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<,故m的取值范围为.
(2)由x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0得(x+m)2+(y-1)2=1-5m,故圆心坐标为(-m,1),半径r=.
变式 (1)A (2)BCD [解析] (1)由x2+y2-2x+4y+a=0,得(x-1)2+(y+2)2=5-a,所以圆心为(1,-2).由5-a>0,得a<5,故选A.
(2)对于A,因为(-2)2+42-4×3=8>0,所以方程x2+y2-2x+4y+3=0是圆的一般方程;对于B,因为(-2)2+22-4×7=-20<0,所以方程x2+y2-2x+2y+7=0不是圆的一般方程;对于C,因为方程x2+3y2-2x+4y+5=0中x2和y2的系数不相等,所以方程x2+3y2-2x+4y+5=0不是圆的一般方程;对于D,因为方程x2+y2-3xy-12=0中存在含xy的项,所以方程x2+y2-3xy-12=0不是圆的一般方程.故选BCD.
探究点二
例2 解:(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0),
则圆心为,
由题意得解得所以圆C的方程为x2+y2-4x-2y=0.
(2)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),将A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)的坐标分别代入,可得解得所以△ABC外接圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0.
变式 解:(1)圆C的标准方程为+=-3,
则圆心为,半径为,
所以
解得或又圆心在第二象限,所以D=2,E=-4,
故圆C的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.
(2)由(1)知圆C的圆心为C(-1,2),设它关于直线x-y=0对称的点为C'(m,n),则解得
所以圆C关于直线x-y=0对称的圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=2,故一般方程为x2+y2-4x+2y+3=0.
探究点三
例3 解:(1)设顶点C的坐标为(x,y),因为AC⊥BC,且A,B,C三点不共线,所以x≠3且x≠-1.
又kAC=,kBC=,且kAC·kBC=-1,所以·=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.
因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).
(2)设点M(a,b),点C(x0,y0),
因为B(3,0),M是边BC的中点,
所以a=,b=,
于是有x0=2a-3,y0=2b.
由(1)知,点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1),所以+-2x0-3=0(x0≠3且x0≠-1),
可得(2a-4)2+(2b)2=4(a≠3且a≠1),即(a-2)2+b2=1(a≠3且a≠1).
因此,动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3且x≠1).
变式 解:(1)由点P在y轴上,设P(0,y),则=(-3,-y),
由题知=(3,-3),
由PM⊥MN,得·=0,
即-3×3+3y=0,解得y=3,
故点P的坐标为(0,3).
(2)设Q(x,y),由=,
得|MQ|=2|PQ|,即|MQ|2=4|PQ|2,
又|PQ|==,
|MQ|==,
所以x2+6x+9+y2=4(x2+y2-6y+9),整理得x2+y2-2x-8y+9=0,
即(x-1)2+(y-4)2=8,
故动点Q的轨迹方程为(x-1)2+(y-4)2=8.
探究点四
例4 解:(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
∴圆C的方程为x2+y2-4x-4y-1=0,即(x-2)2+(y-2)2=9.
(2)设点M(-2,-1),圆C的半径R=3,则(x+2)2+(y+1)2表示点P(x,y)与点M(-2,-1)间距离的平方.
圆心C(2,2)与M(-2,-1)间的距离d==5,则点P与点M间距离的最大值为d+R=8,最小值为d-R=2,
所以(x+2)2+(y+1)2的最大值为64,最小值为4.
变式 (1)1 6-4 (2)14-8 14+8 [解析] (1)由y=变形可得(x-2)2+y2=2(y≥0),故曲线y=是以M(2,0)为圆心,为半径的圆在x轴及其上方的部分,即为半圆.设=k,则表示半圆上的点P与原点O连线的斜率.易知当直线y=kx与半圆在第一象限相切于点P时,k取得最大值,连接PM,此时有OP⊥PM,又|PM|=,|OM|=2,所以∠POM=45°,此时k=tan 45°=1,所以的最大值是1.x2+y2表示半圆上的点与原点间距离的平方,由平面几何知识知, (x2+y2)min=(2-)2=6-4.
(2)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则解得所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆C的圆心为(1,2),半径r=2.x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2,易知表示点P(x,y)与点A(-1,0)之间的距离,即|PA|,又|AC|==2,所以|PA|min=|AC|-r=2-2,|PA|max=|AC|+r=2+2,则x2+y2+2x+3的最小值为(2-2)2+2=14-8,最大值为(2+2)2+2=14+8.2.4.2 圆的一般方程
1.B [解析] 圆心为B(-1,1),则半径r=|AB|==,所以所求圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5,即x2+y2+2x-2y-3=0.故选B.
2.C [解析] 由x2+y2-2x+4y-6=0得(x-1)2+(y+2)2=11,∴C(1,-2),r=.故选C.
3.D [解析] 若方程ax2+by2+bx-4y+a=0表示一个圆,则a=b≠0,方程可化为x2+y2+x-y+1=0,所以1+-4>0,所以-4.B [解析] 因为点A(1,2)在圆x2+y2+2x-4y+a=0外,所以
解得15.A [解析] 设M(x,y),因为M为线段AB的中点,B(3,0),所以A(2x-3,2y),又A(2x-3,2y)是圆C:x2+y2+6x-4y+9=0上的动点,所以(2x-3)2+(2y)2+6(2x-3)-8y+9=0,化简得x2+(y-1)2=1,则点M的轨迹方程为x2+(y-1)2=1.故选A.
6.AC [解析] x2+y2+2ax-2ay=0可化为(x+a)2+(y-a)2=2a2,因为该方程表示圆,所以2a2>0,可得a≠0,则圆心为(-a,a),半径为|a|.对于A选项,圆心(-a,a)在直线y=-x上,A正确;对于B选项,因为a≠0,所以圆心不可能在x轴上,B错误;对于C选项,因为(0+a)2+(0-a)2=2a2,所以该圆过原点,C正确;对于D选项,该圆的半径为|a|,D错误.故选AC.
7.x2+y2+6x+4=0 [解析] 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则
解得故所求圆的方程为x2+y2+6x+4=0.
8.+=(x≠-2且x≠3) [解析] 设点A(x,y),点D为点B(-2,1)和点C(3,2)的中点,则D,|BC|==.∵Rt△ABC以BC为斜边,点A为直角顶点,∴|AD|==,∴点A的轨迹是以D为圆心,为半径的圆除去点B,C之外的部分,∴点A的轨迹方程为+=(x≠-2且x≠3).
9.解: (1)若方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示圆,
则[-2(t+3)]2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)>0,即-7t2+6t+1>0,解得-(2)圆的圆心为,
即(t+3,4t2-1),
半径为.
(3)圆的半径r==,
所以当t= 时,r取得最大值,此时圆的标准方程为+=.
10.D [解析] ∵圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称,∴直线ax-by+3=0经过圆心(-1,3),∴-a-3b+3=0,即a+3b=3,又a>0,b>0,∴+=×(a+3b)=≥,当且仅当=,即a=b时取等号.故选D.
11.AB [解析] 对于A,当k=0时,圆C:x2+y2-2y=0,则圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1,此时圆C是以(0,1)为圆心,1为半径的圆,其面积为12·π=π,故A正确;对于B,由x2+y2+kx-2y+k2=0得+(y-1)2=1-k2,所以1-k2>0,解得-r=1,此时点(1,0)在圆C外,故C错误;对于D,当圆C的周长最大时,半径r=取得最大值,此时k=0,r=1,所以圆心C的坐标是(0,1),故D错误.故选AB.
12. [解析] 设P(x,y),则由2|PO|2+|PA|2=2,得2(x2+y2)+(x-1)2+y2=2,整理得x2+y2-x-=0,即+y2=,所以点P的轨迹是以为圆心,半径r=的圆,则△POA面积的最大值为×|OA|×r=×1×=.
13.-16+8 [解析] 以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,OP所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-12,0),B(12,0),P(0,4),设圆拱形大桥所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F)>0,则
解得∴圆拱形大桥所在圆的方程为x2+y2+32y-144=0,将x=4代入上式,解得y=-16+8或y=-16-8(舍去),故支柱A2P2的长度为(-16+8)m.
14.解:(1)直线AB的斜率为=,则直线AB的方程为y-1=(x+1),即x-2y+3=0.
|AB|==2,点C到直线AB的距离d==,
故S△ABC=|AB|·d=×2×=5.
(2)O,A,B,C四点在同一个圆上,理由如下:设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
由已知可得解得所以△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x-4y=0.因为02+02-2×0-4×0=0,所以坐标原点O在△ABC的外接圆上,因此,O,A,B,C四点在同一个圆上.
15.2π-4
[解析] 对于x2+y2=2|x|-2|y|,将y换成-y得x2+y2=2|x|-2|y|,所以曲线关于x轴对称,将x换成-x得x2+y2=2|x|-2|y|,所以曲线关于y轴对称,因此只需考虑曲线在第一象限内的部分.当x>0,y>0时,曲线方程为x2+y2=2x-2y,即(x-1)2+(y+1)2=2,所以曲线在第一象限内的部分与x轴所围成的图形是由半径为的圆去掉一个等腰直角三角形后形成的图形,根据对称性可得曲线x2+y2=2|x|-2|y|所围成的封闭图形如图中阴影部分所示,所以所围成的封闭图形的面积S=4×=2π-4.
16.解:(1)设动点P(x,y),则由=得=,
整理得x2+y2+8x=0,
故动点P所在的阿波罗尼斯圆的方程为x2+y2+8x=0.
(2)由x2+y2+8x=0得(x+4)2+y2=16,则动点P所在的阿波罗尼斯圆的半径是4,
设圆心为M,则M(-4,0),
所以|QM|==.
因为(-3+4)2+52=26>16,
所以Q(-3,5)在圆外,故|PQ|的最小值是-4,最大值是+4.2.4.2 圆的一般方程
【学习目标】
1.能描述圆的一般方程的方程结构与代数意义.
2.能熟练进行圆的标准方程与一般方程间的互化.
3.能根据给定圆的几何要素求出圆的一般方程.
◆ 知识点一 圆的一般方程
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(*)配方得 .
当D2+E2-4F>0时,方程(*)表示以 为圆心, 为半径的圆,我们把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)叫作圆的一般方程.
(1)圆的一般方程的特点是:①x2和y2的系数都是 ;②没有 这样的二次项;③D2+E2-4F 0.
(2)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0并不一定表示圆,当其系数满足D2+E2-4F>0时,它表示 ;当D2+E2-4F=0时,它表示一个 ;当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解,它不表示任何图形.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. ( )
(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程. ( )
(3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0. ( )
(4)在圆的一般方程中,当D=0时,圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的圆心在x轴上. ( )
◆ 知识点二 轨迹方程
轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形,点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式.在解析几何中,常常把图形看作点的轨迹(集合).
◆ 探究点一 圆的一般方程的理解
例1 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:
(1)实数m的取值范围;
(2)圆心坐标和半径.
变式 (1)[2025·北京一五九中学高二期中] 圆x2+y2-2x+4y+a=0的圆心和a的取值范围分别是 ( )
A.(1,-2),a<5 B.(-1,2),a>5
C.(2,-4),a≤5 D.(-2,4),a≥5
(2)(多选题)下列方程不是圆的一般方程的有( )
A.x2+y2-2x+4y+3=0
B.x2+y2-2x+2y+7=0
C.x2+3y2-2x+4y+5=0
D.x2+y2-3xy-12=0
◆ 探究点二 求圆的一般方程
例2 (1) 已知圆C经过点A(0,2)和点B(1,3),且圆心C在直线x-y-1=0上,求圆C的方程;
(2)已知△ABC的三个顶点为A(-1,5),B(5,5),C(6,-2),求△ABC外接圆的方程.
变式 已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,求:
(1)圆C的一般方程;
(2)圆C关于直线x-y=0对称的圆的一般方程.
[素养小结]
求圆的方程主要有两种方法:(1)定义法;(2)待定系数法.定义法是根据题目利用定义判断曲线为圆,求出圆心坐标和半径长;待定系数法是列出关于D,E,F的方程组,求出D,E,F,从而求得圆的一般方程.
◆ 探究点三 与圆有关的轨迹方程
例3 已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:
(1)直角顶点C的轨迹方程;
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
变式 已知M(-3,0),N(0,-3),点P在y轴上,满足PM⊥MN.
(1)求点P的坐标;
(2)若动点Q与P,M的距离之比为1∶2,求动点Q的轨迹方程.
[素养小结]
求与圆有关的轨迹方程的常用方法
(1)直接法:根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点坐标所满足的关系式.
(2)定义法:当列出的关系式符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程.
(3)代入法:若动点P(x,y)随着圆上的另一动点Q(x1,y1)的运动而运动,且x1,y1可用x,y表示,则可将点Q的坐标代入已知圆的方程,即得动点P的轨迹方程.
◆ 探究点四 与圆有关的最大(小)值问题
例4 已知圆C经过点(2,5),(5,2),(2,-1).
(1)求圆C的方程;
(2)设点P(x,y)在圆C上运动,求(x+2)2+(y+1)2的最大值与最小值.
变式 (1)已知实数x,y满足方程y=,则的最大值为 ;x2+y2的最小值为 .
(2)已知圆C过点(1,0),(1,4),(3,2).设点P(x,y)为圆C上任意一点,则x2+y2+2x+3的最小值为 ,最大值为 .
[素养小结]
解决与圆有关的最大(小)值问题的方法
(1)形如u=的最值问题,可转化为定点(a,b)与动点(x,y)连线的斜率的最值问题;
(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
(3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的最值问题.2.4.2 圆的一般方程
1.经过点A(1,2),且以B(-1,1)为圆心的圆的一般方程为 ( )
A.x2+y2-2x+2y-3=0
B.x2+y2+2x-2y-3=0
C.x2+y2+2x-2y-7=0
D.x2+y2-2x+2y-7=0
2.[2024·山东临沂高二期中] 已知圆C:x2+y2-2x+4y-6=0的半径为r,则 ( )
A.C(1,-2),r=2
B.C(-1,2),r=
C.C(1,-2),r=
D.C(-1,2),r=2
3.[2025·吉林通化高二期中] 若方程ax2+by2+bx-4y+a=0表示一个圆,则b的取值范围为 ( )
A.
B.∪
C.
D.∪
4.[2025·山西大同高二期中] 若点A(1,2)在圆x2+y2+2x-4y+a=0外,则实数a的取值范围为 ( )
A.a>1 B.1C.a<5 D.25.[2025·辽宁鞍山一中高二期中] 已知圆C:x2+y2+6x-4y+9=0,A是圆C上的动点,点B(3,0),M为线段AB的中点,则点M的轨迹方程为 ( )
A.x2+(y-1)2=1
B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=4
D.(x-1)2+y2=4
6.(多选题)[2025·云南玉溪一中高二月考] 关于方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆,下列说法中正确的是 ( )
A.圆心在直线y=-x上
B.圆心在x轴上
C.过原点
D.半径为a
7.已知点A(-4,-2),B(-4,2),C(-2,2),则△ABC外接圆的方程是 .
8.[2025·北京师大附中高二期中] 已知定点B(-2,1)和点C(3,2),Rt△ABC以BC为斜边,则直角顶点A的轨迹方程为 .
9.(13分)已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示圆.
(1)求t的取值范围;
(2)求圆的圆心和半径;
(3)求圆的半径的最大值及此时圆的标准方程.
10.[2024·天津一中高二期中] 若圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称,则+的最小值是 ( )
A.2 B.
C.4 D.
11.(多选题)[2025·江苏徐州三中高二期中] 已知圆C:x2+y2+kx-2y+k2=0,k∈R,则 ( )
A.当k=0时,圆C的面积是π
B.实数k的取值范围是
C.点(1,0)在圆C内
D.当圆C的周长最大时,圆心C的坐标是(0,-1)
12.在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),若点P满足2|PO|2+|PA|2=2,则△POA面积的最大值为 .
13.[2025·扬州大学附中高二期中] 某圆拱(圆的一段劣弧)形大桥的示意图如图所示,该圆拱形大桥的跨度AB是24 m,拱高OP是4 m,在建造时,每隔2 m需要一个支柱支撑,则支柱A2P2的长度为 m.
14.(15分)在平面直角坐标系中,A(-1,1),B(3,3),C(2,0).
(1)求△ABC的面积;
(2)若O为坐标原点,判断O,A,B,C四点是否在同一个圆上,并说明理由.
15.曲线x2+y2=2|x|-2|y|所围成的封闭图形的面积为 .
16.(15分)阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家,他发现:平面内到两个定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知A(-2,0),B(4,0),动点P满足=.
(1)求动点P所在的阿波罗尼斯圆的方程;
(2)若点Q(-3,5),求|PQ|的最小值和最大值.