(共103张PPT)
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
探究点一 直线与圆的位置关系的判定
探究点二 直线与圆的相交弦问题
探究点三 圆的切线
探究点四 利用直线与圆的方程解决实际问题
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册A
练习册B
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能用几何方法和代数方法描述直线与圆的三种位置关系.
2.能根据给定直线、圆的方程，通过研究联立方程组解的情况或
通过计算圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系.
3.知道直线与圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，会用
直线与圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.
知识点一 直线与圆的位置关系
直线与圆 的位置关
系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 ___个 ___个 ___个
几何 法 计算圆心到直线的距离： _____ ______
代数 法 由 消元得到一元二次方程，计算方程的判别式 _____ _____
2
1
0
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.( )
×
[解析] 直线与圆有公共点,也可能相切.
（2）若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次
方程必有解.( )
√
[解析] 若直线与圆相交,则必有公共点,故直线与圆的方程联立消元后
得到的一元二次方程必有解.
（3）若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得
到的一元二次方程无解.( )
√
[解析] 若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆相离,故直线与圆的
方程联立消元后得到的一元二次方程无解.
知识点二 利用坐标法解决平面几何问题
利用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的
几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
探究点一 直线与圆的位置关系的判定
例1 若直线与圆 有如下位置关系：
①相交，②相切，③相离.试分别求实数 的值或取值范围．
解：方法一：由消去 ，得 ，
则 .
①当直线与圆相交时，，即 ，解得
.②当直线与圆相切时，，即或 .
③当直线与圆相离时，，即或 .
方法二：圆的圆心坐标为，半径 ，
则圆心到直线的距离 .
①当直线与圆相交时，，即，解得 .
②当直线与圆相切时，，即，解得或 .
③当直线与圆相离时，，即，解得或 .
变式（1）［2025·潍坊高二期中］直线
与圆 的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
[解析] 由得 ，由
解得所以直线 过定点
，而点在圆 内，所以直线与圆相交.故选A.
√
（2）［2025·绵阳南山中学高二期中］直线
与圆 的位置关系为( )
A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定
[解析] 圆心坐标为，半径，圆心到直线 的距离
，所以直线与圆 相切，故选C.
√
［素养小结］
直线与圆的位置关系的判断方法:
（1）几何法:由圆心到直线的距离
与圆的半径
的大小关系判断.
（2）代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
（3）直线系法:若直线恒过定点,则可通过判断定点与圆的位置关系来
判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
探究点二 直线与圆的相交弦问题
例2 已知圆内有一点,过点且倾斜角为 的
直线与圆相交于， 两点.
（1）当时,求弦 的长;
解：方法一（几何法）当时,直线的斜率 ,
所以直线的方程为 ,
即，可得圆心到直线的距离 .
又半径,所以弦长 .
方法二（代数法）当时，直线的斜率 ，
所以直线的方程为 ，
即，代入，得 .
设， ，则， ，
所以 .
（2）当弦的长最短时,求直线 的方程.
解：连接,当弦的长最短时, ,因为,所以,
所以直线的方程为 , 即 .
变式（1）［2025·益阳高二期末］已知圆 ，直线
与圆交于,两点，则 的面积为___.
[解析] 圆的圆心为,半径 ，
故圆心到直线的距离 ，
又 ，
所以 .
（2）［2025·咸阳淳化中学高二期中］已知直线 与圆
相交于，两点，且弦的长为 ，求
的值.
解：因为圆的方程为 ，所以圆心为，
半径 ，则圆心到直线的距离 .
因为弦的长为 ，所以，
可得 ，则，
整理可得，解得 .
［素养小结］
求圆截直线所得的弦长
的方法：
（1）几何法：用弦心距
，半径
及弦长的一半
作为直角三角形
的三边长，利用勾股定理求解，即
，得
.
（2）代数法：设交点
，
，直线斜率为
，用弦长公
式
求解.
探究点三 圆的切线
例3（1）过点作圆 的切线，则切线方
程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由圆，可得圆心为 .
因为，所以点在圆上，
又 ，所以过点且与圆相切的直线的斜率为1，
所以过点 的切线方程为，即 .故选D.
√
（2）过点向圆 作切线，切点为
，则 _____.
[解析] 由圆，得圆心为 ，半径为2.
因为过点向圆作切线，切点为 ，且
，所以 .
变式 已知点和圆，求圆过点 的切线
方程.
解：， 点在圆 外.
方法一（几何法）:过点作圆 的切线，当切线斜率存在时，
设切线方程为 ，即 ，
可得，解得，故切线方程为 .
当切线的斜率不存在时，切线方程为 .
切线方程为或 ．
方法二（代数法）：过点作圆 的切线，当切线斜率存在时，
设切线方程为 ，由消去 ,得
，
由，解得 ，故切
线方程为 .
当切线的斜率不存在时，切线方程为 .
切线方程为或 ．
［素养小结］
1.过一点的圆的切线方程的求法
（1）当点在圆上时,圆心与该点的连线与切线垂直,从而求得切线的
斜率,用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
（2）当点在圆外时,过该点的切线有两条,但在用设斜率的方法来解
题时可能求出的切线只有一条,这时另一条切线的斜率不存在.
2.求切线长的方法如图,设点 为圆
外一点,过点 作
圆的切线,切点为 ,则
.
拓展 ［2025·广州四中高二期中］ 已知圆
，为直线 上一点，过
点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形 的面积的
最小值为_____.
[解析] 圆 的标准方程为
，则圆心为，半径，因为
到直线的距离，所以直线与圆 相离.
由题意得，,，且，又 ，
所以.
要使四边形 的面积最小，只需最小，
又 ，所以只需最小，
显然 ，所以，
故四边形的面积的最小值为 .
探究点四 利用直线与圆的方程解决实际问题
例4 ［2024·荆州高二期中］如图所示是某圆弧形
山体隧道的示意图，其中路面为16米，
最大高度 为4米，以为坐标原点， 所在
的直线为 轴建立平面直角坐标系.
（1）求该圆弧所在圆的方程.
解：由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在 轴上，设圆的半径
为米，则 ，解得，所以圆心为 ，
故该圆弧所在圆的方程为 .
（2）若某种汽车的宽为2.5米，高为1.6米，车辆行驶时两车的间距
要求不小于0.5米，同时车顶不能与隧道有剐蹭，那么该隧道最多可
以并排行驶多少辆该种汽车（将汽车看作长方体）
解：设与该种汽车等高且能通过该隧道的车的
最大宽度为 米，则，
解得 .
若该隧道并排行驶5辆该种汽车，则需要的宽度至少为
（米），因为 ，所以该隧道
不能并排行驶5辆该种汽车.
若该隧道并排行驶4辆该种汽车，则需要的宽度至少为
（米），
因为 ，所以该隧道能并排行驶4辆该种汽车.
综上所述，该隧道最多可以并排行驶4辆该种汽车.
变式 如图，某海面上有，， 三个小岛（面积大小忽略不计），
岛在岛的北偏东 方向距岛千米处，岛在 岛的正东方
向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为 轴的正方向，1
千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过，， 三点.
（1）求圆 的方程.
解：根据题意可知,, ，易知圆的圆心在线段的
垂直平分线上，所以设 ，
由可得 ，
解得，所以半径为 ，
因此圆的方程为 .
（2）若圆区域内有暗礁，现有一艘船在岛的北偏西
方向距岛千米处正沿着北偏东 方向行驶，
若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
解：由在岛的北偏西 方向距岛 千米处，可得 .
由行驶方向为北偏东 可知行驶轨迹所在直线的斜率为 ，
因此行驶轨迹所在直线的方程为 .
因为圆心 到行驶轨迹所在直线的距离
，
所以行驶轨迹所在直线与圆 相离，因此该船没有触礁的危险.
［素养小结］
解决直线与圆的实际问题的一般方法:
（1）建立适当的直角坐标系（一般以圆心作为原点）,用坐标和方程
表示实际问题中的点、直线与圆.
（2）利用直线与圆的有关知识,结合问题的结论,求解直线与圆的相
关问题.
（3）根据运算结果解释实际含义,进而解决实际问题.
对直线与圆的位置关系及其判定的理解
（1）代数法是从方程角度考虑,运算量较大;几何法是从几何角度考
虑,方法相对简单.这两种方法是判断直线与圆的位置关系的常用方法.
（2）应用几何法还可以求出圆上有4个或3个或2个或1个或0个点到
直线的距离为某一定值时某些参数的值或取值范围.
（3）利用代数法判断位置关系时,不必求出方程组的实数解,只需将
直线方程代入到圆的方程中,并消去一个未知数,得到一个关于（或 ）
的一元二次方程,由 与0的大小关系判断方程解的个数,进一步判断
两者的位置关系.
1.判断直线与圆的位置关系的常用方法:（1）代数法,将圆的方程和
直线的方程组成方程组,并消去一个未知数得到一个一元二次方程,利
用该一元二次方程根的判别式判断;（2）几何法,依据圆心到直线的
距离与半径 的大小关系进行判断.
例1 已知点在圆外，则直线 与圆
的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
√
[解析] 因为点在圆外，所以 ，所
以圆心到直线的距离 ，所以该直线与圆
相交．
2.求圆的切线方程的常用方法:（1）待定系数法,设出切点坐标或切
线的斜率,由题意列出方程（组）,解得切点坐标或切线斜率,写出切线
的点斜式方程,最后将点斜式化为一般式;（2）定义法,根据切线的定
义求出切线方程;（3）直接法,应用常见结论,直接写出切线方程.
例2 已知圆经过点和，且圆心在直线 上.
（1）求圆 的标准方程；
解：设圆的标准方程为 ，
则解得
故圆的标准方程为 .
（2）过点作圆的切线，求直线 的方程.
解：由（1）知，圆心为 ，半径为1.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心 到直
线的距离为1，直线与圆 相切，符合题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为 ，即
，由题意可得，解得 ，
此时，直线的方程为，即 .
综上所述，直线的方程为或 .
3.已知弦长,求弦所在直线的方程或求圆的方程,往往结合相关直角三
角形（直角三角形三边长分别是圆的半径、弦长 的一半、弦心距
）,并利用待定系数法求解.
解：由圆关于轴对称知圆心在轴上，设圆心为 ，
由题意得 ，
解得，故 ，圆的半径为2，
故圆的标准方程为 .
例3 ［2025·重庆巴蜀中学高二期中］已知圆关于 轴对称且经过点
和 .
（1）求圆 的标准方程；
（2）过点的直线与圆交于，两点，若 ，求
直线 的方程.
解：方法一：若，则圆心到直线 的距离
.若直线的斜率不存在，则直线的方程为 ，
圆心到直线的距离 ，满足题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为 ，即
，则，解得 ，
此时直线的方程为，即 .
综上所述，直线的方程为或 .
方法二：因为，所以在圆 上，则
与， 两点之一重合；
不妨设,，则 ，
与联立，解得或
所以 或 ，故直线的方程为或 .
4.利用解析法解决实际问题和几何问题的一般思路:通过建立坐标系,
将实际问题和几何问题转化为代数问题,通过代数运算,求得结果,将结
果转化为所求问题的结论.
例4 为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地
（如图）,它的附近有一条公路.从基地中心 向正东方向走
到达储备基地边界上的点,继续向东走 到达公路
上的点;从基地中心向正北方向走到达公路上的另一点 .现准
备在储备基地的边界上选一点,修建一条由通往公路 的专用线
在公路上,求到 的最短距离.
解：以为坐标原点,, 所在的直线分别为轴和 轴,
建立平面直角坐标系,如图,则圆的方程为 .
因为点,,所以直线 的方程为
,即 .
当点选在与直线平行的直线（距 较近的一条）与圆相切所得的
切点处且时, 取得最小值,最小值为，
故到的最短距离为 .
练习册A
1.［2025·湛江高二期中］直线 与圆
的位置关系为( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断
[解析] 由题知，圆的圆心为，半径，因为圆心 到
直线的距离，所以圆
与直线 相交.故选A.
√
2.［2024·北京三十五中高二期中］直线 被圆
截得的弦长为( )
A.1 B.2 C. D.
[解析] 由题知圆心为，半径 ,圆心到直线的距离
，则弦长 ．
故选D．
√
3.［2025·徐州高二期中］直线与以 为圆心
的圆相交于，两点，若，则圆 的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 易知到直线 的距离
，所以圆的半径 ，
故圆的方程为 .故选B.
√
4.［2025·南京外国语学校高二期中］设 为实数，则直线
与圆 的交点个数
为( )
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
[解析] 由，得直线恒过点.
圆 的标准方程为，
因为 ，所以点在圆内，
所以直线与圆相交，则直线与圆 有2个交点.故选C.
√
5.［2025·衡阳一中高二月考］已知圆 ，过直线
上的动点作圆的一条切线，切点为，则 的
最小值为( )
A.2 B.4 C. D.3
[解析] 连接，，则，所以当 最小
时，最小.
因为圆的圆心为 ，半径为1，
所以，
故的最小值为 .故选C.
√
6.（多选题）过点且与圆 相切的直线的
方程是( )
A. B.
C. D.
[解析] 当斜率不存在时直线 满足题意.当斜率存在时，设直线
方程为,由直线与圆 相切得
,解得,故切线方程为.故选 .
√
√
7.［2025·重庆杨家坪中学高二月考］直线 被圆
截得的弦长为，则 _______.
0或10
[解析] 由题意得圆心为，则圆心到直线 的距离为
，因为圆的半径为，弦长为 ，所以
，解得或 .
8.若为圆的弦的中点，则直线 的方
程是_____________.
[解析] 设圆心为，连接，则，由圆的性质知 ，
易知直线的斜率存在且不为0，所以，
又直线 的斜率，所以，即直线的斜率为1.
又直线 过点，所以直线的方程为 ，即
.
9.（13分）已知圆外有一点 ，过
点作直线 .
（1）当直线与圆相切时，求直线 的方程；
解：由题意知，圆的圆心为，半径 .
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与圆 相切；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，
即，
若直线与圆 相切，则，解得 ，
此时直线的方程为 .
综上，直线的方程为或 .
（2）当直线的倾斜角为 时，求直线被圆 所截得的弦长.
解：当直线的倾斜角为 时，直线的方程为 ，
即，圆心到直线的距离 ,故所求弦长为
.
10.若直线与曲线有两个公共点，则实数
的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 方程可化为 且，所以曲线
是以原点为圆心，半径为1的圆上横坐标为非负实数的
点的集合.直线的斜率为，作出曲线
和直线 ，如图所示.
√
由图可知，在，之间的平行线（包含直线，不包含直线 ）
都与曲线有两个交点.设直线 的方程为，
直线的方程为 ，其中.
因为直线过点 ，所以，即.
因为点到直线 的距离为1，所以，
又 ，所以，所以当 时，
直线与曲线 有两个公共点，
所以实数的取值范围是 .故选D.
11.（多选题）已知过点的直线 与圆
交于，两点， 为坐标原点，则( )
A. B. 的最大值为4
C.面积的最大值为4 D.点到直线的距离小于
[解析] 圆的圆心为，半径 ，
因为，所以点在圆 外.
对于A选项，
，则，A正确；
对于B选项，当直线过圆心时， 取得最大值，
√
√
√
且最大值为 ，B正确；
对于C选项，
,当且仅当 时，等号成立，则 面积的
最大值为2，C错误；
对于D选项，因为，所以当时，直线 的斜率为，
点到直线的距离最大，此时直线 的方程为，
即，圆心到直线 的距离为，
此时直线与圆相离，点到直线 的距离为，而直线与
圆相交，故点到直线的距离小于 ，D正确.故选 .
12.若一条过原点的直线被圆 所截得的弦长为2，则
该直线的倾斜角为___________.
或
[解析] 圆的方程可化为 ，则其圆
心坐标为 ，半径为2.
由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为.因为直线被
圆 所截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离
为，解得 ，
所以该直线的倾斜角为 或 .
13.［2024·大庆高二期中］一条光线从点射出，经 轴反射
后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为
_________．
或
[解析] 根据反射定律，反射光线所在直线就是过点 所作圆的
切线，设其斜率为，反射光线所在直线的方程为 ，
即，则，解得或 ．
14.（15分）［2025·大理高二期末］ 已知直线 与
圆相切于点，且圆心在直线 上.
（1）求圆 的方程；
解：因为直线的斜率为，所以直线的斜率为 ，
所以直线的方程为，即 .
由解得 所以，
所以圆的半径 ，
所以圆的方程为 .
（2）过直线上一点引圆 的两条切线，切点分
别为，，求四边形 面积的最小值.
解：因为到直线 的距离
，所以直线与圆 相离，
由题意知四边形 的面积为
，
易知当与直线垂直时，最小，此时四边形 的面积最小.
，所以四边形 面积的最小值为
.
15.（多选题）［2024·蚌埠高二期中］ 过直线 上的
动点分别作圆与圆 的切线，
切点分别为， ，则( )
A.圆上恰好有两个点到直线的距离为
B.的最小值为
C.的最小值为
D.直线上存在两个点，使得
√
√
√
[解析] 圆，圆心为，半径 ；
圆，圆心为，半径 ．
对于选项A，到直线的距离， ，
故只有1个点满足条件，A错误；
对于选项B，， 的最小值为，
故的最小值为 ，B正确；
对于选项C，设关于直线的对称点为，
则 解得故 ，
，当且仅
当，，三点共线时取等号，C正确；
对于选项D， ，即，
即，
设 ，则，
整理得到 ，故点的轨迹是圆心为，半径为
4的圆，又圆心到直线 的距离为，所以直线 和圆相交，
有两个交点，D正确．故选 .
16.（15分）某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和
一个长方形的三边构成，如图所示，已知隧道总宽度
米，行车道总宽度米，和 为相对的
两个车道，侧端面米，弧顶高 米.
（1）求圆弧所在圆的半径的长度.
解：设，以为原点， 所在直线为轴，
所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，， ，易知圆
弧所在圆的圆心在 轴上，设圆的方程为
，
因为， 在圆上，所以解得
所以圆弧所在圆的半径的长度为6米.
（2）为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道
顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米，则该隧道规定的车辆
限制高度应为多少米？
解：设限制高度为米，如图，过作 交圆弧于 ，
则 ，
由（1）知，圆的方程为，将 代入圆的方程，
得，解得或 （舍），
所以 ，故隧
道规定的车辆限制高度应为3.5米.
练习册B
1.［2025·北京陈经纶中学高二期中］直线 与圆
相切，则 的值是( )
A.或12 B.2或 C.或 D.2或12
[解析] 由题得圆的圆心坐标为 ，半径为1，因为直线
与圆相切，所以 ，
解得或 .故选D.
√
2.［2025·东莞高二期中］已知两条直线 与
被圆截得的弦长均为2，则圆 的面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，所以 ，
所以与之间的距离为，则圆心到直线 的距离为1.
因为直线被圆截得的弦长为2，所以圆的半径 ，
所以圆的面积为 .故选A.
√
3.直线截圆 所得劣弧所对的圆心角
为，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 设劣弧的两个端点为，，圆心为，由题意可知 为
正三角形，圆心到直线的距离为正三角形
的高，故，解得 ，故选C.
√
4.若过点与圆相切的两条直线的夹角为 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 点到圆心的距离，又圆的半径 ，
所以 ，
于是 .故选A.
√
5.有一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱顶离水面2米,水面宽
为12米,当水面下降2米后,水面宽为( )
A.13米 B.14米 C.15米 D.16米
√
[解析] 以圆拱拱顶 为坐标原点,以与圆
拱拱顶相切的直线为 轴,以过圆拱拱顶的
竖线为 轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
由题意可设圆的方程为（其中 为圆的半径）,
因为拱顶离水面2米时,水面宽为12米,所以点在圆上,将点 的
坐标代入圆的方程,可得,所以圆的方程为 .
当水面下降2米后, 设在圆上,将点 的坐标代入圆的
方程,可得,可得 ,所以此时水面宽为16米.
6.（多选题）［2024·孝感高二期末］ 已知点 和
，过点的两条直线分别与相切于，
两点，下列说法正确的是( )
A.
B.
C.，，，均在圆 上
D.，所在直线的方程为
√
√
√
[解析] 根据题意，的圆心为 ，半径为2,
过点的两条直线分别与相切于， 两点，如图，
则， ，所以， ，
所以A正确，B错误；
连接，易知四边形 为正方形，其中心为，
所以，，，均在圆 上，所以C正确；
，所在直线的方程为 ,所以D正确.故选 .
7.已知直线与圆相交于， 两点，
若为等边三角形，则 的值为_____．
[解析] 由题意得圆的标准方程为 ，其圆心坐标为
，半径.
直线与圆 相交于，两点，
若为等边三角形，则圆心到直线 的距离，
即，解得 .
8.已知直线 与圆
交于，两点，则弦长 的取值范围是
_______.
[解析] 圆的圆心为，半径 .直线
，即，令
解得所以直线过定点，
又 ，所以点在圆内，所以的最大值为
直径，即.当 最小时，点为弦的中点，
连接，此时 ，，但此时直线的斜率
不存在，所以 取不到6，即的取值范围是 .
9.（13分）［2024·浙江浙南名校联盟高二期中］ 已知圆
.
（1）求过圆心且在两坐标轴上的截距相等的直线 的方程；
解：圆的标准方程为，故 ，半径为3.
若直线过原点，则直线的方程为，即 ，符合题意；
若直线不过原点，设直线的方程为 ，
又在直线上，所以，解得，
故直线 的方程为 .
综上，直线的方程为或 .
（2）若直线与圆相交所得的弦长为4，求实数 的值.
解：由题意知到直线的距离为 ，
所以，解得或 .
10.［2025·四川射洪中学高二期中］已知 ，若直线
与圆交于,两点，则 的最
小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.
√
[解析] 因为，所以 ，代入直线方程
得 ，即
，令得
故直线恒过点.
圆的标准方程为 ，设圆心为，半径为，则，
，易知当时， 最小，又, ，
所以 .故选C.
11.（多选题）［2024·重庆八中高二月考］ 已知点 在曲线
上，则下列选项正确的是( )
A.的最大值是
B.的最大值是
C.的最小值是
D.过点作该曲线的切线，则切线方程为
√
√
[解析] 可化为 ，可得圆心为
，半径.对于A，表示圆上的点到定点 的
距离的平方，所以 的最大值为，
所以A错误；
对于B， 表示圆上的点与点的连线的斜率,设 ，
即，由圆心到直线 的距离
，解得，所以 的最大值为
，所以B正确；
对于C， 表示圆上任意一点到直线的距离的
倍，圆心到直线 的距离为，
所以的最小值为 ，所以C错误；
对于D，因为点的坐标满足圆 的方程，所以点在圆上，
点与圆心连线的斜率 ，设过点作圆的切线
的斜率为,根据圆的性质，可得 ，
所以切线方程为，即 ，所以D正
确.故选 .
12.［2025·淄博高二期末］已知直线 与曲线
恰有一个公共点，则实数 的取值范围为___________.
[解析] 由得 ，所以曲线
是以原点 为圆心，3为半径的圆在 轴及其
上方的部分，即为半圆.
由得 ，
由解得 所以直线过定点 .
如图，当直线过点时，;
当直线 过点时,;
当直线 与半圆相切时，可得，解得或 （舍）.
故当直线 与半圆恰有一个公共点时，或，
故实数 的取值范围为 .
13.［2024·南充一中高二期中］已知点是直线 上的
动点，过点作圆的切线，切点为， ，则四
边形 的面积的最小值是___.
8
[解析] 连接，要使四边形 的面积最小，只需使切线长最小，
由切线长公式知，只需使最小，的最小值即为圆心 到直
线的距离，圆心为，半径，圆心到直线 的距离
，所以 ，故四边形
的面积的最小值为 ．
14.（15分）某台风中心位于 处，在台风中心正西方向距离为
的处有一人，正沿北偏东 为锐角 方向骑摩托车行进，
其速度为，已知距离台风中心 及以内的区域会受台
风影响.
（1）若此人不受台风影响，求 的最大值；
解：如图，以为坐标原点，正东方向为 轴的正方向，
正北方向为轴的正方向， 为单位长度，
建立平面直角坐标系，其中圆 是以坐标原点为圆
心， 为半径的圆，
若此人不受台风影响，则骑行轨迹正好与圆相切时， 取得最大值，
则 取得最大值，
此时，所以，则 ，故 的最大值为 .
（2）若此人的骑行方向改为北偏东 ，求此人受台风影响持续多
长时间？
解：由题意得，此人的骑行轨迹所在直线的方程为 ，
则圆心到直线的距离 ，
所以该直线与圆相交所得弦的长为 ，
故此人受台风影响持续时间为 .
15.［2025·北京大兴区高二期中］如图，放在平面直角坐标系中的
“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色区域关于原点
中心对称，其中黑色阴影区域在 轴右侧部分的边界为一个半圆.
已知直线 .给出下列四个结论：
①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分的面积记为 ，
，则 ；②当时，直线 与黑色阴影区域有1个公共点；
③当时，直线 与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点.
其中所有正确结论的序号是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
√
[解析] 如图a所示，大圆的半径为2，小圆的半径
为1，所以大圆的面积为 ，小圆的面积为 .
对于①，当时，直线的方程为 ，
此时， ，所以
，故①正确.
对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为
,当时，直线的方程为，
即 ，小圆的圆心到直线的距离 ，
所以直线 与该半圆弧相切，如图b所示，所以
直线 与黑色阴影区域只有1个公共点，故②正确.
对于③，如图c所示，当 时，直线 与黑色
阴影区域的边界曲线有2个公共点，当时，
直线 与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点 ，
故③错误.综上所述，所有正确结论的序号是①②.故选A.
16.（15分）已知圆过点，，且圆心 在直线
上.
（1）求圆 的标准方程.
解：设圆的方程为 ，
则解得
圆的方程为 ，即 .
（2）是否存在满足以下两个条件的直线 ？
①斜率为1；②被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点 .若存
在这样的直线 ，请求出其方程；若不存在，请说明理由.
解：假设存在满足条件的直线，其方程为 ，
设， ，由
消去 ，
以为直径的圆过原点，， ，
，
即 ，即 ，
或，容易验证或时方程（*）的 ，
故存在满足条件的直线，其方程是或 .
快速核答案(导学案）
课前预习 知识点一 2,1,0,
,
,
,
【诊断分析】（1）×（2）√（3）√
课中探究 例1.①当直线与圆相交时，
.
②当直线与圆相切时，
或
.
③当直线与圆相离时，
或
.
变式.（1）A （2）C 例2.（1）.（2）
.变式.（1）
（2）
例3.（1）D （2）
变式.或
拓展.
例4.（1）.（2）4辆. 变式.（1）.（2）没有
快速核答案(练习册）
练习册A
1.A 2.D 3.B 4.C 5.C 6.AC 7.0或10 8. 9.（1）或
（2）. 10.D 11.ABD 12. 或 13.或
14.（1） （2） 15.BCD 16.（1）6米 （2）3.5米
练习册B
1.D 2.A 3.C 4.A 5.D 6.ACD 7. 8.
9.（1）或
（2）或
10.C 11.BD 12. 13.8 14.（1） （2） 15.A
16.（1） （2）存在，或2.5.1 直线与圆的位置关系
【课前预习】
知识点一
2 1 0 dr Δ>0 Δ=0
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)直线与圆有公共点,也可能相切.
(2)若直线与圆相交,则必有公共点,故直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解.
(3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆相离,故直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.
【课中探究】
探究点一
例1 解:方法一:由消去y,得25x2+8ax+a2-900=0,则Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90 000.
①当直线与圆相交时,Δ>0,即-36a2+90 000>0,解得-50②当直线与圆相切时,Δ=0,即a=50或a=-50.
③当直线与圆相离时,Δ<0,即a<-50或a>50.
方法二:圆x2+y2=100的圆心坐标为(0,0),半径r=10,
则圆心到直线4x-3y+a=0的距离d==.
①当直线与圆相交时,d②当直线与圆相切时,d=r,即=10,解得a=50或a=-50.
③当直线与圆相离时,d>r,即>10,解得a<-50或a>50.
变式 (1)A (2)C [解析] (1)由ax+(a-1)y+a=0得a(x+y+1)-y=0,由解得所以直线ax+(a-1)y+a=0过定点(-1,0),而点(-1,0)在圆x2+y2=4内,所以直线与圆相交.故选A.
(2)圆心坐标为(0,0),半径r=1,圆心到直线l的距离d==1=r,所以直线l与圆O相切,故选C.
探究点二
例2 解:(1)方法一(几何法):当α=时,直线AB的斜率k=tan =-1,所以直线AB的方程为y-2=-(x+1),
即y=-x+1,可得圆心到直线AB的距离d=.
又半径r=2,所以弦长|AB|=2=2×=.
方法二(代数法):当α=时,直线AB的斜率k=tan=-1,所以直线AB的方程为y-2=-(x+1),
即y=-x+1,代入x2+y2=8,得2x2-2x-7=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=1,x1x2=-,
所以|AB|=|x1-x2|==.
(2)连接OP0,当弦AB的长最短时,OP0⊥AB,
因为=-2,所以kAB=,所以直线AB的方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0.
变式 (1) [解析] 圆C:(x+1)2+y2=4的圆心为(-1,0),半径r=2,故圆心到直线l的距离d==,又|AB|=2=2×=,所以S△ABC=|AB|d=××=.
(2)解:因为圆的方程为(x-5)2+(y-4)2=37,
所以圆心为(5,4),半径r=,
则圆心(5,4)到直线ax-y+3=0的距离d=.
因为弦AB的长为6,
所以2=2=6,可得d=,
则=,整理可得15a2-10a-9=0,解得a=.
探究点三
例3 (1)D (2) [解析] (1)由圆E:x2+y2-4y+2=0,可得圆心为E(0,2).因为12+12-4×1+2=0,所以点P在圆上,又kPE==-1,所以过点P且与圆相切的直线的斜率为1,所以过点P的切线方程为y-1=x-1,即x-y=0.故选D.
(2)由圆C:(x-1)2+(y-2)2=4,得圆心为C(1,2),半径为2.因为过点A(-2,-1)向圆C作切线,切点为B,且|AC|==3,所以|AB|===.
变式 解:∵12+(4-2)2>1,∴点P(1,4)在圆M:x2+(y-2)2=1外.
方法一(几何法):过点P作圆M的切线,当切线斜率存在时,
设切线方程为y-4=k(x-1),
即kx-y-k+4=0,
可得=1,解得k=,故切线方程为3x-4y+13=0.当切线的斜率不存在时,切线方程为x=1.
∴切线方程为3x-4y+13=0或x=1.
方法二(代数法):过点P作圆M的切线,当切线斜率存在时,
设切线方程为y-4=k(x-1),
由消去y,得(k2+1)x2-2k(k-2)x+k2-4k+3=0,
由Δ=4k2(k-2)2-4(k2+1)(k2-4k+3)=0,解得k=,故切线方程为3x-4y+13=0.
当切线的斜率不存在时,切线方程为x=1.
∴切线方程为3x-4y+13=0或x=1.
拓展 [解析] 圆C:x2+y2-2x-4y-4=0的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=9,则圆心为C(1,2),半径r=3,因为C(1,2)到直线l:x+y+2=0的距离d=>3,所以直线l与圆C相离.由题意得,CB⊥PB,CA⊥PA,且S四边形PACB=2S△PBC,又r=|CB|=3,所以S四边形PACB=2××3×|PB|=3|PB|.要使四边形PACB的面积最小,只需|PB|最小,又|PB|==,所以只需|PC|最小,显然|PC|min=d=,所以|PB|min==,故四边形PACB的面积的最小值为.
探究点四
例4 解:(1)由圆的对称性可知,该圆弧所在圆的圆心在y轴上,设圆的半径为r米,则r2=82+(r-4)2,解得r=10,所以圆心为(0,-6),
故该圆弧所在圆的方程为x2+(y+6)2=100.
(2)设与该种汽车等高且能通过该隧道的车的最大宽度为d米,则+(6+1.6)2=102,解得d=2.
若该隧道并排行驶5辆该种汽车,则需要的宽度至少为5×2.5+4×0.5=14.5(米),因为14.5>2,所以该隧道不能并排行驶5辆该种汽车.
若该隧道并排行驶4辆该种汽车,则需要的宽度至少为4×2.5+3×0.5=11.5(米),因为11.5<2,所以该隧道能并排行驶4辆该种汽车.
综上所述,该隧道最多可以并排行驶4辆该种汽车.
变式 解:(1)根据题意可知O(0,0),B(20,0),A(30,30),
易知圆C的圆心在线段OB的垂直平分线x=10上,所以设C(10,b),
由|OC|=|CA|可得=,
解得b=20,所以半径为|OC|=10,
因此圆C的方程为(x-10)2+(y-20)2=500.
(2)由D在O岛的北偏西45°方向距O岛20千米处,可得D(-20,20).
由行驶方向为北偏东30°可知行驶轨迹所在直线的斜率为,
因此行驶轨迹所在直线的方程为x-y+20(+1)=0.
因为圆心C(10,20)到行驶轨迹所在直线的距离d===15>|OC|,
所以行驶轨迹所在直线与圆C相离,因此该船没有触礁的危险.2.5.1 直线与圆的位置关系
【学习目标】
1.能用几何方法和代数方法描述直线与圆的三种位置关系.
2.能根据给定直线、圆的方程,通过研究联立方程组解的情况或通过计算圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系.
3.知道直线与圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,会用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.
◆ 知识点一 直线与圆的位置关系
直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 个 个 个
几何法 计算圆心到直线的距离:d= d=r
代数法 由 消元得到一元二次方程,计算方程的判别式Δ Δ<0
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交. ( )
(2)若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解. ( )
(3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解. ( )
◆ 知识点二 利用坐标法解决平面几何问题
利用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,如点、直线、圆,把平面几何问题转化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
◆ 探究点一 直线与圆的位置关系的判定
例1 若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100有如下位置关系:①相交,②相切,③相离.试分别求实数a的值或取值范围.
变式 (1)[2025·潍坊高二期中] 直线ax+(a-1)y+a=0(a∈R)与圆x2+y2=4的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法确定
(2)[2025·绵阳南山中学高二期中] 直线l:xcos θ+ysin θ-1=0与圆O:x2+y2=1的位置关系为 ( )
A.相离 B.相交
C.相切 D.无法确定
[素养小结]
直线与圆的位置关系的判断方法:
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法:若直线恒过定点,则可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
◆ 探究点二 直线与圆的相交弦问题
例2 已知圆O:x2+y2=8内有一点P0(-1,2),过点P0且倾斜角为α的直线与圆O相交于A,B两点.
(1)当α=时,求弦AB的长;
(2)当弦AB的长最短时,求直线AB的方程.
变式 (1)[2025·益阳高二期末] 已知圆C:(x+1)2+y2=4,直线l:3x+4y-3=0与圆C交于A,B两点,则△ABC的面积为 .
(2)[2025·咸阳淳化中学高二期中] 已知直线ax-y+3=0与圆(x-5)2+(y-4)2=37相交于A,B两点,且弦AB的长为6,求a的值.
[素养小结]
求圆截直线所得的弦长|AB|的方法:
(1)几何法:用弦心距d,半径r及弦长的一半作为直角三角形的三边长,利用勾股定理求解,即+d2=r2,得|AB|=2.
(2)代数法:设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线斜率为k,用弦长公式|AB|=|x1-x2|=求解.
◆ 探究点三 圆的切线
例3 (1)过点P(1,1)作圆E:x2+y2-4y+2=0的切线,则切线方程为 ( )
A.x-y+1=0 B.x+y=0
C.x+y+1=0 D.x-y=0
(2)过点A(-2,-1)向圆C:(x-1)2+(y-2)2=4作切线,切点为B,则|AB|= .
变式 已知点P(1,4)和圆M:x2+(y-2)2=1,求圆M过点P的切线方程.
[素养小结]
1.过一点的圆的切线方程的求法
(1)当点在圆上时,圆心与该点的连线与切线垂直,从而求得切线的斜率,用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
(2)当点在圆外时,过该点的切线有两条,但在用设斜率的方法来解题时可能求出的切线只有一条,这时另一条切线的斜率不存在.
2.求切线长的方法
如图,设点M(x0,y0)为圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点,过点M作圆的切线,切点为P,则|MP|==.
拓展 [2025·广州四中高二期中] 已知圆C:x2+y2-2x-4y-4=0,P为直线l:x+y+2=0上一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为 .
◆ 探究点四 利用直线与圆的方程解决实际问题
例4 [2024·荆州高二期中] 如图所示是某圆弧形山体隧道的示意图,其中路面AB为16米,最大高度CD为4米,以C为坐标原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系.
(1)求该圆弧所在圆的方程.
(2)若某种汽车的宽为2.5米,高为1.6米,车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米,同时车顶不能与隧道有剐蹭,那么该隧道最多可以并排行驶多少辆该种汽车(将汽车看作长方体)
变式 如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛30千米处,B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1千米为单位长度,建立平面直角坐标系,圆C经过O,A,B三点.
(1)求圆C的方程.
(2)若圆C区域内有暗礁,现有一艘船D在O岛的北偏西45°方向距O岛20千米处正沿着北偏东30°方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险
[素养小结]
解决直线与圆的实际问题的一般方法:
(1)建立适当的直角坐标系(一般以圆心作为原点),用坐标和方程表示实际问题中的点、直线与圆.
(2)利用直线与圆的有关知识,结合问题的结论,求解直线与圆的相关问题.
(3)根据运算结果解释实际含义,进而解决实际问题.2.5.1 直线与圆的位置关系(A)
1.A [解析] 由题知,圆C的圆心为C(2,0),半径r=2,因为圆心C(2,0)到直线l:3x+4y-1=0的距离d==12.D [解析] 由题知圆心为(0,0),半径r=2,圆心到直线的距离d==1,则弦长l=2=2×=2.故选D.
3.B [解析] 易知C(-1,-2)到直线3x+4y-9=0的距离d==4,所以圆C的半径r==5,故圆C的方程为(x+1)2+(y+2)2=25.故选B.
4.C [解析] 由l:k(x-4)-y+3=0,得直线l恒过点(4,3).圆C的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4,因为(4-3)2+(3-4)2=2<4,所以点(4,3)在圆内,所以直线l与圆C相交,则直线l与圆C有2个交点.故选C.
5.C [解析] 连接PC,AC,则|PA|2=|PC|2-|AC|2,所以当|PC|最小时,|PA|最小.因为圆C:(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径为1,所以|PC|min==2,故|PA|的最小值为=.故选C.
6.AC [解析] 当斜率不存在时直线x=0满足题意.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,由直线与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切得=1,解得k=-,故切线方程为4x+3y-3=0.故选AC.
7.0或10 [解析] 由题意得圆心为(-1,2),则圆心(-1,2)到直线l的距离为=,因为圆的半径为2,弦长为2,所以2=2,解得m=0或m=10.
8.x-y-3=0 [解析] 设圆心为C,连接PC,则C(1,0),由圆的性质知PC⊥AB,易知直线PC的斜率存在且不为0,所以kPC·kAB=-1,又直线PC的斜率kPC==-1,所以kAB=1,即直线AB的斜率为1.又直线AB过点P(2,-1),所以直线AB的方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0.
9.解:(1)由题意知,圆C的圆心为(2,3),半径r=2.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=4,此时直线l与圆C相切;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-4),
即kx-y-4k-1=0,若直线l与圆C相切,
则=2,解得k=-,
此时直线l的方程为3x+4y-8=0.
综上,直线l的方程为x=4或3x+4y-8=0.
(2)当直线l的倾斜角为135°时,直线l的方程为y+1=-(x-4),
即x+y-3=0,圆心到直线l的距离d==,故所求弦长为2=2×=2.
10.D [解析] 方程x=可化为x2+y2=1且x≥0,所以曲线x=是以原点为圆心,半径为1的圆上横坐标为非负实数的点的集合.直线x+y+b=0的斜率为-1,作出曲线x=和直线x+y+b=0,如图所示.由图可知,在l1,l2之间的平行线(包含直线l1,不包含直线l2)都与曲线x=有两个交点.设直线l1的方程为x+y+b1=0,直线l2的方程为x+y+b2=0,其中-b2>0.因为直线l1过点(0,1),所以0+1+b1=0,即b1=-1.因为点(0,0)到直线l2的距离为1,所以=1,又b2<0,所以b2=-,所以当-11.ABD [解析] 圆C的圆心为C(2,-2),半径r=2,因为(-2-2)2+(-1+2)2>4,所以点P在圆C外.对于A选项,|PA|min=|PC|-r=-2=-2>2,则|PA|>2,A正确;对于B选项,当直线l过圆心C时,|AB|取得最大值,且最大值为2r=4,B正确;对于C选项,S△ABC=|CA|·|CB|sin∠ACB=×22sin∠ACB=2sin∠ACB≤2,当且仅当∠ACB=90°时,等号成立,则△ABC面积的最大值为2,C错误;对于D选项,因为kOP=,所以当OP⊥l时,直线l的斜率为-2,点O到直线l的距离最大,此时直线l的方程为y+1=-2(x+2),即2x+y+5=0,圆心C到直线l的距离为=>2,此时直线l与圆C相离,点O到直线l的距离为|OP|=,而直线l与圆C相交,故点O到直线l的距离小于,D正确.故选ABD.
12.60°或120° [解析] 圆x2+y2-4x=0的方程可化为(x-2)2+y2=4,则其圆心坐标为(2,0),半径为2.由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为y=kx.因为直线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离为==,解得k=±,所以该直线的倾斜角为60°或120°.
13.-或- [解析] 根据反射定律,反射光线所在直线就是过点(2,-3)所作圆的切线,设其斜率为k,反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0,则=1,解得k=-或-.
14.解:(1)因为直线l1的斜率为,所以直线PM的斜率为-6,
所以直线PM的方程为y+1=-6(x-4),即6x+y-23=0.
由解得
所以M(3,5),所以圆M的半径r==,
所以圆M的方程为(x-3)2+(y-5)2=37.
(2)因为M(3,5)到直线l:5x+7y+24=0的距离d==>=r,
所以直线l:5x+7y+24=0与圆M相离,
由题意知四边形MANB的面积为2S△MNA=2××|AM|×|AN|=×|AN|=×,
易知当MN与直线l垂直时,|MN|最小,此时四边形MANB的面积最小.
|MN|min=d=,所以四边形MANB面积的最小值为×=37.
15.BCD [解析] 圆C1:x2+y2=2,圆心为C1(0,0),半径r1=;圆C2:(x-6)2+y2=8,圆心为C2(6,0),半径r2=2.对于选项A,C1(0,0)到直线l的距离d==2,3=2+r1,故只有1个点满足条件,A错误;对于选项B,|PA|=,|PC1|的最小值为=2,故|PA|的最小值为,B正确;对于选项C,设C1(0,0)关于直线l的对称点为Q(x0,y0),则解得故Q(-4,-4),|PC1|+|PC2|=|PQ|+|PC2|≥|QC2|==2,当且仅当Q,P,C2三点共线时取等号,C正确;对于选项D,|PB|=2|PA|,即|PB|2=4|PA|2,即|PC2|2-=4(|PC1|2-),设P(x,y),则(x-6)2+y2-8=4(x2+y2-2),整理得到(x+2)2+y2=16,故点P的轨迹是圆心为(-2,0),半径为4的圆,又圆心(-2,0)到直线l的距离为=<4,所以直线l和圆相交,有两个交点,D正确.故选BCD.
16.解:(1)设EF∩MN=O,以O为原点,EF所在直线为x轴,MN所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则E(-3,0),F(3,0),M(0,3),易知圆弧所在圆的圆心在y轴上,设圆的方程为x2+(y-b)2=r2,
因为F,M在圆上,
所以解得
所以圆弧所在圆的半径的长度为6米.
(2)设限制高度为h米,如图,过C作CP⊥AD交圆弧于P,
则|CP|=h+0.5,
由(1)知,圆的方程为x2+(y+3)2=36,将x=代入圆的方程,
得()2+(y+3)2=36,解得y=2或y=-8(舍),
所以h=|CP|-0.5=(y+|DF|)-0.5=(2+2)-0.5=3.5,故隧道规定的车辆限制高度应为3.5米.2.5.1 直线与圆的位置关系(A)
1.[2025·湛江高二期中] 直线l:3x+4y-1=0与圆C:(x-2)2+y2=4的位置关系为 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法判断
2.[2024·北京三十五中高二期中] 直线x+y-2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为 ( )
A.1 B.2
C.2 D.2
3.[2025·徐州高二期中] 直线3x+4y-9=0与以C(-1,-2)为圆心的圆相交于A,B两点,若|AB|=6,则圆C的方程为 ( )
A.(x+1)2+(y+2)2=5
B.(x+1)2+(y+2)2=25
C.(x-1)2+(y-2)2=5
D.(x-1)2+(y-2)2=25
4.[2025·南京外国语学校高二期中] 设k为实数,则直线l:kx-y-4k+3=0与圆C:x2+y2-6x-8y+21=0的交点个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.无法确定
5.[2025·衡阳一中高二月考] 已知圆C:(x-1)2+y2=1,过直线3x+4y-13=0上的动点P作圆C的一条切线,切点为A,则|PA|的最小值为 ( )
A.2 B.4
C. D.3
6.(多选题)过点(0,1)且与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切的直线的方程是 ( )
A.x=0
B.y=0
C.4x+3y-3=0
D.3x+4y-4=0
7.[2025·重庆杨家坪中学高二月考] 直线l:x-2y+m=0被圆(x+1)2+(y-2)2=8截得的弦长为2,则m= .
8.若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是 .
9.(13分)已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=4外有一点P(4,-1),过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时,求直线l的方程;
(2)当直线l的倾斜角为135°时,求直线l被圆C所截得的弦长.
10.若直线x+y+b=0与曲线x=有两个公共点,则实数b的取值范围是 ( )
A.(1,) B.[1,)
C.(-,-1) D.(-,-1]
11.(多选题)已知过点P(-2,-1)的直线l与圆C:(x-2)2+(y+2)2=4交于A,B两点,O为坐标原点,则 ( )
A.|PA|>2
B.|AB|的最大值为4
C.△ABC面积的最大值为4
D.点O到直线l的距离小于
12.若一条过原点的直线被圆x2+y2-4x=0所截得的弦长为2,则该直线的倾斜角为 .
13.[2024·大庆高二期中] 一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为 .
14.(15分)[2025·大理高二期末] 已知直线l1:x-6y-10=0与圆M相切于点P(4,-1),且圆心M在直线l2:5x-3y=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)过直线l:5x+7y+24=0上一点N引圆M的两条切线,切点分别为A,B,求四边形MANB面积的最小值.
15.(多选题)[2024·蚌埠高二期中] 过直线l:x+y+4=0上的动点P分别作圆C1:x2+y2=2与圆C2:(x-6)2+y2=8的切线,切点分别为A,B,则 ( )
A.圆C1上恰好有两个点到直线l的距离为3
B.|PA|的最小值为
C.|PC1|+|PC2|的最小值为2
D.直线l上存在两个点P,使得|PB|=2|PA|
16.(15分)某高速公路隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成,如图所示,已知隧道总宽度AD=EF=6米,行车道总宽度BC=2米,BN和NC为相对的两个车道,侧端面EA=FD=2米,弧顶高MN=5米.
(1)求圆弧所在圆的半径的长度.
(2)为进一步保证安全,要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米,则该隧道规定的车辆限制高度应为多少米 2.5.1 直线与圆的位置关系(B)
1.D [解析] 由题得圆的圆心坐标为(1,1),半径为1,因为直线3x+4y=b与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,所以=1,解得b=12或b=2.故选D.
2.A [解析] 因为l1:x-y+2=0,l2:x-y+6=0,所以l1∥l2,所以l1与l2之间的距离为=2,则圆心C到直线l1的距离为1.因为直线l1被圆C截得的弦长为2,所以圆C的半径r==,所以圆C的面积为πr2=2π.故选A.
3.C [解析] 设劣弧的两个端点为A,B,圆心为O,由题意可知△OAB为正三角形,圆心O到直线AB:x+y-3=0的距离为正三角形OAB的高r,故r=,解得r=,故选C.
4.A [解析] 点(2,0)到圆心(0,0)的距离d=2,又圆的半径r=2,所以sin===,于是cos α=1-2sin2=1-2×=.故选A.
5.D [解析] 以圆拱拱顶O为坐标原点,以与圆拱拱顶相切的直线为x轴,以过圆拱拱顶的竖线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.由题意可设圆的方程为x2+(y+r)2=r2(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面2米时,水面宽为12米,所以点A(6,-2)在圆上,将点A的坐标代入圆的方程,可得r=10,所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降2米后,设A'(x0,-4)(x0>0)在圆上,将点A'的坐标代入圆的方程,可得+(-4+10)2=100,可得x0=8,所以此时水面宽为16米.
6.ACD [解析] 根据题意,☉Q的圆心为Q(0,-2),半径为2,过点P的两条直线分别与☉Q相切于A,B两点,如图,则A(-2,-2),B(0,-4),所以|PA|=2,|AB|=2,所以A正确,B错误;连接AQ,易知四边形PAQB为正方形,其中心为(-1,-3),所以P,A,Q,B均在圆(x+1)2+(y+3)2=2上,所以C正确;A,B所在直线的方程为x+y+4=0,所以D正确.故选ACD.
7.± [解析] 由题意得圆C的标准方程为x2+(y-3)2=3,其圆心坐标为(0,3),半径r=.直线y=ax与圆C:x2+y2-6y+6=0相交于A,B两点,若△ABC为等边三角形,则圆心C到直线y=ax的距离d=rcos 30°=,即=,解得a=±.
8.(6,10] [解析] 圆C:x2+(y-1)2=25的圆心为C(0,1),半径r=5.直线l:mx-y+1-4m=0,即m(x-4)-y+1=0,令解得所以直线l过定点M(4,1),又42+(1-1)2<25,所以点M(4,1)在圆C内,所以|PQ|的最大值为直径,即|PQ|max=10.当|PQ|最小时,点M(4,1)为弦PQ的中点,连接CM,此时CM⊥PQ,|PQ|=2×=6,但此时直线l的斜率不存在,所以|PQ|取不到6,即|PQ|的取值范围是(6,10].
9.解:(1)圆C的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=9,故C(2,3),半径为3.
若直线l过原点,则直线l的方程为y=x,即3x-2y=0,符合题意;
若直线l不过原点,设直线l的方程为+=1(a≠0),
又C(2,3)在直线l上,所以=1,解得a=5,故直线l的方程为x+y-5=0.
综上,直线l的方程为3x-2y=0或x+y-5=0.
(2)由题意知C(2,3)到直线y=x+b的距离为=,
所以=,解得b=-或.
10.C [解析] 因为2b=a+c,所以c=2b-a,代入直线方程ax+by+c=0得ax+by+2b-a=0,即a(x-1)+b(y+2)=0,令得
故直线恒过点P(1,-2).圆的标准方程为x2+(y+2)2=5,设圆心为C,半径为r,则C(0,-2),r=,易知当PC⊥AB时,|AB|最小,又|PC|=1,|AC|=r=,所以|AB|min=2|AP|=2=2×=4.故选C.
11.BD [解析] x2+y2-2x-2=0可化为(x-1)2+y2=3,可得圆心为C(1,0),半径r=.对于A,x2+y2表示圆C上的点到定点O(0,0)的距离的平方,所以x2+y2的最大值为[+]2=4+2,所以A错误;对于B,表示圆C上的点与点P(-1,-1)的连线的斜率,设=k,即y+1=k(x+1),由圆心(1,0)到直线y+1=k(x+1)的距离d=≤,解得2-≤k≤2+,所以的最大值为2+,所以B正确;对于C,|x-y+3|表示圆上任意一点到直线x-y+3=0的距离的倍,圆心(1,0)到直线x-y+3=0的距离为=2,所以|x-y+3|的最小值为×(2-)=4-,所以C错误;对于D,因为点(0,)的坐标满足圆C的方程,所以点(0,)在圆C上,点(0,)与圆心(1,0)连线的斜率k1=-,设过点(0,)作圆C的切线的斜率为k,根据圆的性质,可得k=-=,所以切线方程为y-=(x-0),即x-y+2=0,所以D正确.故选BD.
12.∪
[解析] 由y=得x2+y2=9(y≥0),所以曲线y=是以原点O为圆心,3为半径的圆在x轴及其上方的部分,即为半圆.由y=kx+6k-3得k(x+6)-(y+3)=0,由解得所以直线l:y=kx+6k-3过定点A(-6,-3).如图,当直线l过点(-3,0)时,k==1;当直线l过点(3,0)时,k==;当直线l与半圆相切时,可得=3,解得k=或k=0(舍).故当直线l与半圆恰有一个公共点时,k=或≤k<1,故实数k的取值范围为∪.
13.8 [解析] 连接PM,要使四边形PCMD的面积最小,只需使切线长最小,由切线长公式知,只需使|PM|最小,|PM|的最小值即为圆心M到直线l的距离,圆心为M(4,0),半径r=2,圆心M到直线l的距离d==2,所以|PC|min==4,故四边形PCMD的面积的最小值为2××|PC|min×r=4×2=8.
14.解:(1)如图,以A为坐标原点,正东方向为x轴的正方向,正北方向为y轴的正方向,1 km为单位长度,建立平面直角坐标系,其中圆A是以坐标原点为圆心,75为半径的圆,
若此人不受台风影响,则骑行轨迹正好与圆A相切时,θ取得最大值,则tan θ取得最大值,
此时cos θ==,所以θ=,则tan θ=,故tan θ的最大值为.
(2)由题意得,此人的骑行轨迹所在直线的方程为x-y+150=0,则圆心A到直线的距离d==75,
所以该直线与圆A相交所得弦的长为2×=150,故此人受台风影响持续时间为=3(h).
15.A [解析] 如图a所示,大圆的半径为2,小圆的半径为1,所以大圆的面积为4π,小圆的面积为π.对于①,当a=0时,直线l的方程为y=0,此时S1=π+=,S2=π-=,所以S1∶S2=3∶ 1,故①正确.对于②,根据题意,黑色阴影区域在第一象限的边界方程为x2+(y-1)2=1(x>0),当a=-时,直线l的方程为y=-(x-2),即4x+3y-8=0,小圆的圆心(0,1)到直线l的距离d==1,所以直线l与该半圆弧相切,如图b所示,所以直线l与黑色阴影区域只有1个公共点,故②正确.对于③,如图c所示,当a∈[-1,1)时,直线l与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点,当a=1时,直线l与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点(0,-2),故③错误.综上所述,所有正确结论的序号是①②.故选A.
16.解:(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则解得
∴圆C的方程为x2+y2-6x+4y+4=0,即(x-3)2+(y+2)2=9.
(2)假设存在满足条件的直线l,其方程为y=x+b,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y得2x2+2(b-1)x+b2+4b+4=0(*),
∴
∵以AB为直径的圆过原点O,∴OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,
∴x1x2+y1y2=x1x2+(x1+b)(x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b2=0,
即b2+4b+4+b(1-b)+b2=0,即b2+5b+4=0,
∴b=-1或b=-4,容易验证b=-1或b=-4时方程(*)的Δ>0,
故存在满足条件的直线l,其方程是y=x-1或y=x-4.2.5.1 直线与圆的位置关系(B)
1.[2025·北京陈经纶中学高二期中] 直线3x+4y=b与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则b的值是 ( )
A.-2或12 B.2或-12
C.-2或-12 D.2或12
2.[2025·东莞高二期中] 已知两条直线l1:x-y+2=0与l2:x-y+6=0被圆C截得的弦长均为2,则圆C的面积为 ( )
A.2π B.3π
C.4π D.5π
3.直线x+y-3=0截圆x2+y2=r2(r>0)所得劣弧所对的圆心角为,则r的值为 ( )
A. B.
C. D.
4.若过点(2,0)与圆x2+y2=4相切的两条直线的夹角为α,则cos α= ( )
A. B.
C. D.
5.有一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱顶离水面2米,水面宽为12米,当水面下降2米后,水面宽为 ( )
A.13米 B.14米
C.15米 D.16米
6.(多选题)[2024·孝感高二期末] 已知点P(-2,-4)和☉Q:x2+(y+2)2=4,过点P的两条直线分别与☉Q相切于A,B两点,下列说法正确的是 ( )
A.|PA|=2
B.|AB|=2
C.P,A,Q,B均在圆(x+1)2+(y+3)2=2上
D.A,B所在直线的方程为x+y+4=0
7.已知直线y=ax与圆C:x2+y2-6y+6=0相交于A,B两点,若△ABC为等边三角形,则a的值为 .
8.已知直线l:mx-y+1-4m=0(m∈R)与圆C:x2+(y-1)2=25交于P,Q两点,则弦长|PQ|的取值范围是 .
9.(13分)[2024·浙江浙南名校联盟高二期中] 已知圆C:x2+y2-4x-6y+4=0.
(1)求过圆心C且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程;
(2)若直线y=x+b与圆C相交所得的弦长为4,求实数b的值.
10.[2025·四川射洪中学高二期中] 已知2b=a+c,若直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为( )
A.1 B.2
C.4 D.2
11.(多选题)[2024·重庆八中高二月考] 已知点(x,y)在曲线x2+y2-2x-2=0上,则下列选项正确的是 ( )
A.x2+y2的最大值是+1
B.的最大值是2+
C.|x-y+3|的最小值是2-
D.过点(0,)作该曲线的切线,则切线方程为x-y+2=0
12.[2025·淄博高二期末] 已知直线 l:y=kx+6k-3 与曲线 y= 恰有一个公共点,则实数 k的取值范围为 .
13.[2024·南充一中高二期中] 已知点P是直线l:2x-y+2=0上的动点,过点P作圆M:(x-4)2+y2=4的切线,切点为C,D,则四边形PCMD的面积的最小值是 .
14.(15分)某台风中心位于A处,在台风中心正西方向距离为150 km的B处有一人,正沿北偏东θ(θ为锐角)方向骑摩托车行进,其速度为50 km/h,已知距离台风中心75 km及以内的区域会受台风影响.
(1)若此人不受台风影响,求tan θ的最大值;
(2)若此人的骑行方向改为北偏东45°,求此人受台风影响持续多长时间
15.[2025·北京大兴区高二期中] 如图,放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形,且黑色阴影区域与白色区域关于原点中心对称,其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆.已知直线l:y=a(x-2).给出下列四个结论:
①当a=0时,若直线l截黑色阴影区域所得两部分的面积记为S1,S2(S1≥S2),则S1∶S2=3∶1;
②当a=-时,直线l与黑色阴影区域有1个公共点;
③当a∈[-1,1]时,直线l与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点.
其中所有正确结论的序号是 ( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
16.(15分)已知圆C过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.
(1)求圆C的标准方程.
(2)是否存在满足以下两个条件的直线l
①斜率为1;②被圆C截得的弦为AB,以AB为直径的圆过原点O.若存在这样的直线l,请求出其方程;若不存在,请说明理由.