(共65张PPT)
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.2 圆与圆的位置关系
探究点一 两圆位置关系的判断及应用
探究点二 两圆公共弦问题
探究点三 圆与圆的位置关系的综合问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能描述圆与圆的位置关系.
2.能根据给定两圆的方程判断两个圆的位置关系.
知识点 圆与圆的位置关系
1.两圆的位置关系主要包括:外离、______、______、______和内含.
2.两圆的位置关系的判断：
外切
相交
内切
（1）代数法：已知圆
，圆
， 由
消元后得到一元二次方程（若得到的
是一元一次方程，则要求出方程组的解进行判断），计算判别式
的值，按下表中判断标准进行判断.
（2）几何法：两圆的半径分别为，，计算两圆的圆心距 ，按
下表中判断标准进行判断.
（3）判断标准：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示 ______________________________ __________________________ ______________________________ _________________________ _____________________________
公共点个 数 0 1 2 1 0
______ _______
_________ __ ___________ ___________ _______ _______
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两圆的方程联立,若方程组有两个解,则两圆相交.( )
√
[解析] 由两圆相交的概念知结论正确.
（2）若两个圆没有公共点,则两圆一定外离.( )
×
[解析] 若两个圆没有公共点,则这两个圆可能外离也可能内含,故结论
不正确.
（3）若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;反之也成立.( )
[解析] 若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,但反之不成立，若两
圆有且只有一个公共点,则两圆可能外切也可能内切,故结论不正确.
（4）当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆一定外离.( )
[解析] 当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆外离或内含，故结论
不正确.
×
×
探究点一 两圆位置关系的判断及应用
例1（1）已知圆 ，圆
，则圆与圆 的位置关系为( )
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
[解析] 由题意可得圆的圆心为,半径，圆 的圆心
为,半径，所以 ，
，所以 ，所以两圆内切，故选D.
√
（2）圆和圆内含，则
的取值范围是________.
[解析] 圆的圆心为 ，半径为3，
圆的圆心为，半径为 ，所以两圆的圆心距为3.
因为两圆内含，所以，解得或（舍去），故
的取值范围是 .
变式（1）若圆与圆
外切，则实数 的值为( )
A. B.1 C.1或4 D.4
[解析] 圆的方程可化为,所以 ，即两圆的
圆心分别为,.
设圆,的半径分别为,,则 ,，
所以，可得 .故选D.
√
（2）已知圆 与圆
恰有两条公切线，则实数 的取值范
围是__________．
[解析] 易知圆的圆心为,半径为 ，由
，得 ，所以圆
的圆心为，半径为.
因为圆与圆 恰有两条公切线，所以圆与圆相交，
所以 ，又
，所以可得 ，即的取值范围是 .
探究点二 两圆公共弦问题
例2（1）圆与圆 的公共弦长为( )
A. B. C. D.
[解析] 两圆的公共弦所在直线的方程为
，
即 ，即，
又圆的半径，圆心 到直线的距离
，所以公共弦长为 .故选C.
√
（2）［2025·贵州黔西南四中高二期中］已知圆
与圆的公共弦经过点，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得 ，两圆的公共弦所在直线的方程为
，即 ，
又公共弦经过点，所以，解得 .故选B.
√
变式 已知圆和圆 .
（1）求两圆公共弦所在直线的方程；
解：设两圆交点为，，则， 两点的坐标是方程
组 的解，将两方程相减，得 .
因为， 两点的坐标都满足此方程，
所以 即为两圆公共弦所在直线的方程.
（2）求经过两圆交点且圆心在直线 上的圆的方程.
解：方法一：解（1）中的方程组，得或
设所求圆的圆心坐标为 ，
因为圆心在直线上，所以 ，则
，解得 ，
故所求圆的圆心坐标为，半径为 .
故所求圆的方程为 ，
即 .
方法二：设所求圆的方程为
，
则其圆心坐标为，代入，解得 ，
故所求圆的方程为 .
［素养小结］
解决两圆公共弦问题的方法如下:
（1）当两圆相交时,利用两圆方程相减,可得公共弦所在直线的方程;
（2）在由半径、弦心距、弦长的一半为三边边长的直角三角形中,利
用勾股定理可求弦长;
（3）根据公共弦的中垂线过两圆圆心,可得公共弦的中垂线所在直线
的方程.
探究点三 圆与圆的位置关系的综合问题
例3（1）若圆与直线 相切，且与圆
相切于点，则圆 的标准方程为___________
__________________________.
或
[解析] 设圆的半径为，圆心到直线 的距
离为.由题知两圆心的连线过点，因为圆 的
圆心为，半径为1，所以圆的圆心在 轴上.
若两圆内切，则，由题意可得，所以，
所以圆 的标准方程为；若两圆外切，则 ，
由题意可得，所以，所以圆 的标准方程为
.
综上，圆的标准方程为 或 .
（2）已知圆与两圆, 均外
切，求圆 的圆心的轨迹方程.
解：由题意，知圆和的半径都为1，圆心分别为 , .
由题意得，可知圆心的轨迹是线段 的垂直平分线，
又因为线段的中点坐标为，直线 的斜率不存在，所
以圆的圆心的轨迹方程为 .
变式 ［2025·广东卓越联盟高二联考］已知圆，
是圆上的一个动点，点， 是线段的中点， 为坐标原点.
（1）求动点 的轨迹方程；
解：设， ，则可得
又在圆 上，所以，
即 ，将①②代入可得 ，
即，
故动点 的轨迹方程为 .
［素养小结］
1.圆与圆的位置关系的综合问题常见的类型有公切线问题、公共弦问
题、轨迹问题等,要注意利用图形的几何性质优化思路、减少运算量.
2.圆与圆的位置关系问题有时需要通过建立适当的平面直角坐标系，
求得满足条件的动点的轨迹方程，从而得到动点的轨迹，通过研究它
的轨迹方程与圆的方程的关系，判断所得的轨迹与圆的位置关系．
拓展 （多选题）在平面直角坐标系中，已知点, ，圆
.若圆上存在点，使得 ，
则实数 的值可能是( )
A. B.0 C.2 D.4
√
√
[解析] 设，则由 得
，整理得 ，
所以点的轨迹是以为圆心，半径 的圆.
圆的圆心为，半径，由题知圆 与
圆有公共点，所以，即 ,
即，其中 恒成立，
由得,即 ，
即,所以，故选 .
两圆位置关系的判定的理解
1.两圆的半径分别为,,圆心距为,在几何法中,当 时,不会出
现内切、内含的情况.若且 ,则两圆重合.
2.在代数法中,由两圆的方程组成的方程组为
对于此方程组，若有两组不同的实数
解，则两圆相交；若有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数
解，则两圆相离．
1.根据两圆的位置关系,利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小
关系列出关系式,求出参数的值或取值范围,注意相切和相离均包括两
种情况.
例1 若圆与圆 有公共点，
则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意知，圆的圆心为,半径,圆 的圆心为
,半径，则 ，
因为圆与圆有公共点，所以 ，
即，解得 .故选A.
√
2.解两圆的公共弦问题的一般步骤:（1）将两圆的方程作差,求出公
共弦所在直线的方程;（2）求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离;
（3）利用勾股定理求出公共弦长.
例2 已知圆和圆 .
（1）求证：圆和圆 相交；
证明：根据题意，圆的圆心为 ，半径
，圆 的标准方程为
，则圆心为，半径 ，
圆心距 .
， 圆和圆 相交.
例2 已知圆和圆 .
（2）求圆与圆 的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长.
解：将两圆的方程相减，得， 两圆的公共弦所在直
线的方程为 .
圆心到直线的距离，
公共弦的长为 .
练习册
1.［2024·龙岩名校高二期中］圆 与圆
的位置关系为( )
A.相交 B.内切 C.内含 D.外离
[解析] 由题意得，圆的半径为3，圆 的半径为1,
因为，所以圆与圆 的位置关系为内含.故选C.
√
2.［2025·山东百师联盟高二期中］圆 与圆
的公切线的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由可得 ，
所以两圆的圆心分别为,.
设两圆的半径分别为, ，则 ，又圆心距
，所以两圆外切，
则公切线的条数为3，故选C.
√
3.已知圆的方程为，圆的方程为 ，
如果这两个圆有且只有一个公共点，那么 的所有取值构成的集合是( )
A.， B.，
C.，，3， D.，，3，
[解析] 因为两圆有且只有一个公共点，所以两圆内切或外切.
当两圆内切时，，当两圆外切时， ，
所以实数的取值集合是，，3， ．故选C.
√
4.已知半径为1的动圆与圆 相切，则动圆圆
心的轨迹方程是( )
A.
B.或
C.
D.或
√
[解析] 设动圆圆心的坐标为 ，若动圆与圆
外切，则 ，
所以；
若动圆与圆 内切，
则，所以 . 故选D.
5.［2025·深圳大学附属实验中学高二月考］圆
与圆的公共弦
的长为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 已知圆 ，圆，
将两圆的方程作差，得到其公共弦 所在直线的方程为，
又圆心到直线 的距离，圆的半径为 ，
所以，所以 .故选D.
6.（多选题）点在圆上，点 在圆
上，则( )
A.两个圆的公切线有2条
B.的取值范围为
C.两个圆上任意一点关于直线 的对称点仍在该圆上
D.两个圆的公共弦所在直线的方程为
√
√
[解析] 易知圆的圆心为，半径 ，将
化为，可知圆
的圆心为，半径 .
对于A，两圆的圆心距 ，所以两圆外离，所以两个
圆的公切线有4条,故A错误；
对于B，易知的最小值为 ，最大值为
，所以的取值范围为 ，故B正确；
对于C，显然两圆的圆心，都在直线 上，
因此直线为圆的对称轴，也为圆 的对称轴，故C正确；
对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误.故选 .
7.［2025·江阴二中高二期中］写出一个同时满足条件①②的圆的方
程：_____________________________________.
①与圆相切；②与 轴相切.
（答案不唯一）
[解析] 由条件②可设圆的方程为 ，由条件
①可得，整理可得，令 ,
，则圆的方程为 .
8.［2025·张家口高二期中］已知圆 ，圆
，则圆和圆 的一条公切线的方程为
___________________________________.
（或或）
[解析] 由题可知, ，所以
，两个圆的半径之和为
，所以两个圆外切，所以两个圆有三条公切线.
根据题意知公切线的斜率都存在，设公切线的方程为 ，
由圆心到切线的距离等于半径得，
解得或或所以公切线的方程为或
或 .
9.（13分）已知圆 ，圆
.
解：将两圆的方程化为标准方程,得圆 ，
圆，则圆心，半径 ，
圆心，半径 .
若两圆外切，则 ，
即，解得 .
（1）当取何值时，圆和圆 外切？
（2）当取何值时，圆和圆 内切？
解： 若两圆内切，则 ，
即，解得 .
10.若圆 上总存在两个点到原点的距离为
2，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 若圆 上总存在两个点到原点的距
离为2，则圆和圆 相交.
圆的圆心为，半径 ,
圆的圆心为，半径 ，两圆的圆心距
由 ，得，
即 ，解得 .故选D.
11.(多选题)［2025·杭州高二期末]已知圆，
圆 ，则下列说法正确的是( )
A.圆， 恒有公共点
B.圆， 至多有三条公切线
C.若圆平分圆的周长，则
D.若圆平分圆的周长，则 的最小值为9
√
√
√
[解析] 圆的圆心为，半径 ，
圆的圆心为 ，半径.
对于A，圆和圆都一定过原点，则圆， 恒有公共点，
故A正确；
对于B，由选项A可得两圆一定不外离，所以至多有三条公切线，
故B正确;
对于C，若圆
，故C不正确;
对于D，由C可得 ，即，
所以 ，
当且仅当时取等号，故D正确.故选 .
12.［2025·重庆南开中学高二月考］已知圆 的圆心在第一象限，且
圆心到两坐标轴的距离相等，若圆 经过坐标原点且与圆
相交于，两点， ，则
圆 的方程为_____________________.
[解析] 由题可设，，因为圆经过坐标原点，所以圆
的半径为，则圆的方程为 ，即
，与圆的方程相减，化简可得直线 的
方程为.
圆
到直线的距离为 ，
则，可得 .
由点到直线的距离公式得，
整理得 ，可得，
故圆的方程为 .
13.已知点， ，若圆
上存在点满足 ，
则实数 的取值范围是_______.
[解析] 设，则， ，
因为，所以，即 ，
则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，
又点 在圆上，所以圆与圆 有
公共点.
因为圆的圆心为，半径为1，所以 ，
即，解得，故 的取值范围
是 .
14.（15分）［2025·开滦二中高二期中］ 已知圆
与圆 .
（1）求圆与圆 的公共弦长；
解：圆的圆心为 ，半径为1，
圆的圆心为，半径为 ，将两圆的方程
相减得公共弦所在直线的方程为 ，
又点到直线的距离为 ，
所以圆与圆的公共弦长为 .
（2）求经过圆与圆的交点且与轴相切的圆 的方程.
解：直线的方程为，即 ，
依题意，过圆与圆的交点的圆的圆心在直线 上，
设圆心为 ，
因为点到直线的距离为，所以圆 的半
径为 ，
由圆与轴相切，得 ，整理得
，解得或 .
当时，点，圆的半径为1，圆 的方程为
；
当时，点，圆的半径为5，圆 的方程为
.
综上，圆的方程为 或
.
15.点是圆上任意一点， 为圆
的弦，且，为的中点，则
的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 圆的圆心为，半径 ，圆
的圆心为,半径 .
由弦长公式知，，可得，
所以点在以 为圆心，1为半径的圆上，易知 的最小值为
.故选B.
16.（15分）已知点为圆上的动点，点 ，
点是线段的中点，点的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
解：设，由点，点是线段 的中点可得
，因为点在圆 上，所以
，整理可得 ，
即曲线的方程为 .
（2）若，且曲线上存在点，使得，求 的取
值范围.
解：设，因为 ，所以
，整理得 .
由题意知圆与圆
有公共点，所以 ，
解得 ，
所以的取值范围是 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 1.外切,相交,内切
2.,,,,
【诊断分析】（1）√（2）×（3）×（4）×
课中探究 例1.（1）D （2） 变式.（1）D （2）
例2.（1）C （2）B 变式.（1）（2）
例3.（1）或（2）.
变式.（1）.（2）. 拓展.BC
快速核答案（练习册）
1.C 2.C 3.C 4.D 5.D 6.BC 7.（答案不唯一）
8.（或或）
9.（1） （2）. 10.D 11.ABD 12.
13. 14.（1） （2）或
15.B 16.（1） （2）2.5.2 圆与圆的位置关系
【课前预习】
知识点
1.外切 相交 内切
2.(3)Δ=0 Δ>0 d>r1+r2
|r1-r2|诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)×
[解析] (1)由两圆相交的概念知结论正确.
(2)若两个圆没有公共点,则这两个圆可能外离也可能内含,故结论不正确.
(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,但反之不成立,若两圆有且只有一个公共点,则两圆可能外切也可能内切,故结论不正确.
(4)当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆外离或内含,故结论不正确.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)(6,+∞) [解析] (1)由题意可得圆C1的圆心为C1(-1,2),半径r1=4,圆C2的圆心为C2(2,-2),半径r2=9,所以|C1C2|==5,r2-r1=5,所以|C1C2|=r2-r1,所以两圆内切,故选D.
(2)圆(x-4)2+y2=9的圆心为(4,0),半径为3,圆(x-1)2+y2=r2的圆心为(1,0),半径为r,所以两圆的圆心距为3.因为两圆内含,所以3<|r-3|,解得r>6或r<0(舍去),故r的取值范围是(6,+∞).
变式 (1)D (2)(,3) [解析] (1)圆C2的方程可化为(x-m)2+y2=m,所以m>0,即两圆的圆心分别为C1(0,0),C2(m,0).设圆C1,C2的半径分别为r1,r2,则r1=2,r2=,所以|C1C2|=m=r1+r2=2+,可得m=4.故选D.
(2)易知圆C1的圆心为C1(0,0),半径为m,由x2+y2-2x-4y-15=0,得(x-1)2+(y-2)2=20,所以圆C2的圆心为C2(1,2),半径为2.因为圆C1与圆C2恰有两条公切线,所以圆C1与圆C2相交,所以|2-m|<|C1C2|<2+m,又|C1C2|==,所以可得探究点二
例2 (1)C (2)B [解析] (1)两圆的公共弦所在直线的方程为x2+y2-4-(x2+y2-4x-4y+4)=0,即4x+4y-8=0,即x+y-2=0,又圆x2+y2=4的半径r=2,圆心O(0,0)到直线x+y-2=0的距离d==,所以公共弦长为2=2×=2.故选C.
(2)由题得M,两圆的公共弦所在直线的方程为x2+--(x2+y2-m)=0,即m-3y-4=0,又公共弦经过点M,所以m-3×-4=0,解得m=.故选B.
变式 解:(1)设两圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点的坐标是方程组的解,
将两方程相减,得x-y+4=0.
因为A,B两点的坐标都满足此方程,
所以x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.
(2)方法一:解(1)中的方程组,得或设所求圆的圆心坐标为(a,b),
因为圆心在直线x-y-4=0上,所以b=a-4,则=,解得a=,故所求圆的圆心坐标为,半径为.
故所求圆的方程为+=,
即x2+y2-x+7y-32=0.
方法二:设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1),则其圆心坐标为,代入x-y-4=0,解得λ=-7,故所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0.
探究点三
例3 (1)(x+1)2+y2=9或+y2= [解析] 设圆C的半径为r(r>0),圆心C到直线3x-4y-12=0的距离为d.由题知两圆心的连线过点A(2,0),因为圆x2-2x+y2=0的圆心为(1,0),半径为1,所以圆C的圆心C在x轴上.若两圆内切,则C(2-r,0),由题意可得=r,所以r=3,所以圆C的标准方程为(x+1)2+y2=9;若两圆外切,则C(2+r,0),由题意可得=r,所以r=,所以圆C的标准方程为+y2=.综上,圆C的标准方程为(x+1)2+y2=9或+y2=.
(2)解:由题意,知圆C1和C2的半径都为1,圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2).
由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,又因为线段C1C2的中点坐标为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,所以圆C的圆心的轨迹方程为y=-1.
变式 解:(1)设M(x,y),A(x0,y0),
则可得
又A(x0,y0)在圆C:x2+y2-8y+8=0上,
所以+-8y0+8=0,即+(y0-4)2=8,
将①②代入可得(2x-2)2+(2y-6)2=8,
即(x-1)2+(y-3)2=2,故动点M的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.
(2)由(1)得点M在圆(x-1)2+(y-3)2=2上,
因为点P(2,2)在圆(x-1)2+(y-3)2=2上,
且由|OP|=|OM|,可知点P与点M在圆O:x2+y2=8上,
所以线段PM为圆(x-1)2+(y-3)2=2与圆O:x2+y2=8的公共弦,
所以直线PM的方程为(x-1)2+(y-3)2-2-(x2+y2-8)=0,即-2x-6y+16=0,即x+3y-8=0.
因为圆心O(0,0)到直线PM的距离d==,
所以|PM|=2×=.
拓展 BC [解析] 设M(x,y),则由|MA|2+|MB|2=12得(x-2)2+y2+x2+(y-2)2=12,整理得(x-1)2+(y-1)2=4,所以点M的轨迹是以D(1,1)为圆心,半径r1=2的圆.圆C:(x-a)2+y2=1的圆心为C(a,0),半径r2=1,由题知圆C与圆D有公共点,所以2-1≤|CD|≤2+1,即1≤≤3,即1≤(a-1)2+1≤9,其中1≤(a-1)2+1恒成立,由(a-1)2+1≤9得(a-1)2≤8,即|a-1|≤2,即-2≤a-1≤2,所以1-2≤a≤1+2,故选BC.2.5.2 圆与圆的位置关系
1.C [解析] 由题意得|OM|=,圆M的半径为3,圆O的半径为1,因为3-1=2>,所以圆O与圆M的位置关系为内含.故选C.
2.C [解析] 由x2+y2+8x-2y+8=0可得(x+4)2+(y-1)2=9,所以两圆的圆心分别为C(0,-2),D(-4,1).设两圆的半径分别为r1,r2,则r1+r2=2+3=5,又圆心距|CD|==5=r1+r2,所以两圆外切,则公切线的条数为3,故选C.
3.C [解析] 因为两圆有且只有一个公共点,所以两圆内切或外切.当两圆内切时,|a|=2-1=1,当两圆外切时,|a|=2+1=3,所以实数a的取值集合是{1,-1,3,-3}.故选C.
4.D [解析] 设动圆圆心的坐标为(x,y),若动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16外切,则=4+1,所以(x-5)2+(y+7)2=25;若动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16内切,则=4-1,所以(x-5)2+(y+7)2=9.故选D.
5.D [解析] 已知圆O1:(x-1)2+(y-1)2=28,圆O2:x2+(y-4)2=18,将两圆的方程作差,得到其公共弦AB所在直线的方程为x-3y+12=0,又圆心O1(1,1)到直线AB的距离d==,圆O1的半径为2,所以|AB|==3,所以|AB|=6.故选D.
6.BC [解析] 易知圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,将x2+y2-6x+8y+24=0化为(x-3)2+(y+4)2=1,可知圆C2的圆心为C2(3,-4),半径r2=1.对于A,两圆的圆心距|C1C2|=5>r1+r2,所以两圆外离,所以两个圆的公切线有4条,故A错误;对于B,易知|PQ|的最小值为|C1C2|-r1-r2=3,最大值为|C1C2|+r1+r2=7,所以|PQ|的取值范围为[3,7],故B正确;对于C,显然两圆的圆心C1(0,0),C2(3,-4)都在直线4x+3y=0上,因此直线4x+3y=0为圆C1的对称轴,也为圆C2的对称轴,故C正确;对于D,由选项A可知两圆外离,即不存在公共弦,故D错误.故选BC.
7.(x-3)2+(y-4)2=16(答案不唯一) [解析] 由条件②可设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2,由条件①可得a2+b2=(1+|b|)2,整理可得a2=2|b|+1,令b=4,a=3,则圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=16.
8.y=x(或y=-x+2或y=-x-6) [解析] 由题可知M(1,-3),N(-3,1),所以|MN|==4,两个圆的半径之和为2+2=4,所以两个圆外切,所以两个圆有三条公切线.根据题意知公切线的斜率都存在,设公切线的方程为y=kx+b,由圆心到切线的距离等于半径得==2,解得 或或所以公切线的方程为y=x或y=-x+2或y=-x-6.
9.解:将两圆的方程化为标准方程,得圆C1:(x-1)2+(y-3)2=9,圆C2:(x-5)2+(y-6)2=61-m,则圆心C1(1,3),半径r1=3,圆心C2(5,6),半径r2=(m<61).
(1)若两圆外切,则|C1C2|=r1+r2,
即=3+,解得m=57.
(2)若两圆内切,则|C1C2|=|r1-r2|,
即=|3-|,解得m=-3.
10.D [解析] 若圆C:(x-m)2+(y-m)2=16上总存在两个点到原点的距离为2,则圆C:(x-m)2+(y-m)2=16和圆O:x2+y2=4相交.圆C:(x-m)2+(y-m)2=16的圆心为C(m,m),半径r1=4,圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r2=2,两圆的圆心距|CO|==|m|.由r1-r2<|CO|11.ABD [解析] 圆C1:x2+y2-2x-4y=0的圆心为C1(1,2),半径r1=,圆C2:x2+y2+mx+ny=0的圆心为C2,半径r2=.对于A,圆C1和圆C2都一定过原点(0,0),则圆C1,C2恒有公共点,故A正确;对于B,由选项A可得两圆一定不外离,所以至多有三条公切线,故B正确;对于C,若圆C2平分圆C1的周长,则两圆的公共弦必过C1(1,2),由两式作差可得(m+2)x+(n+4)y=0,所以m+2+2(n+4)=0,即m+2n=-10,故C不正确;对于D,由C可得m+2n=-10,即m=-2n-10,所以n2-m=n2+2n+10=(n+1)2+9≥9,当且仅当n=-1时取等号,故D正确.故选ABD.
12.x2+y2-2x-2y=0 [解析] 由题可设C1(t,t),t>0,因为圆C1经过坐标原点,所以圆C1的半径为t,则圆C1的方程为(x-t)2+(y-t)2=2t2,即x2+y2-2tx-2ty=0,与圆C2的方程相减,化简可得直线MN的方程为(t-1)x+(t+1)y-1=0.圆C2的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=4,则其圆心为C2(1,-1),半径r=2.设C2(1,-1)到直线MN的距离为d,则|MN|=2=2=,可得d=.由点到直线的距离公式得d==,整理得(t-1)2+(t+1)2=4,可得t=1,故圆C1的方程为x2+y2-2x-2y=0.
13.[-2,1] [解析] 设M(x,y),则=(-2-x,-y),=(2-x,-y),因为·=0,所以(-2-x)(2-x)+(-y)2=0,即x2+y2=4,则点M在以原点O为圆心,2为半径的圆上,又点M在圆C:(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上,所以圆O与圆C有公共点.因为圆C的圆心为(a-1,a+2),半径为1,所以2-1≤|OC|≤2+1,即1≤≤3,解得-2≤a≤1,故a的取值范围是[-2,1].
14.解:(1)圆C:(x-2)2+(y-3)2=1的圆心为C(2,3),半径为1,圆C':x2+(y-1)2=5的圆心为C'(0,1),半径为,将两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为x+y-4=0,
又点C到直线x+y-4=0的距离为=,
所以圆C与圆C'的公共弦长为2×=.
(2)直线CC'的方程为y=x+1,即y=x+1,
依题意,过圆C与圆C'的交点的圆的圆心在直线y=x+1上,
设圆心为M(a,a+1),
因为点(a,a+1)到直线x+y-4=0的距离为,所以圆M的半径为,
由圆M与y轴相切,得|a|=,整理得a2-6a+5=0,解得a=1或a=5.
当a=1时,点M(1,2),圆M的半径为1,圆M的方程为(x-1)2+(y-2)2=1;
当a=5时,点M(5,6),圆M的半径为5,圆M的方程为(x-5)2+(y-6)2=25.
综上,圆M的方程为(x-1)2+(y-2)2=1或(x-5)2+(y-6)2=25.
15.B [解析] 圆C:(x+2)2+y2=1的圆心为C(-2,0),半径r=1,圆C1:(x-2)2+y2=3的圆心为C1(2,0),半径r1=.由弦长公式知,|AB|=2=2,可得|C1N|=1,所以点N在以C1(2,0)为圆心,1为半径的圆上,易知|MN|的最小值为|CC1|-r-1=4-1-1=2.故选B.
16.解: (1)设M(x0,y0),由点Q(4,0),点M是线段PQ的中点可得P(2x0-4,2y0),因为点P在圆x2+y2=r2(r>0)上,所以(2x0-4)2+(2y0)2=r2,整理可得(x0-2)2+=r2,
即曲线C的方程为(x-2)2+y2=r2(r>0).
(2)设N(x,y),因为=2,所以=2,整理得(x+1)2+(y-1)2=8.
由题意知圆(x-2)2+y2=r2(r>0)与圆(x+1)2+(y-1)2=8有公共点,
所以≤≤r+2,解得2-4≤r≤2+4,
所以r的取值范围是[2-4,2+4].2.5.2 圆与圆的位置关系
【学习目标】
1.能描述圆与圆的位置关系.
2.能根据给定两圆的方程判断两个圆的位置关系.
◆ 知识点 圆与圆的位置关系
1.两圆的位置关系主要包括:外离、 、 、 和内含.
2.两圆的位置关系的判断:
(1)代数法:已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0),由消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按下表中判断标准进行判断.
(2)几何法:两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆的圆心距d,按下表中判断标准进行判断.
(3)判断标准:
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
公共点 个数 0 1 2 1 0
Δ的值 Δ<0 Δ=0 Δ<0
d与r1,r2 的关系 d= r1+r2 d< |r1-r2|
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两圆的方程联立,若方程组有两个解,则两圆相交. ( )
(2)若两个圆没有公共点,则两圆一定外离. ( )
(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;反之也成立. ( )
(4)当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆一定外离. ( )
◆ 探究点一 两圆位置关系的判断及应用
例1 (1)已知圆 C1:(x+1)2+(y-2)2=16 ,圆 C2:(x-2)2+(y+2)2=81 ,则圆 C1 与圆 C2 的位置关系为 ( )
A.外离 B.外切
C.相交 D.内切
(2)圆(x-4)2+y2=9和圆(x-1)2+y2=r2(r>0)内含,则r的取值范围是 .
变式 (1)若圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-2mx+m2-m=0外切,则实数m的值为 ( )
A.-1 B.1
C.1或4 D.4
(2)已知圆C1:x2+y2=m2(m>0)与圆C2:x2+y2-2x-4y-15=0恰有两条公切线,则实数m的取值范围是 .
◆ 探究点二 两圆公共弦问题
例2 (1)圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x-4y+4=0的公共弦长为 ( )
A. B.
C.2 D.2
(2)[2025·贵州黔西南四中高二期中] 已知圆M:x2+=与圆x2+y2=m的公共弦经过点M,则m= ( )
A. B.
C. D.
变式 已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程;
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
[素养小结]
解决两圆公共弦问题的方法如下:
(1)当两圆相交时,利用两圆方程相减,可得公共弦所在直线的方程;
(2)在由半径、弦心距、弦长的一半为三边边长的直角三角形中,利用勾股定理可求弦长;
(3)根据公共弦的中垂线过两圆圆心,可得公共弦的中垂线所在直线的方程.
◆ 探究点三 圆与圆的位置关系的综合问题
例3 (1)若圆C与直线3x-4y-12=0相切,且与圆x2-2x+y2=0相切于点A(2,0),则圆C的标准方程为 .
(2)已知圆C与两圆C1:x2+(y+4)2=1,C2:x2+(y-2)2=1均外切,求圆C的圆心的轨迹方程.
变式 [2025·广东卓越联盟高二联考] 已知圆C:x2+y2-8y+8=0,A是圆C上的一个动点,点P(2,2),M是线段AP的中点,O为坐标原点.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求直线PM的方程及线段PM的长度.
[素养小结]
1.圆与圆的位置关系的综合问题常见的类型有公切线问题、公共弦问题、轨迹问题等,要注意利用图形的几何性质优化思路、减少运算量.
2.圆与圆的位置关系问题有时需要通过建立适当的平面直角坐标系,求得满足条件的动点的轨迹方程,从而得到动点的轨迹,通过研究它的轨迹方程与圆的方程的关系,判断所得的轨迹与圆的位置关系.
拓展 (多选题)在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(0,2),圆C:(x-a)2+y2=1.若圆C上存在点M,使得|MA|2+|MB|2=12,则实数a的值可能是 ( )
A.-2 B.0
C.2 D.42.5.2 圆与圆的位置关系
1.[2024·龙岩名校高二期中] 圆O:x2+y2=1与圆M:(x+1)2+(y-1)2=9的位置关系为 ( )
A.相交 B.内切
C.内含 D.外离
2.[2025·山东百师联盟高二期中] 圆C:x2+(y+2)2=4与圆D:x2+y2+8x-2y+8=0的公切线的条数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.已知圆O1的方程为x2+y2=4,圆O2的方程为(x-a)2+y2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是 ( )
A.{1,-1} B.{3,-3}
C.{1,-1,3,-3} D.{5,-5,3,-3}
4.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是 ( )
A.(x-5)2+(y+7)2=25
B.(x-5)2+(y-7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15
C.(x-5)2+(y+7)2=9
D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9
5.[2025·深圳大学附属实验中学高二月考] 圆O1:(x-1)2+(y-1)2=28与圆O2:x2+(y-4)2=18的公共弦AB的长为 ( )
A.2 B.2
C.3 D.6
6.(多选题)点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0上,则 ( )
A.两个圆的公切线有2条
B.|PQ|的取值范围为[3,7]
C.两个圆上任意一点关于直线4x+3y=0的对称点仍在该圆上
D.两个圆的公共弦所在直线的方程为6x-8y-25=0
7.[2025·江阴二中高二期中] 写出一个同时满足条件①②的圆的方程: .
①与圆x2+y2=1相切;②与x轴相切.
8.[2025·张家口高二期中] 已知圆M:(x-1)2+(y+3)2=8,圆N:(x+3)2+(y-1)2=8,则圆M和圆N的一条公切线的方程为 .
9.(13分)已知圆C1:x2+y2-2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)当m取何值时,圆C1和圆C2外切
(2)当m取何值时,圆C1和圆C2内切
10.若圆C:(x-m)2+(y-m)2=16上总存在两个点到原点的距离为2,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-3,3)
B.(-,)
C.(-3,)
D.(-3,-)∪(,3)
11.(多选题)[2025·杭州高二期末] 已知圆C1:x2+y2-2x-4y=0,圆C2:x2+y2+mx+ny=0,则下列说法正确的是 ( )
A.圆C1,C2恒有公共点
B.圆C1,C2至多有三条公切线
C.若圆C2平分圆C1的周长,则m+2n=10
D.若圆C2平分圆C1的周长,则n2-m的最小值为9
12.[2025·重庆南开中学高二月考] 已知圆C1的圆心在第一象限,且圆心到两坐标轴的距离相等,若圆C1 经过坐标原点且与圆C2 : x2+y2-2x+2y-2=0 相交于 M,N 两点,|MN|=,则圆C1的方程为 .
13.已知点A(-2,0),B(2,0),若圆C:(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上存在点M满足·=0,则实数a的取值范围是 .
14.(15分)[2025·开滦二中高二期中] 已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=1与圆C':x2+(y-1)2=5.
(1)求圆C与圆C'的公共弦长;
(2)求经过圆C与圆C'的交点且与y轴相切的圆M的方程.
15.点M是圆C:(x+2)2+y2=1上任意一点,AB为圆C1:(x-2)2+y2=3的弦,且|AB|=2,N为AB的中点,则|MN|的最小值为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
16.(15分)已知点P为圆x2+y2=r2(r>0)上的动点,点Q(4,0),点M是线段PQ的中点,点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若A(3,5),B(0,2)且曲线C上存在点N,使得=2,求r的取值范围.
