本章总结提升
【素养提升】
题型一
例1 (1)ABD [解析] 对于A,若l1∥l2,则3×1-a(a+2)=0,解得a=-3或a=1.当a=-3时,l1:3x-3y+1=0,l2:-x+y-3=0,满足l1∥l2;当a=1时,l1:3x+y+1=0,l2:3x+y+1=0,两直线重合.所以a=-3,故A正确.对于B,当a=-时,l1:3x-y+1=0,l2:x+y-=0,此时l1⊥l2,故B正确.对于C,当a=时,l1:3x+y+1=0,直线l1的斜率为-,所以直线l1的倾斜角为120°,故C错误.对于D,(a+2)x+y+a=0可化为(x+1)a+2x+y=0,由解得所以直线l2过定点(-1,2),故D正确.故选ABD.
(2)解:①由解得
所以B(3,1).
②当截距为0时,设直线方程为y=kx,
由直线过点B(3,1),得3k=1,即k=,所以直线方程为y=x;当截距不为0时,设直线方程为x+y=a,则a=3+1=4,所以直线方程为x+y=4.
综上可知,所求直线方程为y=x或x+y=4.
变式 (1)AB [解析] 若l1∥l2,则=≠,得m=-2,选项A正确;若l1⊥l2,则1×2-m=0,得m=2,选项B正确;若l1,l2在x轴上的截距相等,则-m=,解得m=-,选项C错误;当m=0时,l2的倾斜角恰好是l1的倾斜角的2倍,选项D错误.故选AB.
(2)解:①由B(5,3),C(-1,5),可知直线BC的斜率kBC==-,故kl=3.
又A(2,1),所以△ABC的边BC上的高所在直线l的方程为y-1=3(x-2),即y=3x-5.
②设D(x,y),由=3,可知(6,-2)=3(x+1,y-5),
即解得
即D.因为所求直线与l平行,所以可设其方程为y=3x+b,代入点D的坐标,解得b=,故所求方程为y=3x+,即9x-3y+4=0.
题型二
例2 (1)C (2) [解析] (1)由题意得kAB==,所以直线AB的方程为y-2=(x+1),即3x-4y+11=0.设所求直线的方程为3x-4y+m=0(m≠11),则=2,解得m=21或m=1,所以所求直线的方程为3x-4y+21=0或3x-4y+1=0.故选C.
(2)直线l1的方程可变形为3ax-(y+2)=0,由可得即点A(0,-2).直线l2的方程可变形为a(2x+5y)-(x+1)=0,由
可得即点B,所以|AB|==.
变式1 (1)D (2)A [解析] (1)圆x2+y2-2x+6y=0的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=10,则其圆心坐标为(1,-3),则圆心到直线x-y+2=0的距离为=3,故选D.
(2)因为l1:x-2y+m=0与l2:2x+ny-6=0平行,所以n=-4,即直线l2的方程为x-2y-3=0,又l1与l2之间的距离是2,所以=2,又m>0,所以m=7,所以l1的方程为x-2y+7=0.设直线l1关于直线l2对称的直线方程为x-2y+a=0,则=2,解得a=-13或a=7,当a=-13时,直线l1关于直线l2对称的直线方程为x-2y-13=0,当a=7时,显然不符合题意.故选A.
变式2 解:(1)当m=1时,直线l的方程为x+3y+7=0,
所以点M(3,4)到直线l的距离d===.
(2)当m=-3时,直线l的方程为x-y-1=0,
设点A关于直线l的对称点为A'(x,y),
则解得则A'(5,0),
连接A'B,易知|PA|+|PB|≥|A'B|==,
故|PA|+|PB|的最小值为.
题型三
例3 (1)(x-1)2+(y+1)2=5 (2)x2+y2-4x-6y=0
[解析] (1)∵点M在直线2x+y-1=0上,∴可设点M为(a,1-2a),又点(3,0)和(0,1)均在☉M上,∴点M到点(3,0),(0,1)的距离相等,∴=
,即a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,∴M(1,-1),☉M的半径R==,∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.若选(0,0),(4,0),(-1,1)三点,则解得所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0.同理,若选(0,0),(4,0),(4,2)三点,则圆的方程为x2+y2-4x-2y=0.若选(0,0),(-1,1),(4,2)三点,则圆的方程为x2+y2-x-y=0.若选(4,0),(-1,1),(4,2)三点,则圆的方程为x2+y2-x-2y-=0.故满足条件的圆的方程为x2+y2-4x-6y=0.
变式 (1)D (2)(4,5) [解析] (1)设A(x0,y0),P(x,y),则x=,y=,即x0=2x①,y0=2y②.因为点A在圆(x-2)2+(y-2)2=1上运动,所以(x0-2)2+(y0-2)2=1,把①②代入,得(2x-2)2+(2y-2)2=1,即(x-1)2+(y-1)2=,故线段OA的中点P的轨迹方程为(x-1)2+(y-1)2=.故选D.
(2)由题意可得
解得4
题型四
例4 (1)D (2)AB [解析] (1)圆x2+y2-6x-8y=0的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,则圆心为(3,4),半径为5,显然直线3x+4y-25=0过圆心(3,4),所以|AB|=10,故选D.
(2)由题意可知圆O1的圆心为O1(-1,0),半径r=1,圆O2的圆心为O2(1,1),半径R=2,故|O1O2|==∈(1,3),故两圆相交,有2条公切线,故A正确;直线AB的方程为x2+y2+2x-(x2+y2-2x-2y-2)=0,即4x+2y+2=0,即2x+y+1=0,故B正确;O2(1,1)到直线2x+y+1=0的距离d=,故|AB|=2=2×=,故C错误;x2+(y-1)2可看作是圆O1上的点P(x,y)到点B(0,1)的距离的平方,易知|PB|的最大值为|BO1|+r=+1,所以x2+(y-1)2的最大值为(+1)2,故D错误.故选AB.
变式1 (1) (2)3x+4y-5=0(或x=-1或7x-24y-25=0)
[解析] (1)由题意知直线l过点B.点A(-2,3)关于直线y=a的对称点为A'(-2,2a-3),所以直线l的方程为y=x+a,即(a-3)x+2y-2a=0.由题意知,圆心C(-3,-2)到直线l的距离d=≤1,整理得6a2-11a+3≤0,解得≤a≤,故a的取值范围为.
(2)方法一:如图,由图易知x=-1为公切线CD的方程.设切点B(cos θ,sin θ),则由A(3,4)可知cos θ=,sin θ=,所以B,又kOA=,所以过点B的公切线的斜率为-,所以过点B的公切线的方程为y-=-,即3x+4y-5=0.由可得C,设公切线CE的方程为y+=k(x+1),即3kx-3y+3k-4=0,由=1,解得k=,所以公切线CE的方程为7x-24y-25=0.
方法二:显然公切线的斜率不为0,设公切线的方程为x+by+c=0,则=1,=4,故c2=1+b2①,|3+4b+c|=|4c|,所以3+4b+c=4c或3+4b+c=-4c,再结合①可得或或所以公切线有三条,其方程分别为x+1=0,7x-24y-25=0,3x+4y-5=0(填一个即可).
变式2 解:(1)设圆心C的坐标为(a,b),则a-b-4=0,可得a=b+4,即圆心C的坐标为(b+4,b),因为圆C与x轴相切,所以圆C的半径为|b|.
因为圆C过点M(4,-1),所以|b|=,解得b=-1,故圆心C的坐标为(3,-1),圆C的半径为1,故圆C的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.
(2)证明:将圆C1和圆C的方程作差可得4x-4y-11=0,则直线AB的方程为4x-4y-11=0,
设P(m,n),则4m-4n-11=0.
由题知C1(1,1),圆C1的半径为2,
设切线与圆C切于点E,与圆C1切于点F,则|PE|2=|PC|2-1=(m-3)2+(n+1)2-1=m2+n2-6m+2n+9,
|PF|2=|PC1|2-4=(m-1)2+(n-1)2-4=m2+n2-2m-2n-2,
又|PF|2-|PE|2=4m-4n-11=0,所以|PE|=|PF|.
题型五
例5 (1)ACD (2)A [解析] (1)方法一:由题知圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心的坐标为(5,5),半径r=4,直线AB的方程为+=1,即x+2y-4=0,圆心到该直线的距离d==>4,故点P到直线AB的距离的取值范围为,+4-10=-6==<0,即+4<10,故选项A正确;-4-2=-6<0,即-4<2,故选项B不正确;易知当∠PBA最大或最小时,PB均为圆的切线,此时|PB|==3,故选项C,D均正确.故选ACD.
方法二:直线AB的方程为+=1,即x+2y-4=0.设P(5+4cos θ,5+4sin θ),则点P到直线AB的距离d==
,其中tan φ=,因为dmax=<10,dmin=<2,所以选项A正确,选项B错误.记圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为点D(5,5),半径r=4,连接DB,则|DB|==.易知当∠PBA最大或最小时,PB均为圆的切线,此时|PB|===3,所以选项C,D均正确.故选ACD.
(2)依题意可知OA⊥AP,OB⊥BP,所以S四边形PAOB=2×=|OA|×|AP|=|OA|×=4×,所以当|OP|最小时,S四边形PAOB最小,此时OP⊥l,因为l的斜率为-1,所以此时直线OP的斜率为1,直线OP的方程为y=x.由解得x=y=4,则|OP|=4,|AP|==4.以P(4,4)为圆心,半径为4的圆的方程为(x-4)2+(y-4)2=42,即x2+y2-8x-8y+16=0,与x2+y2-16=0两式相减并化简得x+y=4.故选A.
例6 BCD [解析] 由x2+y2-6x+7=0,得(x-3)2+y2=2,它表示圆心为(3,0),半径为的圆.对于A,表示圆上的点与坐标原点连线的斜率,令k=,则y=kx,易知当直线y=kx与圆相切于第一象限时,k取得最大值,此时k===,所以的最大值为,A错误;对于B,x2+y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方,所以有x2+y2≤(3+)2+02=11+6,B正确;对于C,设x-2y=t,则x-2y-t=0,易知当直线x-2y-t=0与圆相切时,t取得最大值或最小值,此时,圆心到直线x-2y-t=0的距离为半径,则=,解得t=3±,故tmax=3+,C正确;对于D,|x+y-6|表示圆上的点到直线x+y-6=0的距离的倍,因为圆心到直线x+y-6=0的距离d==,所以圆上的点到直线x+y-6=0的最大距离为d+=,所以|x+y-6|≤×=5,D正确.故选BCD.
变式 (1)B (2)A [解析] (1)由圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=3,可得圆心为C(2,1),半径r=,连接AC,BC,则d1===,所以d1的几何意义是点A(0,a)到定点M(1,1)的距离.又因为点A(0,a)到直线x-y+4=0的距离为d2,所以d1+d2=+d2表示动点A(0,a)到定点M(1,1)和到直线x-y+4=0的距离之和.如图所示,当MA与直线x-y+4=0垂直时,d1+d2取得最小值.由直线x-y+4=0的斜率k=1,且kMA==-(a-1),k×kMA=-1,可得a=2.故选B.
(2)圆C1的标准方程为(x-m)2+y2=1,则圆心为C1(m,0),半径r1=1,圆C2的标准方程为x2+(y-n)2=9,则圆心为C2(0,n),半径r2=3.由圆C1和圆C2恰有三条公切线,得圆C1和圆C2外切,则|C1C2|==1+3,所以m2+n2=16,显然点(m,n)在圆x2+y2=16上,点C(6,8)在圆x2+y2=16外.令(m-6)2+(n-8)2=r2(r>0),则点(m,n)在圆(x-6)2+(y-8)2=r2(r>0)上,因此圆x2+y2=16与圆(x-6)2+(y-8)2=r2(r>0)有公共点,则|r-4|≤|OC|≤r+4,其中O(0,0),即|r-4|≤10≤r+4,解得6≤r≤14,则rmin=6,所以(m-6)2+(n-8)2的最小值为36.故选A.
题型六
例7 解:(1)连接OA,由题意知,|OA|=2,|OB|=12,∠AOB=135°,
∴A(-2,2),B(12,0),∴|AB|==10,即A,B之间的距离为10 km.
(2)设经过O,A,B三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则
解得∴所求圆的一般方程为x2+y2-12x-16y=0,
则经过O,A,B三点的圆的标准方程为(x-6)2+(y-8)2=100.
(3)由题意知C(0,-10),∵轮船沿北偏东45°方向行驶,∴行驶轨迹所在直线的斜率为1,则行驶轨迹所在直线的方程为y=x-10,即x-y-10=0.
由(2)知,经过O,A,B三点的圆的圆心为(6,8),半径r=10,
∵圆心(6,8)到直线x-y-10=0的距离d==6<10,
∴直线x-y-10=0与圆(x-6)2+(y-8)2=100相交,∴轮船会进入安全预警区.
设直线与圆的两个交点为E,F,则|EF|=2=2×=4,∴轮船在安全预警区内会行驶=(h).
变式 解:(1)以O为原点,正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系,
则O(0,0),A(20,20),观景直道所在直线的方程为y=-10,
依题意得,游客所在点为B(-5,0),
则直线AB的方程为=,化简得4x-5y+20=0.
因为圆心O到直线AB的距离d==<4,所以直线AB与圆O相交,
所以游客不在该摄像头的监控范围内.
(2)如图所示,过点A作圆O的两条切线,分别与观景直道交于点D,E,则线段DE的长度即为观景直道不在摄像头的监控范围内的长度.
设切线的方程为y-20=k(x-20),整理得kx-y-20k+20=0,
则圆心O到切线的距离d==4,解得k=或k=,
所以切线的方程为y-20=(x-20)或y-20=(x-20),
即3x-4y+20=0或4x-3y-20=0.
由解得x=-20,由解得x=-2.5,
所以|DE|=17.5,所以观景直道不在摄像头的监控范围内的长度为17.5米.本章总结提升
◆ 题型一 直线方程、两条直线的位置关系
[类型总述] (1)直线方程的形式:①点斜式;②斜截式;③两点式;④截距式;⑤一般式.(2)两条直线的位置关系:①平行;②垂直;③相交.
例1 (1)(多选题) 已知直线l1:3x+ay+1=0,l2:(a+2)x+y+a=0,则下列说法正确的是 ( )
A.若l1∥l2,则a=-3
B.当a=-时,l1⊥l2
C.当a=时,直线l1的倾斜角为60°
D.直线l2过定点(-1,2)
(2)在△ABC中,AC边上的高所在直线的方程为x+2y-5=0,BC边所在直线的方程为2x+y-7=0.
①求点B的坐标;
②求过点B且在两坐标轴上截距相等的直线的方程.
变式 (1)(多选题)已知直线l1:x-y+m=0,l2:2x+my-1=0,则下列结论正确的有 ( )
A.若l1∥l2,则m=-2
B.若l1⊥l2,则m=2
C.若l1,l2在x轴上的截距相等,则m=1
D.l2的倾斜角不可能是l1的倾斜角的2倍
(2)已知△ABC的三个顶点分别为A(2,1),B(5,3),C(-1,5).
①求△ABC的边BC上的高所在直线l的方程;
②若D满足=3,求过点D且与l平行的直线的方程.
◆ 题型二 距离问题
[类型总述] (1)点点距离;(2)点线距离;(3)线线距离;(4)与距离有关的最值问题.
例2 (1)已知A(-1,2),B(3,5),则与直线AB平行且距离为2的直线的方程为 ( )
A.3x-4y+21=0
B.3x-4y-1=0
C.3x-4y+21=0或3x-4y+1=0
D.3x-4y-21=0或3x-4y-1=0
(2)直线l1:3ax-y-2=0和直线l2:(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A和B,则|AB|= .
变式1 (1)[2024·北京卷] 圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为 ( )
A. B.2
C.3 D.3
(2)若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,则直线l1关于直线l2对称的直线方程为 ( )
A.x-2y-13=0 B.x-2y+2=0
C.x-2y+4=0 D.x-2y-6=0
变式2 [2025·石家庄一中高二期中] 已知直线l的方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0.
(1)当m=1时,求点M(3,4)到直线l的距离;
(2)当m=-3时,P为直线l上的一个动点,若A(1,4),B(3,5),求|PA|+|PB|的最小值.
◆ 题型三 圆的方程
[类型总述] (1)圆的标准方程;(2)圆的一般方程.
例3 (1)[2022·全国甲卷] 设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为 .
(2)[2022·全国乙卷] 过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 .
变式 (1)[2025·大庆石油高级中学高二期中] 已知O为坐标原点,点A在圆(x-2)2+(y-2)2=1上运动,则线段OA的中点P的轨迹方程为 ( )
A.(x-1)2+(y-1)2=1
B.(x-1)2+(y-1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=
D.(x-1)2+(y-1)2=
(2)若点(1,3)在圆x2+y2-ax-2ay+5a=0的外部,则正实数a的取值范围是 .
◆ 题型四 直线与圆、圆与圆的位置关系的应用
[类型总述] (1)直线与圆的位置;(2)圆与圆的位置;(3)弦长公式;(4)垂径定理.
例4 (1)[2024·全国甲卷] 直线3x+4y-25=0与圆x2+y2-6x-8y=0交于A,B两点,则|AB|= ( )
A. B.2
C.5 D.10
(2)(多选题)已知圆O1:x2+y2+2x=0与圆O2:x2+y2-2x-2y-2=0交于A,B两点,则 ( )
A.两圆的公切线有2条
B.直线AB的方程为2x+y+1=0
C.|AB|=
D.若动点P(x,y)在圆O1上,则x2+(y-1)2的最大值为+1
变式1 (1)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 设点A(-2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为l,已知l与圆C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围为 .
(2)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程 .
变式2 已知圆C过点M(4,-1),圆心C在直线x-y-4=0上,且圆C与x轴相切.
(1)求圆C的方程;
(2)已知圆C1:(x-1)2+(y-1)2=4与圆C交于A,B两点,过直线AB上(除线段AB部分)一点P分别作两圆的切线,切点分别为点E,F,求证:|PE|=|PF|.
◆ 题型五 圆中的最值问题
[类型总述] (1)与距离有关的最值问题;(2)与面积有关的最值问题;(3)与角或斜率有关的最值问题;(4)与代数式几何意义有关的最值问题.
例5 (1)(多选题)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 ( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
(2)[2024·肇庆一中高二期中] 已知圆O的方程为x2+y2=16,直线l:x+y-8=0,点P是直线l上的一动点,过P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,则当四边形PAOB的面积最小时,直线AB的方程为 ( )
A.x+y=4 B.3x+4y=4
C.2x+3y=4 D.x+y=1
例6 (多选题)[2025·重庆巴蜀中学高二期中] 已知实数x,y满足方程x2+y2-6x+7=0,则下列说法正确的是 ( )
A.的最大值为
B.x2+y2的最大值为11+6
C.x-2y的最大值为3+
D.|x+y-6|的最大值为5
变式 (1)在平面直角坐标系中,过点A(0,a)向圆C:(x-2)2+(y-1)2=3引切线,切点为B,设|AB|=d1,点A到直线x-y+4=0的距离为d2,当d1+d2取得最小值时,a的值为( )
A.1 B.2
C. D.
(2)[2025·珠海二中高二月考] 已知圆C1:x2+y2-2mx+m2-1=0和圆C2:x2+y2-2ny+n2-9=0恰有三条公切线,则(m-6)2+(n-8)2的最小值为 ( )
A.36 B.3
C.10 D.
◆ 题型六 直线、圆的方程的应用
例7 [2025·南宁高二期中] 为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全,海事部门在某平台O的北偏西45°方向2km处设立观测点A,在平台O的正东方向12 km处设立观测点B,规定经过O,A,B三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系.
(1)试写出A,B的坐标,并求两个观测点A,B之间的距离.
(2)试求经过O,A,B三点的圆的标准方程.
(3)某日经观测发现,在平台O正南方向10 km的C处,有一艘轮船正以8 km/h的速度沿北偏东45°方向行驶,如果航向不变,那么该轮船是否会进入安全预警区 如果不进入,请说明理由;如果进入,那么它在安全预警区内会行驶多长时间
变式 [2025·梅州高二期中] 如图,某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物,该建筑物底面直径为8米,在其南面有一条东西走向的观景直道,建筑物的东、西两侧有与观景直道平行的两段辅道,观景直道与辅道之间的距离为10米.在建筑物底面中心O的东北方向20米的点A处,有一360°全景摄像头,其安装高度低于建筑物的高度.
(1)在西辅道上与建筑物底面中心O的距离为5米处有一名游客,该游客是否在该摄像头的监控范围内
(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度.(共58张PPT)
本章总结提升
题型一 直线方程、两条直线的位置关系
题型二 距离问题
题型三 圆的方程
题型四 直线与圆、圆与圆的位置关系的应用
题型五 圆中的最值问题
题型六 直线、圆的方程的应用
答案核查
题型一 直线方程、两条直线的位置关系
［类型总述］（1）直线方程的形式:①点斜式;②斜截式;③两点式;④
截距式;⑤一般式.（2）两条直线的位置关系：①平行;②垂直;③相交.
例1(1)(多选题)已知直线 ， ，
则下列说法正确的是( )
A.若，则
B.当时，
C.当时，直线的倾斜角为
D.直线过定点
√
√
√
[解析] 对于A，若，则，解得 或.
当时，， ，满足；
当时，， ，两直线重合.
所以，故A正确.
对于B，当 时，，，
此时 ，故B正确.
对于C，当时，，直线的斜率为 ，
所以直线的倾斜角为 ，故C错误.
对于D，可化为，
由 解得所以直线过定点，故D正确.故选 .
（2）在中，边上的高所在直线的方程为 ，
边所在直线的方程为 .
①求点 的坐标；
解：由解得 所以 .
②求过点 且在两坐标轴上截距相等的直线的方程.
解：当截距为0时，设直线方程为 ，
由直线过点，得，即，所以直线方程为 ；
当截距不为0时，设直线方程为，则 ，所以直
线方程为 .
综上可知，所求直线方程为或 .
变式（1）（多选题）已知直线 ，
，则下列结论正确的有( )
A.若，则
B.若，则
C.若，在轴上的截距相等，则
D.的倾斜角不可能是 的倾斜角的2倍
√
√
[解析] 若，则，得，选项A正确；
若 ，则，得，选项B正确；
若，在 轴上的截距相等，则，解得，选项C错误；
当时， 的倾斜角恰好是的倾斜角的2倍，选项D错误.故选 .
（2）已知的三个顶点分别为，， .
①求的边上的高所在直线 的方程；
解：由，，可知直线的斜率 ，
故 .
又，所以的边上的高所在直线 的方程为
，即 .
②若满足，求过点且与 平行的直线的方程.
解：设，由，可知 ，
即解得 即.
因为所求直线与平行，所以可设其方程为 ，
代入点的坐标，解得，故所求方程为 ，即
.
题型二 距离问题
［类型总述］（1）点点距离;（2）点线距离;（3）线线距离;（4）
与距离有关的最值问题.
例2（1）已知，，则与直线 平行且距离为2的直线
的方程为( )
A.
B.
C.或
D.或
√
[解析] 由题意得，所以直线 的方程为
，即 .
设所求直线的方程为，则，
解得或 ，
所以所求直线的方程为或 .故选C.
（2）直线和直线 分别
过定点和，则 ___．
[解析] 直线的方程可变形为，由 可得
即点.
直线 的方程可变形为，由
可得即点，所以 .
变式1（1）［2024·北京卷］圆 的圆心到直线
的距离为( )
A. B.2 C.3 D.
[解析] 圆 的标准方程为
，则其圆心坐标为 ，
则圆心到直线的距离为 ，故选D.
√
（2）若两条平行直线 与
之间的距离是，则直线关于直线 对称的
直线方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为与 平行，所以
，即直线的方程为，又与 之间的距离是
，所以，又，所以，所以 的方程为
.
设直线关于直线 对称的直线方程为，则，
解得或，
当 时，直线关于直线对称的直线方程为，
当 时，显然不符合题意．故选A.
变式2 ［2025·石家庄一中高二期中］已知直线 的方程为
.
（1）当时，求点到直线 的距离；
解：当时，直线的方程为 ，
所以点到直线的距离 .
（2）当时，为直线上的一个动点，若， ，求
的最小值.
解：当时，直线的方程为 ，
设点关于直线的对称点为 ，
则解得则 ，
连接，易知 ，
故的最小值为 .
题型三 圆的方程
［类型总述］（1）圆的标准方程;（2）圆的一般方程.
例3（1）［2022·全国甲卷］设点在直线 上，点
和均在上，则 的方程为______________________.
[解析] 点在直线上， 可设点为 ，
又点和均在上， 点到点， 的距离相等，
，
即，解得 ，
，的半径，
的方程为 .
（2）［2022·全国乙卷］过四点，，， 中的三
点的一个圆的方程为
[解析] 设圆的方程为.
若选三点，则
___________________________________________________________
解得 所以圆的方程为.
同理，若选,, 三点，则圆的方程为.
若选,, 三点，则圆的方程为.
若选,, 三点，则圆的方程为 .
故满足条件的圆的方程为 .
变式（1）［2025·大庆石油高级中学高二期中］已知 为坐标原点，
点在圆上运动，则线段的中点 的轨迹
方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设，，则，，即 ①，
.
因为点在圆 上运动，
所以 ，把①②代入，
得，即，
故线段 的中点的轨迹方程为 .故选D.
（2）若点在圆 的外部，则正实数
的取值范围是______.
[解析] 由题意可得
解得，故正实数的取值范围是 .
题型四 直线与圆、圆与圆的位置关系的应用
［类型总述］（1）直线与圆的位置;（2）圆与圆的位置;（3）弦长
公式;（4）垂径定理.
例4（1）［2024·全国甲卷］直线 与圆
交于，两点，则 ( )
A. B. C.5 D.10
[解析] 圆 的标准方程为
,则圆心为 ，半径为5,
显然直线过圆心，所以 ，故选D.
√
（2）（多选题）已知圆 与圆
交于， 两点，则( )
A.两圆的公切线有2条
B.直线的方程为
C.
D.若动点在圆上，则的最大值为
√
√
[解析] 由题意可知圆的圆心为,半径，圆 的圆心
为,半径 ，故 ，
故两圆相交，有2条公切线，故A正确；
直线 的方程为，
即 ，即，故B正确；
到直线 的距离，故
，故C错误；
可看作是圆上的点到点 的距离的平方，
易知的最大值为，所以 的最大
值为，故D错误.故选 .
变式1（1）［2022·新高考全国Ⅱ卷］设点，,直线
关于直线的对称直线为，已知 与圆
有公共点，则 的取值范围为______.
[解析] 由题意知直线过点.点关于直线 的对称点为
,所以直线的方程为 ,即
.
由题意知，圆心到直线 的距离,
整理得,解得 ，故的取值范围为 .
（2）［2022·新高考全国Ⅰ卷］写出与圆 和
都相切的一条直线的方程_______________
________________________________.
（或或）
[解析] 方法一：如图，由图易知 为公切线的
方程.设切点,则由
可知,，所以 ，
又,所以过点的公切线的斜率为 ，所以过点的公切线的
方程为 ,即.
过点的公切线的方程为 ,即.
由可得 ,设公切线的方程为
,即,由 ,解得 ,
所以公切线的方程为 .
方法二：显然公切线的斜率不为0，设公切线的方程为
，所以 或
，再结合①可得或或
所以公切线有三条，其方程分别为， ，
（填一个即可）.
变式2 已知圆过点，圆心在直线 上，且圆
与 轴相切.
（1）求圆 的方程；
解：设圆心的坐标为，则，可得 ，即
圆心的坐标为，因为圆与轴相切，所以圆 的半径为 .
因为圆过点，所以 ，解得
，故圆心的坐标为，圆的半径为1，故圆 的方程为
.
（2）已知圆与圆交于， 两点，过直
线上（除线段部分）一点 分别作两圆的切线，切点分别为点
,，求证： .
证明：将圆和圆的方程作差可得，则直线 的
方程为 ，设，则 .
由题知，圆 的半径为2，
设切线与圆切于点，与圆切于点 ，则
，
，
又，所以 .
题型五 圆中的最值问题
［类型总述］（1）与距离有关的最值问题;（2）与面积有关的最值
问题;（3）与角或斜率有关的最值问题；（4）与代数式几何意义有
关的最值问题.
例5（1）（多选题）已知点在圆 上，点
， ，则( )
A.点到直线的距离小于10 B.点到直线 的距离大于2
C.当最小时， D.当最大时，
[解析] 方法一：由题知圆 的圆心的坐标为
，半径，直线的方程为，即 ，
圆心到该直线的距离，故点到直线 的距
离的取值范围为 ，
√
√
√
，即，
故选项A正确；
，，故选项B不正确；
易知当最大或最小时， 均为圆的切线，此时
，故选项C，D均正确.故选 .
方法二：直线
， ，所以选项A正确，
选项B错误.
记圆的圆心为点，半径 ，连接，
则.易知当 最大或最小时， 均为圆的切线，
此时 ，所以选项C，D均正确.故选 .
（2）［2024·肇庆一中高二期中］已知圆的方程为 ，
直线，点是直线上的一动点，过作圆 的两条切
线，切点分别为，，则当四边形的面积最小时，直线 的
方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意可知, ，所以
，
所以当最小时，最小，此时，因为 的斜率为
，所以此时直线的斜率为1，直线的方程为 .
由解得，则 ,
.
以 为圆心，半径为4的圆的方程为，
即 ，与两式相减并化简
得 .故选A.
例6 （多选题）［2025·重庆巴蜀中学高二期中］ 已知实数, 满足
方程 ，则下列说法正确的是( )
A.的最大值为 B.的最大值为
C.的最大值为 D. 的最大值为5
[解析] 由，得 ，它表示圆心
为，半径为的圆.
对于A， 表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，令，则，
易知当直线 与圆相切于第一象限时，取得最大值，
此时，A错误；
√
√
√
对于B， 表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，所以
有 ，B正确；
对于C，设，则，易知当直线 与
圆相切时，取得最大值或最小值，此时，圆心到直线 的
距离为半径，则，解得，故 ，
C正确；
对于D，表示圆上的点到直线 的距离的倍，
因为圆心到直线的距离 ，
所以圆上的点到直线的最大距离为 ,所以
，D正确.故选 .
变式(1)在平面直角坐标系中，过点 向圆
引切线，切点为，设，点 到直线的距离为，
当取得最小值时， 的值为( )
A.1 B.2 C. D.
√
[解析] 由圆的方程为 ，可得圆心为
，半径，连接， ，则
，
所以的几何意义是点 到定点的距离.
又因为点 到直线的距离为 ，
所以表示动点到
定点 和到直线的距离之和.
如图所示，当与直线 垂直时，取得最小值.
由直线 的斜率，且 ，
，可得 .故选B.
(2)[2025·珠海二中高二月考]已知圆和
圆 恰有三条公切线，
则 的最小值为( )
A.36 B.3 C.10 D.
[解析] 圆的标准方程为，则圆心为 ，
半径，圆的标准方程为 ，则圆心为
，半径.
由圆和圆恰有三条公切线，得圆和圆 外切，
则，所以 ，
√
显然点在圆上，点在圆 外.
令，则点 在圆
上，因此圆 与圆
有公共点，则 ，
其中，即，解得，则 ，
所以 的最小值为36.故选A.
题型六 直线、圆的方程的应用
例7 ［2025·南宁高二期中］为了保证我国东海油气田
海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西
方向 处设立观测点，在平台的正东方向
处设立观测点 ，规定经过,, 三点的圆以及
其内部区域为安全预警区.如图所示，以为坐标原点， 的正东方
向为 轴正方向，建立平面直角坐标系.
（1）试写出,的坐标，并求两个观测点, 之
间的距离.
解：连接，由题意知， ，
， ，， ，
，
即，之间的距离为 .
（2）试求经过,, 三点的圆的标准方程.
解：设经过,, 三点的圆的方程为
，
则 解得
所求圆的一般方程为 ，
则经过,,三点的圆的标准方程为 .
（3）某日经观测发现，在平台正南方向的 处，
有一艘轮船正以的速度沿北偏东 方向行
驶，如果航向不变，那么该轮船是否会进入安全预警区？
如果不进入，请说明理由；如果进入，那么它在安全预
警区内会行驶多长时间？
解：由题意知， 轮船沿北偏东 方向行驶，
行驶轨迹所在直线的斜率为1，则行驶轨迹所在直线的方程为
，即 .
由（2）知，经过,,三点的圆的圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离 ，
直线与圆 相交，
轮船会进入安全预警区.
设直线与圆的两个交点为, ，则
，
轮船在安全预警区内会行驶 .
变式 ［2025·梅州高二期中］ 如图，某
公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观
建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其
南面有一条东西走向的观景直道，建筑物
的东、西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道之间
的距离为10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点 处，有
一 全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度.
（1）在西辅道上与建筑物底面中心 的距离为5米处有一名游客，该
游客是否在该摄像头的监控范围内
解：以为原点，正东方向为 轴正方向，建立
如图所示的平面直角坐标系，则, ，
观景直道所在直线的方程为 ，
依题意得，游客所在点为 ，
则直线的方程为，化简得 .
因为圆心到直线 的距离，
所以直线与圆 相交，所以游客不在该摄像头的监控范围内.
（2）求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度.
解：如图所示，过点作圆 的两条切线，分别与
观景直道交于点，，则线段 的长度即为观景
直道不在摄像头的监控范围内的长度.
设切线的方程为 ，整理得 ，
则圆心到切线的距离 ，解得或 ，
所以切线的方程为 或 ，
即或 .
由解得 ，
由解得 ，
所以 ，所以观景直道不在摄像头的监控范围内的长度
为17.5米.
快速核答案
例1.（1）ABD （2）①.②或变式.（1）AB （2）①
② 例2.（1）C （2） 变式1.（1）D （2）A 变式2.（1）.（2）
例3.（1） （2）
变式.（1）D （2）
例4.（1）D （2）AB 变式1.（1） （2）（或或）
变式2.（1） （2）证明略
例5.（1）ACD （2）A 例6.BCD 变式.（1）B （2）A
例7.（1）.（2），（3）会，
变式.（1）不在 （2）17.5米