滚动习题(三)
1.D [解析] 记直线的倾斜角为α,由题知tan α=-,又α∈[0,π),所以α=,故选D.
2.C [解析] 由kx+y-6k+2=0,得k(x-6)+y+2=0,由得所以点P的坐标为(6,-2).故选C.
3.C [解析] 由题意知,=,得|2-2a|=|a|,解得a=2或a=.故选C.
4.D [解析] 设AC边上的高所在直线的斜率为k1,则k1=-,设AC边所在直线的斜率为k2,因为AC边上的高与AC边垂直,所以k1k2=-1,所以k2=,又A(5,5),所以AC边所在直线的方程为y=(x-5)+5,整理得2x-3y+5=0.故选D.
5.C [解析] 当sin θ=0时,直线l的倾斜角α=;当sin θ≠0时,由x+ysin θ+3=0,得y=-x-,因为sin θ∈[-1,1],所以-∈(-∞,-1]∪[1,+∞),即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又α∈[0,π),所以α∈∪.综上可知,直线l的倾斜角α的取值范围是.故选C.
6.C [解析] 由(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0得λ(3x+y-4)+x+y-2=0,由解得所以直线l过定点Q(1,1),又|PQ|==,所以点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距离的最大值为.故选C.
7.BD [解析] 当k≠0时,l的斜率为-;当k=0时,l的斜率不存在.A错误.在x+ky+1=0中,令y=0,得x=-1,所以l在x轴上的截距为-1,B正确.当k=0时,直线l:x+1=0平行于y轴,C错误.l与直线x+ky+2=0间的距离是=,D正确.故选BD.
8.ABD [解析] 对于A,由题知l1:a(x+3)+2y=0,故直线l1过定点(-3,0),故A正确.对于B,若l1⊥l2,则3a+2(a-1)=0,解得a=,故B正确.对于C,若l1∥l2,则a(a-1)-6=0,可得a2-a-6=(a-3)(a+2)=0,解得a=-2或a=3.当a=-2时,l1:x-y+3=0,l2:3x-3y+5=0,满足l1∥l2;当a=3时,l1:3x+2y+9=0,l2:3x+2y=0,满足l1∥l2.综上,l1∥l2的充要条件是a=-2或a=3.故C错误.对于D,点P(1,3)到l1的距离的最大值是点P(1,3)到定点(-3,0)的距离,即为5,故D正确.故选ABD.
9.3x-4y-3=0或3x+4y-3=0
[解析] 由sin α=,得cos α=±=±,则tan α=±,所以直线l的斜率k=±,则直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1),即3x-4y-3=0或3x+4y-3=0.
10.x-y=0或x+y+2=0 [解析] 易知l1与y轴交于点B(0,1),l2与x轴交于点A(1,0),由得故直线l1与l2的交点为C(-1,-1).如图所示(小正方形的边长为1),构造直角三角形ACD,直角三角形BCE,其中D(1,-1),E(-1,1),易知△ACD≌△BCE,故∠BCE=
∠ACD,又∠OCE=∠OCD=45°,所以∠OCE-∠BCE=∠OCD-∠ACD,即∠BCO=∠ACO,所以OC平分∠ACB,所以直线l可以为直线OC,易知直线OC的方程为x-y=0,直线l也可以为过点C且与直线x-y=0垂直的直线,此时直线l的方程为x+y+2=0.综上,直线l的方程为x-y=0或x+y+2=0.
11. [解析] 设点P(x,y)为直线x+y=0上的动点,+=+可看作P(x,y)与点(1,1)的距离和P(x,y)与点(2,0)的距离之和.设M(1,1),N(2,0),则点M'(-1,-1)为点M(1,1)关于直线x+y=0的对称点,故|PM|=|PM'|,且|M'N|==,所以|PM|+|PN|=+=|PM'|+|PN|≥|M'N|=,当且仅当P,M',N三点共线时取等号,所以+的最小值为.
12.解:(1)直线l1:x+3y+5=0的斜率为-,
因为直线l2经过点M(3,1)且与直线l1:x+3y+5=0平行,所以直线l2的方程为y-1=-(x-3),
即x+3y-6=0.
(2)因为l1:x+3y+5=0,l2:x+3y-6=0,所以直线l1与l2之间的距离为=.
13.解:(1)当m=0时, 直线l:x+y-4=0,设A(a,b)是P(2,0)关于l的对称点,
则解得故A(4,2).
由题意知,反射光线所在直线过点A(4,2)和原点O(0,0),
所以反射光线所在直线的方程为x-2y=0.
(2)证明:直线l的方程可化为m(2x+y-5)+x+y-4=0,
由解得
故直线l恒过定点B(1,3),得证.
(3)原点到直线l的距离的最大值即为点O(0,0)到点B(1,3)的距离d=,此时OB⊥l,
由kOB=3,得kl=-,故直线l的方程为y-3=-(x-1),整理得x+3y-10=0.
14.解:(1)当t=5时,直线PQ的斜率不存在,直线PQ的方程为x=5;
当t≠5时,直线PQ的斜率为,则直线PQ的方程为y-t=(x-t),
即(2t-10)y=t(x+t-10),
即tx+(10-2t)y+t2-10t=0.
因为当t=5时,tx+(10-2t)y+t2-10t=0可化为x=5,
所以直线PQ的方程为tx+(10-2t)y+t2-10t=0.
(2)由P(t,t)和四边形ABCD为正方形可知|OA|=|AD|=|AB|,
因为|OA|=a,所以A(a,0),B(2a,0),C(2a,a).
因为点C(2a,a)在直线PQ上,所以2at+(10-2t)a+t2-10t=0,所以a=t(10-t)=-(t-5)2+,
要使正方形ABCD的面积最大,只需a最大,所以当t=5时,a=,此时正方形ABCD的面积最大.滚动习题(三)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.[2025·广州高二期中] 已知直线的一个方向向量为(3,-),则该直线的倾斜角是 ( )
A. B.
C. D.
2.[2024·龙岩高二期中] 已知直线kx+y-6k+2=0恒过点P,则点P的坐标为 ( )
A.(0,-2) B.(-2,0)
C.(6,-2) D.(-6,2)
3.若A(-2,-1),B(1,1)两点到直线l:ax-y+1=0的距离相等,则a= ( )
A. B.-
C.2或 D.2或-
4.已知△ABC的一个顶点为A(5,5),AC边上的高所在直线的方程为3x+2y-7=0,则AC边所在直线的方程为 ( )
A.x-2y+5=0
B.2x-3y+3=0
C.x+2y-15=0
D.2x-3y+5=0
5.[2024·武汉华师大一附中高二期末] 已知直线l的方程为x+ysin θ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.∪
6.点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距离的最大值为 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.设k∈R,对于直线l:x+ky+1=0,下列说法中正确的是 ( )
A.l的斜率为-k
B.l在x轴上的截距为-1
C.l不可能平行于y轴
D.l与直线x+ky+2=0间的距离是
8.[2025·西安高二期中] 对于直线l1:ax+2y+3a=0和直线l2:3x+(a-1)y+3-a=0,以下说法正确的有 ( )
A.l1过定点(-3,0)
B.若l1⊥l2,则a=
C.l1∥l2的充要条件是a=3
D.点P(1,3)到l1的距离的最大值为5
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.已知直线l的倾斜角为α,且sin α=,若l过点(1,0),则l的方程为 .
10.[2025·大连高二期中] 已知直线l1:2x-y+1=0,l2:x-2y-1=0,若直线l1与l2关于直线l对称,则直线l的方程为 .
11.已知x+y=0,则+的最小值为 .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分) [2025·嘉兴八校联盟高二期中] 已知直线l1:x+3y+5=0,直线l2经过点M(3,1).
(1)若l1∥l2,求l2的方程;
(2)在(1)的条件下,求l1与l2之间的距离.
13.(15分)已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y-5m-4=0.
(1)当m=0时,一束光线从点P(2,0)射出,经直线l反射后过原点,求反射光线所在直线的方程;
(2)求证:直线l恒过定点;
(3)当原点到直线l的距离最大时,求直线l的方程.
14.(15分)[2024·怀远一中高二月考] 已知P(t,t),Q(10-t,0),t∈(0,5].
(1)写出直线PQ的方程;
(2)在△OPQ(O为坐标原点)内作内接正方形ABCD,使顶点A,B在边OQ上,顶点C在边PQ上,若|OA|=a,当正方形ABCD的面积最大时,求a,t的值.(共24张PPT)
滚动习题（三）
范围
一、单项选择题（本大题共6小题,每小题5分,共30分）
1.［2025·广州高二期中］已知直线的一个方向向量为 ，则
该直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
[解析] 记直线的倾斜角为 ，由题知，又 ，
所以 ，故选D.
√
2.［2024·龙岩高二期中］已知直线恒过点 ，则
点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
由得所以点的坐标为 .故选C.
√
3.若，两点到直线 的距离相等，则
( )
A. B. C.2或 D.2或
[解析] 由题意知，，得，解得
或 .故选C.
√
4.已知的一个顶点为， 边上的高所在直线的方程为
，则 边所在直线的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设边上的高所在直线的斜率为，则，
设 边所在直线的斜率为，因为边上的高与边垂直，所以
，所以，
又，所以 边所在直线的方程为，整理得
.故选D.
√
5.［2024·武汉华师大一附中高二期末］已知直线 的方程为
，则直线的倾斜角 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 当时，直线的倾斜角；
当 时，由，得，
因为 ，所以，
即 ，
又，所以.
综上可知，直线的倾斜角 的取值范围是 .故选C.
6.点到直线 的
距离的最大值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由 得
，由解得
所以直线过定点，又 ，
所以点到直线 的
距离的最大值为 .故选C.
√
二、多项选择题（本大题共2小题,每小题6分,共12分）
7.设，对于直线 ，下列说法中正确的是( )
A.的斜率为
B.在轴上的截距为
C.不可能平行于 轴
D.与直线间的距离是
√
√
[解析] 当时，的斜率为;
当时，的斜率不存在 错误.
在中，令，得，所以在 轴上的截距为
，B正确.
当时，直线平行于轴，C错误.
与直线间的距离是，D正确.故选 .
8.［2025·西安高二期中］对于直线 和直线
，以下说法正确的有( )
A.过定点
B.若，则
C.的充要条件是
D.点到 的距离的最大值为5
√
√
√
[解析] 对于A，由题知，故直线过定点 ，
故A正确.
对于B，若，则，解得 ，故B正确.
对于C，若，则 ，可得
，解得或.
当 时，，，满足；
当 时，，，满足.
综上， 的充要条件是或.故C错误.
对于D，点到 的距离的最大值是点到定点 的距离，
即为5，故D正确.故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
9.已知直线的倾斜角为 ，且，若过点，则 的方程
为________________________________.
或
[解析] 由，得，则 ，
所以直线的斜率，则直线的方程为 或
，即或 .
10.［2025·大连高二期中］已知直线 ，
，若直线与关于直线对称，则直线 的方程为
________________________.
或
[解析] 易知与轴交于点，与 轴交于点
，由得故直线与 的
交点为 .如图所示（小正方形的边长为1），
构造直角三角形,直角三角形，其中， ，易
知，故，又 ，
所以 ，即，
所以平分，所以直线 可以为直线，易知直线的方程
为，直线 也可以为过点且与直线 垂直的直线，
此时直线的方程为.
综上，直线 的方程为或 .
11.已知，则 的最
小值为_____.
[解析] 设点为直线 上的动点，
可看作与点的距离和与点 的距离之和.
设，，则点为点关于直线 的
对称点，故 ，
且，所以，当且仅当,, 三点共线时取等号，
所以的最小值为 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.（13分） ［2025·嘉兴八校联盟高二期中］ 已知直线
，直线经过点 .
（1）若，求 的方程；
解：直线的斜率为 ，
因为直线经过点且与直线 平行，
所以直线的方程为 ，即 .
（2）在（1）的条件下，求与 之间的距离.
解：因为，，所以直线与
之间的距离为 .
13.（15分）已知直线 .
（1）当时，一束光线从点射出，经直线 反射后过原点，
求反射光线所在直线的方程；
解：当时，直线，设是关于 的对
称点，则解得故 .
由题意知，反射光线所在直线过点和原点 ，
所以反射光线所在直线的方程为 .
（2）求证：直线 恒过定点；
证明：直线的方程可化为 ，
由解得 故直线恒过定点 ，得证.
（3）当原点到直线的距离最大时，求直线 的方程.
解：原点到直线的距离的最大值即为点到点 的距离
，此时 ，由，得，
故直线的方程为 ，整理得 .
14.（15分）［2024·怀远一中高二月考］ 已知, ，
.
（1）写出直线 的方程；
解：当时，直线的斜率不存在，直线的方程为 ；
当时，直线的斜率为,则直线 的方程为
,即 ，
即 .
因为当时，可化为 ，
所以直线的方程为 .
（2）在为坐标原点内作内接正方形，使顶点, 在
边上，顶点在边上，若，当正方形 的面积最
大时，求, 的值.
解：由和四边形为正方形可知 ，
因为，所以,, .
因为点在直线上，所以 ，
所以 ，
要使正方形的面积最大，只需最大，所以当时， ，
此时正方形 的面积最大.
快速核答案
1.D 2.C 3.C 4.D 5.C 6.C 7.BD 8.ABD
9.或 10.或
11. 12.（1） （2）.
13.（1） （2）证明略（3）
14.（1）（2），
