滚动习题(四)
1.B [解析] 由题意,圆心C(1,1),半径r=|OC|==,故圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.故选B.
2.C [解析] 因为点(-2,1)在圆x2+y2+x-y+a=0的外部,所以解得-2
3.A [解析] 由x2+y2+2x-6y-26=0,得(x+1)2+(y-3)2=36,所以圆C1的圆心为C1(-1,3),半径r1=6.由x2+y2-4x+2y+4=0,得(x-2)2+(y+1)2=1,所以圆C2的圆心为C2(2,-1),半径r2=1,所以|C1C2|==5=r1-r2,所以两圆内切.故选A.
4.C [解析] 由kx-y-2k+2=0(k∈R),得y-2=k(x-2),所以直线l过定点Q(2,2).由圆C:(x-5)2+(y-6)2=4,得圆C的圆心坐标为(5,6),半径为2,所以Q到圆心的距离d==5>2,所以Q在圆外,故|PQ|的最大值为d+2=7.故选C.
5.A [解析] 连接CP,由题意得半径r=|CP|==5.∵|AB|≥6,∴圆心到直线y=kx+m-2k的距离的最大值为4,又圆心到直线y=kx+m-2k的距离d=,∴当k=0时,d=|m-1|=4,∴m=5或m=-3.故选A.
6.C [解析] 圆C1:(x-2)2+(y+1)2=4的圆心为C1(2,-1),半径r1=2.设圆心C1(2,-1)关于直线x+y-3=0的对称点为C2(m,n),则
解得所以C2(4,1).又圆C1的半径r1=2,所以圆C2的半径r2=r1=2,所以圆C2的方程为(x-4)2+(y-1)2=4.设M(x,y),则|MA|=,|MO|=.又|MA|2+|MO|2=10,所以x2+(y-2)2+x2+y2=10,整理可得x2+(y-1)2=4,故圆C3的方程为x2+(y-1)2=4,圆心为C3(0,1),半径r3=2.圆C2和圆C3的圆心距|C2C3|==4,又r2+r3=4,所以|C2C3|=r2+r3,所以圆C2和圆C3外切,所以圆C2和圆C3的公切线有3条.故选C.
7.BD [解析] 由圆C1:(x-m)2+(y-1)2=7得x2+y2-2mx-2y+m2-6=0,由圆C2:(x+1)2+(y+1)2=2得x2+y2+2x+2y=0.把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l的方程为(2m+2)x+4y-m2+6=0,由题意知直线l经过C2的圆心(-1,-1),∴m2+2m=0,∴m=0或m=-2.当m=0时,圆C1的圆心坐标为(0,1),半径为,圆心到直线3x+4y+3=0的距离为=,∴直线3x+4y+3=0被圆C1所截得的弦长为2×=.当m=-2时,圆C1的圆心坐标为(-2,1),半径为,圆心到直线3x+4y+3=0的距离为=,∴直线3x+4y+3=0被圆C1所截得的弦长为2×=.综上所述,直线3x+4y+3=0被圆C1所截得的弦长为或.故选BD.
8.AB [解析] 圆C的圆心为(1,2),半径为.对于A,因为△PAC为直角三角形,且|PC|==,|AC|=,所以|PA|==2,故A正确;对于B,设AB与PC的交点为D,由题易知△ACP≌△BCP,所以∠ACD=∠BCD,所以△ACD≌△BCD,可得PC⊥AB,故B正确;对于C,四边形PACB的面积为2S△PAC=|PA|·|AC|=2×=4,故C错误;对于D,因为PA⊥AC,PB⊥BC,所以点P在△ABC的外接圆上,圆心为PC的中点,故D错误.故选AB.
9.2 [解析] 圆(x-3)2+(y-2)2=4的圆心坐标为(3,2),半径r=2,圆心到直线x-y+1=0的距离d==,所以|AB|=2×=2.
10.4 [解析] 设P(x,y),因为|PA|=|PB|,所以=,整理得(x-6)2+y2=32,所以点P所在阿波罗尼斯圆的方程为(x-6)2+y2=32,其半径为4.
11.(-1,1) [解析] 设P(x0,y0),因为P是直线l:x-y+4=0上一点,所以y0=x0+4,以OP为直径的圆的方程为x(x-x0)+y(y-y0)=0,即x2+y2-x0x-y0y=0,两圆的方程相减得x0x+y0y=4,即直线AB的方程为x0x+y0y=4,又y0=x0+4,所以直线AB的方程为x0(x+y)+4y-4=0,故直线AB过定点(-1,1).设Q(x,y),直线AB过定点M,则M(-1,1),由·=0,得(x+1)x+(y-1)y=0,整理得点Q的轨迹方程为+=(x,y不能同时为0),则点Q到直线l的距离的最小值为-=.
12.解:(1)证明:直线l的方程可化为x-1+m(y-1)=0,
由解得
所以直线l恒过定点(1,1).
(2)x2+y2-4x-4y+4=0可化为(x-2)2+(y-2)2=4,
所以圆C的圆心为C(2,2),半径r=2.
当m=1时,直线l:x+y-2=0,圆心C到直线l的距离d==,
所以直线l被圆C截得的弦长为2=2×=2.
13.解:(1)设圆C的半径为r(r>0),
因为圆C与直线3x+4y+17=0相切,
所以圆心C到直线3x+4y+17=0的距离是圆C的半径,
即r==3,所以圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=9.
(2)圆N:(x-m)2+y2=m2(m>0)的圆心为(m,0),半径为m,
若两个圆有公共弦,
则|m-3|<|CN|即|m-3|<.
由两式作差得两圆公共弦所在直线的方程为(m+2)x-y-2=0,所以圆心C到公共弦所在直线的距离d==,又两圆的公共弦长为2,所以2=2,可得d=2,
所以=2,解得m=或m=,
又m>,所以m=,经检验符合题意,
故存在实数m=,使得圆N与圆C公共弦的长度为2.
14.解:(1)根据题意得,A(4,0),B(0,4).
设Q(x,y),P(x1,y1),则=(x-4,y),=(x1-x,y1-y),
因为=2,所以(x-4,y)=2(x1-x,y1-y),所以
又P为圆C上的动点,所以+=16,所以+=16,整理得x2+y2-x-=0,故点Q的轨迹方程为x2+y2-x-=0.
(2)因为直线m被圆C截得的弦长为2,所以圆心C到直线m的距离d==3.
①当直线m的斜率不存在时,直线m的方程为x=3,符合题意;
圆心C(0,0)到直线m的距离为3,
②当直线m的斜率存在时,设直线m:y-4=k(x-3),
则圆心C(0,0)到直线m的距离为=3,解得k=,所以直线m的方程为y-4=(x-3),即7x-24y+75=0.
综上,直线m的方程为7x-24y+75=0或x=3.
(3)证明:设P(x1,y1),则+=16,
直线AP的方程是y=(x-4),令x=0,得y=,
直线BP的方程是y=x+4,
令y=0,得x=,
所以|AN|·|BM|=·=16=
16=
16=32,
为定值.滚动习题(四)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.已知圆C的圆心坐标为(1,1),且过坐标原点O,则圆C的方程为 ( )
A.(x-1)2+(y-1)2=
B.(x-1)2+(y-1)2=2
C.(x+1)2+(y+1)2=2
D.x2+y2=2
2.[2025·安徽A10联盟高二期中] 若点(-2,1)在圆x2+y2+x-y+a=0的外部,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-2,+∞)
B.(-∞,-2)
C.
D.(-∞,-2)∪
3.[2024·肇庆广信中学高二期中] 圆C1:x2+y2+2x-6y-26=0与圆C2:x2+y2-4x+2y+4=0的位置关系是 ( )
A.内切 B.外切
C.相交 D.外离
4.[2025·辽宁名校联盟高二联考] 已知直线l:kx-y-2k+2=0(k∈R)过定点Q,若P为圆C:(x-5)2+(y-6)2=4上任意一点,则|PQ|的最大值为 ( )
A.3 B.5
C.7 D.9
5.已知圆C的圆心坐标为(2,1),且点P(-1,-3)在圆C上,若直线y=kx+m-2k与圆C相交于A,B两点,当k变化时,线段AB的最小值为6,则m的值为 ( )
A.5或-3 B.-5
C.-5或3 D.3
6.若圆C1:(x-2)2+(y+1)2=4与圆C2关于直线x+y-3=0对称,圆C3上的任意一点M均满足|MA|2+|MO|2=10,其中A(0,2),O为坐标原点,则圆C2和圆C3的公切线有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.[2024·河南省实验中学高二月考] 若圆C1:(x-m)2+(y-1)2=7始终平分圆C2:(x+1)2+(y+1)2=2的周长,则直线3x+4y+3=0被圆C1所截得的弦长可能为 ( )
A.2 B.
C.2 D.
8.[2025·四川射洪中学高二期中] 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2和圆外一点P(2,-1),过点P作圆C的切线PA,PB,其中A,B分别是切点,则下列结论正确的是 ( )
A.|PA|=2
B.PC⊥AB
C.四边形PACB的面积为8
D.点P在△ABC外接圆的外部
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.若直线y=x+1与圆(x-3)2+(y-2)2=4交于A,B两点,则弦AB的长度为 .
10.[2025·黄山八校联盟高二期中] 古希腊数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点的距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点A(-2,0),B(2,0),点P满足|PA|=|PB|,则点P所在阿波罗尼斯圆的半径为 .
11.过直线l:x-y+4=0上任意点P作圆O:x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB过定点 ;记线段AB的中点为Q,则点Q到直线l的距离的最小值为 .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)已知圆C:x2+y2-4x-4y+4=0,直线l:x+my-1-m=0.
(1)求证:直线l恒过定点;
(2)当m=1时,求直线l被圆C截得的弦长.
13.(15分)已知圆C的圆心为(-2,1),且圆C与直线3x+4y+17=0相切.
(1)求圆C的方程.
(2)已知圆N:(x-m)2+y2=m2(m>0),是否存在实数m,使得圆N与圆C公共弦的长度为2 若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.
14.(15分)已知圆C:x2+y2=16分别与x,y轴正半轴交于A,B两点,P为圆C上的动点.
(1)若线段AP上有一点Q,使得=2,求点Q的轨迹方程;
(2)过点(3,4)的直线m被圆C截得的弦长为2,求直线m的方程;
(3)若P为圆C上异于A,B的动点,直线AP与y轴交于点M,直线BP与x轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定值.(共26张PPT)
滚动习题（四）
范围
一、单项选择题（本大题共6小题,每小题5分,共30分）
1.已知圆的圆心坐标为，且过坐标原点，则圆 的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意，圆心 ，半径
，
故圆 的方程为 .故选B.
√
2.［2025·安徽A10联盟高二期中］若点 在圆
的外部，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为点在圆 的外部，所以
解得，所以实数 的取值范
围是 .故选C.
√
3.［2024·肇庆广信中学高二期中］圆
与圆 的位置关系是( )
A.内切 B.外切 C.相交 D.外离
[解析] 由，得 ，
所以圆的圆心为，半径 .
由，得，
所以圆 的圆心为，半径 ，
所以 ，
所以两圆内切.故选A.
√
4.[2025·辽宁名校联盟高二联考]已知直线
过定点，若 为圆上任意一点，则 的
最大值为( )
A.3 B.5 C.7 D.9
[解析] 由，得 ，所以直
线过定点.
由圆，得圆 的圆心坐标为，半径为2，
所以 到圆心的距离，所以在圆外，
故 的最大值为 .故选C.
√
5.已知圆的圆心坐标为，且点在圆 上，若直线
与圆相交于，两点，当变化时，线段 的最
小值为6，则 的值为( )
A.5或 B. C. 或3 D.3
[解析] 连接 ，由题意得半径
， 圆心到直线 的距离的最大值为4，
又圆心到直线的距离，
当 时，，或 .故选A.
√
6.若圆与圆关于直线 对称，
圆上的任意一点均满足，其中， 为
坐标原点，则圆和圆 的公切线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
√
[解析] 圆的圆心为，半径 .
设圆心关于直线的对称点为 ，则
解得所以.
又圆的半径，所以圆 的半径，所以圆的方程为
.
设 ，则， .
又，所以 ，整理可得
，故圆的方程为 ，圆心为，
半径.
圆和圆 的圆心距，又 ，
所以，所以圆和圆外切，所以圆和圆 的公切线有3条.
故选C.
二、多项选择题（本大题共2小题,每小题6分,共12分）
7.［2024·河南省实验中学高二月考］若圆始终平分
圆 的周长，则直线被圆 所截得的
弦长可能为( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 由圆 得,
由圆 得 .把两圆的方程相减即
得两圆公共弦所在直线的方程为,由题意知直线
经过 的圆心，,或.
当时，圆 的圆心坐标为，半径为，圆心到直线 的
距离为， 直线被圆 所截得的弦长
为.
当时，圆的圆心坐标为 ，半径为，圆心到直线
的距离为， 直线被圆所截得的弦长
为 .
综上所述，直线被圆所截得的弦长为或 .故选 .
8.［2025·四川射洪中学高二期中］已知圆
和圆外一点，过点作圆的切线,，其中, 分别是切
点，则下列结论正确的是( )
A. B.
C.四边形的面积为8 D.点在 外接圆的外部
√
√
[解析] 圆的圆心为，半径为.
对于A，因为 为直角三角形，且， ，
所以，故A正确；
对于B，设与的交点为 ，由题易知，
所以 ，所以，可得，故B正确；
对于C，四边形 的面积为 ，
故C错误；
对于D，因为，，所以点在的外接圆上，
圆心为 的中点，故D错误.故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
9.若直线与圆交于， 两点，则弦
的长度为_____.
[解析] 圆的圆心坐标为，半径 ，
圆心到直线的距离 ，
所以 .
10.［2025·黄山八校联盟高二期中］古希腊数学家阿波罗尼斯发现：
平面内到两个定点的距离之比为常数且 的点的轨迹是
圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点,，点 满
足，则点 所在阿波罗尼斯圆的半径为_____.
[解析] 设，因为 ,所以
，整理得 ，
所以点所在阿波罗尼斯圆的方程为 ，其半径为
.
11.过直线上任意点作圆 的两条切线，
切点分别为，，则直线过定点________;记线段的中点为 ，
则点到直线 的距离的最小值为____.
[解析] 设，因为是直线 上一点，所以
，以为直径的圆的方程为 ，
即，两圆的方程相减得 ，即
直线的方程为，又，所以直线 的方
程为，故直线过定点.
设 ，直线过定点，则，由 ，
得，整理得点 的轨迹方程为
,不能同时为0），
则点到直线 的距离的最小值为 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.（13分）已知圆 ，直线
.
（1）求证：直线 恒过定点；
解：证明：直线的方程可化为 ，
由解得 所以直线恒过定点 .
（2）当时，求直线被圆 截得的弦长.
解：可化为 ，
所以圆的圆心为，半径 .
当时，直线，圆心到直线 的距离
，
所以直线被圆截得的弦长为 .
13.（15分）已知圆的圆心为，且圆 与直线
相切.
（1）求圆 的方程.
解：设圆的半径为 ，因为圆与直线 相切，
所以圆心到直线的距离是圆 的半径，
即，所以圆的方程为 .
（2）已知圆，是否存在实数 ，使
得圆与圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数 的值；若不存
在，请说明理由.
解：圆的圆心为，半径为 ，
若两个圆有公共弦，则 ，
即，解得 .
由 两式作差得两圆公共弦所在直线的方程
为，
所以圆心 到公共弦所在直线的距离 ，
又两圆的公共弦长为2，所以，可得 ，
所以，解得或 ，
又，所以 ，经检验符合题意，
故存在实数，使得圆与圆 公共弦的长度为2.
14.（15分）已知圆分别与，轴正半轴交于， 两
点，为圆 上的动点.
（1）若线段上有一点，使得，求点 的轨迹方程；
解：根据题意得，， .设，，
则， ，
因为，所以 ，
所以
又为圆上的动点，所以，所以 ，
整理得，故点 的轨迹方程为 .
（2）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线 的方程；
解：因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线 的距
离 .
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，符合题意；
圆心到直线 的距离为3，
②当直线的斜率存在时，设直线 ，
则圆心到直线的距离为，解得，所以直线
的方程为，即 .
综上，直线的方程为或 .
（3）若为圆上异于,的动点，直线与轴交于点，直线
与轴交于点，求证： 为定值.
证明：设，则 ，
直线的方程是，令，得 ，
直线的方程是 ，令,得 ，
所以 ，为定值.
快速核答案
1.B 2.C 3.A 4.C 5.A 6.C 7.BD 8.AB
9. 10. 11., 12.（1）证明略 （2）.
13.（1）.（2）
14.（1） （2）或 （3）证明略