2025-2026学年度高中数学 1.1-1.2空间向量基本定理滚动测试卷二 （含解析）

2025-2026学年度高中数学
1.1-1.2空间向量基本定理滚动测试卷
第I卷（选择题）
一、单选题
1．在直三棱柱中，若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知三棱柱中，是的中点，则（ ）
A． B．2 C． D．2
3．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）.
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．如图，在平行六面体中，已知，，则直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
5．已知线段，在平面内，，，且，，，则，两点间的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在正四棱锥中，若，，平面与棱交于点，则四棱锥与四棱锥的体积比为（ ）
A． B． C． D．
8．在平行六面体中，且，，若，则棱的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
二、多选题
9．如图，在三棱柱中，M，N分别是线段上的点，且．设，且均为单位向量，若，则下列说法中正确的是（ ）

A．与的夹角为 B．
C． D．
10．有下列四个命题，其中不正确的命题有（ ）
A．已知，，， 是空间任意四点，则
B．若两个非零向量 与 满足 ，则
C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
D．对于空间的任意一点 和不共线的三点，，，若 ，则，，， 四点共面
11．如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（ ）
A．长为
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．
D．
第II卷（非选择题）
三、填空题
12．如图，在的二面角中，且，垂足分别为，已知，则线段的长为 ．

13．在平行六面体中，，，则与所成角的正弦值为 ．
14．在四面体中，所有梭长都是2，、分别为棱、的中点，则
四、解答题
15．已知，与、的夹角都是，并且，，．计算：
(1)；
(2)．
16．已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证：
(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；
(2)；
(3)三点共线．
17．如图，在三棱锥中，点为的中点，，设
(1)试用向量表示向量;
(2)若，且， 求证: 平面.
18．如图所示，平行六面体中，．
(1)求；
(2)求．
19．如图，已知正方体的棱长为1，P，Q，R分别在AB，，上，并满足．设，，．
(1)用，，表示，；
(2)设的重心为G，用，，表示；
(3)当时，求a的取值范围．
试卷第4页，共4页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C C B B D BD CD
题号 11
答案 ACD
1．B
【分析】根据题意，画出图形，利用空间向量的线性运算即可表示出.
【详解】如图所示：
，
故选：B
2．C
【分析】结合图形将用基底线性表示，再由模长公式计算即得.
【详解】由于，
所以
，
故选：C
3．C
【分析】要判断一组向量能否构成空间的一个基底，即判断这组向量是否不共面，逐一分析各选项，找出不共面的向量组即可．
【详解】对于A，因为，
所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于B，因为，
所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误；
对于C，假设，，共面，则存在实数，使得，
由于为空间的一个基底，所以可得实数的解为，
但与矛盾，假设不成立，即不共面，能构成空间的一个基底，故C正确；
对于D，因为，
所以共面，不能构成空间的一个基底．
故选：C．
4．C
【分析】取空间向量的一个基底，利用空间向量法求出异面直线的夹角余弦值.
【详解】在平行六面体中，，
，记，，
则，
，，
，
因此，
所以直线与所成角的余弦值为.
故选：C
5．C
【分析】由得，，即得，由，利用数量积的运算即可求解.
【详解】由，线段，在平面内，得，，又，
所以，
，从而，
故选：C．
6．B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可．
【详解】空间任意一点和不共线的三点，
令，
若，则，，
，，
所以四点共面，
所以充分性成立；
若四点共面，
当与四个点中的一个（比如点）重合时，
，可取任意值，不一定有，
即不一定有，
所以不能得到，
故必要性不成立，
所以“”是“四点共面”的充分不必要条件，
故选：B.
7．B
【分析】利用、、、四点共面，，由锥体体积公式，求出和的值，即可得的值.
【详解】如图所示，
设，由、、、四点共面，
设，则，
即，
得，
又，，不共面，则，解得：，即，
设，分别是点到平面和点到平面的距离，则，
所以，
，，
同理，，，，
则四棱锥与四棱锥的体积比为.
故选：B
【点睛】方法点睛：
点共面问题可转化为向量共面问题；求几何体的体积，要注意分割与补形；利用锥体体积公式，棱锥的体积比最终转化为棱长之比.
8．D
【分析】设，利用空间向量基本定理有，得，转化为代数问题，利用基本不等式有，令，即得，转化为关于的一元二次不等式即可求解.
【详解】设，则有，
由，，所以，，
所以
，
即，
由，当且仅当时，等号成立，
所以，
即，令，
即，关于的一元二次不等式要有解，
所以，解得，即，
所以的最大值为，当时，，
即，所以，即时，等号成立，
故选：D.
9．BD
【分析】由空间向量的运算法则和空间向量的夹角公式、模长公式、数量积的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，，，，所以与的夹角为，又，
所以与的夹角为，故A错误；
对于B，因为，，
所以，
，
，故B正确；
对于C，，，，
，，，
，
.故C错误；
对于D，，
.故D正确.
故选：BD.
10．CD
【分析】根据空间向量的加减运算法则，空间向量基本定理的推论可解.
【详解】
对于A，已知 ，，，是空间任意四点，
则 ，故A正确；
对于B，若两个非零向量 与 满足 ，
则，，正确；
对于C，任何两个向量都是共面向量，不正确；
对于D，对于空间的任意一点 和不共线的三点，，，
若 ，
当且仅当 时，，，， 四点共面，故错误．
故选：CD.
11．ACD
【分析】以为一组基底，将用基底表示，得，利用数量积的运算即可求解，进而判断A，先求，利用向量的夹角公式即可判断B，计算和即可判断CD.
【详解】由题意有：，所以
，所以，故A正确；
，所以，所以
，
所以，故B错误；
由，，
所以
，所以，故C正确；
由，所以，故D正确；
故选：ACD.
12．10
【分析】通过向量的运算法则，将用已知向量、、表示出来，然后利用向量的模长公式及向量的数量积公式来计算.
【详解】因为，所以.
可得.
因为，，所以，，.
由于，则. 同理，.
已知二面角为，与的夹角等于二面角的补角，所以.
可得：. 可得.
故答案为：10.
13．
【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式和同角三角函数的平方关系即可求解.
【详解】由题意有，，
所以
，
，
所以，又
，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
14．/
【分析】用向量，表示出，利用数量积的运算即可求解.
【详解】
如图，由题意有，
，又因为两两的夹角为，且模长为2，
所以，
所以
.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的运算律，结合数量积的定义即可求得答案；
（2）利用向量模的计算公式，结合数量积的运算律以及数量积定义，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知，与、的夹角都是，并且，，，
故
；
（2）
.
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据空间向量的基本定理即可得证；
（2）由，结合空间向量的减法和数乘运算可推出，从而得证；
（3）由，结合（2）中结论与即可得证.
【详解】（1）由，，
知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；
（2）由，，，
得
，
所以；
（3）由（2）知，
所以
，
所以，
即，又与有一个公共点，所以三点共线．
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）直接根据图形的几何性质分解向量即可；
（2）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证.
【详解】（1）为中点，
，
，
；
（2）且，
为等边三角形且，
平面，
平面，
平面，
，
，
为重心，
同理可证，
平面，
平面.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由两边平方后可得.
（2）由（1）得，根据数量积的运算律可得，然后由向量夹角公式求解即可.
【详解】（1），又
则
，
所以．
（2）由空间向量的运算法则，可得，-
因为且，
所以
，
-
，-
则．
19．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示；
（2）利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示；
（3）先用，，表示，再计算，发现其恒为零，进而可得a的取值范围．
【详解】（1）
（2）
（3）
又
即对任意，都有
即a的取值范围为.
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