3.1.1 椭圆及其标准方程
第1课时 椭圆及其标准方程
【课前预习】
知识点一
1.和 大于|F1F2| 椭圆的焦点
椭圆的焦距 一半
2.2a 2c
|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)
3.(1)定点 (2)定长 (3)>
诊断分析
(1)× (2)√ [解析] (1)|F1F2|=4,动点轨迹是线段F1F2.
(2)6>|F1F2|=4,动点轨迹是椭圆.
知识点二
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0) (-c,0),(c,0)
(0,-c),(0,c) 2c a2=b2+c2
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√
[解析] (1)在椭圆中,a,b,c的关系是a2=b2+c2.
(2)因为10>6,所以椭圆的焦点在y轴上.
(3)由椭圆的方程为+=1,得a2=10,b2=6.
(4)根据椭圆的定义和标准方程知,椭圆+=1(n>m>0)的焦点在y轴上.
【课中探究】
探究点一
例1 AD [解析] 设所求动点为P.对于A,因为|PF1|+|PF2|=8=|F1F2|,所以点P的轨迹是线段F1F2,故A正确;对于B,因为|PF1|+|PF2|=6<8=|F1F2|,所以点P的轨迹不存在,故B错误;对于C,因为|PF1|=|PF2|,所以点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,故C错误;对于D,因为|MF1|+|MF2|=+=4,所以|PF1|+|PF2|=4>8=|F1F2|,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,故D正确.故选AD.
变式 C [解析] +=2的几何意义是平面内的点P(x,y)到点A(-1,0)与点B(1,0)的距离之和为2,∵|PA|+|PB|=2=|AB|,∴方程+=2表示的曲线是线段AB,故选C.
探究点二
例2 解:(1)根据题意可知c=2,
又焦点在y轴上,故焦点坐标为(0,±2).
∵椭圆经过点M(3,2),
∴由椭圆的定义可得2a=+=8,即a=4,
∴b2=a2-c2=16-4=12,
故椭圆的标准方程为+=1.
(2)方法一:若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
由已知条件得解得
故椭圆的标准方程为+=1.
若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
由已知条件得解得
则a2b>0矛盾,舍去.
综上可知,所求椭圆的标准方程为+=1.
方法二:设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
分别将两点(2,-),的坐标代入椭圆的方程,得解得
∴所求椭圆的标准方程为+=1.
变式 (1)+=1 (2)+=1或+=1 [解析] (1)∵椭圆C的焦点在x轴上,∴可设其标准方程为+=1(a>b>0).∵椭圆C过点(0,8),∴b=8,又c=6,∴a2=b2+c2=100,∴椭圆C的标准方程为+=1.
(2)因为c=4,且c2=a2-b2,所以a2=16+b2,所以椭圆的标准方程为+=1或+=1,又因为椭圆经过点P(0,2),所以=1或=1.若=1,则b2=24,此时椭圆的标准方程为+=1;若=1,则b2=8,此时椭圆的标准方程为+=1.故椭圆的标准方程为+=1或+=1.
探究点三
例3 解:由题意知c==,
∴|F1F2|=2c=2,
∵P为椭圆+=1上一点,
∴|PF1|+|PF2|=2a=6,
∴焦点三角形F1PF2的周长为6+2.
在三角形F1PF2中,由余弦定理得=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°,
即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=12①,
由|PF1|+|PF2|=6两边平方,得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=36②,
②-①,整理得|PF1|·|PF2|=8,
∴焦点三角形F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|sin 60°=×8×=2.
变式 (1)BCD (2)20 8 [解析] (1)由椭圆的方程可知a=3,b=2,则c=,由椭圆的性质可得|PF1|+|PF2|=2a=6,又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=4,|PF2|=2,A选项错误;△PF1F2的周长为|F1F2|+|PF1|+|PF2|=2c+2a=6+2,B选项正确;在△PF1F2中,由余弦定理可得cos∠F1PF2==
=0,∴∠F1PF2=,∴=|PF1||PF2|=4,C选项正确;连接OP,∵∠F1PF2=,原点O为F1F2的中点,∴|OP|=|F1F2|=,∴点P在圆x2+y2=5上,D选项正确.故选BCD.
(2)∵椭圆C:+=1,∴a=5,∴△F2AB的周长为(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=20.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=20-(|AF2|+|BF2|)=8.3.1.1 椭圆及其标准方程
第1课时 椭圆及其标准方程
1.B [解析] 因为焦点在x轴上,所以C不正确;因为c=1,所以D不正确;将代入+=1得+=≠1,所以A不正确.故选B.
2.A [解析] 若椭圆的焦点在x轴上,则a2=m,b2=4,则2c=2=2=2,可得m=5;若椭圆的焦点在y轴上,则a2=4,b2=m,则2c=2=2=2,可得m=3.综上所述,m=3或5.故选A.
3.B [解析] 方程+=1表示椭圆的充要条件是解得-44.C [解析] 因为 a2+1≥2a(当且仅当a=1时,等号成立),所以|PF1|+|PF2|≥|F1F2|.当a>0且a≠1时,|PF1|+|PF2|>|F1F2|,此时动点P的轨迹是椭圆;当a=1时,|PF1|+|PF2|=|F1F2|,此时动点P的轨迹是线段F1F2.故选C.
5.B [解析] ∵P是椭圆+=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,∴|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=2,∴(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=64,又|PF1|·|PF2|=12,∴|PF1|2+|PF2|2=40.在△F1PF2中,cos∠F1PF2===,∴∠F1PF2=60°.故选B.
6.CD [解析] 由题可知,又椭圆中a2≠b2,故k-1≠9-k,可得k∈(1,5)∪(5,9),故A错误.当9-k>k-1>0,即k∈(1,5)时,焦点在x轴上,c2=a2-b2=9-k-(k-1)=10-2k;当k-1>9-k>0,即k∈(5,9)时,焦点在y轴上,c2=a2-b2=k-1-(9-k)=2k-10.故B错误,C,D正确.故选CD.
7.1 [解析] 因为椭圆+=1的一个焦点是(2,0),所以k>0,且5-k=22,解得k=1.
8.36 [解析] 若焦点在x轴上,则由椭圆的定义得4+8=2,解得m=36;若焦点在y轴上,则4+8≠2,不合题意.综上,m=36.
9.解:(1)椭圆9x2+4y2=36,即+=1,故c=,焦点为(0,),(0,-).
设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),
则可得
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n),将P(-2,1),Q(,-2)的坐标代入方程得解得
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
10.D [解析] 因为=
=,所以可以转化为M(x,1)到N(-2,0)的距离,同理,可以转化为M(x,1)到P(2,0)的距离.因为+=6,所以M(x,1)到两定点N(-2,0)和P(2,0)的距离之和为6,所以M(x,1)在以点N(-2,0)和P(2,0)为焦点的椭圆上.设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),则2a=6,即a=3,又a2-b2=4,所以b2=5,所以椭圆的方程为+=1,把y=1代入,得+=1,解得x=±.故选D.
11.BC [解析] 设点P(x,y),由E:+=1可得a2=8,b2=4,故c=2,则△F1PF2的面积为|F1F2|×|y|=2|y|=4,解得y=±2,则点P的纵坐标为±2,故A错误;由y=±2知,点P为椭圆短轴的端点,故|PF1|=|PF2|=2,又|F1F2|=4,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以∠F1PF2=,故B正确;因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=4,于是△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+4,故C正确;设△F1PF2的内切圆半径为r,则(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)·r=×4(+1)·r=4,解得r=2(-1),故D错误.故选BC.
12.4 [解析] 由题知a=5,设椭圆的右焦点为F2,连接MF2,根据椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=10,又|MF1|=2,所以|MF2|=8.因为N是MF1的中点,O是F1F2的中点,所以|ON|=|MF2|=4.
13.2 [解析] 不妨设m=|PF1|,n=|PF2|(m>0,n>0),θ=∠F1PF2,则可知·=mncos θ=-2,=mnsin θ=1,两式相除可得tan θ=-,所以tan θ=-1,又θ∈(0,π),所以θ=,可得mn=2(m>0,n>0).由椭圆的定义,得2a=m+n≥2(当且仅当m=n时等号成立),所以4a2≥4mn,所以a2≥2,则a2的最小值为2.
14.解:(1)因为|F1F2|=2c=2,所以c=1.因为点P(0,-3)在椭圆+=1上,所以+=1,即=1,可得b=3.
因为c2=a2-b2,所以a2=b2+c2=9+1=10,
所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)因为PF1⊥PF2,所以△F1PF2的面积S=×|PF1|×|PF2|=4,
则|PF1|×|PF2|=8.根据椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,
由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,
又(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|×|PF2|,
所以(2a)2=(2c)2+16,
即4a2=4c2+16,即a2=c2+4,
所以b2=a2-c2=4,可得b=2.
15.D [解析] 由椭圆+=1,可得a=3,b=,c=2,所以A(0,-2)为椭圆的下焦点.设F(0,2)为椭圆的上焦点,因为M为椭圆上任意一点,所以由椭圆的定义可知|MA|+|MF|=2a=6,则|MA|+|MB|=(6-|MF|)+|MB|=|MB|-|MF|+6.易知当M,B,F三点共线且点M在第二象限时|MB|-|MF|取得最大值,即|MA|+|MB|取得最大值,此时|MB|-|MF|+6=|BF|+6,又因为|BF|==,所以|MA|+|MB|的最大值为|BF|+6=6+.故选D.
16.解:(1)因为点M(1,m)在椭圆W上,所以+m2=1,
因为m>0,所以m=.
因为a=2,b=1,
所以c==,
所以F1(-,0),F2(,0),
所以=|F1F2|·m=×2×=.
(2)因为点M在椭圆W上,所以-2在△F1MF2中,由余弦定理得cos∠F1MF2==
,
因为∠F1MF2是钝角,所以(x0+)2++(x0-)2+-12<0,
又因为=1-,所以<,解得-故x0的取值范围为.3.1.1 椭圆及其标准方程
第1课时 椭圆及其标准方程
【学习目标】
1.能用文字语言和符号语言描述椭圆的定义、相关概念和几何特征,能从圆与椭圆的定义中体会它们的内在联系和椭圆的本质属性.
2.能够根据椭圆的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据椭圆定义的表达式推导椭圆的标准方程.
3.能描述焦点在不同坐标轴上的椭圆的标准方程,能说明标准方程中特征量的关系.
4.能灵活运用椭圆定义和标准方程解决一些关联问题.
◆ 知识点一 椭圆的定义
1.平面内与两个定点F1,F2的距离的 等于常数( )的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作 ,两焦点间的距离叫作 ,焦距的
称为半焦距.
2.定义中提到的“常数”常用 表示,焦距常用 表示.设M是椭圆上任意一点,F1,F2为椭圆的焦点,则椭圆定义的数学表达式为 .
3.椭圆定义的三个要点:
(1)在平面内,F1,F2是两个 ;
(2)|MF1|+|MF2|=2a为 ;
(3)定长2a |F1F2|.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知F1(-2,0),F2(2,0),则平面内到F1,F2两点的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆. ( )
(2)已知F1(-2,0),F2(2,0),则平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆. ( )
◆ 知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标
焦距 |F1F2|=
a,b,c的关系
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在椭圆中,a,b,c的关系是c2=a2+b2. ( )
(2)已知椭圆的方程为+=1,则椭圆的焦点在x轴上. ( )
(3)已知椭圆的方程为+=1,则a=10,b=6. ( )
(4)椭圆+=1(n>m>0)的焦点在y轴上. ( )
◆ 探究点一 椭圆的定义
例1 (多选题)[2025·西安高二期中] 下列说法中正确的是 ( )
A.已知F1(-4,0),F2(4,0),则平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段
B.已知F1(-4,0),F2(4,0),则平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离相等的点的轨迹是椭圆
D.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2两点的距离之和的点的轨迹是椭圆
变式 [2025·宿迁高二期中] 方程+=2表示的曲线为 ( )
A.圆 B.椭圆
C.线段 D.直线
◆ 探究点二 椭圆的标准方程
例2 (1)求焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2)的椭圆的标准方程.
(2)求经过两点(2,-),的椭圆的标准方程.
变式 (1)已知椭圆C的焦点坐标为(-6,0),(6,0),且椭圆C经过点(0,8),则椭圆C的标准方程为 .
(2)半焦距c=4,且经过点P(0,2)的椭圆的标准方程为 .
[素养小结]
求椭圆的标准方程的一般步骤:
(1)定位置:根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能.
(2)设方程:根据上述判断设方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0)或整式形式mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
(3)找关系:根据已知条件建立关于a,b,c(或m,n)的方程组.
(4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,写出标准形式即为所求.
◆ 探究点三 椭圆的焦点三角形
例3 已知椭圆+=1的左、右焦点分别是F1,F2,P为椭圆上一点,且∠F1PF2=60°,求焦点三角形F1PF2的周长和面积.
变式 (1)(多选题)[2025·辽宁名校联盟高二联考] 已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|-|PF2|=2,则下列说法中正确的是 ( )
A.|PF1|=3
B.△PF1F2的周长为6+2
C.△PF1F2的面积为4
D.点P在圆x2+y2=5上
(2)[2025·北京101中学高二月考] 已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,则△F2AB的周长为 ,若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|= .
[素养小结]
已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点,则焦点三角形PF1F2中有以下常见结论:
(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.
(2)在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.
(3)设P(xP,yP),椭圆的焦点在x轴上,则=c|yP|=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=b2tan.3.1.1 椭圆及其标准方程
第1课时 椭圆及其标准方程
1.以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点,且经过点的椭圆的标准方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+y2=1
2.[2024·肇庆高二期中] 已知椭圆+=1的焦距等于2,则实数m的值为 ( )
A.3或5 B.8
C.2或2 D.或
3.方程+=1表示椭圆的充要条件是 ( )
A.-4B.-4C.-4D.m>-1
4.已知F1,F2是两个定点,且|F1F2|=2a(a是正常数),动点P满足|PF1|+|PF2|=a2+1,则动点P的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.线段
C.椭圆或线段 D.直线
5.P是椭圆+=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1||PF2|=12,则∠F1PF2的大小为 ( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
6.(多选题)若方程+=1表示椭圆C,则下列结论正确的是 ( )
A.k∈(1,9)
B.椭圆C的焦距为2
C.若椭圆C的焦点在x轴上,则k∈(1,5)
D.若椭圆C的焦点在y轴上,则k∈(5,9)
7.[2024·浙江A9协作体高二期中] 已知椭圆+=1的一个焦点是(2,0),则k的值为 .
8.[2025·上海财经大学附中高二期中] 已知椭圆+=1上的一点P到一个焦点的距离为4,到另一个焦点的距离为8,则m等于 .
9.(13分)分别求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)经过点(2,3),且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点;
(2)经过P(-2,1),Q(,-2) 两点.
10.数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微”.事实上,很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,例如,与相关的代数问题,可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间距离的几何问题.结合上述观点,方程+=6的解是 ( )
A. B.±
C. D.±
11.(多选题)已知点P是椭圆E:+=1上一点,F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,且△F1PF2的面积为4,则下列说法正确的是 ( )
A.点P的纵坐标为2
B.∠F1PF2=
C.△F1PF2的周长为4(+1)
D.△F1PF2的内切圆半径为2(+1)
12.椭圆+=1上一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,O为坐标原点,则|ON|= .
13.[2024·湖北七校高二期中] 已知点P在椭圆+=1(a>b>0)上,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若·=-2,且△PF1F2的面积为1,则a2的最小值为 .
14.(15分)[2025·广州高二期中] 已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为C上一点.
(1)若|F1F2|=2,点P的坐标为(0,-3),求椭圆C的标准方程;
(2)若PF1⊥PF2,△F1PF2的面积为4,求b的值.
15.M为椭圆+=1上任意一点,A(0,-2),B(1,1),则|MA|+|MB|的最大值为 ( )
A.3+ B.6+
C.6+ D.6+
16.(15分)[2024·荆州中学高二月考] 已知F1,F2分别为椭圆W:+y2=1的左、右焦点,M为椭圆W上的一点.
(1)若点M的坐标为(1,m)(m>0),求△F1MF2的面积;
(2)若点M的坐标为(x0,y0),且∠F1MF2是钝角,求x0的取值范围.(共63张PPT)
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
第1课时 椭圆及其标准方程
探究点一 椭圆的定义
探究点二 椭圆的标准方程
探究点三 椭圆的焦点三角形
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能用文字语言和符号语言描述椭圆的定义、相关概念和几何特
征，能从圆与椭圆的定义中体会它们的内在联系和椭圆的本质属性.
2.能够根据椭圆的几何特征选择适当的平面直角坐标系，根据椭
圆定义的表达式推导椭圆的标准方程.
3.能描述焦点在不同坐标轴上的椭圆的标准方程，能说明标准方
程中特征量的关系.
4.能灵活运用椭圆定义和标准方程解决一些关联问题.
知识点一 椭圆的定义
1.平面内与两个定点, 的距离的____等于常数（___________）的
点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作____________,两焦点间的距离叫
作____________，焦距的______称为半焦距.
和
大于
椭圆的焦点
椭圆的焦距
一半
2.定义中提到的“常数”常用____表示,焦距常用____表示.设 是椭圆
上任意一点，, 为椭圆的焦点，则椭圆定义的数学表达式为
________________________________.
3.椭圆定义的三个要点：
（1）在平面内，， 是两个______；
（2） 为______；
（3）定长___ .
定点
定长
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知,,则平面内到, 两点的距离之和等于4的
点的轨迹是椭圆.( )
×
[解析] ,动点轨迹是线段 .
（2）已知,,则平面内到, 两点的距离之和等于6的
点的轨迹是椭圆.( )
√
[解析] ,动点轨迹是椭圆.
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在 轴上 焦点在 轴上
标准方程 _ ____________________ _ ____________________
图形 ______________________________________ _________________________
焦点坐标 ______________ ____________
焦距 ____ ,, 的关系 _____________
，
,
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在椭圆中，,,的关系是 .( )
×
[解析] 在椭圆中,,,的关系是 .
（2）已知椭圆的方程为，则椭圆的焦点在 轴上.( )
×
[解析] 因为,所以椭圆的焦点在 轴上.
（3）已知椭圆的方程为，则， .( )
×
[解析] 由椭圆的方程为,得, .
（4）椭圆的焦点在 轴上.( )
√
[解析] 根据椭圆的定义和标准方程知，椭圆
的焦点在 轴上.
探究点一 椭圆的定义
例1 （多选题）［2025·西安高二期中］ 下列说法中正确的是( )
A.已知，，则平面内到， 两点的距离之和等于8
的点的轨迹是线段
B.已知，，则平面内到， 两点的距离之和等于6
的点的轨迹是椭圆
C.平面内到点， 的距离相等的点的轨迹是椭圆
D.平面内到点，两点的距离之和等于点 到
， 两点的距离之和的点的轨迹是椭圆
√
√
[解析] 设所求动点为.对于A，因为 ，所
以点的轨迹是线段 ，故A正确；
对于B，因为，所以点 的轨迹不存在，
故B错误；
对于C，因为，所以点的轨迹是线段 的垂直平分
线，故C错误；
对于D，因为 ，所以
，所以点的轨迹是以, 为焦
点的椭圆，故D正确.故选 .
变式[2025·宿迁高二期中]方程
表示的曲线为( )
A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线
[解析] 的几何意义是平面内的
点到点与点 的距离之和为2，
，
方程表示的曲线是线段 ，
故选C.
√
探究点二 椭圆的标准方程
例2（1）求焦点在轴上，焦距是4，且经过点 的椭圆的标准
方程.
解：根据题意可知 ，又焦点在轴上，故焦点坐标为 .
椭圆经过点 ，
由椭圆的定义可得 ，即
，
，故椭圆的标准方程为 .
（2）求经过两点， 的椭圆的标准方程.
解：方法一：若焦点在 轴上，设椭圆的标准方程为 .
由已知条件得解得
故椭圆的标准方程为 .
若焦点在轴上，设椭圆的标准方程为 .
由已知条件得解得 则，与 矛盾，
舍去.综上可知，所求椭圆的标准方程为 .
方法二：设椭圆的方程为 .
分别将两点， 的坐标代入椭圆的方程，得
解得 所求椭圆的标准方程为 .
变式（1）已知椭圆的焦点坐标为，，且椭圆 经过点
，则椭圆 的标准方程为_ ___________.
[解析] 椭圆的焦点在轴上，
可设其标准方程为
椭圆过点，，又 ，
， 椭圆的标准方程为 .
（2）半焦距，且经过点 的椭圆的标准方程为
_ ________________________.
或
[解析] 因为，且，所以 ，所以椭圆
的标准方程为或 ，
又因为椭圆经过点，所以或.
若，则 ，此时椭圆的标准方程为；
若，则 ，此时椭圆的标准方程为.
故椭圆的标准方程为或 .
［素养小结］
求椭圆的标准方程的一般步骤：
（1）定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在轴上，还是在轴上，
还是两个坐标轴都有可能.
（2）设方程：根据上述判断设方程为或
或整式形式
.
（3）找关系：根据已知条件建立关于，，（或，）的方程组.
（4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求.
探究点三 椭圆的焦点三角形
例3 已知椭圆的左、右焦点分别是,， 为椭圆上一点，
且 ，求焦点三角形 的周长和面积.
解：由题意知 ， ，
为椭圆 上一点， ，
焦点三角形的周长为 .
在三角形 中，由余弦定理得
,
即 ,
由 两边平方，得
,
，整理得 ，
焦点三角形 的面积为
.
变式（1）（多选题）［2025·辽宁名校联盟高二联考］ 已知, 为
椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且 ，
则下列说法中正确的是( )
A. B.的周长为
C.的面积为4 D.点在圆 上
√
√
√
[解析] 由椭圆的方程可知，，则 ，由椭圆的性质
可得，又， ，
，A选项错误；
中，由余弦定理可得
，， ，C选项
正确；
连接，，原点为 的中点，，
点在圆 上，D选项正确.故选 .
（2）［2025·北京101中学高二月考］已知，是椭圆
的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，则 的周长为
____，若，则 ___.
20
8
[解析] 椭圆，， 的周长为
.
若，则 .
［素养小结］
已知,是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则焦点三角形
中有以下常见结论：
（1）焦点三角形的周长.
（2）在中，由余弦定理可知
.
（3）设，椭圆的焦点在轴上，则
.
1.椭圆定义的两个应用
（1）已知，为两个定点，若 ,
则动点 的轨迹是椭圆.
（2）若点在以， 为焦点的椭圆上,则
.
2.对椭圆标准方程的三点认识
（1）标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴或 轴上.
（2）标准方程的代数特征:方程右边为1,左边是和 的平方和,并且分
母为不相等的正值.
（3）,,三个量的关系:在椭圆的标准方程中,表示椭圆上的点 到
两焦点的距离之和的一半,可借助图形帮助记忆.,, （都是正数）恰
为一个直角三角形的三条边长,是斜边长,所以, ,且
.
1.求椭圆方程常用的方法主要是定义法和待定系数法.定义法的要点是
根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义,进而确定各参数的
值.待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆方程中的系数.
例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在轴上，中心为坐标原点，经过点， ;
解：设椭圆的标准方程为 ，
由题意有可得
故椭圆的标准方程为 .
（2）以点，为焦点，经过点 .
解：设椭圆的标准方程为，焦距为 .
由题意有，连接,,则 ，
，故 ，
，
故椭圆的标准方程为 .
2.解决椭圆基本量计算问题的关键是利用,, 的基本关系式.
例2 如图所示，已知, 分别是椭圆
的左、右焦点， 为椭圆
的上顶点，在轴上， ，且是
的中点，为坐标原点，若点到直线 的距离为3，
则椭圆 的方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 连接， 且
,，
是等边三角形.
，， 直线的方程为 ，
即，
点到直线 的距离为，又 ，
，，故椭圆 的方程为 .故选D.
3.焦点三角形是椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形.解决焦
点三角形问题一般从三个方面入手考虑:（1）椭圆的定义;（2）余弦
定理;（3）三角形面积公式.
例3 ［2025·江苏靖江高二期中］已知点为椭圆 上的
点，点在第一象限，椭圆的左、右焦点分别为,, 的平分
线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为, 为坐标原点，
若，则 的面积为( )
A. B. C. D.3
√
[解析] 延长，交的延长线于点，因为平分 ，
，所以由三线合一得 为等腰三角形，即
，为的中点.
因为为的中点，所以 为的中位线，
故.
设 ，则由椭圆的定义知，，
由 得，解得，故，.
在
，
故 .故选C.
练习册
1.以，为焦点，且经过点 的椭圆的标准方程为
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为焦点在轴上，所以C不正确；因为 ，所以D不正确；
将代入得 ，所以A不正确.故选B.
√
2.［2024·肇庆高二期中］已知椭圆 的焦距等于2，则实数
的值为( )
A.3或5 B.8 C.或 D.或
[解析] 若椭圆的焦点在轴上，则， ，则
，可得；
若椭圆的焦点在 轴上，则，，
则 ，可得.
综上所述， 或5.故选A.
√
3.方程 表示椭圆的充要条件是( )
A. B.或
C. D.
[解析] 方程表示椭圆的充要条件是
解得或 .故选B.
√
4.已知，是两个定点，且（是正常数），动点 满
足，则动点 的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段 D.直线
[解析] 因为（当且仅当 时，等号成立），所以
.
当且时， ，此时动点的轨迹是椭圆；
当时， ，此时动点的轨迹是线段 .
故选C.
√
5.是椭圆上一点，， 分别是椭圆的左、右焦点，若
，则 的大小为( )
A. B. C. D.
[解析] 是椭圆上一点，， 分别是椭圆的左、右焦点，
， ，
，
又，.
在 中，，
.故选B.
√
6.（多选题）若方程表示椭圆 ，则下列结论正确的是( )
A.
B.椭圆的焦距为
C.若椭圆的焦点在轴上，则
D.若椭圆的焦点在轴上，则
√
√
[解析] 由题可知，又椭圆中，故 ，
可得，故A错误.
当，即 时，焦点在轴上，
；
当，即时，焦点在 轴上，
.故B错误，C，D正确.
故选 .
7.［2024·浙江A9协作体高二期中］已知椭圆 的一个焦点
是，则 的值为___.
1
[解析] 因为椭圆的一个焦点是，所以 ，且
，解得 .
8.［2025·上海财经大学附中高二期中］已知椭圆 上的一
点到一个焦点的距离为4，到另一个焦点的距离为8，则 等于____.
36
[解析] 若焦点在轴上，则由椭圆的定义得 ，解得
；
若焦点在轴上，则 ，不合题意.综上， .
9.（13分）分别求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1）经过点，且与椭圆 有共同的焦点；
解：椭圆，即，故 ，焦点为
， .
设所求椭圆的标准方程为 ，
则可得
所以所求椭圆的标准方程为 .
（2）经过， 两点.
解：设所求椭圆的方程为，且 ，
将，的坐标代入方程得 解得
所以所求椭圆的标准方程为 .
10.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，
很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与
相关的代数问题，可以转化为点 与点
之间距离的几何问题.结合上述观点，方程
的解是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 ，
所以 可以转化为到的距离，同理， 可以
转化为到的距离.
因为 ，所以到两定点和的
距离之和为6，所以 在以点和 为焦点的椭圆上.
设椭圆的标准方程为，则，即，
又 ，所以，所以椭圆的方程为，
把代入，得 ，解得 .故选D.
11.（多选题）已知点是椭圆上一点，， 分别是
椭圆的左、右焦点，且 的面积为4，则下列说法正确的是 ( )
A.点 的纵坐标为2
B.
C.的周长为
D.的内切圆半径为
√
√
[解析] 设点，由可得,,故 ，则
的面积为,解得，则点 的纵
坐标为，故A错误；
由知，点 为椭圆短轴的端点，故，
又,所以 ，所以，
故B正确；
因为点
,故C正确；
设的内切圆半径为 ，则
，
解得，故D错误.故选 .
12.椭圆上一点到左焦点的距离为2，是 的中
点，为坐标原点，则 ___.
4
[解析] 由题知，设椭圆的右焦点为，连接 ，根据椭圆的
定义得,又，所以.
因为 是的中点，是的中点，所以 .
13.［2024·湖北七校高二期中］已知点 在椭圆
上，， 分别是椭圆的左、右焦点，若
，且的面积为1，则 的最小值为_____.
[解析] 不妨设，， ，
则可知， ，两式
相除可得，所以，
又，所以 ，可得 .
由椭圆的定义，得（当且仅当 时等号成立），
所以，所以，则的最小值为 ．
14.（15分）［2025·广州高二期中］ 已知， 分别是椭圆
的左、右焦点，为 上一点.
（1）若，点的坐标为，求椭圆 的标准方程；
解：因为，所以.因为点 在椭圆
上，所以，即，可得 .
因为，所以 ,
所以椭圆的标准方程为 .
（2）若，的面积为4，求 的值.
解：因为，所以的面积 ，
则.
根据椭圆的定义得 ，
由勾股定理可得 ，
又 ，
所以 ,即，即 ，
所以，可得 .
15.为椭圆上任意一点，， ，则
的最大值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由椭圆，可得，， ，所以
为椭圆的下焦点.
设为椭圆的上焦点，因为 为椭圆上任意一点，所以由椭圆的
定义可知 ，则
.
易知当 ，，三点共线且点在第二象限时 取得最大值，
即取得最大值，此时 ，
又因为，所以 的最大值为
.故选D.
16.（15分）［2024·荆州中学高二月考］ 已知， 分别为椭圆
的左、右焦点，为椭圆 上的一点．
（1）若点的坐标为，求 的面积；
解：因为点在椭圆上，所以 ，
因为，所以 .
因为， ，所以 ，
所以， ，
所以 .
（2）若点的坐标为，且是钝角，求 的取值范围．
解：因为点在椭圆上，所以 ，
在中，由余弦定理得
，因为 是钝角，
所以 ，
又因为，所以，解得 ，
故的取值范围为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.和,大于,椭圆的焦点,椭圆的焦距,一半 2.,,
3.（1）定点 （2）定长 （3）
【诊断分析】（1）× （2）√
知识点二 ,,，,,
<,, 【诊断分析】（1）× （2）× （3）× （4）√
课中探究 例1.AD 变式.C
例2.（1）（2） 变式.（1） （2）或
例3.,,,, . 变式.（1）BCD （2）20,8
快速核答案（练习册）
1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.CD 7.1 8.36
9.（1）
10.D 11.BC 12.4 13.
14.（1）.（2） 15.D
16.（1）（2）
